Об обратной граничной спектральной задаче для телеграфного уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

раздел МАТЕМАТИКА

УДК 517.91

ОБ обратной граничнои спектральной задаче

ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ © Н. Ф. Валеев*, Л. Р. Валеева

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, г.Уфа, 450074, ул. Фрунзе, 32.

Тел./факс +7(374)273 66 35.

E-mail: valeevnf@yandex. ru

В статье исследуется обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях по определению 4-х коэффициентов граничных условий. К данной задаче сводится проблема определения типа заземления в концах однородного электрического проводника по известным значениям собственных колебаний.

В работе показано, что неизвестные коэффициенты можно восстановить по 4 собственным значениям. Также исследована прямая спектральная задача: установлена дискретность спектра, полнота собственных функций.

Ключевые слова: дифференциальные операторы, обратная спектральная задача, динамическая система, система нелинейных уравнений.

1. Постановка задачи. В данной работе

рассматривается проблема восстановления

краевых условий по известной части дискретного спектра в задаче об электрических колебаниях в однородном проводе, в предположении, что сопротивление очень мало и потерями через изоляцию можно пренебречь.

Математическая постановка задачи об электрических колебаниях [1] без учета начальных условий сводится к нахождению решений телеграфного уравнения:

2 -

x є (0; l):

удовлетворяющих

условиям

следующим

C

ix (0, t) = CLo itt (0, t) + —i(0, t)

C

(1)

граничным

(2)

L0 и емкость C0 .

- 1Х (I, г) = сь01а (I, г) + г) (3)

С0

Граничные условия (2), (3) описывают

ситуацию, когда левый конец провода длины I заземлен через сосредоточенную самоиндукцию соединенные последовательно, а правый - через сосредоточенную самоиндукцию Ь0 и емкость С0 . Далее для определенности будем считать I = 1.

Известно, что эта данная динамическая система обладает собственными колебаниями, которые описываются собственными значениями следующей задачи Штурма - Лиувилля:

у(х, Л) + Л2у(х, Л) = 0, (4)

у(0, л)- (¿0+м2 М0,1=0 , (5)

/(1, Л) + (^ + й2Л )у(1, Л) = 0. (6)

Си L -

V 2 ^ 0 С0 2

коэффициенты емкости и самоиндукции, рассчитанные на единицу длины провода, 0 < х < 1.

Исходя из физического смысла задачи коэффициенты Ь0, Ь2 и d 0, d 2 должны быть

вещественными и более того ¿0 > 0, Ь2 < 0 и

d0 > 0, d2 < 0.

Теперь сформулируем постановку обратной задачи для (1)-(3) - задачу определения

коэффициентов граничных условий по известным значениям частот собственных колебаний системы (1)-(3). А именно, пусть известны различные собственные значения данной задачи (4)-(6). Требуется найти возможные значения коэффициентов Ь0, Ь2 и d 0, d 2.

Отметим, что аналогичные задачи

рассматривалась ранее в ряде работ других авторов (см.[3]-[6]). Но в этих работах, как правило, неизвестные параметры содержатся только на одном из граничных условий. Случай, рассматриваемый в данной статье, существенно усложняется тем, что явные формулы для коэффициентов получаются из нелинейной системы уравнений.

2. Спектральные свойства прямой спектральной задачи.

Для исследования спектральных свойств краевой задачи (4)-(5), следуя [2], приведем краевую задачу (4)-(6) на собственные значения к эквивалентному виду.

Обозначим Н = Ь2 (0,1)® С2 - сепарабельное гильбертово пространство элементов вида у = (у(х),а,Ь), где у(х)е Ь2(0,1), а,Ь е С со скалярным произведением

(у, г )Н = } уЩХ)ь + а ■ С+ь ■ d, где 2 = (44 с d)

Рассмотрим в Н оператор Ь° : Н ® Н, определенный следующим образом:

( - /( х) ^

Ь0( У) = - /(0) + Ь0 у(0)

У,(1) + d 0 У(1)

областью

определения

в(ь° ) = {(y(x),У(0) у(1))е Н | У(х)е с2[0, 1] ЬУ е Н}.

Оператор Ь° замыкаемый. Обозначим через Ь минимальное замыкание Ь°. Далее рассмотрим задачу на собственные значения Ьу = Л2Бу , (7)

(I 0 0 ^

где

Б = 0 - Ь2 0

ч 0 0 - ¿2^

Установим связь между задачей (4)-(6) и (7), а именно покажем, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Собственные значения задачи (4)-

(6) и операторного уравнения (7) совпадают.

► Пусть Л - собственное значение задачи (4)-(6). Тогда 3 у* такой, что выполняется (4)-(6). Тогда у* = (у, (х), у*(0), у*(1))е Б(Ь) и Ьу* = Л Бу*. Следовательно, Л* - собственное значение задачи

(7) .

Теперь пусть т* - собственное значение

задачи (7). Тогда 3 у* = (у*(х),у*(0),у*(1)) такой, что

Ьу, =т.2 Бу*. Отсюда

у%х, Л) + Л у(х, Л) = 0,

- у'(0, Л) + (Ь0 + Ь2 Л2 )у(0, Л) = 0 , у'(1, Л) + + d2 Л2 )у(1, Л) = 0,

т.е. т* - собственное значение задачи (4)-(6). ◄

Таким образом, изучение спектральных

свойств задачи (4)-(6) можно свести к исследованию оператора (7).

Теперь установим некоторые свойства спектра задачи (7).

Теорема 2. Собственные значения задачи (7) т = Л вещественны и неотрицательны.

► Пусть т = Л2 - собственное значение

задачи (7), тогда у такой, что (ь-Л2Б)у = 0.

Тогда

1 ______ ____________________ ________________

(-Ьу-у)н = -| у(Х)/(Х)^Х + (- у'(0)+Ь0 у(0))/(0)+ (/'(!)+do/(!))/(!) =

0

=-У'(Щ 0 + | У'(Х)7&Х - /(°Ш+Ь0 АШ+/Ш+do у(1)у(Г)= 0

1 и

= /| у'(х)|2 * + Ь0/(0)|2 + у(1)|2

0

1 ______ ______________ ___________

(БУ, У)Н = I У(хШ* - Ь2 у(0)у(0) + d 2 У(1Ш =

0

1

||у(х)2^-¿^у(0)2 -d2\у(1)2. В силу

вещественности коэффициентов и условий Ь0 > 0 ,d0 > 0 и Ь2 < 0,d2 < 0 величины (Ьу.,у.), (Б/. , у. ) - вещественны и неотрицательны. Откуда

и вытекает, что ц = Л = (ЬУ, У )н > п. ◄

■> 0.

(б/ у )Н

Далее покажем, что собственные значения задачи (4)-(6) совпадают с собственными частотами исходной колебательной системы (1)-(3). Для этого достаточно доказать, что любое решение изучаемой нами задачи для телеграфного уравнения можно представить в виде сходящегося ряда по собственным функциям задачи (4)-(6).

Найдем резольвенту (ь -Л2б)1. Для этого

решая уравнение (ь-Л2Б)у = /, где / =

- у ,,(х)-Л2 у(х) = / (4

- у '(0,Л)+(Ь0 + ¿2Л )у(0,Л) = / (0) , у '(1,Л)+^ 0 + d 2 Л )у(1,Л) = / (1)

( / (х)1 / (0) / (!).

получим следующее резольвенты:

(ь-Л2Б)1 / = I с1| совЛх + (Ь0 + Ь2Л)

представление ят Лх

(8)

для

Л

Л(х -#)

■У(Х)йХ ; С1;

с/ сояЛ + (¿0 + ЬЛ ^ - / (0) г!ЛЛ +

Л

где

А 1)+/^0) +^2Л2!(-/( о) я‘ЛЛ-|я‘пЛ^^х)й?х I(9)

-ЛятЛ+(Ь +Ь^Л )сояЛ+(й0 +й^Л | сояЛ+(Ь) +Ь^Л)

\ятЛ

С =-

Теорема 3.

Оператор (ь -Лб) 1 : Н ® Н компактный самосопряженный.

► Докажем компактность операторов:

А1 : Н ® Ь2 (0,1),

А/ - с(со«л.+(¿0 + ЬЛ ^I - /(0) +1

А2: Н ® С , А2/ = С, (/),

А3 : Н ® С ,

А3 /=^ соя л+(¿0 + ^л )Л) - / (0) / т

Операторы А2 и А3 являются одномерными

(линейные ограниченные функционалы), следовательно, они компактные. Оператор А1 разобьем на

\ят Лх

три части: А1 = с11 соя Лх + (ь0 + Ь2Л2)

Л

с

т. е

Л

Л

и

a; =-f (о) ssl. л;. ¡ s

ll(x -£)

f (XdX

Я - 0 я

Операторы А1, Af - одномерные и ограниченные, следовательно, они компактные операторы из H ® L2 (0,1) ■ Оператор

А3 : L2 (0,1)® L2 (0,l) является оператором Гильберта-Шмидта. Таким образом, А1 -

компактный оператор.

Симметричность (l -Л2 в)-1 вытекает из симметричности оператора (l - Л2в): H ® H ■

Покажем, что (l -Л2 в) симметричен. Оператор В симметричен и ограничен при вещественных Л2, Л2B - самосопряженный оператор.

Докажем симметричность оператора L . Пусть y, z є D(l), тогда

1 _ _

(Ly >y )h = -J y" z dx + (y'(0) + 6o.y(0))z(0)+ (y'(1)+ d^.y(1))z(1) =

o

1

= -y'(1)z(1) + y'(0)z(0) + J y'z'dx + b0 y(0)z(0) - y'(0)z(0) + d0 y(1)z(1) +

0

_ _______ _______ 1

+ yf(1)z(\) = y(1)zr(1) - y(0)zr(0) - J y z" dx +

0

_ _ 1 ___

+ b0 y(0)z(0) + d 0 y(1)z(1) = -J yz * dx +

0

+ y(0)(- z'(0) + b0 z(0))+ y(1)Z (1) + d0z(1)) = & Lz).

Т аким образом, (l - Л2 B )* = (l - Л2 B),

следовательно, ((l-Л2в)-1) = (l-Я2в)-1. Теорема доказана. ◄

Следствие. Спектр задачи (4)-(6) дискретный, его собственные функции полны в

L2 (0,1).

Доказательство вытекает из самосопряженности и компактности оператора (l -Л2в)-1 при Л2 ї s(L).

Из выше доказанных свойств оператора L и его связи с задачей (4)-(6) вытекает полнота

семейства стоячих волн исходной задачи (1)-(3) и возможность представления любого решения

задачи Коши для (1)-(3) в виде суперпозиции собственных функций задачи (4)-(6). Кроме того, мы установили, что между собственными значениями задачи (4)-(6) и собственными

колебаниями динамической системы (1)-(3) имеется взаимно-однозначное соответствие.

3. Вывод формул для решения обратной спектральной задачи. В данном пункте мы при достаточно широких предположениях покажем, что сформулированная обратная спектральная задача имеет решения, и выведем аналитические формулы для вычисления неизвестных коэффициентов по 4 собственным значениям.

Пусть известны 4 собственных значения ЦЦ краевой задачи (4)-(6). Выведем

уравнения для вычислений значений коэффициентов Ь0, Ь2 и а0, d2.

Далее рассмотрим линейно независимые решения уравнения (4): у1(х,Л) = со1, > (Х,Л)= *[пЯх , Удовлетворяющие начальным условиям > (0,1) = 1,

>1(0,1) = 0, у2(0,1) = 0, у2(0,1) = 1.

Т огда общее решение имеет вид

у(х,1)= С1(1)>1(х,1)+ с2 (1)>2 (х,1) .

В силу граничных условий (5), (6) имеем: с1 у (0,1)+с2 >2 (0,1)- (Ь0 + Ь21 )(с1 у1 (0,1)+с2 у2 (0,1)) = 0,

с1>1(1,1) + с2 >2(1,1) +(а 0 + а 21 (1,1) + С2 >2 (1,1)) = 0,

т. е.

(ь0 + М2) 1 у с ,=0.

yí(l,1)+(d0 + d 21 )>’i(l>1) У2 (l,1)+(do + d 21 )y 2 (l,1)Jlc:

Собственные значения 1k задачи (1)-(3)

являются корнями уравнения Д(1) = 0, где

-(bo + М2) 1

yí(l,l) + (do + d22 )y (l,l) y2 (l,l)+ (do + d22 )>2 (1,1

-(bo + b21) 1

-1 sin 1 + (d 0 + d 212 )cos 1 cos 1 + (d 0 + d 212)

D(l) =

=- co1b0 + ¿¡0)+1co1(b2 + 4)+ ■Sin1 ¿0^0 +1sin1b0d + b2d -1)+1 sii1b2d

l

Возьмем четыре различных собственных значения 1 и, подставив их в характеристическое уравнение, получим систему нелинейных уравнений

Д(4 )= 0, к = 1,2,3,4.

Запишем эту систему в виде:

Ж (ЩД4 )• 2 = - / • (Ь0 d 2 + Ь2 d0 -1), где

W Ц.Ц ) =

cos l l cos l

cos 12 l cos 12

cos 13 12 cos 13

cos 1 1 cos 1

sin

1; sin13 ~ sin 14

13 sin 1 1 sin 1 13 sin13 1 sin1

'b0 + d 0 ^ ^ 1 sin 1

b1 + d1 . f = 12 sin 12 . (10)

b0 ■ d0 13 sin 13

ч14 sin 14 у

Далее будем считать, что detW ф 0. Тогда

8 = 8 ),=1,4 =-^ -1 (ЦЦ )• /(ЦЦ) и, следовательно, Г = 8 • (Ь0 а2 + Ь2-1).

Итак, мы показали, что если заданы

собственные значения 11,12, 13,14,

удовлетворяющие условию detW ф 0, то исходная задача сводится к решению системы алгебраических уравнений.

Покажем, что полученную систему алгебраических уравнений можно решить в явном виде. Исходную систему

а (АЛ + -1)=Ь0 + ^

82 (Ь0И2 + Ь2И0 - 1)= Ь2 + ^

83 (Ь0И2 + Ь2И0 - 1)= Ь0 • d0,

84 (Ь0И2 + Ь2И0 - 1)= Ь2^

применив замену

Ь0 = х + у,

а 0 = х - >,

Ь2 = и + V,

(11)

приведем к следующему виду 81 (2(хи - уу)-1)= 2 х,

8 2(2(хи - Уv)-1) = 2и 8з(2(хи -у^)-1) = х2 -у\

84(2(хи-^)-1) = и2 -V2.

Теперь при условии 81 ф 0 решение последней системы можно свести к нахождению корней полинома

2(812Я4 + Я"283 -8182 У + 81(1-8182 -48з84 У + й2х+1 й3 = 0.

Отметим, что в силу налагаемых на Ь0, Ь2, а 0, а 2 условий х > 0.

Итак А = х + 1х2 - ^ х , = х + 1х2 - 283

81

28 з

81

^ х, а 2 = 82 х +14 х2 - ^ х; 81 V 81 81 81 у 81 81

При 81 = 0 в силу ь0 > 0, Ь2 < 0 и а0 > 0, а2 < 0

следует, что

Ь0 = а0 = 0 ,

а2 =-1Г Ч^ + 84 .

Рассмотрим численный пример, рассчитанный при помощи полученных формул и пакета Мар1е.

По четырем собственным значениям 1 = 1.485822434, 12 = 5.327774787, 13 = 8.264886800,

1 = 11.30017108 задачи

у//(х,1) + 12 у(х,1) = 0, у'(0,1)-(Ь0 + Ь1 )у(0,1) = 0 , у'(1,1)+(а 0 + а 212 )у(1,1) = 0

0 I ^2

восстановим краевые условия с учетом физической сути параметров.

1) Ь0 = 3.000000194

Ь2 = -0.00000000008 ,

а0 = 5.000000998 а = -2.000000473

2)

Ь = 5.000000998

Ь2 = -2.000000473,

а0 = 3.000000194 а2 =-0.00000000008.

Кроме выписанных выше значений коэффициентов, имеются решения, не удовлетворяющие условиям физичности.

Решения 1)-2) совпадают с точностью до преобразования вида х ®1 - х (выбора направления системы координат). Следовательно, полученное

А = 3 ь = 0 а0 = 5 И = -2 решение 0 , 2 , 0 , 2 означает, что

один из концов провода заземлен через емкость С0 = С /3 , а другой - через соединенные последовательно сосредоточенную самоиндукцию Ь0 = 2Ь и емкость С0 = С/5, где С и Ь - известные коэффициенты емкости и самоиндукции, рассчитанные на единицу длины провода.

Полученный результат позволяет проводить диагностику условий заземления концов провода в недоступных для визуального осмотра участках по собственным частотам колебаний напряжения, а также подбирать условия заземления провода для обеспечения нужного спектра частот колебаний напряжения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

2. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1983, №9. С. 190-229.

3. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. педагогич. ин-та, 2001.- 499 с.

4. Юрко В. А. О краевых задачах с параметром в краевых условиях // Изв. АН АрмССР. Мат. 1984. 19. № 5. С.398 -409.

5. Ван дер Мей К., Пивоварчик В. Н. Обратная задача Штурма-Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями // Функц. анализ и его приложения. 2002. Т. 36. № 4. С.74-77.

6. Ахтямов А. М. // Дифференц. уравнения. 1999. Т.35. № 8. С. 1127-1128.

и 2 = и - V

х

Поступила в редакцию 21.06.2006 г.