Невырожденность матриц и свойство диагонального преобладания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

НЕВЫРОЖДЕННОСТЬ МАТРИЦ И СВОЙСТВО ДИАГОНАЛЬНОГО ПРЕОБЛАДАНИЯ1

© 2013 г. Л. Цветкович, В. Костич, Л.А. Крукиер

Цветкович Лилиана - профессор, кафедра математики и информатики, факультет науки, Университет Нови Сад, Сербия, Обрадовича 4, Нови Сад, Сербия, 21000, e-mail: lila@dmi.uns.ac.rs.

Костич Владимир - ассистент профессора, доктор, кафедра математики и информатики, факультет науки, Университет Нови Сад, Сербия, Обрадовича 4, 21000, Нови Сад, Сербия, email: vkostic@dmi.uns.ac.rs.

Крукиер Лев Абрамович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высокопроизводительных вычислений и информационно-коммуникационных технологий, директор Южно-Российского регионального центра информатизации Южного федерального университета, пр. Стачки 200/1, корп. 2, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: krukier@sfedu. ru.

Cvetkovic Ljiljana - Professor, Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia, D. Obradovica 4, Novi Sad, Serbia, 21000, e-mail: lila@dmi.uns.ac.rs.

Kostic Vladimir - Assistant Professor, Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia, D. Obradovica 4, Novi Sad, Serbia, 21000, e-mail: vkostic@dmi.uns.ac.rs.

Krukier Lev Abramovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of the Department of High Performance Computing and Information and Communication Technologies, Director of the Computer Center of the Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, bild. 2, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: krukier@sfedu. ru.

Диагональное преобладание в матрице является простым условием, обеспечивающим ее невырожденность. Свойства матриц, которые обобщают понятие диагонального преобладания, всегда очень востребованы. Они рассматриваются как условия типа диагонального преобладания и помогают определять подклассы матриц (типа H-матриц), которые при этих условиях остаются невырожденными. В данной работе строятся новые классы невырожденных матриц, которые сохраняют преимущества диагонального преобладания, но остаются вне класса H-матриц. Эти свойства особенно удобны, поскольку многие приложения приводят к матрицам из этого класса, и теория невырожденности матриц, которые не являются Н-матрицами, теперь может быть расширена.

Ключевые слова: диагональное преобладание, невырожденность, масштабирование.

While simple conditions that ensure nonsingularity of matrices are always very welcomed, many of which that can be considered as a type of diagonal dominance tend to produce subclasses of a well known H-matrices. In this paper we construct a new classes of nonsingular matrices which keep the usefulness of diagonal dominance, but stand in a general relationship with the class of H-matrices. This property is especially favorable, since many applications that arise from H-matrix theory can now be extended.

Keywords: diagonal dominance, nonsingularity, scaling technique.

Численное решение краевых задач математической физики сводит, как правило, исходную задачу к решению системы линейных алгебраических уравнений. При выборе алгоритма решения нам необходимо знать, является ли исходная матрица невырожденной? Кроме этого, вопрос о невырожденности матрицы актуален, например, в теории сходимости итерационных методов, локализации собственных значений, при оценке определителей, перроновых корней, спектрального радиуса, сингулярных чисел матрицы и т.д.

Отметим, что одним из самых простых, но чрезвычайно полезных условий, обеспечивающих невырожденность матрицы, является широко известное свойство строгого диагонального преобладания ([1-3] и ссылки в них).

Теорема 1. Пусть дана матрица A = [ay ] е Cnxn такая, что

ы > г (a):= S k l, (1)

jeN, j Ф1

для всех i е N := {1,2,...n}.

Тогда матрица А является невырожденной.

Матрицы, обладающие свойством (1), называются матрицами со строгим диагональным преобладанием

(8ББ-матрицами). Их естественным обобщением является класс матриц с обобщенным диагональным преобладанием (вББ), определенный следующим образом:

Определение 1. Матрица А = [а^ ] е Спхп называется вББ-матрицей, если существует невырожденная диагональная матрица W такая, что AW является 8ББ-матрицей.

Введем несколько определений для матрицы

А = [ау ] е Спхп .

Определение 2. Матрица (А) = [тук ], определен-

ная как

(A) = [mljk ] е Cn

m,, =

IK- i i=j

- a,,

i* j,

называется матрицей сравнения матрицы А.

Определение 3. Матрица A = [aj ] е C

\üj > 0, i = j

называ-

ется M-матрицей, если

aj < 0, i * j,

обратная мат-

рица А" >0, т.е. все ее элементы положительны.

Очевидно, что матрицы из класса вББ также являются невырожденными матрицами и могут быть

1Работа частично поддержана Министерством образования и науки Сербии, грант 174019, и Министерством по науке и технологическому развитию Воеводины, гранты 2675 и 01850.

найдены в литературе под названием невырожденных Н-матриц [4]. Их можно определить с помощью следующего необходимого и достаточного условия:

Теорема 2. Матрица А = [ау ]е сихи является Н-

матрицей тогда и только тогда, когда ее матрица сравнения является невырожденной М-матрицей.

К настоящему времени уже изучены многие подклассы невырожденных Н-матриц, но все они рассматриваются с точки зрения обобщений свойства строго диагонального преобладания (см. [5] и ссылки в ней).

В данной работе рассматривается возможность выйти за пределы класса Н-матриц посредством обобщения 8ББ-класса иным образом. Основная идея заключается в том, чтобы продолжать использовать подход масштабирования [5, 6], но с матрицами, которые не являются диагональными.

Рассмотрим матрицу А = [ау ] е спхп и индекс

к е N.

Введем матрицу

и

1 о 0 1

оо

о о

a1k

akk a2k akk

1

ank

akk

... 0 ... 0

.о

.1

r-1

ieN ,i * Ii

r (A):= £ a R (A):= £

jeN, j *i f

аk (A):= 2 aj

jeN {

aik (A)

aik akj

akk

ajk akk

qi(A) := 2

jeN, j *i

aikakj

akk

ßk (A) := £ и yk (A) := aü - ^

jeN akk

akk

(2)

(3)

(4)

-1

Легко проверить, что элементы матрицы Ьк АЬк имеют следующую форму:

(L k ALk)y =

ßk (A), У k (A), akj,

а k (A),

likakj akk

i = j = k, i = j * k,

i = k, j * k, i * k, j = k,

, a inöaeüiüö neö^äyö.

Если применить теорему 1 к описанной выше матрице Ьк АЬк1 и ее транспонированной, то получим две основные теоремы.

Теорема 3. Пусть дана любая матрица

А = [ау ] е спхп с ненулевыми диагональными элементами. Если существует к е N такое, что > Гк (А), и для каждого г е N \ {к} ,

ßk (A)

yk (A)

> qf (A) +

ak (A)

(5)

то матрица А является невырожденной.

Теорема 4. Пусть дана любая матрица

А = [ау ] е спхп с ненулевыми диагональными элементами. Если существует к е N такое, что > Як (А), и для каждого г е N \ {к},

ßk (A)

yf (A)

q (A)+ki;

(6)

То матрица А является невырожденной. Возникает естественный вопрос о связи между

я

матрицами из предыдущих двух теорем: Ь^ - БОО -матрицами (определенными формулой (5)) и

с

Ьк - БОО -матрицами (определенными формулой (6)) и классом Н-матриц. Следующий простой пример проясняет это.

Пример. Рассмотрим следующие 4 матрицы:

и рассмотрим матрицу Ьк АЬк , к е N, подобную исходной А. Найдем условия, когда эта матрица будет обладать свойством SDD-матрицы (по строкам либо по столбцам).

Всюду в статье для г,к еN := {1,2,.../?} будем использовать обозначения:

Ai =

A =

2 2 1 1 3 -1 1 1 1

" 2 11 -1 2 1 1 2 3

A 2 =

A, =

2 1 1

1 4 3

1 3 4

2 1 1 1 2 -1 1 1 5

Теоремы о невырожденности

Все они являются невырожденными:

Я

- А1 является Ь - БОО , несмотря на то, что не является Ьк - БОО для любого к = {1,2,3}. Она также не Н-матрица, поскольку (А^ 1 не является неотрицательной;

- А2 благодаря симметрии является одновременно ЬЯ - БОО и Ь<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и

Ь<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;

п

- А3 является Ь9 - БОО, но не является ни

J2

R

Lr - SDD (для k = {1,2,3}), ни Н-матрицей, поскольку (A3 ^ - также вырожденная;

- A4 является Н-матрицей, так как (A^ невырожденная, и ^A4) 1 > 0, хотя она не является ни LR - SDD , ни Lk - SDD для любого k = {1,2,3}.

Рисунок показывает общую связь между

R C

Lr - SDD , Lk - SDD и Н-матрицами вместе с матрицами из предыдущего примера.

A

-1

L k - SDD

Связь между lR - SDD, lC - SDD и

ад min(|au - r (A)|) '

ieN

(6)

Начиная с неравенства

-1к ALk Lk

Над

и применяя данный результат к матрице Ьк АЬ ^, получаем

Теорема 5. Пусть дана произвольная матрица А = [а-- ] е Спхп с ненулевыми диагональными эле-

то

ментами. Если А принадлежит классу - БОО, тогда

|акР

2

A-

1 + max^ i*к \акк\

Н-матрицами

Интересно отметить, что хотя мы и получили

С

класс ЬСк БОО -матриц путем применения теоремы 1 к матрице, полученной транспонированием матрицы Ьк АЬ^1, данный класс не совпадает с классом, полученным посредством применения теоремы 2 к матрице Ат.

Введем определения.

Определение 4. Матрица А называется { Ьк -БОО по строкам}, если АТ { Ьк-БОО }.

Определение 5. Матрица А называется { ЬСк -БОО по строкам}, если АТ { ЬСк -БОО }.

с»

Примеры показывают, что классы Щ - БОО,

ЬС-БОО , { Ьк - БОО по строкам} и { Ь^-БОО по строкам} связаны друг с другом. Таким образом, мы расширили класс Н-матриц четырьмя разными способами.

Применение новых теорем

Проиллюстрируем полезность новых результатов при оценке С-нормы обратной матрицы.

Для произвольной матрицы А со строгим диагональным преобладанием широко известная теорема Вараха (УагаИ) [7] дает оценку

min[|pf (A)| - тк (A), min(|yk (A)| - qk(A) - |af (A)|)]' i i (фf ii ii

Аналогичным образом получаем следующий результат для матриц Lk - SDD по столбцам.

Теорема 6. Пусть дана произвольная матрица A = [atj ] е сихи с ненулевыми диагональными элементами. Если A принадлежит классу Ьк -SDD по столбцам, тогда

Ik-lll <_ie#|akk|_

" " mln[|pf (A)| - Rf (AT), mln(|уk (A)|- qk (AT)- |aft |)]'

I I i ф f I I

Важность этого результата заключается в том, что для многих подклассов невырожденных H-матриц существуют ограничения такого типа, но для тех невырожденных матриц, которые не являются H-матрицами, это - нетривиальная задача. Следовательно, ограничения такого рода, как в предыдущей теореме, являются очень востребованными.

Литература

5.

7.

Levy L. Sur le possibilité du l'equlibre electrique C. R. Acad. Paris, 1881. Vol. 93. P. 706-708.

Horn R.A., Johnson C.R. Matrix Analysis. Cambridge, 1994. Varga R.S. Gersgorin and His Circles // Springer Series in Computational Mathematics. 2004. Vol. 36. 226 р. Berman A., Plemons R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. SIAM Series Classics in Applied Mathematics. 1994. Vol. 9. 340 р.

Cvetkovic Lj. H-matrix theory vs. eigenvalue localization // Numer. Algor. 2006. Vol. 42. P. 229-245. Cvetkovic Lj., Kostic V., Kovacevic M., Szulc T. Further results on H-matrices and their Schur complements // Appl. Math. Comput. 1982. P. 506-510.

Varah J.M. A lower bound for the smallest value of a matrix // Linear Algebra Appl. 1975. Vol. 11. P. 3-5.

Поступила в редакцию

4 февраля 2013 г.

1

к

ад

ад

ад

1