Согласование предпочтений в решетке отношений Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. В. Галаев, II. II. Комков

УДК 519 8

СОГЛАСОВАНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ В РЕШЁТКЕ ОТНОШЕНИЙ

1. Проблема согласования предпочтений состоит в сведении нескольких индивидуальных мнений о порядке предпочтения объектов в единое "коллективное" предпочтение. Существует два основных подхода к этой проблеме: аксиоматический и процедурный. Аксиоматический подход восходит к знаменитой работе Эрроу [1,2], в которой было установлено, что система естественных аксиом для согласования ранжирований является противоречивой. Из процедур согласования предпочтений наиболее известной и употребительной на практике является правило большинства (а также его различные модификации). Однако это правило обладает существенным недостатком: оно может привести к нетранзитивному итоговому отношению, даже если все исходные отношения транзитивны (парадокс Кондорсе) В начале 70-х гг. Дж. Кемени была предложена процедура согласования отношений предпочтения, основанная на введении метрики в пространстве отношений [3] - построение так называемой медианы. Отправляясь от этой идеи, в работе [2] было дано описание медиан для отношений эквивалентности и квазипорядка В данной статье рассматривается аналогичный подход для более общих классов отношений: единственное требование, накладываемое на тип отношений, состоит в свойстве замкнутости относительно пересечения. Также изучаются некоторые системы аксиом для правил согласования предпочтений, которые являются менее "жесткими", чем система аксиом Эрроу.

2. Под отношением предпочтения на множестве А понимается произвольное рефлексивное бинарное отношение рсА2 (высказывание (a,b) е р интерпретируется так, что объект а является не менее предпочтительным, чем объект Ь).

Пусть I - произвольное множество (интерпретируется как множество индивидуумов). Под правилом согласования предпочтений индивидуумов / понимается отображение, которое каждому набору отношений предпочтения (р,)/е/, где с А2, ставит в соответствие отношение предпочтения р = /г[(р/ )|е7 ] на множестве А . Далее будем предполагать, что индивидуальные отношения предпочтения р,, (i el), а также согласованное отношение предпочтения р принадлежат некоторому семейству S, которое замкнуто относительно теоретико-множественного пресечения В этом случае множество S образует полную решетку относительно операций инфимума inf и супремума sup.

Рассмотрим следующие две аксиомы для правила согласования предпочтений

АКСИОМА А\. Если р, = р* для всех / е /, то ^[(р, ),<=/]= Р* АКСИОМА #1: Если для каждого /е/ справедливо р, ср,,

то /;[(Р,),е/]с/4(р,),е/|

ТЕОРЕМА 1 Если правило согласования предпочтений удовлетворяет аксиомам (А\, /Ь), то для любого набора отношения предпочтения (Р/)/е; выполняется

¿п(ру с/^рД^свирр,. (1)

/в/

Доказательство. Пусть (я,6)е|")р(. Тогда при каждом /е/ вы-

/е/

полняется ду{(а,й)}ср/ (где Д - тождественное отношение на /1).

По аксиоме В] получаем включение /г[(Ди((а,Ь)},е/]с ^[(р,)^]. По аксиоме А\ левая часть этого включения есть Ди{(д,й)}, откуда (а,Ь) е /*"[(р,),е/] Показано, что |"|р, с /^[(Р/)/6/], а так как в решетке X

/е/

имеет место р, = р|р,, получаем доказательство левой части (1).

/е/

Для доказательства правой части (1) рассмотрим включение р, с Бирр ,, справедливое при любом / е /. Используя последовательно ак-

1*1

сиомы В\ и А\, имеем:

(5ирру),е/

= 5Црру.

Итак, приняв аксиомы А\ и В\ (которые представляют собой очень слабые требования), мы получаем в качестве их следствия следующее.

Правило 1. Согласованное отношение предпочтения должно нахо-

диться в интервале

шГ р( ,5ирр,

3. Возьмем 2 модифицированные аксиомы Эрроу.

АКСИОМА Аг (аксиома поточечной изотопности): Пусть (рД6/,

(Р<)/е/ _ два набора отношений предпочтения. Если для элементов а,Ь е А при любом I е / справедлива импликация

(а,Ь)е р, =>(а,Ь) ер,, тогда имеет место импликация

е ^ [(Р; )/е/ ]=>(а.^)6 ^ 1(Р; )/е/ ]

АКСИОМА В2 (ненавязанность группового решения): Пусть а,Ь е А , а*Ь. Тогда найдутся такие два набора отношений предпочтения на А: (р)),<=/. (Р/)/6/.что а)

Р) (а,Ь)*РЦр,")/б/].

ТЕОРЕМА 2. Из системы аксиом (А2,В2) следуют аксиомы А\ и В\. Доказательство Пусть (р,),еУ -произвольный набор отношений предпочтения на А, а,Ь е А, а*Ь. Тогда

1) если для всех /е/ справедливо (а,Ь)ер;,то (и,Ь)е /г[(Р/)/е/];

2) если для всех / е / справедливо (а,Ь) г р,, то (а,Ь) £ /^[(р,),е/ ]. Действительно, покажем 1). По аксиоме В2 найдется набор отношений предпочтения (РД'е/ на А, для которого е[(Р/)^/1 уак как при каждом / е / выполняется (в силу истинности следствия) импликация

(а,Ь)ер]=>(а,Ь)<Ер,

то по аксиоме А2 справедливо условие

(а,Ь) е Я(р))/6/] => (а,Ь) е /=[(р, )1б/ ]. (2)

Посылка импликации (2) по предположению истинна, поэтому справедливо и следствие, что доказывает 1)

Покажем 2). По аксиоме В2 найдется набор отношения предпочтения

(Р/ )/е/ на А для которого (а,Ь) е /-'[(р, ),б/]. Тогда при каждом /е/ выполняется (в силу ложности посылки) (а,Ь)ер,=*(а,Ь)ер]

>

то по аксиоме А2 справедлива импликация

(а,Ь) е Р[(р,)(е/ ] => (а,й) е /< [(рДб/1 (3)

Так как следствие импликации (3) ложно, то ложна и посылка, то есть (а,А) й ^[(р, )/еУ ]

Из утверждений 1) и 2) следует,

ПР/ £ ^[(Р();6/]е ир/ (4)

/е/ ¡6/

Полагая в (4) р, =р для всех /е/, получаем /г[(р,)/6/] = р*, то есть проверили аксиому А\. Ясно, что аксиома В\ является следствием аксиомы В2 Утверждение 2 доказано.

4. Приняв указанные выше аксиомы А2 и В2 (или А\, #1), мы должны для семейства отношений предпочтения (р,),е/ выбирать в качестве согласованного отношения предпочтения отношение р, принадлежащее интервалу [р'.р2], где р! = 1^р,, р2 = вирр,. В соответствии с подходом

Дж. Кемени в качестве итогового отношения предпочтения выступает отношение предпочтения рсЛ2, для которого делается мини-

/Е/

мальной, где (1 - метрика Хэминга [2] (р называется медианой элементов

(Р/)/б/)-

Можно показать, что если решетка 5 метрическая [4], то медиана

элементов всегда попадает в интервал

inf p,,supp¿

.,е/ /е/

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1 Льюс И , Райфа X. Игры и решения М Изд-во иностр. лит. 1961 2. Миркин Б Г Проблема группового выбора. М : Наука, 1974

3 Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование М : Советское радио, 1972.

4 Биргкгоф Г Теория решёток М : Наука, 1984

О. Б. Горбунов

УДК 517.984

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА*

Рассмотрим краевую задачу L = L(a, Р, у, р,гь £?(*)):

By'HQ<o>(x) + Q(x))y = Xy, 0 <х <п, К,7(а)у(0)=К|г(р)у(тг) = 0,

О) (2)

где

У(х) =

Ух(хУ

ш*))

Q< 0>W = -

ц ^sm2T| eos 2 т]4

jr-y^cos2r| — sin 2r|

, у е (0, л), В =

О П -1 О

Q(x) =

(<7i(*) Я 2 О)

, , , .cosa -sin а

, К(а) = (F, (a),F2 (<*))= .

sma cosa

, T - знак

транспонирования.

Здесь qk(x) - комплекснозначные функции, р, a, р, т] - комплексные числа. Пусть для определенности Rea,ReP,ReT|€ [-л/2,л/2], Rep>0,

ц + 1 /2 í N, и пусть | х - у | 2Ксц| qk(x)\€. L(0,л), qk(jc) 6 W(0,л), k = 1,2

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 00-01 -00741.