CC BY
35
КОМПЬЮТЕРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РАСШИРЕННЫХ ДИАГРАММ ХЕГОРА *
С.В. Матвеев, В.В. Таркаев
Излагаются теоретические основы и результаты работы программы, которая перечисляет диаграммы Хегора рода 2 и распознает соответствующие им трехмерные многообразия.
Ключевые слова: трехмерное многообразие, диаграмма Хегора, специальный спайн.
1. Введение
Пусть М - замкнутое ориентируемое трехмерное многоообразие. Тогда его можно представить в виде объединения двух полных кренделей некоторого рода. Такое разбиение называется разбиением Хегора,. Если в кренделях фиксировать меридиональные диски, то получится диаграмма Хегора. Одно и то же многообразие может иметь несколько неэквивалентных диаграмм. Вопрос о их структуре весьма важен и интенсивно изучался многими математиками. В настоящей работе мы немного изменяем определение диаграммы Хегора, получая при этом более удобное понятие расширенной диаграммы Хегора,. Замечательное обстоятельство: расширенные диаграммы параметризуются шестерками целых неотрицательных чисел, что резко сокращает объемы классифицирующих таблиц.
2. Расширенные диаграммы Хегора
Определение 1. Система М. = ¡¿о U ... U ц9 непересекающихся простых замкнутых кривых на, замкнутой ориентируемой поверхности F рода, g называется допустимой, если эти кривые разбивают F на две связные части так, что к каждой кривой прилегают обе части.
Несложное вычисление эйлеровой характеристики показывает, что каждая часть в этом определении является сферой с g + 1 дырками.
Определение 2. Расширенной диаграммой Хегора рода g называется тройка, (F,Ai,C), где F - замкнутая ориентируемая поверхность рода, g,
* Работа выполнена при поддержке авторов грантами РФФИ № 02-01-01013, "Университеты России" Л® 04.01.33 и Министерства образования РФ № Е02-1.0-146.
а М. = fj,Q U ... U fj,g, С = Ао U ... U Хд - допустимые системы замкнутых кривых на ней.
Замечание 1. Если из систем Л4 и С удалить по одной кривой, то получится обычная диаграмма Хегора. Обратно, к каждой обычной диаграмме Хегора можно добавить пару кривых так, чтобы получилась расширенная диаграмма.
Как и обычные диаграммы, каждая расширенная диаграмма однозначно определяет некоторое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие Л/. которое можно построить следующим образом. Приклеим к поверхности F х {0} С F х [0,1] ручки индекса 2 вдоль кривых первого семейства. Затем такие же ручки приклеим к поверхности F х {0} С F х [0,1] вдоль кривых второго семейства. Край объединения многообразия F х [0,1] со всеми приклеенными ручками будет состоять из четырех сфер. Заклеив их шарами, мы получим М. При этом удобно отождествить поверхность F с поверхностью F х {1/2} и считать ее лежащей в М. Она разбивает М на два полных кренделя.
Определение 3. Две расширенные диаграммы Хегора, (F,Ai,C), (F', A4', С') одного и того же многообразия М называются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм h: М ^ М, что h(F) = F'.
Пусть В - трехмерный шар. Под треугольным узором на сфере дВ мы понимаем набор Di, !)■>. Д; когерентно ориентированных непересекающихся дисков в дВ вместе с набором L = (li,.. .¡¡у) соединяющих их дуг. Дуги не должны пересекаться, причем концы каждой дуги должны лежать на краях различных дисков.
Обозначим через щ число дуг, соединяющих dDj с 8Dгде (i,j,k) _ циклическая перестановка чисел (1, 2, 3). Тогда общее число дуг в L равно п\ + П2 + щ. Мы будем называть объединение дисков D{ с этими дугами треугольным (ni, П2, тгз)-узором. Под прим um иены м топологическим поворотом, диска D{ понимается сохраняющий ориентацию гомеоморфизм г,: Г), г Г),. который переводит каждый конец дуги из L П dD{ в конец следующей дуги (по отношению К положительному обходу окружности dDi).
Мы построим зависящее от шести параметров семейство расширенных диаграмм рода 2 следующим образом. Пусть (щ, П2, «З; &ъ кз) ~ произвольная шестерка целых неотрицательных чисел. Возьмем два шара В, В' с одинаковыми треугольными (щ, П2, пз)-узорами, расположенными симметрично относительно некоторой плоскости L (см. рисунок).
Обозначим через ,ч симметрию относительно этой плоскости. Мы склеиваем шары В и В' путем отождествления каждоі'о диска Г), с симметричным ему диском Д-, 1 < і < 3. Гомеоморфизм склеивания Л,?- : О і —>■ Д-задается правилом 1ц = зг*', х’де я симметрия и г*' я степень нри-митивноі’о тонолоі'ическоі'о поворота. В результате такоі'о склеивания получится полный крендель Н рода 2 вместе с системой С = Аі и Л-2 и ... и Хт нескольких простых замкнутых кривых на ОН, склеенных из дуг Ь апё Ь'. Обозначим через М. = /.¿і и Ц2 и набор окружностей в ОН. полученных отождествлением краев дисков Г), и Д-.
Определение 4. Шестерка чисел [п\, П2, щ, к\, к-2, к-$) называется правильной. если
1) система С допустима:
2) после, разрезания поверхности Р = ОН по окружностям, С = АіиАги Аз дуги, на которые при этом, разрезаются .меридианы, и Ц2 и образуют треугольный узор.
Из этого определения сразу следует, что если шестерка (п\, п-2, пз, к\, к-2, к:і) правильна, то тройка (К *М,£) является расширенной диаграммой Хегора рода 2. Мы будем обозначать эту диаграмму через Д(пі, П2, пз, к\, Л>2, к:і), а определяемое ею замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие через М(п\, п2> Щ, к\. &2, к$).
Теорема 1. Любая, расширенная диаграмма Хегора, [Р. М., С) рода 2 эквивалентна диаграмме вида, Д(пі,п2,пз, &і, &2, &з).
Доказательство. С помощью изотонии легко добиться, чтобы среди областей, на которые кривые Л4.С разбивают поверхность Д не было двуугольников. Разрежем і7 но кривым Л4. Если узор, составленный из получившихся при этом дуг кривых С, не является треугольным, то диаграмма
упрощается с помощью волновых преобразований, описанных в [1; 2]. Аналогичные волновые преобразования упрощают диаграмму и в двойственном случае, когда кривые Л4 и С меняются ролями. Выполняя такие упрощения до тех пор, пока это возможно, мы добьемся, чтобы оба узора были треугольными. □
Определение 5. Шестерка (п1,п2,щ, ki, k2, к%) неотрицательных целых чисел называется приведенной, если выполнены следующие условия:
1) П1>П2> п3;
2) 0 <ki < rij + ns, где (i,j,s) - произвольная циклическая перестановка чисел (1, 2, 3);
3) ki < (п2 + щ)/2;
4) Если щ = тг.*_|_1, где i = 1 или i = 2, то ki < к^\.
Нетрудно показать, что любая расширенная диаграмма Хегора рода 2 эквивалентна диаграмме, задаваемой приведенной шестеркой. Дей-ствительпо, по теореме 1 можно считать, что данная диаграмма имеет вид D(rii, П2, Щ, ki, к2, кз). Первое и четвертое условия достигаются за счет перенумерации дисков Djt, а третье - за счет обращения ориентаций шаров. Выполнения второго условия можно всегда добиться за счет приведения чисел ki по модулю kj + ks, которое никак не влияет на диаграмму.
3. Перечисление и распознавание диаграмм
Наша следующая задача состоит в перечислении расширенных диаграмм Хегора рода 2. Разумеется, диаграммы рассматриваются с точностью до эквивалентности. Поэтому для каждого класса нужно указать только одного представителя. Мы будем задавать диаграммы приведенными шестерками, стараясь в каждом случае среди всех возможных шестерок выбрать минимальную. Порядок на множестве всех приведенных шестерок можно установить так: шестерка (щ, п2, щ, к\, к2, к$) меньше шестерки [п'ъ п2, п'3, к[, к'2, &з), если либо ni + п2 + щ < п\ + п2 + п'3, либо 711+712 + 713 = 71^ + П2 + П3, и шестерка {п\, п2, щ, к\,к2,кз) меньше шестерки (п[, п2, п'3, к[, к'2, к'3) в смысле естественного лексикографического порядка. Отметим, что число п\ + п2 + пз имеет простой и ясный геометрический смысл: оно равно числу точек пересечения кривых соответствующей расширенной диаграммы Хегора.
Приведем простые частичные критерии, позволяющие отбрасывать неправильные шестерки и шестерки, задающие неминимальные диаграммы:
1) Для того, чтобы шестерка (hi, п2, щ, ki, к2, к%) была правильной, необходимо, чтобы числа П\,П2, щ имели одинаковую четность, а четность чисел к\, к2, к% была противоположной.
2) Если шестерка {п\,п2, щ, к\, к2, к%) приведена, щ < к% < п\ + п2 — щ и пз < п2, то она не минимальна в строгом смысле: несложное преобразование позволяет построить эквивалентную диаграмму, которая задается шестеркой (п[, п2, п'г, к[, к'2, к'г) с меньшей суммой первых трех параметров. Это преобразование применимо и в случае из = п2. При этом получается шестерка вида {п\,п2, щ, к[, к2, к'г), которая примерно в половине случаев (в зависимости от полученных параметров к[,к2,к^) меньше исходной.
Напомним, что каждая расширенная диаграмма (F, Л4,£), задаваемая некоторой приведенной шестеркой (щ, п2, пз, к\, к2, &з), имеет двойственную диаграмм,у, которая задается, вообще говоря, другой приведенной шестеркой (n'i, п'2, nij, к[, к'2, k's). Мы будем говорить, что эти шестерки двойственны, друг другу. Разумеется, щ + п2 + щ = н'х + п2 + п'3. Так как двойственная диаграмма эквивалентна исходной, то третий частичный критерий неминимальности можно сформулировать так:
3) Если шестерка (п'1; «2, nij, fei,, &з), двойственная данной шестерке {п\, п2, пз, к\, к2, &з), либо меньше нее, либо упрощается с помощью критерия 2, то шестерка (ni,n2,ns,ki,k2,k^) не минимальна.
АЛГОРИТМ ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ ДИАГРАММ. Этот алгоритм состоит в монотонном переборе приведенных шестерок. Каждая следующая шестерка подвергается предварительной проверке на правильность и на минимальность с помощью частичных критериев 1,2. Для каждой шестерки, выдержавшей такую проверку, строится система кривых С (см. определение 4), что позволяет точно выяснить, является ли рассматриваемая шестерка правильной. Заключительный шаг состоит в проверке на минимальность с помощью критерия 3.
АЛГОРИТМ РАСПОЗНАВАНИЯ МНОГООБРАЗИЙ. Мы пользуемся алгоритмом, который подробно описан в [3]. Его первый шаг состоит в построении специального спайна Р многообразия, задаваемого данной диаграммой (F, Л4,£). Спайн Р получается из поверхности F абстрактным приклеиванием дисков по всем кривым диаграммы. Второй шаг заключается в упро-
щении этого спайна с помощью специальных преобразований. Многообразие, отвечающее спайну, при этом может меняется (в частности, распадаться на несколько частей), но только контролируемым образом. Заключительный шаг состоит в сборке из этих частей исходного многообразия.
4. Результаты
В таблице приведены в возрастающем порядке все правильные шестерки до уровня П1 + П2 + П3 < 13, которые выдержали проверку по критериям 1-3. В каждой строке таблицы содержатся также соответствующее трехмерное многообразие и его первая группа гомологий. 53 обозначает стандартную трехмерную сферу, Ь^р, д) есть линзовое пространство с параметрами (р, д). Оно получается факторизацией сферы 53 по линейному действию циклической группы Ър порядка р. Многообразие Зейферта, расслоенное над сферой с тремя особыми слоями с ненормализованными параметрами /%), 1 < г < 3, мы записываем в виде (52, («1, /?1), («2, /ЗгК («3; /?з))-Наконец, знак ф обозначает связную сумму многообразий.
П\ П2 п3 к\ м ЯХ(М)
1 1 1 0 0 0 0
3 1 1 0 0 2 ¿2,1 ^2
2 2 2 1 1 1 £ 3,1 Хз
3 3 1 2 2 0 ¿2,1#-^2,1 ^2 Ф -¿?2
4 2 2 1 1 1 £ 5,2 ^5
4 2 2 1 1 3 £ 4,1
3 3 3 2 2 2 (5‘2, (2,1), (2,1), (2,-1)) ^2 Ф 2^2
5 3 1 2 2 0 ¿3,1#-^2,1 ^6
4 4 2 1 1 1 со оо ^8
4 4 2 1 3 1 1-7:2
4 4 2 3 3 1 £5,1 ^5
6 2 2 1 1 1 1-7:2
5 3 3 2 2 4 (52, (2,1), (2,1), (3, —2))
5 5 1 2 2 0 £з,1#£з,1 Ф
5 5 1 2 4 0 £з,1#£зд Ф
7 3 1 2 2 0 -^2,1#-^4,1 ^2 Ф ^4
4 4 4 1 1 1 (Я2 ,(2,1), (2,1), (2,1)) ^2 Ф ^6
4 4 4 1 1 5 (52, (2,1), (2,1), (3,-1)) Ж$
4 4 4 3 3 3 (52, (2,1), (3,1), (3, —2)) %3
6 4 2 1 1 1 ¿11,3 Zu
6 4 2 1 5 1 Lg,2 Z9
6 4 2 3 1 1 Lf¡,i Zio
8 2 2 1 1 1 Lg,2 Z9
7 3 3 2 2 6 (S\ (2,1), (2,1), (4,-3)) Z2 Ф Z2
7 5 1 2 2 0 ¿3,1#-^4,1 ^12
7 5 1 2 6 0 ¿3,1#-^4,1 ^12
9 3 1 2 2 0 Z10
9 3 1 2 4 0 Z10
Анализ этой таблицы показывает, что приведенные критерии достаточны для отбрасывания практически всех неминимальных диаграмм. Однако исключения все же встречаются. Например, неминимальная шестерка (6, 2, 2,1,1,1) выдержала проверку по всем трем критериям. Другое наблюдение: если пз = 1 и к% = 0, то соотвествующее многообразие является либо линзовым пространством, либо связной суммой двух линзовых пространств. Этот факт можно доказать теоретически. Ограниченность объема статьи не позволяет привести полную таблицу, составленную авторами до уровня П1+П2+П3 < 24. Она состоит из 385 строк. Всего получилось 315 различных многообразий, из них 95 линз, 157 многообразий Зейферта, 7 многообразий Столлингса, 7 многообразий с нетривиальным JSJ-разбиением, 43 приводимых и 6 гиперболических многообразий. Сравнение этих данных с известными результатами о числе различных диаграмм Хегора одного и того же многообразия показывает, что все они имеют практически одинаковую сложность, что позволяет сделать далеко идущие эмпирические выводы о структуре множества всех диаграмм Хегора.
Список литературы
1. Володин И.А., Кузнецов В.E., Фоменко А.Т. О проблеме алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы / / Успехи мат. наук. 1974. Т. 29, № 5. С. 71-168.
2. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. М.: Наука, 1998.
3. Matveev S. Algorithmic Topology and, Classification of 3-manifolds // Algorithms and Computation in Mathematics. Vol. 9. / Springer, 2003.
Челябинский государственный университет matveev@csu.ru, trk@csu.ru
