CC BY
59Об изучении свойств кривых линий инверсии в педагогическом вузе
Ушаков Андрей Владимирович,
кандидат физико-математических наук, доцент, Московский городской педагогический университет, кафедра высшей математики и методики преподавания математики E-mail: [email protected]
В данной статье показано значение раздела «преобразования плоскости» для профессиональной подготовки будущих учителей математики. Особое внимание здесь уделено связи между курсами элементарной и высшей математики на примере изучения инверсии точек плоскости. Автором обоснованы принципы разработки системы упражнений для формирования у студентов полноценного представления об инверсии и ее свойствах. Ко всем представленным в статье задачам подготовлены динамические электронные иллюстрации с помощью инструментов компьютерной программы geogebra.
Ключевые слова: высшая математика, преобразования плоскости, инверсия, обучение, преподавание, программа geogebra.
о с
CJ
см см
Важность изучения геометрических преобразований в педагогическом вузе обусловлена следующими факторами:
1) Предметы исследования в различных геометрических теориях можно описать как инварианты соответствующих групп преобразований.
2) Являясь обобщением понятия функции, геометрические преобразования дают возможность обозревать с единой точки зрения отдельные разделы геометрии и их взаимосвязи, подчиняя весь курс геометрии единой идее функциональной зависимости.
3) Большая общность этих преобразований дает возможность упростить доказательство многих теорем.
4) Некоторые свойства преобразований можно использовать для построения плоских фигур циркулем и линейкой, а также для изображения пространственных фигур при параллельном или центральном проектировании.
В элементарной геометрии рассматриваются преобразования движения и подобия. Фигуры, полученные друг из друга с помощью этих преобразований, считаются неотличимыми, поскольку имеют одни и те же свойства. Эта идея получает глубокое обобщение в курсе высшей геометрии, где на основе понятий аффинного, проективного и топологического преобразования решается важнейшая задача по систематическому изучению и классификации геометрических образов.
Таким образом, тема «геометрические преобразования», помимо несомненной образовательной ценности, позволяет осветить некоторые вопросы школьной геометрии с позиций современной науки. Тем самым реализуется принципиальная для педагогического образования концепция связи элементарной математики с высшей.
В данной статье мы подробно рассмотрим инверсию - отображение плоскости на себя, которое может переводить окружности в прямые. Указанное свойство помогает решать «школьные» геометрические задачи, особенно те, в которых речь идёт о нескольких пересекающихся или касающихся окружностях. С другой стороны, знакомство с инверсией необходимо для дальнейшего изучения таких разделов математики, как комплексный анализ и геометрия Лобачевского.
Напомним, что инверсией плоскости относительно окружности ы с центром в точке О и радиусом Я называют такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка А, отличная от точки О, отображается в точку А', лежащую на луче ОА и удовлетворяющую условию: ОА • ОА' = Я?.
Из этого определения следует, что инверсия является преобразованием всех точек плоскости, за исключением центра О.
Окружность ы называют окружностью инверсии, центр О - центром инверсии, радиус И -радиусом инверсии.
Будем использовать термины «прообраз» для точки А и «образ» для точки А'. Аналогичные термины используются для любых преобразуемых объектов.
Точки А и А равноправны в том смысле, что они взаимно инверсны при одной и той же инверсии. Если точки А переходит в А при некоторой инверсии, то точка А при этой инверсии переходит в точку А. Таким образом, преобразование, обратное инверсии, совпадает той же инверсией. Преобразование, обладающее таким свойством, называют инволютивным.
В новом стандарте высшего педагогического образования заложено сокращение аудиторных часов на высшую математику и, в частности, геометрию. В результате возникает проблема оптимизации темпа изучения различных разделов курса геометрии, решить которую можно за счет рационального использования алгебраического метода. При этом сохраняется четкая логическая структура подачи учебного материала, а также доказуемость и аргументированность его изложения на доступном для студентов уровне. Реализация такого подхода предполагает, в частности, что все основные свойства геометрических преобразований будут выводятся на основе их аналитического выражения в подходящей системе координат.
Как известно, движения, подобия и аффинные преобразования являются линейными, поскольку задаются линейными уравнениями, вследствие чего прямые переходят в прямые.
Инверсия дает пример нелинейного преобразования. Действительно, если центр инверсии имеет координаты (х0; у0), а точка с координатами (х; у) переходит в точку с координатами (У; /), то ЯЧх-х0)
х
У =
сг - з:»)3 + Су - >'в): Д=(у-уп)
1 + х0.
&-хв-)' + {у-уву
7 + Уп-
Эти формулы представляют собой аналитическое выражение инверсии. В случае, когда начало координат совпадает с центром инверсии, ее формулы упрощаются и позволяют доказать следующие свойства:
1) Образ прямой, проходящей через центр инверсии, совпадает с этой прямой.
2) Образ прямой, не проходящей через центр инверсии, есть окружность, которая проходит через этот центр.
3) Образ окружности, проходящей через центр инверсии, есть прямая, которая через этот центр не проходит.
4) Образ окружности, не проходящей через центр инверсии, есть окружность, также не проходящая через этот центр.
5) Инверсия сохраняет величину угла между линиями. Угол между двумя линиями равен углу между их образами при инверсии. Это свойство называется свойством конформности инверсии.
6) Если две данные окружности касаются, то их образами будут или две касающиеся окружности, или касающиеся окружность и прямая, или две параллельные прямые.
Для визуализации свойств инверсии предлагается использовать компьютерную программу деодеЬга. Она представляет собой динамическое программное обеспечение всего курса математики, включая алгебру, геометрию и математический анализ. Эта программа распространяется бесплатно, имеет интуитивно понятный интерфейс и является по-настоящему мобильной, поскольку работает как на стационарном компьютере или ноутбуке, так и на планшете или смартфоне. Опишем процесс создания специального инструмента, который позволяет построить образ любой указанной точки при инверсии относительно выбранной окружности. Все необходимые для этого команды набираются в строке ввода.
1) Постройте любую окружность, напечатав в строке ввода ее уравнение, например, ы: хЛ2+уЛ2=1.
2) Найдите центр О и радиус И окружности ы: О=радиус(ы) и R=радиус(ы).
3) Определите координаты (х0; у0) точки О: х_0=х(0), у_0=у(0).
4) С помощью инструмента точка постройте любую точку А и определите координаты (х1; у1) этой точки: х_1=х(А), у_1=у(А).
5) По формулам инверсии найдите координаты (х2; у2) образа точки А. х_2=^л2(х_1-х_0))/((х_1-х_0)л2+(у_1-у_0)л2)+х_0, у_2=^л2(у_1-у_0))/((х_1-х_0)л2+(у_1-у_0)л2)+2_0.
6) Постройте саму точку А', инверсную точке А относительно окружности ы: А'=(х_2, у_2).
7) Создайте инструмент инверсия. В меню инструменты нажмите создать новый инструмент, откроется диалоговое окно создания нового инструмента. По умолчанию активизируется вкладка выходные объекты. В качестве объекта выхода укажите точку А', выбрав ее из выпадающего списка. Нажмите кнопку следующий, активируется вкладка входные объекты. Geogebra заполнит соответствующие объекты входа автоматически (окружность ы и точка А). Нажмите кнопку следующий, активируется вкладка имя и значок. Введите имя инструмента и команды (инверсия). Нажмите кнопку завершить.
8) Сохраните созданный инструмент. В меню инструменты выберите управление инструментами, чтобы открыть одноименное диалоговое окно. Укажите инструмент инверсия в списке доступных инструментов. Нажмите на кнопку сохранить как, чтобы сохранить новый инструмент
сз о со "О
1=1 А
—I
о
сз т; о т О от
З
и о со
и сделать его доступным для дальнейшего использования. Выберите имя файла (инверсия.дд1) и его расположение на компьютере.
9) Импортируйте инструмент инверсия на панель инструментов GeoGebra для дальнейшего использования. Откройте новое окно деодеЬга. В меню файл щелкните на открыть. Найдите файл инверсия. дд! и нажмите кнопку открыть. В меню инструменты нажмите настройка. Откроется диалоговое окно, со списками уже имеющихся на панели инструментов (слева) и доступных для использования инструментов (справа). В правом списке выберите инструмент инверсия и нажмите кнопку вставить. При желании, измените взаиморасположение инструментов на панели кнопками вверх и вниз. В заключении нажмите кнопки применить и закрыть.
Теперь учащиеся смогут наглядно представить себе инверсию как результат «выворачивания» плоскости через окружность ы. Все точки ы остаются на месте, все точки, находившиеся внутри окружности ы, оказываются снаружи, а все точки, располагавшиеся снаружи окружности ы, попадают внутрь. Чем ближе точка расположена к центру инверсии, тем дальше её образ от этого центра и наоборот. Кроме того, с помощью инструмента инверсия можно осуществлять преобразования различных фигур. На рисунке 1 показан процесс построения образа графика функции y = sin x. Здесь анимированная точка А точка движется по синусоиде, а ее образ А при инверсии относительно окружности ы оставляет след на чертеже.
Рис. 1. Образ синусоиды при инверсии
о с
CJ
см см
С целью формирования у студентов целостного представления о различных геометрических преобразованиях плоскости, выделим их общие элементы:
1) Начальный объект (прообраз): некоторая геометрическая фигура, которую требуется преобразовать.
2) Конечный объект преобразования (образ): конкретная фигура, которая получается в результате преобразования.
3) Объект, относительно которого ведется преобразование, каковым может служить точка (центральная симметрия поворот или гомотетия), прямая (осевая симметрия, сдвиг или сжатие) или окружность (инверсия).
Тогда умение выполнять геометрические преобразования, в частности инверсию, можно разбить на элементарные компоненты, которые должны стать предметом специального усвоения:
1) Анализ начального объекта: выделение его определяющих точек, по которым может быть однозначно восстановлен данный объект.
2) Анализ объекта, относительно которого ведется преобразование: изучение особенностей его
расположения по отношению к преобразуемому объекту.
3) Анализ необходимого действия и его выполнение для выбранных определяющих точек.
4) Анализ конечного объекта: его восстановление по образам определяющих точек.
В случае инверсии, опишем сначала алгоритм построения образа данной точки A, независимо от того, лежит она внутри или вне окружности ы:
1) Проведем прямую OA и построим перпендикулярный ей диаметр MN окружности ы.
2) Отметим точку P пересечения прямой AM с окружностью ы, отличную от самой точки M.
3) Прямые OA и NP пересекаются в искомой точке А'.
Для доказательства отметим точки так, как показано на рис. 2.
Тогда прямоугольные треугольники АNO и MNP имеют общий угол при вершине N, поэтому ZNАO = = ZNMP = ZOMA. Заключаем, что прямоугольные треугольники OAM и ONА подобны по двум углам, следовательно, ОА/ON = OM/OA(, откуда OA • OА = OM • ON = R2.
Рис. 2. Образ точки при инверсии
Далее, если даны прямая а и окружность а, то их образы при инверсии а' и а' соответственно, можно построить на основе свойств инверсии, предварительно найдя для определяющих точек M, N, P инверсные им точки М, N, P' как показано на рис. 3.
При разработке системы упражнений по теме «инверсия» необходимо учесть все типичные случаи, которые могут встречаться при выполнения этого преобразования в процессе решения вычислительных или изобразительных задач, отражающих признаки и свойства инверсии. Приведем примеры.
1) Существует ли инверсия с центром в точке 0(3; 4), при которой точка >4(0; 8) преобразуется в точку А '(-9; 20).
Рис. 3. Образ прямой и окружности при инверсии
2) Запишите формулы инверсии с центром в начале координат, при которой А(4; -6) преобразуется в точку А '(2; -3).
3) Докажите, что существует инверсия с центром в начале координат, при которой прямая а: х+2у - 1 = 0 преобразуется в окружность а: (х -1)2 + (у - 2)2 = 5.
4) Существует ли инверсия с центром в начале координат, при которой окружность а: (х - 1)2 + +(у + 1)2 = 4 преобразуется в окружность р: (х +
+1)2 + (У - 1)2 = 4?
5) Найдите координаты образа точки А(-1; 3) при инверсии относительно окружности ы: (х - 1)2 + +(у - 2)2 = 4.
6) Найдите образ при инверсии равнобедренного прямоугольного треугольника, вписанного в окружность инверсии.
Ответ к последней задачи представлен на рисунке 4, где окружность инверсии - черная, сам треугольник - синий, граница его образа - красная, образ внутренней области треугольника - желтый. Этот интерактивный электронный чертеж выполнен в программе деодеЬга и на нем снова присутствует инструмент инверсия. Двигая точку А следя за перемещением ее образа А', можно наглядно убедиться в том, что все построения выполнены верно.
Рис. 4. Образ треугольника при инверсии
Профессиональная направленность обучения математике в педагогическом вузе предполагает, в том числе, демонстрацию взаимопроникновения и развития математических идей и методов. Для реализации этой концепции целесообразно предлагать студентам задачи, формулировка которых носит элементарный характер, а решение основано на применении свойств инверсии в разных ситуациях.
В качестве примера такой задачи рассмотрим классическую теорему Птолемея: доказать, что во вписанном четырехугольнике произведение ди-
сз о со "О
1=1 А
—I
о
сз т; о т О от
З
и о со
о с
U
см см
агоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность а. Построим окружность ы радиуса И с центром в точке А, как показано на рис. 5.
Для этого в окружность радиуса И впишем четырехугольник ABCD как показано на рисунке 6.
Рис. 5. Доказательство теоремы Птолемея
При инверсии относительно окружности ы, образом окружности а является прямая, проходящая через точки пресечения окружностей а и ы, поэтому точки В, С, D преобразуются в точки В', С, D', лежащие на одной прямой. По определению инверсии АВ ■ АВ' = АС ■ АС = Иг, откуда
АВцАС = АСЦАВ = ЯТ2/(АВ ■АС)
АВиАС = АС(/АВ = НГ2/(АВ -АС> . Заключаем, что треугольник АВ С подобен треугольнику АСВ по второму признаку (общий угол при вер-шине>4 и пропорциональностьприлегающих сторон)
Я- Я"
с коэффициентом подобия АВ-АСАВ-АС , поэтому £СС(= № ■ ВС)/(АВ ■ ЛС) б(с(= (ЯТ2-ВС)/(АВ •Ас)
Аналогично.
Сф(= (Ят2 ■ СО)/(АС - АО) . Поскольку В'П = В'С' + СО', то
Я*-ВР _ Я*-ВС Я~*-СР
АВ ■ АО ~ АВ -АС + АС ■ АО Я^ВР Я--ВС Я^-СР
+ ■
ae-AD .-:£■-.-:■: .-:■:■.-:.:.
обе последнего равенства на
AB-AC-AD
Умножая
АВ^АС^АР Я»
л1 , приходим к нужному результату: AC • BD = AB • CD + AD • BC.
Теорема Птолемея позволяет, в свою очередь, обосновать некоторые тригонометрические тождества, например sin (а + р) = sin а • cos р + cos а • sin р.
Рис. 6. Применение теоремы Птолемея
Тогда из прямоугольных треугольников ABC и ADC можно выразить их гипотенузу AC = 2R и катеты AB = 2R •cos а, BC = 2R •sin а, AD = 2R •cos р, CD = 2R • sin р. Далее, по теореме синусов для вписанного треугольника ABD, находим, что BD = 2R • sin (а + р). Наконец, применив теорему Птолемея и сократив полученное равенство на 4R2, получим искомую формулу синуса суммы двух углов.
Особенно эффективно инверсию можно использовать для решения задач на построение циркулем и линейкой, которые играют большую роль в формировании математического мышления студентов и школьников. По своей формулировке и методам решения, такие задачи способствуют пониманию учащимися свойств геометрических фигур, умению уверенно оперировать с элементами этих фигур, выполнять их преобразования. Все это является важной предпосылкой для становления пространственного мышления, исследовательских и творческих умений, геометрической интуиции. Задачи на построение дают также удобную модель для иллюстрации различных геометрических закономерностей, в частности, свойств инверсии. Примером такого применения инверсии является следующая задача: Даны три окружности, пересекающиеся в одной точке. Постройте окружность, касающуюся трех данных.
Решение. Обозначим данные окружности через а, р, y и предположим, что уже построена окружность б, касающаяся трех данных. Проведем еще одну окружность ы с центром в точке O пересечения данных окружностей, как показано на рис. 7.
Тогда при инверсии относительно окружности ы, конфигурация Q = {а, р, y, б} переходит в конфигурацию Q ' = {а', р ', y ', б'}, где а', р ', y' представляют собой прямые линии, а б ' есть окружность, которая касается этих прямых. Такую окружность б ' легко построить, вписав ее в треугольник с вершинами в точках попарного пересечения прямых а', р ', y'. Искомая окружность б является образом окруж-
ности б ' при той же инверсии и проходит через три точки X, У, Z, инверсные трем определяющим точкам X, У, Z на построенной окружности б '.
Рис. 7. Построение окружности, описанной около трех данных
Изображение такой сложной геометрической конструкции из нескольких касающихся окружностей предполагает применение средств компьютерной графики, поскольку аккуратное выполнение необходимых построений с помощью циркуля и линейки весьма затруднительно. В данном случае использовалась программа деодеЬга вместе со специальным инструментом инверсия. Такие чертежи для аналогичных задач на построение студенты могут выполнять самостоятельно, работая в компьютерном классе.
Литература
1. Педагогическая направленность математических дисциплин в подготовке будущих учителей математики: Монография / А.В. Ушаков, Ю.А. Семеняченко, В.Г. Покровский, М.Н. Кочагина, М.В. Шуркова, И.О. Ковпак, О.В. Кирюшкина. - М.: Издательство «Спутник», 2016. - 144 с.
2. Ушаков А.В. Использование информационных технологий при изучении геометрии в педагогическом ВУЗе / А.В. Ушаков // Педагогические науки. - 2015. - № 2 (71). - С. 55-57.
3. Ушаков А.В. Классификация линий и поверхностей второго порядка / А.В. Ушаков // Международный научно-исследовательский журнал. - 2017. - № 3-1 (57). - С. 57-60.
4. Ушаков А.В. Использование программы geogebra для визуализации свойств кривых второго порядка / А.В. Ушаков // Международный научно-исследовательский журнал. -2017. - № 4-3 (58). - С. 63-67.
5. Ушаков А.В. Применение компьютерных технологий при изучении кривых второго порядка в педагогическом ВУЗе. // Педагогические науки. - 2017. - № 5 (86). - С. 52-56.
6. Ушаков А.В. О проведении практических занятий по топологии в педагогическом ВУЗе / А.В. Ушаков // Международный научно-исследовательский журнал. - 2019. - № 2 (80). -С.126-130.
exploring the properties of inversion in pedagogical university
Ushakov A.V.
Moscow City Teachers' University
This article shows the value of the "plane transformation" section for training future math teachers. Particular attention is paid to the connection between elementary and higher mathematics courses on the example of studying the inversion of plane points. The author substantiated the principles of the development of an exercise system to form a full-fledged idea of inversion and its properties. Dynamic electronic illustrations with the tools of the geogebra computer program have been prepared for all the tasks presented in the article.
Keywords: higher mathematics, plane conversion, inversion, teaching, teaching, geogebra program.
References
1. The pedagogical orientation of mathematical disciplines in the preparation of future teachers of mathematics: Monograph / A.V. Ushakov, Yu.A. Semenyachenko, V.G. Pokrovsky, M.N. Kochagina, M.V. Shurkova, I.O. Kovpak, O.V. Kiryushki-na. - M .: Publishing house "Sputnik +", 2016. - 144 p.
2. Ushakov A.V. The use of information technology in the study of geometry in a pedagogical university / A.V. Ushakov // Pedagogical sciences. - 2015. - No. 2 (71). - P. 55-57.
3. Ushakov A.V. Classification of lines and surfaces of the second order / A.V. Ushakov // International Research Journal. -2017. - No. 3-1 (57). - P. 57-60.
4. Ushakov A.V. Using the geogebra program to visualize the properties of second-order curves / A.V. Ushakov // International Research Journal. - 2017. - No. 4-3 (58). - P. 63-67.
5. Ushakov A.V. The use of computer technology in the study of second-order curves in a pedagogical university. // Pedagogical sciences. - 2017. - No. 5 (86). - P. 52-56.
6. Ushakov A.V. On conducting practical classes on topology in a pedagogical university / A.V. Ushakov // International Research Journal. - 2019. - No. 2 (80). - P. 126-130.
сз о
CO "O
1=1 А
—I
о
сз т; о m О от
З
ы о со
