Об одном спектральном свойстве иррегулярных пучков Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 4 (2012). С. 45-53.

УДК 517.4+519.71

ОБ ОДНОМ СПЕКТРАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ ИРРЕГУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ

Н.Ф. ВАЛЕЕВ

Аннотация. В работе вводится понятие квазирегулярного собственного значения и квазирегулярного спектра пучка конечномерных пучков операторов. Показано, что у иррегулярных пучков квазирегулярные собственные значения непрерывны относительно возмущений пучка. Исследованы свойства квазирегулярных собственных значений и получены формулы для вычисления квазирегулярного спектра.

Ключевые слова: спектральная теория линейных операторов, иррегулярные пучки, обратные спектральные задачи, регулярный спектр пучка операторов.

Pacs: 05.45.-a Nonlinear dynamics and chaos

1. Введение, постановка задачи

В n-мерном евклидовом пространстве E™ рассматривается пучок операторов:

L(y, е) = (Ао + £А\) — ^(Bq + eBi) : E™ —— Жп, (1)

где ^ Е C — спектральный параметр, е Е C — параметр возмущений.

Далее всюду будем предполагать, что пучок операторов L(^,e) регулярен в некоторой окрестности точки е = 0, а в самой точке е = 0 иррегулярен. Данное предположение равносильно выполнению следующих условий:

max{rankL(^,e)} = п, (2)

^,£GC

max{rankL(^,, 0)} = т < п. (3)

^GC

В силу условия (2), у пучка Ь(ц,е) имеется (с учетом кратности) п собственных значений:

Ме),^2 (е) , . . . , ^п(е) Е C, (4)

которые являются нулями характеристического полинома

п

detL(^,e) = ^ 1к (е)^к. (5)

к=0

Замечание. Будем считать, что ^ = ж собственное значение некоторого пучка А — ^В : Еп — Еп, если det(B) = 0.

Каждое собственное значение ^(е) есть алгебраическая функция от е Е C, в то же

время эти величины можно рассматривать как функционалы от матриц А0, В0, Ai, Bi,

то есть

(£) = (Aо, Bо, Al, Bi,£).

N.F. Valeev, On a spectral property of irregular pencils.

© Валеев Н.Ф. 2012 .

Работа выполнена при поддержке гранта ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России'^ 14.B37.21.0358 .

Поступила 5 мая 2012 г.

Из общей теории возмущений конечномерных линейных операторов (например см. [2]) следует, что при условии

max{rankL(^, О)} = п і^єс

предельные значения ^ (є) не зависят от Al, Bl и являются функционалами только матриц Ao, Bo:

lim(є) = (Ao, Bo).

є^0

Иначе говоря, собственные значения ^(є) = (А0, B0,Al, Bl,e) регулярного пучка непре-

рывные функционалы матриц А0,В0.

Пусть теперь предельный пучок L0(y) = L(^, О) иррегулярный, то есть detL(^, О) = О.

В этом случае ситуация меняется, в частности, уже нельзя утверждать, что пределы при є ^ О собственных значений (є) = ^к (А0, В0, Al, Bl, є) будут зависимы только от А0 и В0. А именно, предельные значения (є) = ^к(А0,В0, Al, Bl,e) могут зависеть и от того, по какому направлению пучок L(^,e) приближается к предельному пучку L0(^), то есть от пары матриц (Al, Bl).

В связи с вышесказанным примем следующее определение.

Определение 1. Пусть ^к(А0, В0, Al, Bl,e) собственное значение пучка

L(/j, є) = (Ao + єАі) — /j(Bo + єВі) : Era ^ Era,

удовлетворяющего (2)-(3).

Если при этом предельное значение функционала

ц* := lim(А0, В0, Al, Bl,e) Є C

є^0

не зависит от операторов Al и Bl, то будем его называть квазирегулярным собственным значением пучка L0(^) = А0 — ^В0. Множество всех квазирегулярных собственных значений ^*к будем называть квазиспектром пучка.

Заметим, что если ^* — квазирегулярное собственное значение пучка L0(^), то, в отличие от регулярного собственного значения, может оказаться, что rankL0(^*) = max^c rankL0(^).

Основной целью данной работы является исследование свойств квазиспектра сингулярного пучка L0(^). Мотивацией введения понятия квазиспектра пучка послужило то, что в теории многопараметрических обратных спектральных задач (МПОСЗ) естественным образом возникает вопрос о решениях МПОСЗ, устойчивых к возмущениям. Отметим, что аналогичные вопросы, в частности, понятие регулярного спектра пучков операторов расссматривались в ([4]-[7]).

Исходя из целей исследования (и не умаляя общности результатов), примем два следующих допущения.

Во-первых, будем считать, что

rank^0 = max rank(A0 — ^В0) = т. (б)

^єс

Если же окажется, что rank50 < max^c rank(A0 — ^В0), то с помощью дробно-линейного преобразования спектрального параметра ^ можно перейти к пучку, удовлетворяющему условию (б).

В самом деле, из (3) следует существование ^* Є C такого, что rank(A0 + ^*В0) = т. Тогда

(Ao + єАі) — ^(Bo + єВі ) = ————

^*

Теперь, полагая

s = ———, В(є) = Ao + єАі — р* (Bo + єВ\), А(є) = Ao + єАі,

^ ^*

Ao + єАі----------——- (Ao + єАі — ^*(Bo + єВі))

^ ^*

перейдем к исследованию эквивалентного пучка L(s,e) = А(є) — sB(e), где rank£>(О) = т. При этом преобразовании квазирегулярные спектры пучков L(s,e) и Ь(ц, є) будут связаны дробно-линейным преобразованием s = .

Во-вторых, будем считать, что В = В* > О. Добиться выполнения этого условия можно, перейдя к строго эквивалентному пучку L(^,e) = UL(^,e)V, где U,V : Еп ^ Еп — унитарные матрицы, входящие в сингулярное разложение матрицы В, то есть В = BUV. Теперь, дополнительно к условиям (2), (3), будем считать, что

rank(A0 — ^В0) = rank(S0) = т, В0* = В0 > О. (7)

2. НЕВОЗМУЩЕННЫЙ пучок В данном пункте рассматривается иррегулярный невозмущенный пучок

Lo(v) = А — /лВ : E™ ^ E™, (8)

удовлетворяющий условиям

max rank(A — ^В) = rank(S) = т < п, В = В * > О. (9)

l-iЄC

Пусть Р — самосопряженный проектор на подпространство V2 = KerB, Vl = V^. Тогда пучок Lo(^) в подходящем базисе можно представить в виде

иы=(AllA~:B t) (io)

где All = (I — р)A(I — Р): Vl ^ Vl, Al2 = (I — P)AP : V2 ^ V,

А2і = PA(I — P): Vl ^ V2 и A22 = PAP : V2 ^ V2.

Заметим, что пучок Lll(^) = All — ^B : Vl ^ Vl — регулярный.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (9), тогда в представлении (10) пучка L0(y) для любого ^ Є C

І22 — ^l2(^ll — ) л-21

Доказательство. Матрица

А22 — Al2(An — ЦВ) lA2l = °. (11)

0 I

в силу регулярности пучка А11 — ^В : VI ^ VI, существует, ограничена и невырождена при всех ^ Є С, за исключением нулей характеристического многочлена det(Ац — ^В). Следовательно, гапк£0(^) = гапк(Ь0(^)^(^)). При этом

1МР(ІЇ = ( "а-Ї* °а22 — А21 (Ап — /іВ)-1А12 ) •

Теперь, используя блочно-диагональный вид матрицы Ь0(^)Р(^), получаем

гапк(Ьо(^)^ (^)) = гапк(Аи — ^В) + гапк[А22 — М і(Ап — ^В )-1Аі-\•

Из (9)и (10) следует, что гапк(А11 — ^В) = т, поэтому гапк(А22 — А21(А11 — ^В)-1А12) = 0 при всех ^ Є С за исключением нулей характеристического многочлена det(A11 — ^В). Последнее возможно только в том случае, когда А22 — А21(А11 — ^В)-1А12) = 0, откуда и вытекает доказательство теоремы.

Доказанная теорема означает, что далее можно рассматривать пучки вида

Lo(^) = л ^ Г , (13)

Ац — 11В А12 А2\ 0

блочные матрицы которого удовлетворяют тождеству А22 — А12(Ац — ^В)-1А2\ = 0. Из этого тождества вытекает следующее свойство рассматриваемого пучка.

Теорема 2. Пусть ц* Є С — произвольное простое собственное значение пучка 1(^1) = А^ 1 — : VI —— VI и

Ацх* = р*Вх*, А{1у* = р* Ву* • (14)

Тогда либо А21(х)* = 0 либо А\2(у)* = 0.

Доказательство. Рассмотрим два взаимоисключающих случая:

• ||(Ап — ^В)-1А12\\ — ограничен при ^ — ^*;

• ||(Ап — ^В)-1А12\\ — не ограничен при ^ — ^* •

В первом случае все элементы матрицы (А11 — ^В)-1А12 рациональные функции и ограничены в окрестности точки ^ = у,*, элементы матрицы (А11 — ^В)-1А12 не имеют особенностей в точке ^ = у,*. Следовательно, и элементы матрицы А12(А11 — зВ)-1 являются аналитическими функциями в окрестности точки в = Ц*.

С другой стороны, найдется такой вектор е, что собственный вектор у* пучка А^ — ^В можно представить в виде

У* = 2— £ (А*ц — $В )-1е(1з•

\Я—р,*\=ё

Но тогда

А**2У* = 2— £ ^-*2 (А*1 — эВ )-1едв = °

\Я—р,*\=ё

в силу того, что А"[2(А1*1 — зВ)-1 в точке Б = Ц* аналитическая функция.

Во втором случае, из неограниченности оператора (А11 — зВ)-1А12 следует, что любой ненулевой вектор

х* = ® (А11 — вВ)-1А12 фдз

2т ]

\*-^*\=

является собственным вектором пучка А11 — вВ. Далее, учитывая теорему 1, получим

1

2пі

\Я—^*\=6

для любого ф Є Е™. Из рассмотренных случаев вытекает доказательство теоремы. Основное утверждение данного пункта сформулируем для пучков вида

Со(^) = ^ С11~^11 ц12^ : Ега — Е™, (15)

где гапкСО(^) = гапк(С'11 — ^11) = т < п, V2 = Кег11, V1 = V^•

Пучки Ьо(ц) и Со(ц) эквивалентны в силу того, что

А21Х* — ——: ф А21(Ац — вВ) 1 А^фдэ — 0

°0^ = (V I) ( Апа2!‘в О12) ■ (16)

С11 = В-1А11, С12 = В-1А12, С21 = А21, а 11 и 12 — единичные операторы в подпростран-

ствах V1 и V2 соответственно.

Теорема 3. Пусть ранг пучка С0(^) вида (15) равен т < п, и все собственные значения матрицы С11 простые. Тогда

д(^) = с1еЬ(Сп — ^1) (17)

общий делитель всех миноров т-го порядка пучка (С0(^))2•

Доказательство. Пусть ^* — произвольное простое собственное значение матрицы Сц и

Спх* = ^*х*, С*11у* = /~1* у* (18)

Согласно утверждению теоремы 2 имеем ||Сп:г*|| • |С*1у*| = 0. Рассмотрим все возможные случаи для собственных векторов х* и у*, приводящие к указанному равенству.

Предположим, что С21х* = 0 и С*2у* = 0. Поскольку ^* — простое собственное значение матрицы С11, то для любого р Е Ет

1

К1) 11/11 — /А I ' 1 '

2тт г

\^-^*\=5

— собственный вектор матрицы С11. Тогда в силу предположения С21х* = 0 имеем

С21Х* = 2~ ^ С21 (С11 — ) 1рс1/Л = 0

\^-и*\=&

для любого р Е Ет. А это означает, что С21(С11 — ^I)-1 в окрестности ^ = ^* ограничена, и точка ^ = V* — особая точка устранимого типа. Отсюда следует, что (С* — ^1 )-1С*1 тоже аналитична в окрестности точки ^ = ц*. Теперь покажем, что Кег(С0(^*))* содержит не менее п — т +1 линейно-независимых векторов.

Рассмотрим векторы

* * -1 *

у* \ , _ —Си ~ц!

^ 0 ) ’ р = ( 11 4 21 ) ’ к=1’п ~т

где ей — составляют единичный базис пространства V2, а у* по условию собственный вектор матрицы С*1, соответствующий простому собственному значению ц*.

Учитывая, что Сиу* = ц*у*, С*2у* = 0, С^^2(С*1 — ^1 )-1С*1 = 0, легко показать, что ( С0((1*))*рfc = 0 для всех к = 0,п — т. Поскольку сИтКег(С*((1*)) > п — т + 1, то гапкС0(ц*) ^ т — 1.

Итак, г а п к С0(ц) = т при ^ = ^* и гапкС0(^*) = т, это возможно лишь при условии что ^ — ^* — делитель всех миноров т-го матрицы С0(ц).

Пусть теперь С21х* = 0, а С*2у* = 0. Сначала покажем, что в этом случае (С11 — цI)-1С12

— ограничена при ^ ^ ^*.

В самом деле, в противном случае, найдется вектор р такой, что

/ (Сц — ^ 1)-1С12рС[1 = ф = 0.

2п г

\^-^*\=&

Поскольку ф — собственный вектор, соответствующий простому собственному значению ^*, то можно считать, что х* = ^ § (С11 — ^ 1)-1С12рС/1. Из теоремы 1 следует, что

\^-^*\=5

1 2п г

\^-^*\=&

а это противоречит условию С21х* = 0. Следовательно, (С11 — ц11)-1С12 ограничена в окрестности точки ^ = Ц*.

Введем в рассмотрение матрицу

С21х — ——Т Ф С21(Сц — ^1) 1 С12р(Сц — 0,

0(1^) ={0 ^11 ^ ^ , (19)

в силу ограниченности ( С11 — ^1 )-1С12, матрица 0(/1) определена и невырождена в точке ^ = ^* и ее окрестности.

Определим матрицу G(j) = (C0(j))2D(j). Очевидно, что в точке j = j* ив некоторой ее окрестности rankG(j) = гапк(C0(j))2. Согласно утверждению теоремы 1 при всех j, когда det(C1 — jI) = 0, справедливо тождество С21(С\1 — jl )-1С\2 = 0. Учитывая это,

легко получить, что

GM=( (CiC-^+Cif210). (20)

Поскольку ( С* — j*I)у* = 0, С*2У = 0, то

[( С1 — J* I)2 + С 2C2i]*y* = 0,

следовательно, rank(( С\ 1 — jl)2 + С\2С21) ^ т — 1.

Последнее означает, что найдется вектор 0* = 0 такой, что (С\ 1 — jl)20* = —С\2С21у*. Учитывая ограниченность ( С11 — j 1)-1С12 в точке j = j*, имеем

( С11 — j* 1)0 = — (С11 — j* 1)-1С12С210*. Откуда получим

С21(С11 — j*l )0 = —С21(С11 — J* 1)-1С112С1210* = 0.

Таким образом, векторы

(о ) , ( I ) , к =1'п — т

где ек, к = 1,п — т — базисные векторы пространства V2, содержатся в kerG(j*).

Следовательно, г а п к [ С0( j)]2 = т при j = j* и rank [C0(j)]2 ^ т — 1 при j = j*. Из последнего снова вытекает, что j — j* — делитель всех миноров т-го порядка матрицы

[Co(f)]2.

Третий возможный случай, вытекающий из ||С21:г*|| • ||С*2у*|| = 0, а именно С*2у* = 0, С21х* = 0, исследуется аналогично случаю С21х* = 0, а С{2у* = 0.

Итак, мы доказали, что для произвольного собственного значения j* матрицы С11 все миноры т-го порядка пучка (C0(j))2 делятся на j — j*. Поскольку все собственные значения С11 простые, а j * — произвольное собственное значение, то det(C11 — j 1{) является делителем всех миноров т-го порядка матрицы (С0(j))2. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда если j — j0 является общим делителем всех миноров т-го порядка пучка (C0(j))2 , то q(j0) = det(C11 — j0I) = 0.

Доказательство. Предположим, что q(j0) = det(С11 — j01) = 0. Как и при доказательстве теоремы (3), рассмотрим матрицу D(j), заданную в (19), и матрицу G(j) = (C0(j))2D(j). Согласно (19) и (20) имеем

G( )= ( (С11 — fl)2 + С12С21 0 \

G(j)={ С21С1 — jI) 0) .

Поскольку j0 является нулем всех миноров порядка т, то найдется х0 = 0 такой, что (( С11 — jol )2 + С12С21)х0 = °.

Из предположения, что q(j0) = 0, следует х0 = — (С11 — j01)-2С12С21. Поскольку

из теоремы 1 следует, что С21 (С11 — j 1)-2С12 = 0, то С21х0 = 0. А это означает, что

( С11 — j0I)2х0 = 0. Т.е. j0 — собственное значение С11. Полученное противоречие доказывает теорему.

Таким образом, ( C0(j))2 обладает "настоящими в следующем смысле, собственными значениями. А именно, если j* — собственное значение матрицы С11, а j (/ а(С11), тогда

rank ( C0(j)) = г ank( C0(j))2 = т,

и в то же время г a n k( C0(j*))2 ^ т — 1. Иначе говоря, все собственные значения матрицы С11 являются регулярными собственными значениями для пучка [C0(j)]2.

В качестве примера рассмотрим пучок

( Vl — V

О

cQ ы

V

0

1 О

о о о о \

V2 — V О І О

О V3 — V О І О 0 0 0

0 0 0 0 /

При всех V Е С легко вычислить, что гапкСо(ц) = 3. Выпишем квадрат пучка Со(^),

C20(v) =

( (Vl — V)2 І О

V

Vl — V О

О

(V2 — V)2 О О О

О

О

(V3 — V)2 О О

О

V2 — V О О О

О

О

V3 — V О О

\

/

Теперь г ап к С02(ц) = 3 при всех V = , но гапкС‘22(цк) = 2 для к = 1, 2, 3.

Заметим, что наибольшим общим делителем всех миноров т-го порядка матрицы Со (ц) является 1, а соответствующие миноры матрицы С2(^) делятся на (цх - ^)(Ц2 - у)(№ - V) = ЛеЬСо(ц).

3. Возмущенный иррегулярный пучок.

Теперь перейдем к рассмотрению возмущенного пучка

L(v, є) = А0 — vB0 + e(Al — VBl) : En ^ En,

где

ran к B0 = max r a n к (A0 — uB0) = m < n мес

и

maxrankL(u, є) = n.

^,єЄС

В силу регулярности пучка L(v, є) при є = ° собственные значения этого пучка Vl(s),..., Vn(£) являются нулями характеристического уравнения

detL(v, є) = 0. (21)

Как было показано выше (16) существуют невырожденные матрицы Sl и S2, не зависящие от V и є, такие, что

С^, є) := ^V, s)S2 = Cq(v) + eG\(v) (22)

Ci(v) = SiAiS2 — vSiBiS2 = Cll) — VCl2\ (23)

а Cq(v), как и выше в (15) и (16), имеет вид:

Со (v) = ^ Cll—2V Il Ql2^J : En ^ En

Поскольку пучки С(v, є) и L(v, є) имеют одинаковые собственные значения Vk(є), перейдем к исследованию собственных значений пучка С(v, є).

Теорема 5. Пусть спектр матрицы Cll состоит из простых собственных значений v*,...,Vm. Тогда у пучка С (v, є) найдутся ровно т собственных значений Vj1 (є),... ,Vjm(є) (при соответствующей нумерации) такие, что для всех к = І,т

Vjk (0) =V*k.

Доказательство. Пусть Є1(/і), С2(ц) — невырожденные (точнее СеЛС^ц) = 1, СеіЄ2(ц) = 1) матрицы, приводящие пучок (С0(ц))2 к нормальной форме Смита (см. [3]).

Поскольку гапк(С0(ц))2 = т, то матрицы Є1(ц) и Є2(ц) можно выбрать так, чтобы

Сі^)С2маг(ії =( ^ 0 ) , (24)

где А((і) — диагональная матрица размера тхт. Из теорем 3 и 4 вытекает, что Сеі[А((і)] = О тогда и только тогда, когда сСеЬ(С11 — ^1) = 0.

Положим

0(іл, є) = Сі(іі)С0(іл, є)С2(1^) = Оо(ц) + єПі(іл, є), (25)

далее, учитывая представление (24), получим

0(р,є) = ( л(м)+^1і(м,<) е^12(^,є\ ) . (26)

V єВ2і(у,,є) є022(1^,є) /

Заметим, что из (25) следует

д(іл, є) = СеіП(/і, є) = [СеіС0((і, є)]2 . (27)

Так как СеіО(ц, 0) = 0, то д(ц,є) как многочлен от ^ и є можно представить в виде

д{/і, є) = єадо{ц, є), (28)

где а Є N д0(ц, є) многочлен от є и ^, причем д0(ц, 0) = 0.

Теперь покажем, что д0(ц, є) делится на СеїА(ц).

Для этого вычислим определитель матрицы 0(ц, є) как произведение нулей (і^, є)

многочлена СеЬ(0(ц, є) — аI) = 0.

Обозначим \1(ц, є),...,Хт(ц, є) диагональные элементы матрицы А(ц) + єИ11(ц, є), а через С1(ц, є),..., Сп-т(іі, є) диагональные элементы матрицы В22(/л, є). Раскладывая СеЮ(^,, є) по строкам, получим

Се ^(ц, є) — аі) = (\і(ц, є) — а) ■■ ■ (\т(ц, є) — а)(єСі (ц, є) — а) ■■■

■ ■ ■ (є<Сп-т(ц, є) — а) + єЬ,(ц,є,а),

где к(ц, є, а) — некоторый многочлен от а, ^ и є.

Теперь, применяя теорему Руше для нулей ак (ц, є) этого многочлена Се і(И(ц, є) — а І) по переменной а, при є ^ 0 и ІцІ < К0 < ж, получим ак(ц, є) = \к(ц, 0) + єак(ц, є) для всех к = 1,т, где ак (ц, є) — ограниченные функции, и ак (ц, є) = О (є) для всех к = т + 1,п.

Поскольку опеделитель матрицы д(ц, є) = 0(ц, є) равен произведению всех ее собственных значений ак(ц, є), то получим

д(/і, є) = аі(ц, є) ■ ■ ■ ат(і^, є)ат+і(ц, є) ■ ■ ■ ап(ц, є).

Из вышесказанного следует, что а1(іі, є) ■ ■ ■ ат(/і, є) = Сеі[А(ц)] + О(є) и

ат+1(ц, є) ■ ■ ■ ап(/і, є) = є^С(/і, є), где С(/і, є) — некоторая алгебраическая функция, причем С(ц, 0) = 0. Отсюда получим

д(/і, є) = єР(СеЛА(ц) + О(є))С(/і, є). (29)

Теперь, сравнивая (28) с (29), приходим к выводу, что

до(ц, 0) = СеіА(ц)С(ц, 0), (30)

где С(ц, 0) — многочлен от ^.

Из представления многочлена Сеі(И(ц, є)) в виде (30) с учетом (27) и (28) следует, что каждый нуль многочлена Сеі[С11 — ^ 1-\_] аналитически (как алгебраическая функция) продолжается по . Отсюда вытекает доказательство теоремы.

Из последнего утверждения вытекает, что у пучка вида

С(V, є) = ^ Gl 1—^h ^^ + є(С1 — VC2) : En ^ En

ровно т собственных значений Vj1 (є),... ,Vjm (є) при є ^ 0 имеют пределы, равные собственным значениям Vi,... , Vm матрицы С\l вне зависимости от матриц С\ и С2. В то же время легко показать, что пределы остальных собственых значений пучка С(v, є) зависят от С\ и С2.

Поэтому, согласно определению 1, квазиспектр пучка C0(v) состоит из собственных значений Vi,... , Vm матрицы С\l.

Теперь, возвращаясь к иррегулярному пучку общего вида (1)-(З), заметим следующее. Для того чтобы вычислить квазирегулярный спектр пучка L0(v) = A0 — vB0, его сначала необходимо привести к виду, удовлетворяющему условию (7).

А затем с помощью строго эквивалентного преобразования (16) получить пучок вида С(v, є) и найти спектр матрицы С\l.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 5-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2004. 5б0 с.

2. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. М.: Физматгиз. І9б3. 2б3 с.

3. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука. І972. 232 с.

4. M.E. Hochstenbach, A. Muhic, B. Plestenjak On linearizations of the quadratic two-parameter eigenvalue problems // Linear Algebra Appl. 43б (20І2). P. 2725-2743.

5. A. Muhic, B. Plestenjak On the singular two-parameter eigenvalue problem // Electron. J. Linear Algebra І8 (2009). P. 420-437.

6. Кублановская В.Н. К решению многопараметрических задач алгебры. її. Вычисление регулярного спектра полиномиальной матрицы // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2007. T. 34б. C. 131-148.

7. Валеев Н.Ф. Регулярные решения многопараметрической обратной спектральной задачи // Матем. заметки. 2009. Т. 85. Вып. б. С. 940-943.

Нурмухамет Фуатович Валеев,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: valeevnf@mail.ru