Модельная обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля на геометрическом графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

раздел МАТЕМАТИКА

УДК 517.4+519.71

МОДЕЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ

© Ю. В. Мартынова

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (347) 273 6 7 74.

E-mail: [email protected]

Исследуется модельная обратная спектральная задача для оператора Штурма—Лиувилля на геометрическом графе. Поставленная задача сведена к конечномерной многопараметрической обратной спектральной задаче для оператора. Доказана теорема о монотонной зависимости спектральных данных от исследуемых параметров. Рассмотрен алгоритм численного решения поставленной задачи.

Ключевые слова: дифференциальные операторы, обратная спектральная задача, геометрический граф.

Введение

Под обратной спектральной задачей для оператора Штурма—Лиувилля понимается следующее: рассматривается дифференциальное уравнение

1 (У) = -У " + <?( х) У = ІУ, (1)

с двумя однородными граничными условиями

Ui( у) = 0, U 2( у) = 0.

(2)

Спрашивается, можно ли по спектру краевой задачи (1, 2) определить потенциальную функцию д(х) и коэффициенты граничных условий. Такие задачи имеют многочисленные приложения, например, в теории колебаний.

В работе формулируется и исследуется новая постановка обратной спектральной задачи для дифференциальных операторов типа Штурма— Лиувилля, заданных на геометрических графах. Близкие по постановке задачи рассматривались в работах [4, 7 и ссылки в этих работах].

Рассматривается модельная задача об определении условий заземления на концах электрической сети в виде следующего геометрического графа Г:

Постановка задачи и методы решения этой задачи могут быть перенесены на произвольные геометрические графы типа «дерево» (без циклов).

Постановка модельных спектральных задач

На каждом фрагменте сети в виде геометрического графа Г задается уравнение электрических колебаний в проводнике длиной 4 с распределенными емкостью и индуктивностью

U)„(xk,t) = a\Uk)м.(xk,t),xk є (0;lk),k = 1,3, (3)

где a2 =-

L0C0

., C0 и L0 - коэффициенты емкости и ин-

дуктивности, рассчитанные на единицу длины провода Граничные условия описывают ситуацию, когда к-ый проводник заземлен через сосредоточенную самоиндукцию Ьк и емкость Ск, соединенные последовательно:

С

(ик) * (4, ^) + С 4 и)«(4, ^)+Сг ик (4, г) = 0, (4)

С

к = 1,3.

В общем узле задаются условие непрерывности потенциала и условие баланса токов, известные как законы Кирхгофа

ГШ0, г) = и 2(0, г) = и3(0, г);

3 (5)

X и) ^ (0, г) = 0.

к =1

Теперь от начально-краевой задачи (3-5) перейдем к задаче на собственные значения.

Будем искать собственные колебания динамической системы в виде ик (хк, г) = вгШук (хк ). Тогда

задача (3-5) примет вид

,,2 ___________________________

Ук(хк)+—Ук(хк) = ^ хк е (0; 1к ^ к = 1,3;

а

С —

Ук (4) + С - С0 Ь—2) ук (4) = 0,к =1,3;

Ск

[ У1(0) = У2(0) = У3(0);

| X Ук (0) = 0.

I к=1

Введем обозначения:

л — „

1 = ~Г > 0, a C

Р1 = — > 0, C

C

Р3 = — > 0, ^3 -

2

C

Р5 = — > 0, ^5 - ’

Р2 =-C0L, Гт = -С0Lxa2 =-L < 0, A L0

p4 = -С0L2 — = -С0L2a2 = - ^ < 0,

Р6 =--0 L3— = -c0 La2 =- -3 < 0.

1

0

Таким образом, получим краевую задачу УІ+ 1у1 = 0, 0 < х1 < ¡1;

<У2+1У2 = 0 0 < х2 < ¡2 уЗ+ЛуЗ = 0, 0 < х3 < ¡3

где

(6)

(7)

(8)

у 2 и — ■л'2 — *2 =

У3 = 0, 0 < х3 < /3;

с граничными условиями

\ у! (11)+(Р1 + Л-Р2 )У1 (11) = 0;

| У2 (12 ) + (Р3 + 1Р4 )У 2 (12 ) = 0;

1 у3 (13)+(Рз + ДРб )У3 (13) = 0; и условиями в общей точке У1(0) - У2(0) = 0;

У1(0) - Уэ(0) = 0;

1у!(0) + у2(0) + у3(0) = 0.

Исходя из физического смысла задачи, коэффициенты р1, р2, рз, р4, р5, р6 должны быть вещественными, более того,р1>0,р3>0,р5>0 ир2<0,р4<0,р6<0.

Отметим, что начально-краевая задача (3-5) и соответствующая спектральная задача достаточно хорошо исследованы и в более общем виде в работе [4], в частности, для случая графа типа «дерево» доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши, для спектральной задачи доказаны теоремы о дискретности спектра и полноте собственных функций.

Следуя работам [1, 6], представим краевую задачу (6-8) в специальном пространстве. Обозначим через Н = Ь2(0;11)®Ь2(0;12)®Ь2(0;1)®С3 сепарабельное гильбертово пространство элементов вида У = (У1(Х1),У2(Х2),У3(Х3),а,Ь,с) , где Ук (хк ) е Ь2(0Л ), а, Ь, с е С , со скалярным произведением

(У,2) = X [ук(хк)7к(хк)ахк+а а+Ъ е+с і к=1 ^

2 = (21(х1),22(х2),23(х3),а,Є,£)Є И- РаССмоТрИм в Н ОПЄ-ратор в0 : Н ® Н , определенный следующим образом

С у1( xl, X) ^

B0(X)y =

y 2( x 2,Л) у3( x3, Л) y'l(ll) y 2(l 2)

У 3 (l3 )

где y =

г Уі( ^

У2( X2,^) Уз( ъЛ) У1 (l1) y2 (l2 ) Уз(1з)

Введем в рассмотрение пучок операторов Ь(Л,р): Н ® Н такой, что

А1, Р) = В0 + РА + Р2ХВ2 + Р3В3 + Р4ХВ4 + Р5В5 + РбЛВб + ЛВ7 =

= (В0 + Р^В1 + Р3В3 + Р5В5 ) + Л(Р2В2 + Р4В4 + РбВб + В7 X (9)

где

Г 0 o o o o 0' ' 0 o o o o 0'

0 o o o o 0 0 o o o o 0

0 o o o o 0 0 o o o o 0

B3 B4 =

0 o o 1 o 0 0 o o o o 0

0 o o o o 0 0 o o o 1 0

ч 0 o o o o 0у ч 0 o o o o

г 0 o o o o o '1 o o o o 0 ^

0 o o o o o 0 1 o o o 0

0 o o o o o 0 o 1 o o 0

; B7 =

0 o o o o o 0 o o o o 0

o o o o o o 0 o o o o 0

,0 o o o o 1 ,0 o o o o 0 у

Мы рассматриваем оператор (9), поскольку исходная краевая задача (6—8) может быть записана в виде

г уГ( xl) А у2(X2) у3( x3) y1(ll) у2(і2)

У3 (l3) у

г

+( Pi+Лp 2)

0

0

0

У1 (ll)

o

o

л

í

+ (P3 + 4 )

o o o o

У 2 (l2 ) o

л

A

+( P5 +Л?6)

o o o o o

Уз(1з) у

л

+ Л

Г Уі( xl) л У2( X2)

Уз( X3)

o

o

o

Г 0 Ї o o o o o

Суть прямой спектральной задачи для пучка операторов Ь{Л, Р) состоит в нахождении собственных значений этого пучка операторов.

Обратная спектральная задача для пучка операторов (9) состоит в нахождении всевозможных значений вектора р = (р р р р р р) коэффициентов граничных условий (8), при которых наперед заданные числа Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6 являются собственными значениями краевой задачи (6)—(8).

Сведение задачи к МПОСЗ для оператора в конечномерном пространстве

Обозначим через ик(хк,Х) и ук(хк,Х), к = 1,3 линейно-независимые решения соответствующего к-го уравнения из (б). Тогда любое решение к-го уравнения можно записать в виде

У1 (х, Л) = С (Л, РК(х1 , Л) + С (Л, р>1 (х2, Л);

• У2(х2,Л) = С12(Л, р)и2(х2,Л) + С22(Л, р)у2(х2,Л); (10)

У3 (х3, Л) = С3 (Л, р )и3 (х3, Л) + С23 (Л, р )уЗ (х3, Л).

Подставим фундаментальную систему решений (10) в условия (7, 8), получим систему из шести уравнений:

С і1 (1 Л) + С (1, Jp)v1(ll, Л) +(рі + Яр 2 )(С1 (1, ,р)Мі (1і, а;> + с (1, р )Уі (1і, 1)) = 0;

С2(Л, р )и2(/2,Л) + С2(Л, р >2(/2,Я) + (Рз + Лр4)(С12(Л, р )и2(12,Л) + С22(Л, р >2(/2,Л)) = 0;

С13 (Л р)и3 (/3 , Л) + С2 (Л р>2 (/2 , Л) + (р5 + Л )(С13 (Л р)и3 (/3 , Л) + С2 (Л р)v3 (/3 , Л)) = 0;

С (Л, /5 )и1 (0, Л) + С (Л, p5)v1 (0, Л) - С12 (Л, р)и2(0, Л) + С (Л, р^2 (0, Л)) = 0;

С]1(Л, рз)и1(0, Л) + С^(Л, рз )v1(0, Л) — С13(Л, р)и3(0, Л) + С23(Л, рз )v3(0, Л)) = 0;

С (Л, р )и[(0, Л) + С (Л, р )v1/(0, Л) + С12 (Л, р )и2 (0, Л) + С22 (Л, р )v2 (0, Л) +

+ С13 (Л, р)и3 (0, Л) + С23 (Л, р ^3 (0, Л) = 0.

Эту систему уравнений можно представить в виде векторно-матричного уравнения

В(Л, р)С = [В0 (Л) + £ ркБк (Л)]С = 0, (11)

к=1

где

С = №, р5);С1(Л, р );С12(Л, р );С22(Л, р);С3(Л, р); С23(Л, р);

В0(Л) =

'и'1(/1,Л) ^'(/1,Л) 0 0

0 0 и2(/2,Л) v2(/2,Л)

0 0 0 0

и1 (0, Л) v1 (0, Л) — и2 (0, Л) — ^(0,Л) и1(0, Л) v1 (0, Л) 0 0

ч и1(0,Л) ^(0,Л) и2(0,Л) ^(0,Л)

0

0

и3(/3,Л)

0

0

0

v3(/з,Л)

0

— и3 (0, Л) — v3(0,Л) и3 (0, Л) v3(0,Л) ,

В!(Л) =

Вз(Л) =

В5(Л) =

/ и1 (/1,Л) 0 0 0 Л,) 0'

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0, 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0,

^ 0 0 0 0 0 0'

0 0 и2 (/2, Л) ^(/2,Л) 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

V 0 0 0 0 0

' 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 и (/з,Л) ^(/3,Л)

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

V 0 0 0 0 0 0

В2(Л) =Л2 В1(Л);

В4(Л) = Л Вз(Л);

Вб(Л) = Л2 В5(Л).

Сформулируем многопараметрическую обратную спектральную задачу (МПОСЗ) для оператора В(Л, р) ■ Требуется найти возможные значения вектора р = (р1, р2, рз, р4, р5, рб) коэффициентов граничных условий (7), при которых наперед заданные числа Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6 являются собственными значениями оператора В(Л, р). При этом набор чисел Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6 будем называть спектральными данными и обозначать Л .

Решение обратной спектральной задачи сводится к решению системы уравнений

В(1, р )С (I, р) = [Я0 (I) + £ ркВк (I )]С(1, р) = 0, (12)

к=1

} = 1,6

Обозначим Ь(Л, р) = а^[В(Л, р)]. Тогда решение МПОСЗ эквивалентно решению системы из 6 уравнений

Ь(Л], р) = 0, ] = 1,6. (13)

Пусть ej - ортонормированный базис евкли-

, — 6 дового пространства Е и ^(Л, р) = £ Ь(Л, р)е^.

j=l

Решение МПОСЗ р *, соответствующее спектральным данным Л = Л*, будем называть регулярным, если (Л* р*) = 0 •

ёр

Прямое исследование существования регулярных решений, их количества и нахождение всех решений для системы (13) в общем случае затруднительны, поскольку полиномиальные уравнения от переменных Pj имеют сложный вид. Поэтому преобразуем систему к виду, в котором координаты вектора р = (р1, р2, р3, р4, р5, р6) окажутся «разделенными» между собой, т.е. построим полиномы от одной переменной для каждой координаты вектора управления.

Обозначим через н6 = Е6 <8> Е6 <8> Е6 <8> Е6 <8> Е6 <8> Е6 тензорное произведение 6 экземпляров евклидовых пространств Е6. Пусть ^ - множество всех перестановок чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6} Если

0 = {1,1г,/3,/4,/5,/6}е О, положим о(к) = 1к, через

¡(ю) обозначим количество беспорядков (инверсий) в перестановке ю. Введем в рассмотрение оператор Д0 : Н6 ® Н6 следующим образом:

а0 = £(—1)7(в)В^Л) ® ВоКТ)(Л2) ® Бw(з)(Яз) ® Вю(4)(Л4) ® В^(5)(Л5) ® В^(б)(Лб)

Теперь воспользуемся следующим утверждением из работы [2]:

Теорема 1.

Пусть тапк(А0) = М0, тогда МПОСЗ имеет

ровно Ы0 регулярных решений.

Данная теорема дает исчерпывающий ответ не только о существовании, но и количестве регулярных решений рассматриваемой задачи.

Монотонная зависимость собственных значений от вектора управления Рассмотрим вопрос о монотонной зависимости собственных значений Ху, у = 1,6 от параметров рк, к = 1,6 . Данное свойство является характерным для обширных классов МПОСЗ и важным для построения численных методов решения МПОСЗ.

Под монотонной зависимостью мы понимаем

знакоопределенность величин <Л(р), к = 1,6.

<Рк

Пучок операторов Ь(Л, р) примечателен тем, что входящие в него операторы Вк, к = 1,6 являются неотрицательно определенными. Естественно ожидать, что следствием этого является монотонная зависимость собственных значений Ху, у = 1,6 от соответствующих параметров рк, к = 1,6 .

Теорема 2.

Пусть Л=Л(р ) = Л( ри Р2 , Рз , Р 4 , Р5 , Р6) -

произвольное собственное значение краевой задачи

(6)-(8). Тогда ф 0, к = 1,6 в области р\>0, <Рк

р3>0, р5>0 ир2<0, р4<0, р6<0.

Доказательство теоремы 2.

Для доказательства теоремы приведем задачу (6-8) к виду

Ь1(р,Л)у = ЛЬ2(р,Л)у, (14)

где Ll(p,X)y =

Г - уГ( Хі,Л) 1

- у2( т2,Л)

- Уз' (хз,Л)

y'l(ll) + Plyl(ll)

УІ (l2 ) + PзУ2(l2)

У'з(1з) + P5Уз(l3) у

Уі(Ті,Л) 1 ' Уі( Ti, Л)

Уі( Х2,Л) Уі( Т2,Л)

Уз( хз,Л) Уз( Т3,Л)

- P2 У1 (l1) ; y = Уі(11)

- P4У2 (l2 ) У2 (l2)

P6 Уз(1з) у ч Уз(1з)

Li( P,Л)y =

Исследуем методами теории возмущений уравнение (14).

Зафиксируем набор параметров р* = (р1*,р2*,рз*,р4*,р5*,рб*) и придадим малое

возмущение одному из параметров. Не ограничивая общности, будем считать, что малое возмущение приданорі*, т.е. ре = (р1 * +е,р2*,р3*,р4*,р5*,р6*).

Если є = 0, то получим в точности исходную задачу на собственные значения.

Далее будем искать решение возмущенной задачи в виде ряда по степеням є. Для этого разложим произвольной собственное значение X и соответствующий собственный вектор у в формальные ряды по степеням є:

У =

Л= Л(0)+єЛ'(0) + .. = Л(0) +еЛ(1) +... ;

г Уі(Х1,Л) ^ Г У1(0)(т1,Л) ^ Г Уі(1)(ті,Л) '

Уі(Х2,Л) у20)( т2,Л) у21)( т2,Л)

Уз(хз,Л) = 'у<0) +еу(1) +... = у30)(тз,Л) + е у31)(тз,Л)

Уі(11) уГй) Уі(1) (ll )

У2 (l2 ) у20)(іі) у21) (іі )

ч Уз(1з) у ч Уз(0) (із ) у ч У®(із) у

Подставим эти разложения в уравнение (14), учитывая, что

L1( Ре,Л)У =

- уГ( Т1,Л) ^ - У ( Л) 1 Г 0 1

- УІ(Т2,Л) - УІ(Т2,Л) 0

- У3(Т3,Л) - У3(Т3,Л) + e 0

Уі(1і) + Pi * У1 (1і) + ЄУ1 (1і ) y1(ll) + Pl * Уі(1і) Уі (1і)

yi(l2) + P3 * У 2 (l2 ) y2(l2) + P3 * У2(l2) 0

у3(1з) + P5* Уз(1з) у чу3(1з) + P5 * Уз(1з)у , 0 у

= Ll(p*, Л)~ + £Bl~.

4( ре, Л) у == 4( р*,Л)у-

Таким образом, уравнение (14) примет вид

(4( р*,Л) + еу1)(у(0) +еу(1) +...) = (Л(0) + еЛ(1) +...) р*,Л)(у(0) +еу(1) +...).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим бесконечный набор уравнений

Ьу(0) =Л(0) Ь2у(0); (15.1)

Ьу(1) + Ву1у (0) =Л(0) Ь2у (1) +Л(1) Ь2у (0); (15.2) Обе части уравнения (15.2) умножим скалярно на у <°>:

(Ьу (1) ,у(0)) + (В,у(0) ,у(0)) = Л(0) (Ь2~ (1) ,у(0)) + Л(1) Ьу (0),у(0)).

Поскольку операторы Ь1у Ь2 самосопряженные и линейные, то последнее равенство примет вид (Ду(0) -Л(0)Ь2у(0),у(1)) + (Ву (0),у(0)) = Лт(Ь2У(0),у(0)). Учитывая (13.1), получим

(Ду (0),у(0)) (0),у (0)).

+

Не ограничивая общности, положим У

dЛ(Р) _ (J~15?(0),у(0)) _

(0)

_1,тогда

Л(1) _-

dpi

( L У ^0) ~^0^) 3 2 2 2

( 2 У ’У Zi y2k(xk ¥Хк - Pl\yi(li)\ 0 - Р 4 | У 2 (l2 ^ - РбМ^!

> 0.

k _1

Учитывая физический смысл коэффициентов граничных условий, а именно р2<0, р4<0, р6<0, получим, что зависимость Л (р) монотонно возрастает при увеличении р}.

Аналогично докажем монотонную зависимость собственных значений от остальных параметров граничных условий рк, к = 2,6.

Например, придадим малое возмущение параметру р2*, т.е. ре = (р1*,р2 * +е,р3*,р4*,р5*,р6*) .

В этом случае Ь1( ре,Л)у == Ь1( р*,Л)у;

L2(ре,Л)У _

У1( Х1,Л) ^ ' У1( Х1, Л) ^ Г 0 ^

У2( Х2,Л) У2( Х2,Л) 0

Уз( Х3,Л) Уз( Х3,Л) - e 0

Р2У1(11) -еУ1 (l1) - Р2У1 (l1) с У1 (l1)

- Р4У2 (l2 ) - Р 4 У 2 (l2 ) 0

Рб У з (1з ) ; v - Рб Уз(1з) ; , 0 ;

_ L2(Р*,Л)У -£В2~?.

Тогда уравнение (14) примет вид

(Ь1( р5*,Л))Су(0) +£Р(1) +...) = (Л(0) + еЛ1 +...)(Ьг( р*,Л) -ДХу(0) + #(1) +...). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим бесконечный набор уравнений

Цу(0) = Л(0) Ь2у(0);

LJ(1) _ Л(0)L2y(1) + Л(1)L2y(0) - Л(0)В2у

(0).

Обе части уравнения (16.2) умножим скалярно на у(0):

(Ь1у (1),у (0)) = Л(0)( Ь2у «у (0)) + Л(1) (Ь2у (0),^у(0)) - Л(0) (В2у (0),у(0)).

Поскольку операторы Ь1у Ь2 самосопряженные и линейные, то последнее равенство примет вид

(Ь1у(0)-Л Ь2у (0),у(1)) + Л(0)( В2у (0),у(0)) = Л(1) (Ь2у (0),у(0)).

Учитывая (16.1), получим:

Л(0)( В2у (0),у(0)) = Л(1) (Ьу (0),у(0)).

(16.1)

(16.2)

У

Не ограничивая

(0)11 1

_1,тогда

Л(1) _

dЛ( р) dP1

_Л(0)

общности, положим

( ВгУ (0),У(0)) _

= Л(0)-

^У(0),У(0))

hM______________

Z JУ-2 (xk)dxk - Р2 |У1 (l1 )Г0 - Р*\У2 (l2)f - Рб\Уз (hf к _1

Как видно из последнего соотношения, если

Л(0) * 0, то Л(1) * 0, а это означает, что Л _ Л(Р)

монотонно зависит от параметра р2.

Докажем, что Л(0) * 0.

Предположим противное. Пусть Л(0) _ 0, тогда задача (4-6) примет вид

y1 _ 0, 0 < x1 < l1;

y2 _ 0, 0 < x2 < l2; (17)

y3 _ 0, 0 < x3 < l3;

с граничными условиями

(18)

(19)

у'й) + Р1У1(11) = 0;

У2(12) + РзУ 2 (12 ) = 0;

, уЗОз')+р 5 Уз(1з) =0; и условиями в общей точке

I У1(0) = у2 (0) = Уз(0);

1у1(0)+у2 (0)+Уз (0) = 0.

Общее решение уравнений (17) имеет вид

Ук = акхк + ьк, к = и. (20)

Подставим (20) в условия (19), тогда получим

(А = ь2 = ьз =Ь;

[а1 + а2 + аз = 0.

Учитывая последние соотношения, подставим (20) в граничные условия (18), получим систему а1 + р1(а111 + Ь) = 0; а2 + рз (а212 + Ь) = 0; (21)

аз + р5 (аз1з + Ь) = 0; а1 + а2 + аз = 0.

Эту систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными: а1, а2, а3, Ь перепишем в виде:

(1 + р111)а1 + р1Ь = 0;

(1 + р3/2)а2 + р3Ь = 0;

(1 + р513)а3 + р5Ь = 0;

a1 + a2 + a3 = 0.

Выпишем матрицу системы (22) и приведем ее к верхнему треугольному виду:

(22)

Г1 + Pll1 0 0 Pí 1 1+P1l1 00 Piл

D 0 1 + P3l2 0 P3 0 1+ P3l2 0 P3

0 0 í+ P5l3 P5 0 0 1 + p5l3 P 5

, 1 1 1 0 у , 0 1+P1l1 1+P1l1 Pl у

Г1 + Pll1 0 0 Pl 1

0 1 + P3l2 0 P3

0 0 1 + P5l3 P5

0 0 (1 + PihX1 + pA') - Pi(1 + pA') - P3(1 + Pik)у

'l + p1l1 0 0 Pi у

1 + P3l2 0 0

0

1 + P5l3 0

P3 P 5

d44 )у

где а44 = -р1(1 + рз12)(1 + р5/з) - рз(1 + рАХ1 + р5/з) - р5(1 + р^Х1 + рз12).

Определитель этой матрицы равен:

^ О = -(1 + р111)(1 + рз12)(1 + р513)[ р1(1 + рз12)(1 + р^З ) + рз(1 + р111 )(1 + р 5^3 ) + Рз(1 + РА )(1 + Рз^ )]< 0 поскольку р1>0, р3>0, р5>0.

Тогда получаем тривиальное решение системы (21): а1=а2=а3=Ь=0.

Значит, ук=0, к = 1,з, что, вообще говоря, противоречит наличию колебаний в рассматриваемой динамической системе.

Таким образом, для функции Л( р) получаем монотонную зависимость от нечетных рк (к=1, 3, 5) аналогично первому из рассмотренных случаев и от четныхрк (к=2, 4, 6) - аналогично второму.

Т еорема доказана.

О численном решении обратной спектральной задачи В данном пункте изложим одну общую идею численного построения всех решений многопараметрической обратной спектральной задачи в конечномерном евклидовом пространстве Еп. Этот метод основан на монотонной зависимости собственных значений от параметров задачи и является аналогом метода деления отрезка пополам.

Введем конус векторов к = {Х е Ят : х ^ 0 или

Х1 < 0} и конусный отрезок [а, Ь]к = {х е Ят : ак < хк < Ьк }. Пусть дан оператор:

В(р, Л) = В0 (Л) + рД(Д) + р2В2 (Л) + ... + РтВт (Л),

где самосопряженные линейные операторы В*: Еп ® Еп, к = 0,1,...,т < п аналитически зависят

от спектрального параметра Л е Я .

Обозначим через /(р),/2(р),...,/т(р) собственные значения оператора В(Л, р) при некотором значении вектора р Є Ят .

Постановка МПОСЗ для оператора В(Л,р): найти такое значение вектора р Є Кт из заданного

конусного отрезка [а, Ь ]К, чтобы

/(р),/(р),...,тт(р) были соответственно равны

наперед заданным числам Х1, Х2, ..., Хт - спектральным данным задачи.

Будем рассматривать функцию

/ (р) = (/(р),/^),...,/, (р)), которая обладает

свойствами:

1) т : К ® К, /2(р) є С‘(К);

2) /(р)- монотонная, т.е. (р) ^0, к = 1,т, ] = 1т.

Фк

Т акие МПОСЗ будем называть монотонными. Областью несуществования решений МПОСЗ для заданных спектральных данных

Л = (Л,Л2,...,Лт)є Лт будем называть область, в которой нет вектора р є Ят такого, что /(р) = Л .

Сформулируем достаточные условия для области несуществования решений МПОСЗ.

Теорема 3.

Если Лї [/(а),/(Ь )]К, тогда конусный отрезок [а, Ь ]К является областью несуществования

для МПОСЗ со спектральными данными Л є Кт . Доказательство теоремы 3. Если р є [а, Ь]К ,

то в силу монотонности т (р) Є [/ (а), / (Ь )] К . Поскольку Лї [/(а), /(Ь )] К, то по определению отрезок [а,Ь ]К является областью несуществования для МПОСЗ. Теорема доказана.

Кусочно-гладкую кривую I будем называть

монотонной кривой, если д1 (ґ) Є К .

дґ

Определим конусный отрезок [а, Ь ]К , в котором будем искать решения МПОСЗ. Возьмем точку с Є [а, Ь ]К , которая будет являться центром конусного отрезка и лежать на монотонной кривой, соединяющей точки а и Ь . Три точки (вершины а , Ь и центр С ) образовали два конусных отрезка [а, с ]к и [с, Ь ]К , которые являются подобластями конусного отрезка [а,Ь ]К . Поскольку у т-

2 т

вершин, то можно сформировать 2” подобластей [а,Ь ]К(‘), і = 1,2т , 2т 2т

тaких, что р|[а,Ь]К(і) = с и у[5,Ь]К(і) = [а,Ь]К .

і=1 і=1

Далее в каждом конусном отрезке [а,Ь]к,

г = 1,2т проверим выполнения условия теоремы 4. Если условие выполняется, то рассматриваемый конусный отрезок не содержит решений МПОСЗ, если же условие выполняется, то по вышеописанной схеме выполняем его разбиение и переходим к следующему конусному отрезку. Продолжив данную процедуру конечное число раз, получим локализацию областей существования решения с любой необходимой точностью. Применяя итерационный метод для каждой локализованной области существования, можно уточнить решения поставленной задачи до требуемой точности. Описанный алгоритм реализован в пакете МАТЬАБ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Валеев Н. Ф., Валеева Л. Р. Об обратной граничной спектральной задаче для телеграфного уравнения // Вестник Башкирск. ун-та. 2007. №з. С. з—11.

2. Валеев Н. Ф. Регулярные решения многопараметрической обратной спектральной задачи // Математические заметки. 2009. Т. 85. №6. С. 940—94з.

3. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма— Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1972. 220 с.

4. Покорный Ю. В., Пенкин О. В., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. Москва: Физматлит, 2005. 272 с.

5. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Валеев Н. Ф. Многопараметрические обратные спектральные задачи и их приложения // Докл. Ан. 2009. Т. 426. С. 1-4.

6. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 198з. №9. С. 190-229.

7. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Саратовский педагогический институт, 2001. 499 с.

Поступила в редакцию 20.01.2011 г.