Об обратной задаче для системы Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дж. Кемени в качестве итогового отношения предпочтения выступает отношение предпочтения рсЛ2, для которого делается мини-

/Е/

мальной, где (1 - метрика Хэминга [2] (р называется медианой элементов

(Р/)/б/)-

Можно показать, что если решетка 5 метрическая [4], то медиана

элементов всегда попадает в интервал

inf p,,supp¿

.,е/ /е/

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1 Льюс И , Райфа X. Игры и решения М Изд-во иностр. лит. 1961 2. Миркин Б Г Проблема группового выбора. М : Наука, 1974

3 Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование М : Советское радио, 1972.

4 Биргкгоф Г Теория решёток М : Наука, 1984

О. Б. Горбунов

УДК 517.984

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА*

Рассмотрим краевую задачу L = L(a, Р, у, Ц.П, £?(*)):

By'HQ<o>(x) + Q(x))y = Xy, 0 <х <п, К,7(а)у(0)=К|г(р)у(тг) = 0,

О) (2)

где

У(х) =

Ух(хУ

ш*))

Q< 0>W = -

ц ^sm2T| eos 2 т]4

jr-y^cos2r| — sin 2r|

, у е (0, л), В =

О П -1 О

Q(x) =

(<7i(*) Я 2 О)

, , , .cosa -sin а

, К(а) = (F, (a),F2 (<*))= .

sma cosa

, T - знак

транспонирования.

Здесь qk(x) - комплекснозначные функции, р, a, р, т] - комплексные числа. Пусть для определенности Rea,ReP,ReT|€ [-л/2,л/2], Rep>0,

ц + 1 /2 í N, и пусть | х - у | 2Ксц| qk(x)\€. L(0,л), qk(jc) 6 W(0,л), k = 1,2

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 00-01 -00741.

Прямая и обратная задачи для L без особенности изучены достаточно полно [1]. Некоторые аспекты прямой задачи для L рассмотрены в [2] В данной статье изучается обратная задача, а именно приводится основное уравнение обратной задачи.

При работе с L важную роль играет специальная фундаментальная система решений системы уравнений (1) 2, изучавшаяся в [3],

которая позволяет «склеить» решения в особой точке.

Обозначим S(x, X) = (* Д), S2 X)) фундаментальную матрицу системы (1) Далее введем в рассмотрение следующие функции;

<b2(x,X) = S(x,k)S-1(0,W2(a), Д(Х) = К1г(р)Ф2(ЯД), Ф, (дг, X) = (Л (Х))~1 S(x, X)S~] (я, Х)Уг (Р), М(\)=у[(а)Ф1(0,Х),

где А(Х) - характеристическая функция, М(Х) - функция Вейля задачи L.

Обратная задача. По функции Вейля М {X) построить L .

Условимся, что наряду с задачей L будем рассматривать задачу L = ¿(а, Р, Y>Р. Л,£?(•*)) Если некоторый символ а обозначает объект, относящийся к задаче L, то а - аналогичный объект задачи L .

ТЕОРЕМА 1. Если М{Х) = М(Х.), то а - а = Р - р = т|-rj, у = у, И = М Q(X) = Q(X)V2(а-а).

Таким образом, если М(Х) = М(Х), то L может быть приведена к L заменой у(х) - У (а - а)у(х).

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть а = а = 0. Если М(Х) = М(Х), то L = L .

Далее для простоты ограничимся случаем простого спектра, то есть случаем простых нулей характеристической функции.

Пусть задачи L и L выбраны так, что Х^<+00>

*=-00

Zk Н К - ^k I +1 ак - °к I. ак= Resx=xk М(X), {Я* - собственные значения задачи L .

ЛЕММА 1. Справедливы соотношения:

+ 0С

+ X

к = -<х,

Q>j(x,X) = OJ(X,\) + ПФ;(х,Х),Ф2(х,Хк)) (ф;(х,х),ф2(х,хк)\ ^ '

-Ч Ф2(*Д*)-----~а"ф2(х^к)

У = 1,2, где {у,г) = Л^{у,т) = ут В:, причем ряды сходятся абсолютно и равномерно при х е (0,у -е)и(у + е,л) при каждом £>0.

Рассмотрим банахово пространство т ограниченных последовательностей 1|/ = (..., Ч/_2>0,Ч'_2.1.Ч'-1,о.^-1,1' ЧЧо.ЧЧьVI,0.4/1,1,•••) с нормой

|М|= тах \ч>н\.

ТЕОРЕМА 2. При каждом х * у имеют место соотношения:

(3)

где

ФУ2 (*Д*)

11 пО,кО

п n0.il

(X)

НК\,ко(х) Нп\.к\(х)

Ф2(х,Х„,\Ф2(х,\к1))

, X*

Хл

о

РпО,к<)(х) ^пО,к](х) Рп\,ко(х) Рп1,к\(х)

Хк о

I \,к]

00 =

^-гII ^

, п,кег, /,7=1,2, Хя0=А.яЛв1

V

ТЕОРЕМА 3. При каждом фиксированном д:*у Е-Н(х) - линейный ограниченный оператор, действующий из т в т, имеющий ограниченный обратный

Соотношение (3) называется основным уравнением обратной задачи. Далее, из леммы 1 и теоремы 2 можно получить алгоритм и необходимые и достаточные условия решения обратной задачи

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Левитан ИМ, Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М: Наука, 1988

2. Горбунов ОБ Спектральные свойства системы Дирака с неинтсгрируемой особенностью внутри интервала // Математика Механика: Сб науч. тр Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып. 3. С. 34 - 37

3 Горбунов О Б О системе Дирака с неинтсгрируемой особенностью внутри интервала // Математика Механика: Сб науч тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2000. Вып 2 С 21 -24.