Об обратной спектральной задаче для положительных стохастических матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.831

В. П. Егоров

ГОУ ВПО «Череповецкий государственный университет»

ОБ ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ МАТРИЦ

Введение

Пусть Мп (Я) - множество вещественных пхп-матриц [1].

Определение 1 [1]. Пусть А е Мп (И.) и х е С Рассмотрим уравнение

Ах = Хх, х^О,

где X - число. Если А, и ненулевой вектор х удовлетворяют данному уравнению, то X называется собственным значением матрицы А, ах— собственным вектором матрицы А, отвечающим X.

Определение 2 [1]. Совокупность всех собственных значений X е С матрицы А е М„ (Л) называется спектром матрицы А и обозначается через о (А). Неотрицательное вещественное число р (А) = шах || X |: X е ст(^)] называется спектральным радиусом матрицы А.

Определение 3 [1]. ПустьА=(аеМ„ (Л). Будем писать А> 0, если а (/ > 0 для всех г, у; А > О, если а ц > О для всех г,]. Матрица А называется неотрицательной, если А> 0, и положительной, если А > 0.

Определение 4 [1]. Матрица А = (а¡¡) е е М„ (Я) называется верхней треугольной, если а ^ = 0 при ] < г. Матрица А е Мп (Я), имеющая вид

( А

где А1 еМп. (Я), г = 1, ...,/, п\ + ...+П[ = п и

* обозначает произвольные элементы, называется верхней блочно-треугольной.

Определение 5[1,2]. Пусть^=(а,у)еМ„(К). Говорят, что А - матрица со строгим диагональным преобладанием по строкам, если

и

1=1 3*1

Пусть А Т - матрица со строгим диагональным преобладанием по строкам, тогда А - матрица со строгим диагональным преобладанием по столбцам.

Определение 6 [3]. Матрица А<еМп(К) называется со-стохастической (или обобщенной стохастической), если она неотрицательна и ее строчные суммы равны со, где со > 0. Если со = 1, то А называется стохастической.

Обозначение [1]. Символ / используется для обозначения единичной матрицы произвольного размера.

В работе [4] была поставлена так называемая обратная спектральная задача: для заданных комплексных чисел Х\, ...,Хп найти необходимые и достаточные условия существования стохастической матрицы, собственные значения которой равны X ],___,Хп.

В работе [5] обратная спектральная задача для неотрицательных обобщенных стохастических матриц решена для заданного спектра, состоящего из вещественных и комплексных собственных значений. Приведем три теоремы из указанной работы.

Теорема 1 [5]. Пусть числа X] > ... >Хп, а ] > >... >а„ (> 0) удовлетворяют условиям

> ^а,- ,5=1, ..., п- 1, ¡=1 /=1

п п

=

г=1 г=1

Хк<ак. ь к=2,...,п-\.

Тогда существует неотрицательная симметричная матрица с собственными значениями ..., Х„и диагональными элементами а\, ..., а„.

Теорема 2 [5]. Пусть числа Х\, ...,Х„, а а „ удовлетворяют условиям:

а,> 0, г= 1, ...,п, а 1 = тах а „

и и

2>/ = г=1 ¿=1

Тогда существует неотрицательная симметричная матрица с собственными значениями А,ь ...,Х„и диагональными элементами а ¡, ..., а „.

Теорема 3 [5]. Пусть ...^„-вещественные числа и - комплексные числа. Предположим, что а 1, ..., а „ — множество вещественных чисел, удовлетворяющих одной из двух предыдущих теорем. Пусть Zj = а у + / (3 Если о перестановка {1, ..., п} такая, что

(1) если ау >0, 2 | Ру | + a,j < а ,

(2) если а/< 0, 2 тах |, | Р7 || < яст(;-),

то существует (п + 2 к)-квадратная X ^стохастическая матрица с собственными значениями

Пусть А — верхняя блочно-треугольная неотрицательная матрица из М„ (Д) с блоками А1&Мп, (Я), / = 1, ..., /, п\ +... + п ¡ = п > 2,

А/ = р(А) = Х„> 0. В теореме 2 данной работы получены достаточные условия преобразования матрицы А в положительную А „-стохастическую

матрицу 5-1 АБ- = В е Мп(Я) с помощью невырожденных матриц 5 и 51"1, определяемых (1.2). Этими условиями являются: (1) положительность элементов последнего столбца матрицы А; (2) строгое диагональное преобладание по строкам и по столбцам матриц Х„ 1—А^ г = 1,...,/- 1.

В теореме 2 блоки А ь ..., А / _ 1 могут быть неотрицательными матрицами с предписанным спектром, например, неотрицательная симметричная матрица в теореме 2 [5], А,]-стохастическая матрица в теореме 3 [5], неотрицательные матрицы в [6] (см. замечание).

В теореме 1 данной работы устанавливается существование положительной А „-стохастической

матрицы В из М„ (И) с заданным спектром, где А„> 0, Аь ..., А„ - неотрицательные числа и п > 2. Предполагается, что X, < Хп, г = 1, ..., п - 1. Матрица В = ¿Г1 А Б получается из верхней треугольной неотрицательной матрицы А е М„ (Я) с положительным последним столбцом, с числами Аь ..., А„ на диагонали и остальными элементами, равными нулю.

§ 1. Преобразование верхней треугольной неотрицательной матрицы в положительную стохастическую матрицу

Теорема 1. Пусть X \ , А 2, ..., А „ _ ] - неотрицательные числа, Х„>0 и п> 2. Предположим, что

А;<А„, 1 = 1, ..., П- 1. (1.1)

Тогда существует положительная X „-стохастическая матрица из М„ (Я) с собственными зна-чениямиХ\, ..., Х„.

Доказательство. Пусть А — верхняя треугольная неотрицательная матрица из М„ (Я), элементы а 1„,..., а„-1,„ последнего столбца которой положительны, на диагонали находятся неотрицательные числа Х\, ..., Х„ и остальные ее элементы равны нулю. Принимая во внимание

0 0 1 . 0 . 0 °1 0

0 аы 1 0 0 0 1 . 1 ■ а12 0 0 0 1 у 5 0

0 -Щп 0 -а1,и-1 1 а12 0 1 У

перейдем от матрицы А к матрице В = 5"-1 А 8 и докажем, что можно выбрать положительные числа сиг, ..., а,\„ и а\„, ..., а„_1,„ таким образом, чтобы В была положительной А, „-стохастической матрицей, если выполняются требования (1.1).

Матрица В записывается в виде

ся положительной А,„-стохастической матрицей. •

а1 п а2 п

В =

а1,и-1 а\п +а1,и-1 а2 п

а1 п ап-\,п а1,л-1 ап-1,п

а1;„_! (Хп-Х2-а)

а12 а1 п а12 а2п

а\п а2п

^и-1+а12 ап-\,п ап-\,п

а12 (^и _а) К~а

гдеа = а.\„а\п + о.\>п-\ а2п+...+ а 12 ¿г„_1>п. Положим

а12 +...+ а!„ = />0, а 12 = ... = а 1 л =

п-1

Ь-а 1„ + ... +а„_])П.

Рассмотрев элементы матрицы запишем условие ее положительности

1

(1.3)

и условия ее X „-стохастичности

_Хп-Х 1 _

а\п - ~~г~т~ ' а2п -

К ~ ^2

\ + t ап-\,п

1 + *

^п ~ К-1 1 + ?

(1.4)

принимая во внимание (1.1).

Проверим, что можно выбрать положительное значение параметра /, такое, что выполняются (1.3) и (1.4). В самом деле, объединив (1.4) и (1.3), получим неравенство

-<(й-1)'Шт

Хп-Хх

Хп — +... + Х„ — А.

К ~К-1

п п-1 Л

Хп-Хх+ ... + Хп-Хп_х

Очевидно, что существует положительное значение параметра /, которое удовлетворяет последнему неравенству. Тогда существуют положительные числа а 12, ...,а\п, а\п, ..., аи-1,и и В являет-

§ 2. Преобразование верхней блочно-треугольной неотрицательной матрицы в положительную стохастическую матрицу

Теорема 2. Пусть А - верхняя блочно-тре-угольная неотрицательная матрица из Мп (Я) с блоками Ai еМ„ (Я), г = 1п \ + ... + п ¡ =

= п > 2 и пусть А/ = р (А) = А„ > 0. Пусть элементы а\п, ..., а „ _ 1, и последнего столбца матрицы А положительны и остальные ее элементы равны нулю (за исключением элементов блоков). Предположим, что матрицы Хп1—А„ г = 1, ..., /— 1, являются матрицами со строгим диагональным преобладанием по строкам и по столбцам. Тогда существует невырожденная матрица Б е Мп (Я), такая, что 5"1 А £ = В является положительной Хп -стохастическая матрицей.

Доказательство. Принимая во внимание (1.2), от матрицы А перейдем к матрице В = = 5'"1 А Б и докажем, что можно выбрать положительные числа а\2, а \п и а¡„, ..., а„_ ];Л таким образом, что В - положительная А „-стохастическая матрица, если выполняются требования данной теоремы относительно матриц г = 1, ...,

п — 1.

Убедимся в этом, рассмотрев частный случай матрицы А е Мб (Я) с двумя блоками

г \

а\\ а\2 «13

'21

<22

'23

ча31 а32 а33у

, А2 =

4 а45ч

а54 а55

У

В общем случае рассмотрения аналогичны. Запишем элементы последней строки матрицы В = БЛ АБ:

(Л.б-ац) а1б —«21 а 15-а 31 аи~о-\б а;

- а 12 а 16 + (Аб - а2г) а 15 - а 32 а m - а 15 а;

- а 13 а 16 - а 23 а 15 + (А б - а 33) а 14 - а 14 а;

(А6 - а44) а и - а54 а 12 - а 13 а; — «45 а 13 + (Аб-Я55)сИ2-си2«; Хв — «,

где а = а 16 а 16 + а 15 а 26 + • • ■ + а 12 « 56Î элементы ее предыдущих строк:

«и + et 16 «16 «12 +et 15 «16 «13 + et 14 «16 et 13 «16 Ctl2«16 «16

«21 + et 16 «26 «22 +et 15 «26 «23 + Ct 14 «26 et 13 «26 et 12 «26 «26

«31 + etiô «зб «32 +Ct 15 «36 a 33 +et 14 «36 Ot 13 «36 et 12 «36 «36

Ot 16 «46 et 15 «46 et 14 a 46 Cl 44 + a 13 Й46 «45 + Ct 12 «46 «46

et 16 «56 et 15 « 56 et 14 « 56 «54 + et 13 «56 « 55 + et 12 « 56 «56

Рассмотрим условия положительности матрицы В:

a\(,d<{!.(, — а\\) а 16 — «21 et 15 — <231 а 14, а]5й?<- «и а 16 + ( А 6 - <222) ^ 15 «32 а 14, а и d<- «13 ai6 -«23 «и + (A6-a33) а]4, а 13 с? < (Хв — «44) et 13 — а54(Х]2, аnd<- й45 et 13 + (Х6-а55) а]2 и условия ее X 6-стохастичности:

«16 (« 12+ ••• +сцб)= Аб_«11 - «12 ^ «13_ «16, «26 (а 12 + ... + а 1б) = Хб - «21 _ «22 ~ «23 _ «26, «36 (а 12 + ... + а 1б) = Хб ~ «31 _ «32- «зз ~ «зб, «46 (а 12 + ••• + «1б) = Хб - «44 - «45 _ «46, «56 (et 12 + ••• +СИб)= X 6 - «54 _ «55 _ «56,

предполагая, что а 12,..., оиб и а 16, •••, « 56-положительные числа.

Положим

0И2 + ... + ai6 = />0, а]2 = ... = а,6=-. (2.1)

Тогда условия X 6-стохастичности матрицы В дают выражения для элементов а^, ..., «56 последнего столбца матрицы А:

«16:

«26 :

Х6-ап-а12-а

13

«36

1 + /

-«21 -a22 -«23

1 + t

-«31-«3 2 ~аЪЪ

t

. Х6 - «44 - «45

«46 :

«56="

1 + t

Xf, -«54 -«55 \ + t

(2.2)

и а,■ в > 0, /= 1, ..., 5, если X(J-Ah Х61-А2 -матрицы со строгим диагональным преобладанием по строкам.

Условия положительности матрицы В сводятся к одному неравенству

t

- <

1 + t

К ~а\ \ ~а2\ ~g31 ~ а\2 ~ а22 ~ а32

¡min fl

\ ~ а1Ъ ~ а2Ъ ~ а33 ~ а44 ~ а54 ^-б ~ fl45 ~ а55 ч а а ' а

5

(2.3)

где J = («¡б +...+ £?5б)(1 + f),udне зависит от /, если учесть (2.2).

Очевидно, что существует значение параметра t> О, такое, что имеет место неравенство (2.3), если lel-Ai, Х61-А2- матрицы со строгим диагональным преобладанием по столбцам. Выбрав положительное значение параметра t из неравенства (2.3), получим, согласно (2.1), (2.2), значения для положительных чисел а 12, ..., 0Иб, а,б Q- 1, ..., 5) и положительную X6-стохастическую матрицу В.»

Замечание. В [3] описывается процедура построения ю-стохастической матрицы В = =А 1 ©...ФАI, где А,-со,-стохастические матрицы и со = max гаВ теореме 2 блоки А ь ..А /_i мо-

гут быть неотрицательными матрицами с предписанным спектром (например, это может быть неотрицательная симметричная матрица в теореме 2 [5], X1-стохастическая матрица в теореме 3 [5], неотрицательная матрица в [6]. Пусть блоки A\,...,Ai-\ имеют предписанные собственные значения ..., Хп-\. Тогда матрица В в теореме 2 является положительной X „-стохастической матрицей с предписанным спектром X ь ... А „ .о

Список литературы

1. Хори Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989.

2. Johnson C.R. Inverse М - matrices I I Linear Algebra and Appl. - 1982. -V. 47. - P. 195-216.

'j. Oliveira G.N. Nonnegative matrices with prescribed spectrum // Linear Algebra and Appl. - 1983. - V. 54. -P. 117-121.

4. Сулейманова X. Стохастические матрицы с вещественными собственными значениями // Докл. АН СССР. 1949. - V. 66.-Р. 343-345.

5. Graca М.М., Oliveira G.N. On the eigenvalues of stochastic matrices // Linear Algebra and Appl. - 1989. - V. 121. -P. 579-582.

6. Soto R.L. Existence and construction of nonnegative matrices with prescribed spectrum // Linear Algebra and Appl. -2003.-V. 369.-P. 169-184.