Специальный спайн линзы типа длинная восьмерка и линза как пространство двулистного накрытия 3-сферы разветвленного вдоль двумостного зацепления Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПЕЦИАЛЬНЫЙ СПАЙН ЛИНЗЫ ТИПА ДЛИННАЯ ВОСЬМЕРКА И ЛИНЗА КАК ПРОСТРАНСТВО ДВУЛИСТНОГО НАКРЫТИЯ 3-СФЕРЫ РАЗВЕТВЛЕННОГО ВДОЛЬ ДВУМОСТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

М.А Овчинников*

Челябинский государственный университет

Доказывается, что "осевая" симметрия спай на линзы типа длинная восьмерка задает инволюцию линзы, являющуюся классическим представлением линзы в виде двулистного накрытия трехмерной сферы разветвленного вдоль двумостного зацепления Показывается как по изображению такого спайна линзы непосредственно получается диаграмма четырехсплетения, описываемая разложением дроби из параметров линзы в непрерывную дробь

Ключевые слова: трехмерные многообразия, спайны,разветвленные накрытия, зацепления, тенглы, линзовые пространства

1. Введение

Спайном замкнутого 3 многообразия называв 1ся лежащий в мноюобразии полиэдр, если дополнение к нему является открытым шаром

Полиэдр называется специальным, если линк каждой его сингулярной точки является либо окружностью с диамехром, либо окружное хью с тре мя радиусами, и связные компоненты множества неособых ючек полиэдра являются открытыми дисками.

Специальные спайны трехмерных многообразий применяются как спо соб задания трехмерных многообразий, поскольку 3 многообразия по ним восстанавливаются однозначно [1]. Систематически свойства специальных спайнов изучались Матвеевым С.В [2 -6] В частности им замечено, что в некоторых; случаях о свойствах многообразия можно сделать выводы по структуре сингулярною множесхва специально о спайна многообразия.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №96-01-00847)

146

М.А. Овчинников

Множество сингулярных точек специального полиэдра является регулярным графом степени 4. Он называется сингулярным или особым графом спайна.

Граф, состоящий из двух петель, соединенных цепочкой скольких-то, может быть, нуля, двойных ребер, называется длинной восьмеркой. Специальный спайн, у которого сингулярное множество является графом длинная восьмерка, называем спайном типа длинная восьмерка.

Пусть Р - специальный спайн типа длинная восьмерка многообразия

М.

Очевидна инволюция (симметрия) сингулярного графа G спайна Р, оставляющая неподвижными вершины графа, переставляющая ребра в каждом двойном ребре графа и совмещающая каждое петельное ребро с собой с обращением ориентации ребра. Эту симметрию будем называть осевой симметрией (осевой инволюцией) графа.

Спайн Р тина длинная восьмерка называем осесимметричным, если он имеет инволюцию, продолжающую осевую инволюцию его сингулярного графа, и инволюцию спайна называем осевой симметрией спайна.

С.Матвеев показал в [3], что если замкнутое ориентируемое многообразие имеет осесимметричный спайн типа длинная восьмерка, то род многообразия не больше 1.

Далее везде в тексте многообразия рода не больше 1 называем просто линзами.

Такие спайны линз имеют хорошо описываемую регулярную структуру, что позволило выясниib точную связь между структурой спайна и параметрами линзы [7].

Двулистные накрытия трехмерной сферы, разветвленные вдоль зацеплений, замечательны тем, что характеризуются только соответствующим зацеплением (не требуют дополни тельных алгебраических данных о накрытии). Линзы относятся к числу многообразий, которые представляются как пространство двулистного накрытия 3-сферы разветвленного некоторого зацепления. Оказывается, такое преде явление линзы тесно связано с представлением линзы ее спайном тина длинная восьмерка.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть трехмерное многообразие М является линзой и лежащий в нем полиэдр Р является осесимметричным спайном типа длинная восьмерка.

Тогда существует двулистное разветвленное накрытие трехмерной сферы

р:М -+S3

такое, что его ограничение р\р на спайне Р является осевой симметрией спайна, и в дополнительном шаре М-Р множество неподвижных точек инволюции накрытия является незаузленной собственной дугой.

Как следствие, по спайну можно получить зацепление, если суметь как-то построить полиэдр - фактор спайна по симметрии, вложить полученный полиэдр в наше пространство, отследить в полиэдре неподвижные точки симметрии и замкнуть свободные концы (должны оказаться и ровно два), не образуя дополнительных заузливаний.

Предпочтительнее, насколько возможно, непосредственно увидеть зацепление, исходя из употребляемых графических способов представления специальных спайнов.

Пусть спайн Р осесимметричный типа длинная восьмерка.

Естественен способ изображения спайна Р как "тонкой" диаграммы Хегора. Обозначим Н крендель в многообразии М, являющийся регулярной окрестностью сингулярного графа С, и С\,..., Ск -зацепление в М, высеченное в крае кренделя Н 2-компонентами спайна Р. По кренделю Н с кривыми на крае многообразие восстанавливается однозначно. Полный крендель Я с кривыми в его крае является диаграммой Хегора многообразия М, индуцированной спайном Р.

СЛЕДСТВИЕ 1.1. Пусть Р - осесимметричный спайн типа длинная восьмерка линзы М. Предположим, Н полный крендель с кривыми С\} и осевой симметрией а, индуцированные спайном Р.

Тогда фактор В кренделя по симметрии а является шаром. Образ в В кривых на кренделе и неподвижных точек кренделя является набором кривых Ь = (¿1,..., Ьт), из которых замкнуты все, кроме одной,скажем, Ь\, являющейся собственной дугой в шаре В. Шар В с выделенными кривыми Ь, склеенный по краю с шаром В', в котором выделена ось с концами, совпадающими с концами дуги в В, является трехмерной сферой с зацеплением, вдоль которого разветвленное двулистное накрытие сферы В И В' является исходным многообразием М.

Графически диаграмма Хегора изображается проекцией кренделя с кривыми на плоскость. Изображение представляет собой диск с несколькими дырами с системой непересекающихся собственных "верхних" дуг и системой непересекающихся собственных "нижних" дуг с концами в тех же точках края диска с дырами, в которых кончаются верхние дуги.

Если крендель изобразить достаточно "тонким", чтобы было видно, для какого графа он является окрестностью, то тогда кривые Сь..., С^ задают приклейку дисков к сингулярному графу спайна, и(значит, но такому изображению диаграммы Хегора восстанавливается спайн многообразия. "Тонкую" диаграмму Хегора, индуцированную спайном, будем называть диаграммой спайна.

Очевидно, изображение осесимметричной диаграммы Хегора также можно сделать симметричным относительно прямой, пересекающей все дыры в диске (см. рисунок 1).

148

М.А Овчинников

Рис. 1

^ —* XX

Рис. 2

Диаграмму зацепления тогда можно получить следующим образом. Нижние дуги изображаем "разорванными" посредством верхних дуг, как в диаграммах узлов. Оставляем только половину диаграммы спайна, отрезаемую осью симметрии. К дугам кривых добавляем отрезки оси симметрии, лежащие в диске с дырами. Поправим изображение локально: каждый отрезок оси в окрестности его середины "продавим" внутрь оставленной половины диаграммы, не меняя "высоту", т.е. оставаясь выше нижней дуги и ниже верхней (см. рисунок 2).

Свободные концы крайних отрезков соединяем дугой, лежащей вне "нашей половинки" диаграммы спайна. О краях диска с дырами "забываем", оставляем только кривые - зацепление нарисовано (см. рисунок 3).

Про полученную диаграмму зацепления будем говорить, что она индуцирована диаграммой спайна типа длинная восьмерка.

Хорошо известно, что линза является пространством двулистного накрытия трехмерной сферы разветвленного вдоль некоторого двумостного

Рис. 3

зацепления. Известным способом изображения двуместного зацепления является четырехсплетение. Четырехсплетением называют диаграмму, полученную замыканием косы из 4 нитей, из которых одна крайняя нить не зацеплена с остальными нитями, кратчайшим образом: начало 1-й нити соединено с началом 2-й нити и т.д.

Оказывается, сходство изображений спайнов типа длинная восьмерка и четырехсплетений не случайно.

СЛЕДСТВИЕ 1.2. Диаграмма зацепления, индуцированная диаграммой спай-на типа длинная восьмерка, является четырехсплетением.

Набор целых чисел однозначно задает четырехсплетение,

как показано на рис.5., и обозначается (е^,а*;) [9]. В частности, четырехсилетение на рис.4, задается числами

(-1,-1,2,-1,1,0,-2,1,-1,1,-2,1,-2,0,1,0,-2).

Очевидно, каждое четырехсплетение задает зацепление наряду с бесконечным множеством других четырехсплетений, и каждое четырехсплетение задается бесконечным множеством кодов, благодаря возможности нулей в составе кода.

150

м а Овчинников

Замечательно, что составляя из чисел кода непрерывную дробь, мы найдем параметры соответствующей линзы Ьр>ч\

1 - 1 Р

аг +

1

а2 +

1

аз +

1

1

flfc-i + — ак

Нетрудно убедиться, что для любою осесимметричного спайна типа длинная восьмерка диаграмму можно построить последовательным соединением графических элементов, изображенных на рис.6. Выделим в диаграмме сегменты подряд следующих элементов 1,2,4,1', 2', 4' - 'такие cei-менты называем сегментами первого типа; 3,3' - такие сегменхы называем сегментами второго типа. Сегменты могут разделяться элементами 0 и 0'. С диаграммой сопоставляем последовательность целых чисел по следующему правилу. Сегменты из элементов 1, 2, 4 и из элементов 3 сопоставля ются с длиной сегмента. Сегменты из элементов 1',2'. 4' и из элементов 3' сопоставляются с длиной сегмента, взятой с минусом. Последовательность элементов 0 и 0' сопоставляется с таким же либо на 1 большим числом нулей, чтобы выполнялось правило: если нулей четное число, то разделяемые нулями числа относятся к сегментам одного типа, если нечетное -то разных типов. Полученную последовательность целых чисел называем кодом диаграммы спайна. По своему коду диаграмма восстанавливается однозначно. Отметим правило, необходимо учитываемое при восстановлении: если последовательность нулей разделяет числа одинаковых знаков, то количество соответствующих фратменюв 0 и 0' четное, если разных то нечетное. Так что при совпадении четности числа нулей с требуемой четностью числа элементов 0 и 0' берем элементов столько, сколько нулей, при несовпадении - берем элементов 0 и 0' на 1 меньше числа нулей.

Примечание. Для нетривиальных линз (с Н\ ф 7>, 0, Z2) есть снайны 1ипа длинная восьмерка без 1- и 2-уюльников. Диа1рамма такою спайна не включает элементов 0 и 0'. В этом случае зацепление имеет код из положительных чисел, который является каноническим [8] и называется символом Конвея четырехсплетения [9].

СЛЕДСТВИЕ 1.3. Если диаграмма спайна описывается набором чисел [ai, a¿,..., a¿], то четырехсплетение, индуцированное данной диаграммой спайна, и четырехсплетение, задаваемое набором чисел [ai, аг, яв-

ляются диаграммами одного и того же зацепления.

Значит, и соответствующее многообразие является линзой LPt4, где параметры р и q линзы можно найти как знаменатель и числитель непре

СПЕЦИАЛЬНЫЕ СПАЙНЫ ЛИНЗ И ЧЕТЫРЕХСПЛЕТЕНИЯ

151

Рис б

рывной дроби

ч

р

а\ +

Я 2 +

1

а3 + ...-

1

о-к-1 + — о-к

2. Доказательство георемы 1.1

Пусть V ~ вершина графа, V С Р - замкнутая окрестность вершины в спайне, инвариантная относительно осевой симметрии спайна. Граф СП V является букетом 4 отрезков ("крестом"). Осевая симметрия действует на "крест" перестановкой двух пар его ребер. 2-компонента в V, приклеенная вдоль переставляемой пары ребер, под действием осевой симметрии спайна оюбражается в себя с обращением ориентации. Следовательно, со держащая эту 2 компоненту полиэдра V 2-компонен1а спайна Р под действием осевой симметрии отображается в себя с обращением ориентации. В окрестности каждой вершины две 2-компонен*ы переходят в себя при осевой симметрии. Аналогично, в окрестности середины петельного ребра есть 2-компоненга, переходящая в себя при осевой симметрии спайна. Из

152

М.А Овчинников

соображений симметрии следует, что каждая 2-компонента спайна содежит две 2-компоненты из окрестностей вершин снайна и середин петельных ребер, переходящие в себя при симметрии. Следовательно, все 2-компоненты спайна при симметрии переходят в себя с обращением ориентации. Значит, множеством неподвижных точек в 2-компоненте спайна, является собственная дуга 2-компоненты (диаметр диска). В каждой вершине спайна соединяются две такие дуги (или замыкается в окружность одна дуга). Середина петельного ребра является концом одной дуги. Первая часть утверждения теоремы 1 доказана.

Каждую пару симметричных точек графа G соединим в снайне тремя, каждую вершину с собой - двумя, середину каждого петельного с собой - одним - отрезками в спайне, переходящими в себя при симметрии. Тем самым представим каждую 2-компоненту спайна как объединение интервалов, переходящих в себя при симметрии. Спайн расслоен на две окружности, п экземпляров букета двух окружностей и п -f 1 экземпляров произведения тэта-кривой на интервал. (Тэта-кривая это граф с двумя вершинами и тремя простыми ребрами.) Окрестность каждой из двух окружностей в спайне представляет собой лист Мебиуса, к которому вдоль неразбивающей собственной дуги приклеен полукруг своим диаметром. Лист Мебиуса с полукругом разбивает торическую окрестное хь окружности в многообразии до шара. Дополнение в многообразии к двум полноториям с окружностями является утолщенным тором, которое спайн Р разбивает до шара. Расслоение спайна Р, очевидно, распространяется до естественного расслоения утолщенного тора на торы. Окрестность каждой тэта-кривой (или букета окружностей) в соответствующем торе является тором с дырой, а дополнение к ней является замкнутым диском. Край диска является окружностью, которая при осевой симметрии спайна переходит в себя без неподвижных точек. В силу инволютивносги симметрии можно сказать, чю край диска испытывает поворот на 180 градусов. Распространим инволюцию спайна на дополнительный шар, задав ее действие на дисках слоения как поворот на 180 градусов вокруг центра диска. Множеством неподвижных точек в дополнительном шаре является ось шара. Теорема доказана.

3. Доказательство следствия 1.2

По определению, спайн Р - полиэдр в многообразии М, крендель Н также лежит в многообразии. Зафиксируем набор 2-ручек как разность N Р - Н для достаточно малой регулярной окрестности N Р спайна в многообразии. Объединение кренделя и 2-ручек Н \J(NР - Н) является окрестностью спайна и - самим многообразием, из которого удалили открытый шар. Фактор кренделя по симметрии, продолжающей осевую симметрию

9 У ^ ? - ^Г V ^ ^ —

1 2 3 4 0 1' 2' 3' 4' О'

Рис 7

спайна, является шаром, который обозначим В. Фактор каждой 2-ручки по осевой симметрии также просто шар, поскольку в 2-ручке неподвижные точки симметрии составляют одну собственную незаузленную дугу (которую будем называть "неподвижной дугой"). Фактор каждой кривой Сг по симметрии является дугой С[ в крае шара В, поскольку, как показано при доказательстве теоремы, кривая Сг пересекает ось кренделя только в двух точках. Для доказательства следствия достаточно показать, что неподвижная дуга и дуга С[ изотопны.

Для каждого г шар Вг - образ г~й 2-ручки - приклеен к шару В по диску, который является окрестностью дуги С[ в крае шара В.

Образ неподвижной дуги пересекает диск в точках, которые являются концами дуги С', и незаузлен в шаре Вг, так как незаузлена неподвижная дуга в 2-ручке. Значит, эту дугу, не сдвигая ее концов, можно изотопией совместить с дугой С"г.

4. Доказательство следствия 1.3

Из диаграммы Хегора получается коса из 3 нитей, у которой с каждой стороны из 3 концов соединены 2. Добавляемая незаузленная дуга является 4-й незацепленной нитью косы.

5. Доказательство следствия 1.4

Согласно нашей процедуре построения четырехсплетения по диаграмме спайна одинаковым графическим элементам диаграммы спайна соответствуют одинаковые фрагменты четырехсплетения. После применения преобразований Рейдемейстера внутри фрагментов получаются графические элементы для построения четырехсплегений, изображенные на рисунке 7 с нумерацией, указываемой на соответствие с графическими элементами диаграмм спайнов. Построение четырехсплетения из этих графических элементов дает тот же результат, что и построение четырехсплетения по коду диаграммы спайна.

154

М.А. Овчинников

Список литературы

1. Casler B.G. An embedding theorem for connected 3-manifolds with boundary // Proc.Amer.Soc. 1965. Vol. 16. P.559-566.

2. Матвеев С.В. Специальные остовы кусочно линейных многообразий // Мат.сб. 1973. Т.92, №2. С.282-293.

3. Матвеев С.В. Один способ задания 3-многообразий // Вестн. МГУ. 1975, №3. С.11-20.

4. Матвеев С.В. Универсальные 3-деформации специальных полиэдров // Успехи мат. наук. 1987. Т.42, №3. С.193-194.

5. Матвеев С.В. Преобразования специальных спайное и гипотеза Зимана j/ Изв. Акад. Наук СССР. Сер. Мат, . 1987. Т. 51, №5. С. 1104-1116.

6. Matveev S.V. Complexity theory of three-dimensional manifolds / / Acta Applicandae Math. 1990. Vol. 19. P.101-130.

7. Овчинников М.А. Петли спайное и вычисление параметров линзовых пространств // Вестн. ЧелГУ. Математика, механика. 1996. йып.1. С.84-90.

8. Conway J. On enumeration of knots and links and some of their related properties//Computational Problems in Abstract Algebra, Proc. Conf. Oxford, 1967. Pergamon Press, 1970. C.329-358.

9. Ernst C., Sumners D.W. A calculus for rational tangles: applications to DNA recombination //Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1990. Vol. 108, №3. C.489-515.

SUMMARY

In the paper it is shown that the axial involution of long-eight figure special spine of lens space extends to the involution of the lens space inducing 2fold covering over 3-sphere branched along 2-bridge link. A method is suggested how to get a 4-plat diagram and corresponding continuous fraction from diagram of the spine.