Численное решение многопараметрических обратных спектральных Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1998-4812

Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №4

845

удк 517.4+519.71+519.688

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАТНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ

© Н. В. Валеев12, К. В. Трунов1*

1Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

2Институт математики с ВЦ УНЦ РАН Россия, Республика Башкортостан, 450008 г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

Тел.: +7 (347) 229 96 65.

*Етай: [email protected]

Рассматривается задача восстановления параметров линейного оператора по конечному числу собственных значений. Предлагается схема ее решения. Метод основан на сведении исходной задачи к задаче о совместном спектре семейства матричных пучков и позволяет найти все решения исходной задачи. На основе предложенного алгоритма разработан программный модуль на языке МайаЬ для исследования и построения решений многопараметрической обратной спектральной задачи в конечномерном евклидовом пространстве.

Ключевые слова: обратная спектральная задача, динамические системы, управление собственными частотами, математические модели, МайаЬ.

Введение

Рассматривается задача определения неизвестных параметров линейного оператора по конечному набору точек спектра - многопараметрическая обратная спектральная задача (МПОСЗ). Естественными источниками нашей постановки обратной спектральной задачи являются, с одной стороны, классические обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов, а с другой, прикладные задачи управления частотно-резонансными характеристиками различных технических устройств, описываемых линейными динамическими системами, и задачи вычислительной диагностики технических систем по частотам собственных колебаний.

Классическая теория обратных спектральных задач к настоящему времени нашла многочисленные приложения в задачах математической физики, химии и технических наук. Исследованиями в этом направлении занимались Н. Левинсон, М. Г. Крейн, Б. М. Левитан, В. А. Марченко, В. А. Садовничий, В. А. Юрко и другие (подробнее см. в [2, 5]). Тем не менее, классическая теория обратных спектральных задач не в состоянии охватить весь спектр прикладных проблем, в которых требуется по спектру собственных колебаний восстановить свойства объекта. Речь, прежде всего, идет, о тех случаях, когда мы не располагаем полным спектром собственных колебаний объекта, а лишь его конечной частью. К таковым можно отнести задачи, в которых требуется по конечному набору значений собственных колебаний системы найти параметры динамической системы, провести диагностику или идентификацию технической системы или же посредством доступных параметров объекта (динамической системы) придать ей те или иные частотно-резонансные характеристики (см. [3, 4, 6-9]). Все эти задачи, по существу, сводятся к обратным спектральным задачам для линей-

ных операторов, при том необязательно дифференциальных, в которых требуется по конечному числу собственных чисел оператора найти возможные значения неизвестных параметров системы. Такие задачи уместно называть многопараметрическими обратными спектральными задачами. Разумеется, такая формулировка задачи является весьма широкой, в частности, в ней даже не указывается вид зависимости линейного оператора от параметров, не описан класс этих операторов и т.д. Мы будем рассматривать задачу в следующем виде:

Пусть в п-мерном евклидовом пространстве Еп задано семейство да-параметрических операторов вида

В(р,Х) = Во(Л) + р1В1(Х) + ••• + РтВт(Л) где р = (р1,р2, - ,рт) ЕС™, линейные операторы Вк (X): Еп ^ Еп аналитически зависят от спектрального параметра Я Е С. При этих условия число ЛЕС будем называть собственным значением оператора В(р,А), если оператор [В(р,А)]-1 не существует.

Требуется найти возможные значения вектора р Е Ст т, при которых наперед заданные числа Л], Л2,..., Лда являются собственными значениями оператора В(р, Я).

Алгоритм решения задачи

Пусть Нт = Еп®Еп® — ®Еп тензорное произведение да-экземпляров исходных пространств Е, очевидно пространство Ида будет ят-мерным гильбертовым с соответствующей метрикой. В этом пространстве рассмотрим линейные операторы Лк: Ида ^ Ида заданные по нижеследующим формулам: В^) В2(Х1) —Вт-1(Х1) Вт(Х1) В1(^2) В2(%2) ...... Вт(Л2)

An =

BlUm) Bi(Äm)

Вт(^т)

®

846

МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

Д* =

°к-1 о11) ВМ

Вк&1)...

вк(Ъ)-

в,

г(Ъ) г(Ъ)

В1(Лт) ... Вк-1(Лт) в0(лт)

Dk (лт

)... Вт(Лт) Указанные выше операторы строятся по правилу обычного числового определителя, но вместо обычного умножения берется операция тензорного произведения операторов и в каждом тензорном произведении операторы строго следуют согласно их расположению в соответствующем столбце. В терминах этих операторов задачу построения решений многопараметрической обратной спектральной задачи можно свести к прямым спектральным задачам. Это вытекает из следующих утверждений, доказанных в работе [1].

Теорема 1. Пусть вектор р = (р1,р2,...,рт) является решением МПОСЗ , тогда существует нетривиальный вектор V е И™ такой, что для всех к=1,...,т

(рк А0- (-1)к Ак)у = 0 Теорема 2. Пусть векторы р = (р1,р2, ...,рт) и 7 е Ит являются совместным решением системы (ркА0-(-1)к Ак)У = 0, к=1,...,т . Тогда, если решения МПОСЗ изолированы, то р = (р-1^, р2,..., Рт) - решение МПОСЗ.

Таким образом, для того чтобы найти все решения МПОСЗ необходимо решить систему совместных прямых спектральных задач. На самом деле, при изолированности решений МПОСЗ, можно показать, что количество решений МПОСЗ в точности равно рангу оператора До: Ит ^ Нт и компоненты вектора р = (р1, р2,..., рт) следует искать среди нулей соответствующих многочленов от рк йеЬ(рк А0— (-1)к Ак) = 0 Алгоритм программного модуля построения решений МПОСЗ основан на теоремах 1 и 2.

Разработанный программный модуль обеспечивает ввод данных из файла, выбранного пользователем. Все матрицы, соответствующие операторам Б/А), должны быть сохранены во входном файле в виде единой матрицы вида:

ад) ад) ад) ...адо ад) ад) ад) ...в^)

(Лт) °2 \Лт) (Лт

Размерность соответствующих матриц и количество определяемых параметров вводится в соответствующем диалоговом окне.

В результате решения задач определяются векторы р = (р1,р2, ...,рт), которые предлагается сохранить в выбранном файле.

Выводы

Разработанная программа позволяет эффективно решать многопараметрические обратные

спектральные задачи. Но с увеличением размерности системы особенности реализуемого алгоритма приводят нас к решению систем уравнений огромной размерности, что требует большего процессорного времени и системных ресурсов (оперативной памяти).

Рис. 1. Ввод параметров задачи.

Рис. 2. Сохранение результатов решения задачи.

>\ Результат — Блокнот

Файл Правка Формат Вид Справка

|э1= -2.21249257475439+ 0.00009000 0000004 р2= -1.21249257475439+ 0.00000

р1= -2.21249257475439+ 0.00000000 000000-1 р2= -1.21249257475439+ 0.00000 999990000"1

р1- -2.55645780673092+ 0.00000000 900000 Ч р2- -1.55645780673092+ 0.00000 /00000000-1

р1- 0.00000000000000+ 0.00000000 000000*1 р2- 1.00099999999000+ 0.00009 000009999Ч

Рис. 3. Векторы р = (р1,р2, .~,Рт).

ЛИТЕРАТУРА

Н. Ф. Валеев, "Обратная спектральная задача для конечномерных операторов". // Уфимск. матем. журн., 2:2 (2010), 3-19

Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. //М.: Наука. 1984. 240 с.

Под ред. В. В. Болотина, Вибрации в технике: Колебания линейных систем. //М.: Машиностроение. 1978. 352 с. Коллатц Л., Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). //М.: Наука. 1968. 503 с. Юрко В. А., Обратные спектральные задачи и их приложения. //Саратов: Сарат. педагогич. ин-т, 2001. 499 с. Валеев Н. Ф., Об одной модели управления собственными колебаниями динамических систем. //Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2008. Т. 2. С. 45.

Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Валеев Н. Ф., Многопараметрические обратные спектральные задачи и их приложения.// Доклады Академии наук. 2009. Т. 426. №4. С. 457-460. Н. Ф. Валеев, Регулярные решения многопараметрической обратной спектральной задачи. //Матем. заметки, 85:6 (2009), 940-943

Грэхем М. Л. Глэдвелл // Обратные задачи теории колебаний. (2008), Изд-во РХД,Москва-Ижевск 610 с.

В

Поступила в редакцию 23.09.2016 г.

ISSN 1998-4812

BecTHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2016. T. 21. №4

847

NUMERICAL SOLUTION OF MULTIPARAMETER REVERSE SPECTRAL PROBLEMS

© N. F. Valeev1'2, K. V. Trunov1*

1Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

2Institute of mathematics with the computing center ofRAS 112 Chernyshevsky St., 450008 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 65.

*Email: [email protected]

In the article, the problem of restoration of the parameters of the linear operator from a finite set of eigenvalues was considered. The setting of multiparameter inverse problem is formulated in connection with the modeling of problems of diagnostics and identification of objects by the natural frequencies, as well as the problem of constructing models of technical mechanics and electrodynamics with specified spectral data (with specified natural frequency). A scheme of its numerical solution proposed. This method for solving the joint eigenpair problem is presented, which, in turn, gives all solution of the problem (in terms of the special task of building operators of multiparameter inverse spectral problem solutions). On the basis of proposed algorithm, software module on Matlab language was developed for the study and construction of Multiparameter Inverse Spectral Problem solutions in finite-dimensional Euclidean space. The developed program allows one to solve the multiparameter inverse spectral problems. However, with the increase in the dimension of the system, the implemented algorithm deals with the solution of systems of huge dimensions, which requires more CPU time and system resources (memory).

Keywords: multi-parameter reverse spectral problems, dynamic systems, inverse spectral problem, control of fundamental frequencies, mathematical model, matlab.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. N. F. Ufimsk. matem. zhurn., 2:2 (2010), 3-19

2. Levitan B. M. [The inverse Sturm-Liouville problems]. M.: Nauka. 1984.

3. Pod red. V. V. [Vibration in engineering: Vibrations of linear systems]. M.: Mashinostroenie. 1978.

4. Kollatts L.M. [Tasks on eigenvalues (with technical applications)]: Nauka. 1968.

5. Yurko V. A.Saratov: Sarat. pedagogich. in-t, 2001.

6. Valeev N. F.Vestnik Ufimskogo gosudarstvennogo aviatsionnogo tekhnicheskogo universiteta. 2008. Vol. 2. Pp. 45.

7. Sadovnichii V. A., Sultanaev Ya. T., Valeev N. F. Doklady Akademii nauk. 2009. Vol. 426. No. 4. Pp. 457-460.

8. N. F.Matem. zametki, 85:6 (2009), 940-943

9. Grekhem M. L. Gledvell. Obratnye zadachi teorii kolebanii. (2008), Izd-vo RKhD,Moskva-Izhevsk

Received 23.09.2016.