CC BY
1
Владикавказский математический журнал 2024, Том 26, Выпуск 1, С. 132-141
УДК 517.9
DOI 10.46698/ t7406-3495-9364-r
ОБ ОБРАТИМОСТИ И СПЕКТРЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВИНЕРА - ХОПФА В СЧЕТНО-НОРМИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ СО СТЕПЕННЫМ ХАРАКТЕРОМ ПОВЕДЕНИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
А. Э. Пасенчук1
1 Южно-Российский государственный политехнический университет им. М. И. Платова (НПИ), Россия, 346428, Новочеркасск, ул. Просвещения, 132 E-mail: pasenchuk@mail. ru
Аннотация. В счетно-нормированном пространстве измеримых на вещественной оси функций, убывающих быстрее любой степени, рассматривается интегральный оператор Винера — Хопфа. Показано, что в классе ограниченных операторов Винера — Хопфа содержатся операторы с разрывными символами специального вида. Рассматриваются вопросы ограниченности и обратимости таких операторов в указанном счетно-нормированном пространстве. В частности, получены критерии обратимости в терминах символа. С этой целью вводится понятие канонической гладкой вырожденной факторизхации и устанавливается, что обратимость оператора Винера — Хопфа равносильна наличию канонической гладкой вырожденной факторизации его символа. Каноническая гладкая вырожденная факторизация описывается при помощи функционала, называемого сингулярным индексом. В качестве следствия описан спектр оператора Винера — Хопфа в рассматриваемом топологическом пространстве. Приводятся некоторые соотношения, связывающие спектры интегрального оператора Винера — Хопфа с одним и тем же символом в пространствах суммируемых функций и в счетно-нормированном пространстве измеримых функций, убывающих на бесконечности быстрее любой степени.
Ключевые слова: счетно-нормированное пространство, обратимость, вырожденный, факторизация, сингулярный, индекс, спектр.
AMS Subject Classification: 47B35.
Образец цитирования: Пасенчук А. Э. Об обратимости и спектре интегрального оператора Винера — Хопфа в счетно-нормированном пространстве функций со степенным характером поведения на бесконечности // Владикавк. матем. журн.—2024.—Т. 26, вып. 1.—С. 132-141. DOI: 10.46698/t7406-3495-9364-r.
1. Введение
Пусть Z — целочисленная решетка действительной оси R, R+ = {x € R : x ^ 0}, R- = {x € R : x < 0}. Обозначим через Z± следующие подмножества: Z: Z+ = {j € Z : j ^ 0}, Z- = {j € Z : j < 0}. Ясно, что Z+ U Z- = Z, Z+ f| Z- = 0, где 0 — пустое множество. Через C будем обозначать поле комплексных чисел. Нам понадобятся также следующие подмножества комплексной плоскости: C + = {z € C : Im z > 0}, C- = {z € C : Im z < 0}, C+ = {z € C : Imz ^ 0}, C- = {z € C : Imz ^ 0}, Г = {{ € C : |£| = 1}. Как обычно, символ En, n € Z+, означает, что рассматривается декартово произведение п экземпляров множества E.
© 2024 Пасенчук А. Э.
Линейное пространство измеримых локально суммируемых на множестве М С Кп функций будем обозначать Ь1ос(М).
Пусть т € 2+, обозначим через Ь{т} линейное пространство измеримых, суммируемых на К с весом (|ж| + 1)твектор-функций Ь{т} = {^>(ж) : fR (|ж| + 1)т |^>(ж)| ^ж < то}. Вводя норму ||^>(ж)||т = JR (|ж| + 1)т |^>(ж)|п ^ж, превращаем Ь{т} в банахово пространство. Пространство, сопряженное к Ь{т}, обозначим через Ь{—т}. Из теоремы Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала вытекает, что пространство Ь{—т} может быть реализовано как банахово пространство измеримых на оси функций, топология в котором порождается нормой ||'0(ж)||_т = виражед . Рассмотрим линейное пространство Ь{то} = Р|^=0 Ь{т} и снабдим его счетно-нормированной топологией, порождаемой набором монотонных попарно согласованных норм ||.||т, т € 2+. Сопряженное к счетно-нормированному пространству Ь{то} пространство обозначим Ь{—то} : (¿{то})* = Ь{—то}. Хорошо известно, Ь{—то} = У^=0 Ь{—т} (см., например, [1]). Будем рассматривать линейное пространство ¿{-то} как топологическое пространство с сильной топологией.
В пространствах Ь {т}, т € 2, определим, операторы проектирования, действующие по формулам (Р±/) (ж) = \ (1 ± signж) / (ж). Для подпространств, порождаемых этими проекторами, будем пользоваться обозначениями Ь± {т} = Р± (Ь {т}), т €
Отметим, что для всех т € 2+ У {то} имеет место вложение Ь {т} С Ь (К), т € 2+ У {то}, где Ь (К) — банахово пространство измеримых суммируемых на К функций. В частности, это означает, что для всех функций / (ж) € Ь {т} определено преобразование Фурье ^ [/] (Л) = JR егЛж/(ж) ^ж. Положим С™ (К) = ^ (Ь {т}), С™ (К) = ^ (Ь± {т}), т € 2+ У {то}. Очевидно, операторы Р± = -1 явля-
ются операторами проектирования, действующими в пространствах С™ (К), причем С™ (К) = Р±(С™ (К)). Введем также следующие пространства: С™ (К) = С ф (7™ (К), С™ (К) = С ф С™ (К), т € 2+ У {то}. Нетрудно видеть, что функции из подпространств С™ (К) аналитически продолжимы в области С± соответственно.
При любом фиксированном т € 2+ пространство Ст (К) есть банахова алгебра с единицей относительно поточечных операций и топологии, порождаемой нормой |а + ^ = |а| + |М|та, т € 2+. Пространство С(К) является топологической алгеброй с единицей, счетно-нормированная топология которой определяется следующим набором норм |-|т, т € 2+; С™ (К) — топологические подалгебры Ст (К) с единицей для всех т € 2+ У {то}.
Рассмотрим следующий оператор: С (к) : Ь2 {то} ^ Ь2 {то}, (С (к) (ж) = к (ж — 8) ^ (5) где к (ж) € Ь {то}. Этот оператор называют оператором свертки, а функцию к (ж) называют ядром этого интегрального оператора. Хорошо известно, что необходимым и достаточным условием ограниченности оператора С (к) является заявленное выше условие к (ж) € Ь {то}. С оператором свертки тесно связан интегральный оператор Винера — Хопфа Ш (а, к) = а/ + Р+ С (к) /, Ш (а, к) : Ь+ {то} ^ Ь+ {то}. Символом оператора Ш (а, к) называют функцию (А (а, к)) (Л) = а + ^ [к] (Л) € С(К). Наряду с символом (А (а, к)) (Л) для описания свойств оператора Винера — Хопфа используют также функцию а ({) = (А (а, £;)) , £ € Г. Для того чтобы различать эти функции первую из них будем называть Л-символом, а вторую {-символом оператора Винера — Хопфа (см. [2, с. 64-65]). Оператор Винера — Хопфа был подробно изучен в многочисленных оригинальных исследованиях, результаты которых были отражены в монографиях и обзорных статьях [1-5]. Для этого оператора построена полная теория Нетера в широком классе банаховых и счетно-нормированных пространств. Отметим,
что критерий обратимости оператора Винера — Хопфа в пространствах суммируемых функций позволяет достаточно эффективно описать спектр этого оператора. С другой стороны, критерий обратимости оператора Винера — Хопфа в счетно-нормированных пространствах типа Ь+ {то} весьма громоздок и трудно проверяем (см. [1]). Видимо, в связи с этим, задача об описании спектра интегрального оператора Винера — Хопфа практически не рассматривалась. В этой работе введено и изучено понятие вырожденной гладкой факторизации типа минус. Оказалось, что обратимость рассматриваемого оператора Винера — Хопфа равносильна наличию канонической гладкой вырожденной факторизации типа минус его символа. Это позволило дать эффективный критерий обратимости в случае гладкого символа и получить описание спектра оператора Винера — Хопфа Ш (а, к) : 1+ {то} ^ Ь+ {то}.
2. Вспомогательные результаты
В пространстве Ь+ {то} рассмотрим следующий интегральный оператор (К^>) (х) = /0° к(х, в)^>(в) ^в, х > 0, предполагая, что ядро к(х,в) локально суммируемо на Я+.
Лемма 1. Оператор К : £+{то} ^ £+{то} ограничен в пространстве Ь+ {то} тогда и только тогда, когда почти для любого фиксированного в € Я+ функция к(х, 5) € £+{то} и для любого т € Z+ найдутся пт € Z+ и ст € Я+ так, что ||к(х, в) ||т ^ ст (в + 1)Пт.
< Необходимость. Хорошо известно, что линейный оператор К ограничен в счетно-нормированном пространстве с порождающей системой норм ||-||т, т € Z+ тогда и только тогда, когда по любому т € Z+ найдутся пт € Z+ и ст € Я+ так, что ||К^>||т ^ ст |М|Пт для любого ^ € Ь+{то} (см., например, [1]). Для оператора К это неравенство означает, что /0те(х+1)т| /0те к(х,£)<^(£) ^х ^ ст /0те(х+1)Пт |^>(х)| ^х, где ^ € £+{то}. В частности, последнее неравенство имеет место для характеристической функции отрезка [в, в + Дв], в € Я+, Дв > 0,
оо
/(х + 1/
«+Д«
^х
< ст I (х + 1)Пт^х = Ст((в + 1)Пт Дв + 0(Дв)).
Отсюда имеем /0те(х + 1)
^х
< Сш((8 + 1)«™ + Пере-
ходя в последнем неравенстве к пределу при Дв ^ 0 и учитывая, что почти каждая точка из области определения измеримой функции есть точка Лебега, получим /0~(х + 1)т |к(х, в)| ^х ^ ст(в + 1)Пт. Таким образом, почти для любого фиксированного в € Я+ к(х,в) € Ь+{то} и для любого т € Z+ найдутся пт € Z+ и ст € Я+ так, что ||к(х, в) |т < ст(в + 1)"™ .
Достаточность. Пусть почти для любого фиксированного в € Я+, к(х, в) € £+{то} и для любого т € Z+ найдутся пт € Z+ и ст € Я+ так, что /0те(х + 1)т |к(х, в)| ^х ^ ст(в + 1)Пт. Тогда, каково бы ни было ^ € £+{то}, имеем
те те
т
те те
т
||Кр||т = ^(х + 1)т У к(х, в)^(в) ^в ^х (х + 1)т J |к(х,в)| |^(в)| ^х | |
тете те
= / |р(в)|/ (х + 1)т |к(х, в)| ^в < ст( (в + 1)Пт |^(в)| ^ = ст |М|„т • >
О
т
о
о
о
Очевидно, оператор Винера — Хопфа является частным случаем оператора а/ + К, ядро которого зависит от разности аргументов: к (ж, 8) = к (ж — 8). Положим к+(ж) = (Р+ к)(ж), к_(ж) = (Р_ к)(ж). Ясно, что функции к+(ж), к_(ж) измеримы и локально интегрируемы вместе с к(ж). Имеет место следующее утверждение, описывающее ограниченность оператора Винера — Хопфа в пространстве Ь+{то}.
Теорема 1. Оператор Ш (а, к) : Ь+{то} ^ Ь+{то} ограничен тогда и только тогда, когда выполнены условия:
1) к+(ж) € Ь+{то}; 2) к_(—ж) € Ь+ {—то} .
< Необходимость. В силу леммы 1 ограниченность оператора К в пространстве Ь+{то} равносильна тому, что почти для любого фиксированного в € К+ и для любого т € 2+ найдутся п™ € 2+ и с™ € К+ так, что /0те(ж + 1)™ |к(ж — в)| ^ж ^ ста(в + 1)пт. Сделав в интеграле из последнего неравенства замену переменных ж — в = получим, что оператор К ограничен в пространстве Ь+{то} тогда и только тогда, когда выполнено условие J_s(в + £ + 1)™ |к(£)| ^ ^ ста(в + 1)Пт, в € К+. Ясно, что последнее неравенство равносильно выполнению двух следующих:
оо
а) У (в + £ + 1Г |к(£)| ^ < ст(в + 1)п о
о
б) У (в + £ + 1Г |к(£)| ^ < ст(в + 1)п
в€К
+;
в€К
+.
При в = 0 из а) получаем /0те(£ + 1)™ |к(£)| ^ ^ с™, т € 2+, что и означает 1). Для завершения доказательства необходимости осталось убедиться в том, что условие б) влечет условие 2). Действительно, если имеет место б), то при т = 0 получаем f_s |к(£)| ^ ^ с0(в + 1)п0, в € К+. Выполнив в интеграле замену переменного £ = — в
и переобозначив переменные, получим |к_(—в) | ^в ^ с0(ж + 1)п0, ж € К+. Покажем,
что последнее неравенство имеет место тогда и только тогда, когда к_ (—ж) € Ь+ {—то}. В самом деле, если выполнено условие |к_(—в)| ^в ^ с(ж + 1)п0, ж € К+, то
те тете [ 7——-—= П\ [ \к-(—8)1 с1в [ -,-^-П"
0 0 s
те t те
= П\ --г-— / \к-( — 8)1 йв ^ П\С / --г--г < ОО,
оо о
если п\ > По + 1. Обратно, если /0°° ^^п' ¿в < оо, то при х € В,+ справедлива следующая цепочка неравенств:
^ [Р-^С18 = С0.
(ж + 1)^1 У 1 1 Л У (в+ 1)^1 У (в + 0 0 0
Но это и означает выполнение условия 2).
Достаточность. Пусть к+ (ж) € Ь+ {то}, тогда /0те(£ + 1)™ |к(£)| ^ ^ с™, в € К+ для всех т € 2+. Поскольку £ + в + 1 ^ (в + 1) (£ + 1), имеем /0те(£ + в + 1)™ |к(£)| ^ ^ (в + 1Г /оте(£ + 1)™ |к(£)| ^ = ст(в + 1)™, в € К+, где с™ = /0те(£ + 1)га |к(£)|
т
т
— s
Для доказательства того, что из 2) следует б) воспользуемся методом математической индукции по числу т € Действительно, если выполнено 2), то имеет место и неравенство 8 |к(*)| ^ ст(в + 1)П0, в € Е+, означающее справедливость б) при т = 0. Предположим, что б) имеет место при т = к и рассмотрим интеграл /—8(в + * + 1)к+1 |к(*)| в € Е+. Очевидно, справедливы следующие соотношения:
0 0 0
У (в + * + 1)к+1 |к(*)| ^ = (в + 1^(в + * + 1)к |к(*)| + ! ¿(в + * + 1)к | к(^) | ^ — 8 — 8 — 8 0
< (в + 1) /(в + * + 1)к |к(*)| ^ < ск(в + 1)Пк+1, в € Е+. >
Лемма 2. Если Х-символ оператора Винера — Хопфа Ш (а, к) допускает представление А (а, к) = А (а1 ,к—) А (а2,к0) А (а3,к+), где А (ау , к±) € (Е), то имеет место представление Ш (а, к) = Ш (а1, к—) Ш (а2, к0) Ш (а3, к+).
Свойство, сформулированное в лемме 3, называют частичной мультипликативностью (см. [4, 6]).
Лемма 3. Оператор Винера — Хопфа Ш (1,к) : £+ {то} ^ {то} с Х-символом А (1, к) = Щ=1 (^ёг)™' , Не А, = 0, ] = 1,2,..., п, обратим.
< Рассмотрим элементарный оператор Винера — Хопфа \¥ (1, к^) с Л-символом
11е Л, = 0. Поскольку ^ = 1 - (1 + ¿А,) Е [е* ] (Л) € (Е), где ех_ = ± (1 + signж) еж, то в силу свойства частичной мультипликативности Ш (1,к) = Пп=1 Ш (1, к^-). Поэтому для доказательства обратимости оператора Ш (1,к) : £+ {то} ^ {то} достаточно доказать, что обратим элементарный оператор Ш (1,ку). Очевидно,
оо
(Ш (1, ку)р) (ж) = р (ж) - (1 + ¿Ху) ^ ех—8р (в) ¿в, ж > 0.
X
Рассмотрим оператор Ш—1 (1, ку) : £+ {то} ^ £+ {то}, действующий по правилу
оо
(Ш—1 (1, ку) р) (ж) = р (ж) + (1 + ¿Ху) I е—(х—8)р (в) ¿в, ж > 0.
X
В силу теоремы 1 этот оператор ограничен. Непосредственные вычисления показывают, что Ш—1 (1, ку) Ш (1, ку) р = р, Ш (1, ку) Ш—1 (1, ку) р = р для любого р € £+ {то}. >
Лемма 4. Оператор Винера — Хопфа Х-символом А+ (Х) € С+° (Е) обратим в пространстве £+ {то} тогда и только тогда, когда А+ (Х) = 0, Х € С+. Если Х-символ А— (Х) € (Е) оператора Винера — Хопфа Ш (а, к—) : £+ {то} ^ {то} таков, что А~ (А) ф 0, Л € С~, то оператор Ц1 (а, к_) обратим.
3. Вырожденная факторизация и обратимость
Будем говорить, что функция В (Х) € С(Е) допускает гладкую вырожденную факторизацию типа минус, если она допускает представление В (А) = В~ (А) (Л),
где сомножители правой части удовлетворяют условиям 1) В± (Л) € С+° (Я), 2) операторы Винера — Хопфа с Л-символами В± (Л) обратимы в пространстве {то}.
Число к € 2 будем называть индексом гладкой вырожденной факторизации типа минус в алгебре С(Я). Гладкую вырожденную факторизацию типа минус с нулевым индексом будем называть канонической.
Замечание. Из лемм 2, 3 следует, что условия 1) и 2) в определении вырожденной гладкой факторизации типа минус означают, что функция В- (Л), вообще говоря, может иметь нули на вещественной оси, а функция В + (Л) — нет. Это объясняет термин «вырожденная факторизация типа минус».
Теорема 2. Оператор Винера — Хопфа Ш (а, к) : {то} ^ {то} обратим тогда и только тогда, когда его Л-символ (А (а, к)) (Л) = а + ^ [к] (Л) € С(Я) допускает каноническую вырожденную факторизацию типа минус в алгебре С(Я).
< Достаточность утверждения немедленно вытекает из свойства частичной мультипликативности и определения гладкой вырожденной факторизации типа минус. Если оператор Ш (а, к) обратим, то согласно теореме Зильберманна его символ имеет на вещественной оси не более чем конечное число нулей конечных порядков (см. [1, 7]). Пусть Л& — все нули Л-символа кратностей , к = 1, 2,..., 5, соответственно. Рассмотрим функцию (А\ (а, к)) (А) = П£=1 (А (а, к)) (А). Ясно, что (А1(а,к))(Х) € С°° (Я) и (А1 (а, к)) (Л) =0, Л € Я. Как известно, тогда функция (А1 (а, к)) (Л) допускает стандартную факторизацию Винера — Хопфа А\ (а, к) = А~ (а, к) (а, к), где к =
тёЛедА1 (а, к), а А±(а,к) = ехр (р+^п " Аг (а, к))) € ОС£> (Я). В силу свой-
ства частичной мультипликативности Ш (а, к) = П"=1 Ш (1, к^-) Ш (1, к-) (а, к+), где П*=1 (Ш (1, к))"к, Ш (1, к-), Ш (а, к+) — операторы Винера — Хопфа с Л-символами
П&=1 ('Х^') > А~ (а,к), ) А+(а,к) соответственно. Все операторы в послед-
нем равенстве обратимы, что влечет за собой обратимость оператора Последнее, как известно, справедливо тогда и только тогда, когда к = 0 (см. [2, 4]). Таким образом, имеет место следующее представление Л-символа рассматриваемого оператора / , \ \Пк
А (а, к) = П&=1 ( ) (1) к) А+ (а, к). Пользуясь леммами 3, 4 нетрудно убедиться в том, что это представление является гладкой вырожденной канонической факторизацией Л-символа рассматриваемого оператора. >
Пусть а (£), £ € Г, — гладкая функция, определенная на единичной окружности (а(£) € Сте(Г)). Предположим, что эта функция имеет на Г конечное число нулей конечных порядков и пусть ¿к все нули а (£) порядков , к = 1, 2,... ,5, соответственно. Назовем число п (а) = ^к=1 суммарным числом нулей этой функции.
Сингулярным индексом функции а(£) € Сте(Г), имеющей конечное число нулей конечных кратностей, будем называть число кс(а) = ^у.р. /г с?£.
Теорема 3. Л-символ оператора Винера — Хопфа допускает гладкую вырожденную каноническую факторизацию типа минус тогда и только тогда, когда соответствующий £-символ а (£) = (А (а, к)) С € Г, удовлетворяет условиям:
1) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков;
2) суммарное число нулей и сингулярный индекс £-символа связаны соотношением кс(а) + п(а) = 0.
< Пусть выполнены условия 1), 2) и — все нули функции а (£), £ € Г, кратностей пк, к = 1, 2,..., е. Тогда функция а1 (£) = П^=о (£-1 — С-1) а (£) €
С(Г) не обращается в нуль на Г и поэтому допускает факторизацию Винера — Хопфа. Тогда а (С) = Щ=0 (С—1 - С—1)^ а— (О Ска+ (С), где к = 1пё?ега1 (0, а а± ({) = ехр(Р± ((1пС—к) а1 (С))). Вычисляя сингулярный индекс функции а (С) = П8=0 (С—1 — С—1) Пк а1 (С), получим кс (а) = — п (а) + 2к. Отсюда с учетом 2) получаем 2к = кс(а) + п(а) = 0. Таким образом, а (С) = Щ=0 (С—1 — С—1)"к а— (С) а+ (С). Тогда (А(а,к))(Х) = а = а (О = " (*$)Га~ {Ы)а+{Ы)'
^к = Ё , к = 1,2,...Нетрудно видеть, пользуясь леммами 3, 4, что последнее представление является канонической гладкой вырожденной факторизацией типа минус Х-символа оператора Винера — Хопфа. Обратно, если оператор Винера — Хопфа Ш (а, к) : £+ {то} ^ £+ {то} обратим, то по теореме Зильберманна [1, 7] его С-символ имеет не более чем конечное число нулей конечных порядков. Выделяя эти нули, как и выше, получим представление а (С) = П8=0 (С—1 — С—1)а— (С) Ска+ (С). Из этого представления следует, что Х-символа оператора Винера — Хопфа допускает гладкую вырожденную факторизацию типа минус с индексом факторизации к. В силу того, что факторизация каноническая к = 0. Но, как и выше, кс (а) = —п (а) + 2к, поэтому условие 2) выполняется. >
Следствие. Оператор Винера — Хопфа Ш (а, к) : £+ {то} ^ £+ {то} обратим тогда и только тогда, когда его С-символ удовлетворяет условиям 1), 2).
4. Спектр оператора Винера — Хопфа
Теорема 3 позволяет описать резольвентное множество оператора Ш (а, к) : £+ {то} ^ £+ {то} с С-символом а (С) следующим образом. Резольвентное множество оператора Ш (а, к) состоит из тех и только тех ц € С, которые удовлетворяют условиям: 1) п (а (С) — ц) < то, 2) кс (п (а (С) — ц)) + п (а (С) — ц) = 0. Следовательно, спектр оператора Ш (а, к) состоит из всех тех ц € С, для которых нарушается либо условие 1), либо условие 2).
Пусть а({) = (А (а, к)) С € Г. Если а({) € С°° (Г), то эта функция порожда-
ет ограниченные операторы Винера — Хопфа, и в пространстве £+ {то} ив пространстве £+ (Л). Условимся каждый из этих операторов обозначать, по-прежнему, Ш (а, к), а их резольвентные множества и спектры (Ш (а, к)а), (Ш (а, к)); р2 (Ш (а, к)), (Ш (а, к)) соответственно.
Теорема 4. Имеют место вложения (Ш (а, к)а) 5 р2 (Ш (а, к)), (Ш (а, к)) С ^ (Ш (а, к)).
< В самом деле, если а (С) — ц = 0, С € Г, то условие 2) означает, что кс(а (С) — ц) = 0. Поскольку кс(а (С) — ц) = 2тё^еГ(а (С) — ц), то тё^еГ(а (С) — ц) = 0. Однако, хорошо известно (см., например, [4]), что выполнение условий а (С) — ц = 0, С € Г, тё£ег(а (С) — ц) = 0 являются необходимыми и достаточными условиями обратимости оператора Ш (а, к) в пространстве £+ (Л), что и доказывает утверждение. >
Отметим, что иногда удается наверняка утверждать, что имеют место строгие вложения резольвентных множеств и спектров или строгие равенства.
Теорема 5. Пусть функция а (С) € С(Г) осуществляет конформное отображение области, содержащей единичную окружность Г, и является С-символом интегрального оператора Винера — Хопфа Ш (а, к). Тогда возможны следующие ситуации:
1) Рте (Ш (а, к)а) = р2 (Ш (а, к)) 0 а (Г), (Ш (а, к)) = ^ (Ш (а, к)) \а (Г), если найдется, хотя бы одна точка ц = а (Со) € Со € Г;
2) рте (W (a, k)a) = р2 (W (a, k)), ате (W (a, k)) = (W (a, k)), если найдется, хотя бы одна точка ц = a ({о) / Рте (W (a, k)), {о € Г.
< Заметим, прежде всего, что для любого ц = a ({0), {0 € Г, функция a ({) —ц = a ({) — a ({0) имеет в точке {0 € Г нуль. При этом в силу конформности, (a ({) — ц) = a' ({) = 0, { € Г, поэтому это обязательно нуль первого порядка, т. е. n(a ({) — ц) = 1 для любых ц € a (Г). Таким образом, для ц = a ({0) € рте (Ta), {0 € Г выполнение условия 2) описания резольвентного множества означает, что Kc(a ({) — ц) = —1, ц = a ({0). Но, тогда, пользуясь определением сингулярного индекса, имеем ис{а ({) — ¡л) = ^v.p. fr = ~
ц = а (¿¡о)- С другой стороны, хорошо известно, что ^v.p. /г есть непрерыв-
ная функция параметра ц € a (Г), принимающая целочисленные значения (см., например, [3]). Поэтому условие Kc(a ({) — ц) = —1 выполняется для любого ц = a ({0) € a (Г), т. е. оператор Ta_A : C^ (Г) ^ C^ (Г) обратим при всех ц = a ({0) € a (Г). Следовательно, a (Г) С рте (W (a,k)), что и доказывает утверждение 1). Утверждение 2) доказывается аналогично. >
Следующие примеры показывают, что могут реализовываться обе ситуации, указанные в теореме 5, а при нарушении условий теоремы возможна ситуация, при которой непустая часть множества a (Г) содержится в спектре оператора W (a, k) и непустая часть — в резольвентном множестве этого оператора.
Пример 1. Пусть Л-символ оператора Винера — Хопфа имеет вид А(1,к) = тогда (Too (W (1, к)) = (т2 (W (1, к)) = D+.
Пример 2. Пусть A-символ оператора Винера — Хопфа имеет вид А(1,к) = тогда ате (W (1, k)) = G2 (W (1, k)) \Г = D+.
Утверждения, приведенные в примерах 1, 2 вытекают из лемм 3, 4.
Пример 3. Пусть Л-символ оператора Винера — Хопфа имеет вид А (0, к) =
Нетрудно видеть, что {-символ этого оператора имеет вид a ({) = ({-1 — 1)n и в точке { = 1 отображение { ^ ({-1 — 1) не является конформным. Простые вычисления показывают, что
1) точка ц = 0 является точкой резольвентного множества и является граничной точкой спектра, если n = 1, 2, 3. При этом оба множества ате (W (1,k))P| a (Г) и Рте (W (1,k)) П a (Г)непусты.
2) точка ц = 0 является изолированной точкой резольвентного множества, если n ^ 4.
Литература
1. Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений.—М.: Наука, 1979.—493 с.
2. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.—М.: Наука, 1971.—352 с.
3. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.—М.: Наука, 1977.—638 с.
4. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи матем. наук.—1958.—Т. 13, № 2.—С. 3-72.
5. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных уравнений.—Кишинев: Штиинца, 1973.—426 с.
6. Пасенчук А. Э. Дискретные операторы типа свертки в классах последовательностей со степенным характером поведения на бесконечности.—Ростов-н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2013.—279 с.
7. Зильберман Б. О сингулярных операторах в пространствах бесконечно дифференцируемых и обобщенных функций // Матем. исследования.—Кишинев: Штиинца, 1971.—Т. 6, № 3.—С. 168179.
Статья поступила 31 июля 2023 г.
Пасенчук Александр Эдуардович Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) им. М. И. Платова профессор кафедры прикладной математики РОССИЯ, 346428, Новочеркасск, ул. Просвещения, 132 E-mail: pasenchuk@mail.ru https://orcid.org/0000-0002-3939-1593
Vladikavkaz Mathematical Journal 2024, Volume 26, Issue 1, P. 132-141
ON REVERSIBILITY AND THE SPECTRUM OF THE WIENER-HOPF INTEGRAL OPERATOR IN A COUNTABLY-NORMED SPACE OF FUNCTIONS WITH POWER BEHAVIOR AT INFINITY
Pasenchuk, A. E. 1
1 Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), 132 Prosveshcheniya St., Novocherkassk 346428, Russia E-mail: pasenchuk@mail. ru
Abstract. We consider the Wiener-Hopf integral operator in a countable normed space of measurable functions on the real axis, decreasing faster then any power. It is shown that the class of bounded Wiener-Hopf operators contains with discontinuous symbols of a special form. The problems of boundedness, Noetherianity, and invertibility of such operators in the given countably normed space are studied. In particular, criteria for Noetherianity and invertibility in terms of a symbol are obtained. For this purpose, the concept of a canonical smooth degenerate factorization is introduced and it is established that the invertibility of the Wiener-Hopf operator is equivalent to the presence of a canonical smooth degenerate factorization of its symbol. The canonical smooth degenerate factorization is described using a functional called the singular index. As a corollary, the spectrum of the Wiener-Hopf operator in the considered topological space is described. Some relations are given that connect the spectra of the Wiener-Hopf integral operator with the same symbol in the countably normed spaces of measurable functions decreasing at infinity faster than any power.
Keywords: countable, normed, space, invertibillity, degenerate, factorization, singular, index, spectrum.
AMS Subject Classification: 47B35.
For citation: Pasenchuk, A. E. On Reversibility and the Spectrum of the Wiener-Hopf Integral Operator in a Countably-Normed Space of Functions with Power Behavior at Infinity, Vladikavkaz Math. J., 2024, vol. 26, no. 1, pp. 132-141 (in Russian). DOI: 10.46698/t7406-3495-9364-r.
References
1. Presdorf, Z. Nekotorye klassy singuljarnyh uravnenij [Some Classes of Singular Equation], Moscow, Mir, 1979, 493 p. (in Russian).
2. Gohberg, I. C. and Fel'dman, I. A. Uravnenija v svertkah i proekcionnye metody ih reshenija [Convolution Equations and Projection Methods for their Solution], Moscow, Nauka, 1971, 352 p. (in Russian).
3. Gahov, F. D. Kraevye zadachi [Boundary Problems], Moscow, Nauka, 1977, 638 p. (in Russian).
4. Gokhberg, I. C. and Krein, M. G. Systems of Integral Equations on the Half-Line with Kernels Depending on the Difference of the Arguments, Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 1958, vol. 13, no. 2 (80), pp. 3-72 (in Russian).
5. Gohberg, I. C. and Krupnik, I. A. Vvedenie v teoriju odnomernyh singuljarnyh integral'nyh uravnenij [Introduction to the Theory of One-Dimensional Singular Integral Equations], Kishinev, Shtiinca, 1973, 426 p. (in Russian).
6. Pasenchuk, A. E. Diskretnye operatory tipa svertki v klassah posledovatel'nostej so stepennym harakterom povedenija na beskonechnosti [Discrete Convolution-Type Operators in Classes of Sequences with Power Behavior at Infinity], Rostov-on-Don, SFU Publ., 2013, 279 p. (in Russian).
7. Silberman, B. On Singular Operators in Spaces of Infinitely Differentiable and Generalized Functions, Matematicheskie issledovanija [Mathematical Research], Kishinev, Shtiinca, 1971, vol. 6, no. 3, pp. 168179 (in Russian).
Received Jule 31, 2023
älersandr e. pasenchuk Platov South-Russian State Polytechnic Department of Applied Mathematics, 132 Prosveshcheniya St., Novocherkassk Professor
E-mail: pasenchuk@mail.ru
https://orcid.org/0000-0002-3939-1593
University (NPI), 346428, Russia,
