CC BY
12УДК 515.162.3+514.13
ОБ ОБОБЩЕНИИ МНОГООБРАЗИЯ ЭВЕРИТА*)
Т. А. Козловская
Работа посвящена построению новых примеров замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий и исследованию их свойств.
Возможность построения трехмерных многообразий из Платоновых тел исследовалась многими авторами. Итог этих исследований подведен в [1], где дан полный список сферических: М\,... , Mg, евклидовых: Ы$,... , M14, и гиперболических: Мб, • • • , М28, многообразий, каждое из которых получается попарным отождествлением граней подходящего правильного многогранника из соответствующей геометрии. Например, из правильного гиперболического додекаэдра с двугранными углами 2п/5 можно построить восемь различных многооб-
M
ферта [2]. Из правильного гиперболического икосаэдра с двугранными углами 2п/3 можно построить шесть различных многообразий. Нас будет интересовать одно из этих многообразий, обладающее симмет-
M
работе по соображениям, естественность которых будет видна ниже,
M
образием Эверита.
Пусть Р(3) — правильный гиперболический 2п/3-икосаэдр с обозначениями граней и вершин, как на рис. 1 (предполагается, что правая
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01—0255) и интеграционного гранта СО РАН и УрО РАН.
© 2010 Козловская Т. А.
Б
р1 хз р3 х2 р2 xi р1
Рис. 1. Отождествление граней многогранника Р(3).
и левая стороны, обозначенные Р\К\81, должны быть отождествлены).
Рассмотрим попарное отождествление <(3) граней Р(3), которое, очевидно, может быть реализовано изометриями гиперболического пространства:
[РгРг+1 <г ^ Рг+2 йг+2 <¿+2]; [<ЗгЪ+1 Рг+1 ^ йг+2 $¿+2 $¿+1 ],
[<¿-1 ^¿£¿-1 ^ £г<гйг],
(1)
где г = 1, 2,3 и все индексы берутся по модулю 3. Фактор-пространство М(3) = Р(3)/<(3) является псевдомногообразием. Поскольку его эйлерова характеристика равна нулю (сто = 1> ст\ = Ю, ст2 = 10, стз = 1, где стг — число ¿-мерных клеток в М(3)), по теореме Зейфер-та — Трельфалля, М(3) — замкнутое 3-многообразие. Заметим, что
все вершины Р(3) лежат в одном классе эквивалентности относительно
<
Как отмечено в [3], конструкция М(3) может быть обобщена для произвольного п ^2, что приведет к бесконечной серии многообразий Мс(п). К сожалению, в работе [3] отсутствует явная конструкция многообразий Мс(п). Авторы пишут только о том, что такие многооб-
М
группы:
п(М с( п)) = (х, .. . Уъ. .. ,УП ¿1, .. . , 2„; и | XX ...хп = 1,
ЖгУг = и, Уг^ = Жг — , = уг— , г = 1, . . . , п) . (2)
Строя многообразия М(п) то правилу (1) как обобщение М(3), нетрудно видеть, что при нечетном п представление (2) дает п (М(п)), однако п
комплекс Р(2), приведенный на рис. 2, где предполагается, что правая и левая стороны должны быть отождествлены.
Б
Р1 X Р2 ХХ Р-1
Б
Рис. 2. Отождествление граней многогранника Р(2).
Тогда М(2) = Р(2)/<^(2), где попарное отождествление граней ^(2) задается правилами (1). Поскольку эйлерова характеристика псевдомногообразия М(2) равна нулю (сто = 2, о\ = 8, ст2 = 7, ст3 = 1), по теореме Зейферта — Трельфалля М(2) — замкнутое 3-многообразне. Отметим, что все вершины Р(2) распадаются на два класса эквивалентных относительно у>(2). Особенности получения представления фундаментальной группы трехмерного многообразия в случае более чем одной 0-клетки подробно описаны в [4, с. 276 279 . чем мы и пользуемся ниже.
Покажем, что многообразие М(2) отлично от Мс(2). Поскольку вся имеющаяся в [3] точная информация о Мс(2) это его фундаментальная группа, сравним ее с фундаментальной группой п(М(2)).
Утверждение 1. Группа n(MC(2)) является циклической группой порядка 6, а п(М(2)) является циклической группой порядка 3. Доказательство. Согласно (2) n(MC(2)) имеет представление
(u, x, X, Vi, У2, Zi, z2 | XX = 1, Хй = u, Х2У2 = u,
Vizi = X, V2Z2 = X, ZiZ2 = Vi, ZiZi = У2}•
Переходя к порождающим zi и Z2, получим, что она может быть представлена в виде (zi,z2 | Z2Z1Z2Z1Z2 = Z1Z2Z1Z2Z1, Z2Z1Z2Z1Z2Z1 = 1}, откуда z2 = Zi и n(MC(2)) = (zi |z? = 1).
По построению M(2), n(M(2)) имеет представление
(u, Xi, X2, У1,У2, Zi, Z2 | XX = 1, XVi = u, XV2 = 1,
y1Z1=X2, y2Z2=X, ZiZ2=Vl, Z2Zi = У2 }•
ZZ
(Z , Z | Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z }, Z
П(М(2)) = (zI | Z? = 1).
Многообразия MC(4) и M(4) (рис 3) также различны. В самом деле, вычисляя с помощью компьютерной программы GAP [5] абелевы
инварианты фундаментальных групп этих многообразий, для первой
, , , , , ,
D
P1 Х4 P4 Ж3 P3 Ж2 P2 Xi P1
D
Рис. 3. Отождествление граней многогранника P(4).
Утверждение 2. Если п = 2 к ^ 2, то
п(М(п)) = (х,... ,хта; Уъ... ,УП ,гта; и | 1,
Доказательство. Непосредственно следует из описания М(п) через отождествления (1).
М
Доказательство. Как отмечено выше, все вершины комплекса Р(2) разбиваются на два класса эквивалентных относительно ^(2). Согласно [4] для получения представления фундаментальной группы п(М(2)) необходимо положить, что путь, соединяющий эти вершины является тривиальным. Положим, что тривиальным является путь, со-ответствущий ребрам с меткой ¿2. Стягивание этого пути соответствует стягиванию трех ребер на Р(2), что приведет к симплициальному
М
Соответствующая этому симплициальному комплексу диаграмма М
уг¿г — хг—1, ¿г — уг—1, ^ — 1, . . .
Х2]— 1У2]— 1 = и, х]У2] = 1, 3 = 1,... к).
Рис. 4. Стягивание ребер на Р(2) с утками ¿2-
Рис. 5. Диаграмма Хегора многообразия М(2).
С помощью последовательности пре образований Зингера эта диаграма Хе-гора приводится к виду указанному на рис. 6, что, как хорошо известно, является диаграммой Хегора линзового пространства L(3,1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Everitt В. 3-Manifolds from Platonic solids // Topology Appl. 2004. V. 138. P. 253263.
2. Seifert H., Weber C. Die beiden Dodekaedraume // Math. Z. 1933. Bd 37. S. 237253.
3. Cavicchioli A., Spaggiari F., Telloni A. I. Topology of compact space forms from Platonic solids. II // Topology Appl. 2010. V. 157. P. 921-931.
4. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. Ижевск, 2001.
5. GAP — Groups, Algorithms, Programming. A System for Computational Discrete Algebra. At: http://www.gap-system.org.
Рис. 6. Диаграмма Хегора линзового пространства L(3,1)
г. Новосибирск
20 ноября 2010 г.
