Об обобщенной разрешимости первой краевой задачи для вырождающегося обыкновенного дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.96 О. А Вихрева, Г. И. Тарасова

ОБ ОБОБЩЕННОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Рассмотрен частный случай ранее изученного автором вырождающегося дифференциального оператора второго порядка с сохранением введенных предположений и обозначений. Выяснено, что при «слабом» вырождении член aut в данном уравнении является «младшим». Наличие его и знак коэффициента a не оказывают существенного влияния на свойства решения и характер постановки задачи. Картина решения уравнения меняется, если внимание будет сосредоточено именно на изучении случаев, связанных с «сильным» вырождением. Это показывает, что структура решения и выполнение граничных условий зависят от знака a. Кроме того, доказано существование и единственность обобщенного решения первой краевой задачи для данного уравнения с применением теории операторов. Результаты, полученные для данного уравнения, содержащего вырождение, будут использованы в дальнейшем для исследования таких уравнений, которые содержат модельные операторы. Уравнения такого вида возникают при математическом моделировании различных физических процессов.

Ключевые слова: гильбертово пространство, вырождающийся дифференциальный оператор, обобщенное решение, «слабое» вырождение, «сильное» вырождение, неоднородное уравнение, общее решение, частное решение, модельные операторы, моделирование физических процессов.

O. A. Vikhreva, G. I. Tarasova

Generalized Solvability of the First Boundary Value Problem for the Degenerate Ordinary Differential Equation

The paper considers a private case of the degenerating differential operator of the second order with saving of the entered assumptions and designations earlier studied by the author. It is founded that at «weak» degeneracy the member of aut in this equation is «the younger». Its existence and a sign of coefficient a have no essential impact on properties of the decision and character of a problem definition. The picture of the solution of the equation changes if the attention is concentrated exactly on studying of the cases connected with «strong» degeneracy. It shows that the structure of the decision and performance of boundary conditions depend on a sign a. An existence and uniqueness of the generalized solution of the first boundary value problem of this equation using the theory of operators is proved. The results that received for this equation containing degeneracy will be used further for research of such equations that contain model operators. Such kind equations appear with mathematical modeling of various physical processes.

Keywords: Hilbert space, degenerating differential operator, generalized solution, «weak» degeneracy, «strong» degeneracy, inhomo-geneous equation, general solution, particular solution, model statements, modeling of physical processes.

ВИХРЕВА Ольга Анатольевна - к. ф.-м. н., доцент кафедры высшей математики ИМИ СВФУ им М. К. Аммосова.

E-mail: [email protected]

VIKHREVA Olga Anatolyevna - candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate Professor the Department of Advanced Mathematics, the Institute of Mathematics and Information Science, the North-Eastern Federal University after M.K. Ammosov.

E-mail: [email protected]

ТАРАСОВА Галина Ивановна - к. ф. м. н., доцент кафедры высшей математики ИМИ СВФУ им М. К. Аммосова.

E-mail:[email protected]

TARASOVA Galina Ivanovna - candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate Professor the Department of Advanced Mathematics, the Institute of Mathematics and Information Science, the North-Eastern Federal University after M.K. Ammosov.

E-mail: [email protected]

Введение

В данной работе рассматривается частный случай вырождающегося дифференциального оператора второго порядка

Ли= -(фи) + au + pu, 0< t< b, где ф(£) - непрерывная положительная функция при t>0, ф(0)=0, a, p - числа [1]. В классической ситуации основополагающей была работа [2]. Обширная библиография имеется в [3]. Но в работах, близких к данной, недостаточно изучен ряд явлений, поэтому имеется большое количество невыясненных вопросов.

В представленной работе применяется теория операторов для исследования ряда специфических свойств задачи, относящихся к случаю зависимости от малого параметра, и общая схема [4-5].

Задачей данной работы является исследование существования и единственности обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося обыкновенного дифференциального уравнения. Основное внимание уделяется изучению эффектов, связанных с «сильным» вырождением.

Настоящая задача решается для использования в дальнейших исследованиях формально сопряженного (связанного операцией транспонирования) уравнения, а также для получения некоторой теоремы существования и единственности обобщенного решения формально сопряженного уравнения из доказанной теоремы. Использование приведенных ниже результатов, относящихся к данному уравнению, сводится в простейшем случае к операторным уравнениям.

Уравнения такого вида возникают при математическом моделировании различных физических процессов. Например, подобные уравнения используются при описании стационарных процессов конвекции - диффузии в неоднородных анизотропных средах. В частности, к таким уравнениям приводит математическое моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в неоднородной анизотропной пористой среде, процессов фильтрации двухфазных жидкостей и т. д. Подробно математические модели физических процессов изложены в [4, 6].

Постановка задачи

Итак, рассмотрим уравнение

Ли=-(фи)-au==f, 0<t<b, (1)

где q>(t) - непрерывная положительная функция при t >0, ф(0)= 0, a- const> 0.

Здесь структура решения и выполнения граничных условий зависит от знака a.

пЬ i

Положим 1= I -dt.

J0 q(t)

Введем вспомогательную функцию

dt т

—, Kra,

<P

rdr

I —,

J, <P

Пусть W 2(0,b) - замыкание класса C0° (0, b) по норме

|| u ||j2 = f b\u] + u2]dt. 0

Обозначим новое гильбертово пространство, которое является пополнением Ш 2(0,Ь) по норме

2 СЬ 2 || u ||„ = I qu, dt.

H i J о

ws (t) =

Н1 Л0

Введем функцию ю/0 положив

0, 0 < t < 5,

|1п(Ф(5))Г -|1п(Ф(г))Г, 5< t < 8г,

1, 51 < t < Ь.

Здесь 0 < е < —, число 31 выбирается из соотношения

|1п(Ф(5))Г -|1п(Ф(51))|в= 1. Заметим, что 3<31 и 3^0 при 3—0 и £ = 1.

Теперь для Ум £ Н1 произведение ю5и е Ж\(0,Ъ) (и,

тем более, пространству Н1).

Для V е Н1 положим vs = а>в ^)у и {и, vs }lp = ^ Определение. Обобщенным решением уравнения (1) (а > 0) назовем элемент и е Н1 такой, что для любого V е Н1 и для любого 3 >0 выполнено равенство

{и,\>3}9 -С1{и,,= (У,у^. (2)

Лемма 1. Если и (/) - обобщенное решение уравнения (1), то существует конечный предел

lim(u,, us) = lim

s^o s^o

2 f mstu 2 dt

-c < o,

(3)

причем с = 0 при I < т.

Доказательство. Подставим в (2) и=и, получим

Ь Т

^ [цко8и +фю51и,и — ащци^ = ^ f (4)

0 0

При 3 —> 0 из (4) получим

D D

^ qiuf dt + ac2 = ^ fudt,

т. к. первое слагаемое в (4)

О. А. Вихрева, Г. И. Тарасова. ОБ ОБОБЩЕННОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

^ dt ^ ^

0 0

при 8 —> 0 в силу стремления ю8 к единице, а второе слагаемое в (4) стремится к нулю при 8 — 0.

Действительно, оценим при I < да второе слагаемое в (4) с учетом леммы 1 из [1]

<

Из леммы 1 и следствия вытекает, что при «слабом» вырождении член аи1 в уравнении (1) является младшим. Оба граничных условия при ( = 0, / = Ь сохраняют смысл. Рассмотрим случай, связанный с «сильным» вырождением. ь

Пусть I =да и ^ — <ж. Запишем общее решение

b ' «1 1/2 ' «1

^ (pcoSiutudt < ^ (pu2dt J ф(0«,и2 dt

0 . « _ «

однородного уравнения (1) при t >0 в виде

<

£ ||u ||2.

_Hl

Vl- 2s

b 1

i(t) = C Г-e-a®lj)dT + C2

(6)

([- 1п(Ф(«))Г-1 -[-!П(Ф(5))]2£-1 )1/2 ^ 0,

где С1, С2 - произвольные постоянные. Тогда при / >0 частное решение неоднородного уравнения (1) имеет вид

при S ^ 0.

Аналогично при I =да получаем

1

«(О = - Г [-1 + e

a Ч

о (Ф(( )-Ф(т))

]f (r)dr, a > 0.

(7)

f <РЫыи,

udt

<

e|| u ||2.

_Hi

Vi- 2£

■([1п(Ф(51))]2£-1-[1п(Ф(5))]2£-1

которое при 8 — 0 стремится к нулю.

Правая часть равенства (4) стремится к I fudt при

5 А к)0

8 — 0 в силу стремления ю8 к единице. С другой стороны при I = да имеем

Лемма 2. При любом f е L2(0, Ь) существует предел lim ü(t) = 0.

Доказательство. Разобьем правую часть (7) на два слагаемых

ja>sutudt = — — j— a>stu2dt ^ — c~

0 2 s

при S ^0 (raS>0).

При I<w оценим предыдущий интеграл по модулю

f ms,u2dt < s f [- 1п(Ф(г))]s-1 — | u |2dt < J J фФ

0 0 T

&1 1 < sf [-ln(0(t))Г-1 —Ф || u||2 dt =

J фФ Hi

t 1 t f f (T)dT +1 еаф( ) f е~аф (T) f (r)dr.

(8)

Первый интеграл стремится к нулю при / — 0. Оценим второй интеграл в (8) по модулю

^) j f (T)dT < ^ j

\b,(0,b) •

Раскроем неопределенность в дроби, пользуясь правилом Лопиталя, при I = да.

фФ

ф№)

lim

f J о

e^dr

= £ || и ||2 Г [- 1п(х)]£-1 dx <

Н1 ^ 0

< £ || и ||2. [-НФ^ХТ1 Ф(8д,

Н1

которое при 81 — 0 стремится к нулю, т. е. с = 0.

Следствие. Обобщенное решение уравнения (1) единственно. При I <да утверждение о единственности решения не зависит от а.

Доказательство. При I =да положим в (2) / = 0, V = и € Н1. Тогда будем иметь Гь 2

I + фа>В1и1и — аю&и{и\11 = 0.

^ 0

При 8 — 0 из (5) получим

(е-2аФ ('))/

lim Ш = 0.

<^0 2а

При I < да частное решение неоднородного уравнения (1) имеет вид

и (t) = 1 Г [e-

a J„

а(Ф(1 )-Ф(т))

-1]f (r)dr, a > 0.

Проведя аналогичные выкладки, как и в (7), получаем

f 'e J 0

dr

lim ^ = 0.

lim , . ,

'^0 (е2аф('))' '-0 2a

nb t

Лемма 3. При I = да и I —dt <<ж функция Jo ф

J qiuf dt + ac2 = 0.

1

u(t) = - f [-1 + e£

a 4

■(ф(( )-Ф(т))

] f (T)dT- u (b) (9)

Отсюда следует, что u (t ) = 0.

при (>0 и м(0) = — и(Ь) при / = 0 принадлежит пространству Н1 и дает обобщенное решение уравнения

0

b

о

о

2

0

0

0

b

0

)- аи, = У.

Доказательство. Так как, и(1) е Н1, то и(() есть непрерывная ограниченная функция, удовлетворяющая условию и (Ь)=0 и неравенству | и(г) |2 < Ф(t) || и ||2„ .

Н1

Справедливость равенства (2) при любом V е Н1 следует из равенства

{U vs)v = -f (<Pu,),

получаемого интегрированием по частям. Из леммы 3 следует следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполнено условие I = да и

Сь tdt

I — < те. Тогда при любой / е L2 (0, Ь) существует и о ф

обобщенное решение уравнения (1).

Теорема 2. При I < да обобщенное решение уравнения (1) единственно при любой / е L2(0, Ь) и удовлетворяет условиям и (0)= 0, и (Ь)= 0.

Доказательство. При I <да имеем

t

i(t) = С, J

1

аф(т)

dT + С2 + и (t)

1 г1 -где и(t) = - I [e aJ 0

о V(t)

m)-ф(Т))_1] f (T)dT, a > 0.

При u(0) = 0 получаем C2= 0 при u (b) = 0 получаем

b

u(b) = C fC

аф(т)

Ф)

dT + u(b) = 0,

и (b)

отсюда найдем

f dT

J 0

'0 p(r)

" Л

'о ф)

Значит u(t) = C1 f'—1—e-°(T)dT + U(t) •J 0 т(т)

является един-

ственным решением уравнения (1).

Определение обобщенного решения для уравнения (1) задает некоторый оператор Л:Ь2(0,Ь)^Ь2(0,Ь) с плотной в L2(0,b) областью определения D(A) с H i с С L2(0, b).

пь tdt

Теорема 3. Пусть I —Уравнение Ли=/разре-Jo ф

шимо при любом f е L2(0,b); заданный на всем пространстве L2(0,b) оператор Л"1: L2(0,b)^-L2(0,b) вполне непрерывен.

Доказательство. Полная непрерывность оператора Л"1 следует из справедливости для обобщенного решения неравенства || u ||. < C || f ||Í2(0 i), получаемого из (2) при и= u и д^ 0, также вполне непрерывности вложения H1 в L2(0,b) [1,7].

Заключение

Таким образом, с помощью теории операторов доказана обобщенная разрешимость первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения.

Л и т е р а т у р а

1. Вихрева О. А. О спектре вырождающегося обыкновенного дифференциального оператора второго порядка // Математические заметки СВФУ - Т. 20, Выпуск 1, 2013. - C. 12-19.

2. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа // ДАН СССР. - 1951. - Т. 77, № 2. - С. 181-183.

3. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.: Наука, 1966.

4. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970.

5. Дезин А. А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач // Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН. - 2000.

- Т. 229. - C. 131-141.

6. Баев А. Д. Некоторые качественные методы математического моделирования в теории вырождающихся краевых задач: Дисс. ... д. ф.-м. н. - Воронеж, 2008. - 252 с.

7. Егоров И. Е. Теоремы вложения и компактности для одного класса весовых пространств // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: Изд-во НГУ,1993.

- С. 161-168.

R e f e r e n c e s

1. Vikhreva O. A. O spektre vyrozhdaiushchegosia obyk-novennogo differentsial'nogo operatora vtorogo poriadka // Mate-maticheskie zametki SVFU. - T. 20, Vypusk 1, 2013. - C. 12-19.

2. Keldysh M. V. O nekotorykh sluchaiakh vyrozhdeniia uravnenii ellipticheskogo tipa // DAN SSSR. - 1951. - T. 77, № 2.

- S. 181-183.

3. Smirnov M. M. Vyrozhdaiushchiesia ellipticheskie i giper-bolicheskie uravneniia. - M.: Nauka, 1966.

4. Mikhlin S. G. Variatsionnye metody v matematicheskoi fizike. - M.: Nauka, 1970.

5. Dezin A. A. Differentsial'no-operatornye uravneniia. Metod model'nykh operatorov v teorii granichnykh zadach // Trudy Mate-maticheskogo instituta im. V. A. Steklova RAN. - 2000. - T. 229.

- C. 131-141.

6. Baev A. D. Nekotorye kachestvennye metody matemati-cheskogo modelirovaniia v teorii vyrozhdaiushchikhsia kraevykh zadach: Diss. . d. f. -m. n. - Voronezh, 2008. - 252 s.

7. Egorov I. E. Teoremy vlozheniia i kompaktnosti dlia odnogo klassa vesovykh prostranstv // Neklassicheskie uravneniia mate-maticheskoi fiziki. - Novosibirsk: Izd-vo NGU, 1993. - S. 161-168.

irírír

J