Об изоморфизме конечных локальных колец характеристики р2, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.49

Е.В. Журавлев

Об изоморфизме конечных локальных колец характеристики р2, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре

Данная статья является продолжением работы [1], в которой указано строение конечных локальных колец характеристики р с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности 4.

Цель данной работы - найти необходимые и достаточные условия существования изоморфизма между двумя произвольными кольцами указанного типа. Все кольца, рассматриваемые в данной работе, являются ассоциативными и содержат единицу.

Назовем целые числа г, в2, вз, в, в', X инвариантами кольца Е (так как они сохраняются при изоморфизме, см.: [1-3]). Если А = (а. -матрица над полем ^аа - автоморфизм поля Р, то в дальнейшем символом Аа будем обозначать матрицу (а^.)). Пусть А и В - матрицы над полем Р размерностей т х п и п х к соответственно, и щ,...,ат € АпЦР), п, т, к € N. Обозначим через [А, В (а1,..,ат) матрицу С = (с.)тхк, где с. = ацьа+ааь^-Ь-.. .+аыЪа, г = 1, т, ] = 1, к. Если ах = ... = а8 = а, то [А,В](аг,..,ат) = АВа• Пусть

Ак = (а%), Ак = (а%), вк = Ф, Вк = (ьк.), Вк = (ь%),

Ск = (4), Ск = ф, Ск = ф,

Вк = (., Вк = , Вк = (4),

А = {(а., (а. } , В = {(ь., (ь., . ,

С= {(4), ф, ф } , Б = {(^, (., . .

Обозначим через Е = Е(А,В,С,В,аг,0.,гк) и Е' = Е(А',В',С',Б',ак,0.,т') два кольца конструкции В (с одинаковыми инвариантами).

Так как р € М, то возможны следующие ситуации:

a) р € Л(Е)3,

b) Р € Л{Е)2 \ НЕ)3,

c) р € Л(Е) \ Л{Е)2.

Случай (а), р € Л(Е)3.

Теорема. Е = Е' тогда и только тогда, когда существуют невырожденные матрицы Р = (р.)$1 , Е = (гг])ь2 ха2 , Т = (*г.)(83+1 )х(83 + 1)?

некоторые матрицы ф = (я.)82 Х81, & =

(в.)(8з+1 )Х82 и автоморфизм р кольца Ео, такие, что

82

РТ • [А'к,Р]и,..,<1)= ^кVАР, к= 1в,

V— 1

РТ • [В'к + РТ • С +

82 83

ят • [б т р(е1...Л2) = 52 в к V ар + 52 * к V вр,

v=l v=0

8з

р Т • а ,е^,...^ = 52* к V ср,

v=0

ет • Б' т = £ * к л бТУ , к = ов

v=0

и а г = а., если р.г ф 0/ а г = 0., если д.г ф 0; 0г = гд,р, если в0г ф 0; 0г = 0', если Г.г ф 0/ 0г = тк, если в.г ф 0; тг = %д,р, если Цг ф 0; тг = тк, если Ь.г ф 0.

Доказательство. Предположим, что существует изоморфизм ф : Е ^ Е'. Тогда ^(Ео) является максимальным подкольцом Галуа кольца Е'. В силу предложения 1 работы [1], найдется обратимый элемент х € Е' такой, что хф(Е0)х-1 = Е0.

Рассмотрим отображение ф : Е ^ Е', определяемое по правилу г ^ хф(г)х-1. Очевидно, что являетм изоморфизмом, оставляющим Ео на месте. Более того, = аР для любого

а € Е0 и ^^тоторого р € АиЬ(Ео).

Далее, пусть

81 ^ Яз

¥(иг)=52рэги'з^2 п гр+у^пг т. ,{ = 1,^,

3=1 3=1 3=1

82 8

¥ Ы) = 52 Гзги'з + ^гр + 52 в.гт'з, г = 1>в2,

j= 1 3=1

8

¥ {щ)= *0гр+52*згт'., г = 1, в3, j= 1

8

¥ (р) = р+52*з°т., *00 = 1> *3° = °.

3=1

а€Е

8 8 8

. . .

¥(ща) = ¥ (аа€щ) = ¥ (аа') ¥ (иг) = Е(аа')РРзги'. + 52(аа')Рд.гуЗ + (аа')Рп0гр + Е(а^)Рп.гт.,

8 8 8 ¥(ща) = ¥('иг)¥(а) = 52Р.ги'заР + 52 .^3аР + ЩгРаР + Е п.т.аР =

. . .

8 8 8 = Е^Г3' Р^Ц + Е (аР')в^ дцу'з + аРп0 гр + 5^ХаР)Т п^т.,

. . .

88 ¥(уга) = ¥{ав€ Уг) = ^а9') ¥(Уг) = 52 (а9') РгзгУ'з + (ав*) Рв0гр+52(а9')Р в.г т.,

..

82 8з 82 8

¥(Уг а) = ¥(щ) ¥(а) = 52гзгу'з аР + в0 граР + 52 в .т. аР = 52 (аР)9* г.гУ. + аР в0гр +52(аР)Т в.гтЗ, .=1 3—1 3—1 3—1

8

¥(тга) = ¥аТ' тг) = ¥ат') ¥(т) = (ат') Р*ыР +52^') Р*згш3,

3=1

88 ¥(шга) = ¥(т) ¥(а) = *ограР + г.гтЗ аР = аРЬ0 гр + 52^)^ *згт'з.

3=1 3=1

Следовательно, (аа')Рр.г = (аР)аз р.г, как (аУ)^ = (а^)У для любых а € Ео, ¥,Ф €

(аа')Рд.г = (аР)9э д.г, (а.9')Рг.г = (аР)9э г.г, АиЦЕ0), то мы получаем необходимые соотно-

(а9') Рв0г = аР во и (а9') Рв.г = (аР)Тэ в.г, шения для автоморфизмов из условия теоремы.

(аТ')Рг0г = а.Рг0г, (аТ')Р*.г = (аР)Тог.г. Так Далее,

( 81 82 83 \ / 81 82 83 >

52pviu'v+52 д^гу1 + пгр+52) • (52р^К+52д.+ п°зр+52п^

v=l ) \^=1 ^=1 ^=1 /

81 , ^ 82 / \ 82/81 \

£ РviР,J^jь'^ + ^52 (р*да3С'^ + д^р»з^0М) р + £ £ РviР,J^jа1кА

1 ^=1 ^=1 / к=1 \v,^=l )

8з / 81 г 81 8 / г , ч \

+ Е ( Е РviРC|JVjь'^ + ^52 ^гда.С'^ + д^р[зI тк,

к=1 \^,^=1 ^=1 Ц,= 1 /

/82 8Ъ \ / 82 8з N

з = ¥ (52^ + ь%р+52ьз(¥{ь%) + 52¥(°3^V + 52¥(ьз)*оV

\1/=1 и= 1 / \ 1/=1 1/=1 у

82 / ^ \ 82 / 8з \ 83 / 83 N

+Е¥(аг^52гкVУк I + Е¥(агзН 52в^т'к)+ 52¥(ьз)[52*^тк

\к=1 ) \к=1 у

(ь%)р*оо+5~] {рчзУ^ V (ь.р*о А р+Т,52(а*зУг^ у'к +52 (Е (азУвк^ (щУ*^) т'к

V / к=1 ^1 v=l /

/^2 ^ \ ^ ^ 83 ( 82 8Ъ \

; £ (аГз)Р ^V + 52 ШУ *°V р+£ £ (а3 )Р гkvУк + ЕЕ (аг3)Р вkv + Т.% )Р >4 «к

* *к

8

8

8

8

8

¥(щ) • ¥(Уз) = 52т^г+ 52 дvivv + пир + 52

\1У= 1 1У= 1

88

1пт г 152г- + в°зр+12 ■

м=1

:рЕЕр V С>^

v=l ^=1 к=1 \ v=l ^=1

v=l / \^=1

83 / 81 82

С

+ Е 1212 РVгг<13 Ск I тк,

88

¥

(83 \ 83

с%р+52 с3 т = р 52 3 *о V + 52 (12 (3 *к V) тк,

v=l ) к=1 \^0

8

8

8

8

¥(з • ¥(иг) = 52 гмзуМ + в°зр+52 вмз• 52р^ги^ + 52 дvivV+погр+52

\м=1 м=1

88

^=1 V=l

83 / 81 82

поф+ > nvi«v v=l у

р

£ £ г мгР ^ + £ ( £ £ ГМ3 Р^Л

v=l М=1

к=1 \^=1 М=1

¥

( 83 \ _83. 83 /_83. \

$зр+52 в"з т)= 52 №зУ *° V + 52 (12 №3Р >kv) тк.

v=l ) v=0 к=1 \^=0 )

Из вышеприведенных равенств следуют первые четыре равенства из условия теоремы. Р = (рг.)81 Х81,

Обратное утверждение очевидно (см.: [2]). е—(г-^( 1 ( 1 Т^^--)^

Теорема доказана.

некоторые матрицы

Случай (Ъ). р € Л(Е)'2 \ Л(Е)3.

^ = {дз)(82 + 1 )Х81 , & = (вз)(83 + 8) х( 82 + 1),

Теорема. Е = Е' тогда и только тогда, когда существуют невырожденные матрицы и автоморфизм р поля Р, такие, что

РТ • Ак= 52г^АР, к = О,

v=0

РТ

Вк ,Р

8

+ РТ •

Ск ,Я

8

+ яТ

БкТ ,Р

= !>,, ар + Т. к вр + Т. ^к^^-8В1/, к — 1, в,

и= 0 и=1 и=1

РТ • Вк.Р]. , + РТ • Ск, , + яТ • БкТ, Р 9

82 8 83

— ^ ^ вк^-8 V АР Н~ ^ ^ ~*к^г8 V В<Р ^ ~*к^г8 V-\-8 ^^Р, к — 1? в3,

ЪVJ-^v ' / ,1-'кАг8 V ^ V ' /'^°к + 81

и=. 0 и=1 и=1

8

РТ

Ск, Е

52*^ср + 52ь^^ср, к = 1,в, 1/=1 1/=1 8

рТ • Ск= 52*к+8vCр + 52*к+8v+8Cр, ^17^,

РТ

БкТ ,Е

9[,-,9.2)

1У= 1

1У= 1 8

52*кV(Б ту+ 12*к^+2(б ту, ^ = 1,в,

и=1

РТ • БкТ ,Е 9

1У=1 8

52*к+2 v(D Т)Р + 52 *к+2 V+г(Б T)Р, к — ^ в3

1У=1

1У=1

и аг = гд,р, если дог Ф 0; аг = ак, если р.г ф О а г = 0'-, есл и д.- ф 0 / 0- = гд,р, есл и г0 г ф О 0г = 03, есл и г-г ф 0; 0г = ак, есл и в-г ф О 0г = тк, есл и в-+8г Ф 0 / т^ = а., есл и *зг+8 ф О

¥ {Уг) = г0гр +У^ в-гри- +У~^ г-У +У^ в-+8 3=1 3=1 3=1

к РГПЯI •А П II Р.-_- = пт, 8 83

тг = т., есл и *3+8 г+8 ф 0 и р- = 3 при

г, .7 € О, .. ., в^ *г+8,з=®, при г = 1, в3, 7 = 1, в;

гро = о, гда = 0 при г = 1,в2; вго = 0, при

г = 1, в + в3.

Доказательство. Аналогично приведенному ранее доказательству рассмотрим изоморфизм ¥ '-Е ^ Ек оставляющий Е на месте. 3=1 3=1

Далее, пусть

¥ (риг) — ^ ]*-гри^ ^ У \ *3+8гтз, 3=1 3=1

¥Ы = дыр+ Е Рзги3 + Е п-гри'з+ ¥(р)=ргоо +Е .К +£ ^ +Е в^^т

3=1 3=1

88

88

к

3,

3=1 3=1 3=1

г г3 в3

+ д.^к + 52 п^8 т., Тогда для произвольного а € Ер имеем

33

¥(ща) = ¥ (аа'щ) = ¥ (а°*) ¥ (иг) =

81 8 82 83

(а°')р д0гр + Е (а°')РР-ги-+ 52 №*)Р п-гриЗ+ У^у (а°')р д-гук+ 52 (а**)Р п^8гт'з,

3=1 3=1 3=1 3=1

81 8 82 83

¥(ща) = ¥(щ)¥(а) = %граР + £р.ги3ар + Е п-гри'-ар + Е д-У ар + Е п^-шЗар

8

= ард0гр + Е(аРГ3Рз-Щ + Е(аРУ3п-гри- + Е(ар)9"д-гУ- + £(аРУ3п^8гт3,

3=1 3=1 3=1 3=1

8 82 83

¥(Уга) = ¥{а9у-) = ¥(а9')¥Ю = (а9')Р г0гР+5~] (а9')Р в.-ри'-+5~] (а9')Р ^3 +Е [а9')Р в^гт.

3=1 3=1 3=1

88

¥Ыа) = ¥(Уг)¥(а) = г0граР + У^ в-гри'-ар + Е г-У-ар + Е в^8-т3а

3=1 3=1 3=1

8 82 83

= арг0гр + Е (аРГ3 в-гри- + Е (ар)9" г-гУ- + £ (аРГ3 в^8гт-,

3=1 3=1 3=1

88 ¥(тга) = ¥«Т’ш-) = ¥(аТ')¥(™г) = Е (аТ*)Р *3г+8ри3 -|_ у^ (аТ')р *^8^8т3,

33 8 8 8 8 ¥(тга) = ¥(тг)¥(а) = У^/*3г+8ри3ар + £*^8^8«3ар ^Е (аО^3 *3г+8ри3 +у^ (а^Т" *^8^8«3.

3 3 3 3 (аа')Рдог = ар%г, (а°')РР3г = {аРУзр.г, (а°')рд3г = (ар)9з д.г,

(а9' )Р г0г = арг0г, (а9 )Р г-г = (ар)вз г-г, (а9 )Р в-г = (аРУ3 в-г, (а9 )Р в.+8г = (аР)Тз в.+8г,

(аТ')р *3г+8 = {аРУ1 *--+8, (аТ')р *3+8г+8 = (ар)т3 *3+8г+8.

( 81 8 82 83 \

%iР+52pviu'v + Y, ^гр^ + 52 д^1 + Е п^8 iw'v ■

1У=1 1У=1 1У= 1 1У= 1 /

88 {1= 1 {1=1 {1=1 {1=1

до3Р+52Рм и{ + 12 пмРи{ + 12 д^3 + Е пм+8 3 «'и

^ I 8 I Г 8 ! 88 / г 9г . \

РviРlVj <,+Е I догрк3 + ркг (доз) к + ^ ] pvip3 ЬV{^ +ЕЕ ^г д{1 С'к{ + д{3Риг I Рик+

v,{=l к=1 у г,3=1 ^=1 {=1 /

82 / 8Х \ 8/8 { 8Х 82 / г г \

+ Е £ pvip{{jук + Е £ pvip{{j К{ + ^12 {pviдllj С'к{ + д{гр93^ тк,

к=! \v,{=l ) к=1 \v,{=l ^=1 {=1 )

(8 8 8 \

°,3Р + Е ь%ри + 12 ^ '"V+ 12 У 3 т V ) =

1/=1 1/=1 1/=1 /

8 / \ Р 8 8

(а%У ¥ (р) + 12 (3 ¥ (РиV) + 12 (а3)Р ¥ К) + £ (ьГз)Р ¥ (т)

= {а%У ¥ (р) + 12 (3 ¥ (р^) + Е °з)Р ¥ К) + 12 (ь3У ¥ (т) =

v=l v=l

(8 ^ ^ \ 8 / \ Р ^ 8 83 \

Ргоо + 12 вкори'к + Е гму'+ Е вк+8 отк )+£ 3(12 ^Р'и^к + Е ^к^-8 Vтк ]

3=1 к=1 к=1 у \к=1 к=1 )

8 ( ) 8 8 8 8 ( ) 8 8 ^ЕКГ КоVР+Е в^ри'к+У, г^вк+8 Vт'к +Е(ь?з)1 ^ ^ *к ^8рик^^ ^ *к + 8 ^8тк | -

v=l \ к=1 к=1 к=1 / \к=1 к=1 /

8 ( )Р 8 8 ( )Р 8 / \ Р 8 ( )Р

= р£(0Гз)Р ^V + 53 ( 53 (а3)Р в^ + 53 (3 *^ + 53 *^+8 I Рик +

^0 к=1 4^0 v=l )

8 8 ( )Р 8 8 ( )Р 8 / \ Р 8 ( )Р

+ЕЕ К-Г гkvУк + Е Е (^У вк+8 V + Е (ь3) ^к^~8 V + Е (^3') *^4“8 1/-1--8 1 тк,

"г.) ' к^к 1 / у » / у 1аг^ °^8 V ^ ; \ и,3 ] ’■'^8^ ^ У4'--;'

к=1 к=1 v=l

( 8Х 8 82 8? \

догР + 12pviu'v + Е nvipu'v + дvivl + Е пV~)“8 гт' •

1/=1 У=1 1/=1 1/=1 /

(5 8 8% \

^з р+12 в{3 ри{ + 12 г{3 У^ + Е вм+8 - «М ) =

{=1 {=1 {=1 /

8 / / П 82 ^ \ ^ / 81 82 / \

= Е РкггОз+Е Ер Vгг.З Сккм Рик + Ё ( Е 12РVК- С'к{) тк,

к=1 V ^=1 / к^ \^=1 {=1 /

¥(щ) • ¥(уз) = ¥ ( Е 3^ + 12 4-«v I =

v=l /

8 ( ) 8 8 8 ( ) 8 8 = Т.3 Е ^kvpuk 3 ^к^-8 Vтк )+5:«з)р{т. ^к v+8рик Е *^ + 8^ + 8тк ] —

к^ / v=l к=1 )

8/8 83 \ 8^/8 8% \

Е (Е (с*1/з)р *к^ ^ 1^2 (3 *к^Л ри'к + ^[ Е (с*1/з)р + £ (с*1/з)р *^8^л тк,

к=1 v=l /

• ¥(иг)= г03Р+12 в{3Ри{ + 12 г{3+ Е в{ 8 3т

{3ии т / . °{+8 3ш{ {1=1 {1=1 {1=1

8 ^ 83 \

% гр+l2pviu'v+Е ^р-; + Е gvivV + Е п^8 i«v ] =

v=l v=l v=l )

8 / п 82 ^ \ 8/88 г \

12 ( го3Ркг + ^2 12 г{3р9г dv{ | рик + Е ЕЕ гмз pвvvi тк

к=1 \ ^=1 {=1 ) к =1 \^=1 {=1 )

¥(у) • ¥(иг) = ¥{12 ^-3РиV + Е

8 / \ Р ( 8 8 \ 83 /8 8з

Е ($3 Е *к 1-/рик^} ^ ^^^-8 v«k + Е (3 Е ^к v-\-8puk ^ *к+

4^=1 ^=1

8

Р

г3 к к к 8 к г3

к к к

8 8 тк

к

8 8 / \ Р 8 ( ) 8 8 / \ Р 8 ( )

Е Е(^) ^Е (^-3') >kv+8| рик + ^^2 ( ^ / (^3') >k+8V + ^ ] (^г-) *к+8 v+8| тк ■

к=1 V. V— 1 V— 1 / к=1 V. V—1 V— 1 /

Из вышеприведенных равенств следуют не- Т = (*г^^^8/^А)Х(8з+8"+а),

обходимые условия теоремы.

Обратное утверждение очевидно (см. [2]).

Теорема доказана. в'' = в - внекоторые матрицы

Случай (с), р € Л(Е) \ Л(Е)2.

Теорема. Е = Е' тогда и только тогда, Я = (дг^8+8^х(8Х+1), & = (вг3)(8з+8"+Ах(82+8')

когда существуют невырожденные матрицы

Р = (Рг3)(81+1 )х(8Х+1), Е= (3(82+8')х(82+8'), и автоморфизм р поля Р, такие, что

РТ

А'к,Р

8

У г к, vAр + У Гk,v+8' Ар, к=1,вк,

1У=1

1У= 1 8

рТ • [Ак ,р] .'1,..,а^= Угк+8', vAр, + У гk+8',v+8'Ар, к=

и=1

и=-1

РТ

В'к + 8' ,Р

,г)

РТ •

Ск+8',Я , ,+Я1

БкТ р

Бк+8' ,Р

.

8' 82 8' А 83

]Г вк, VA^ + У вк, v + 8' АР + 12 *к, VB^+8' + Е *к, V-\-8 ''В р Н~ ^3 *к, v-j-8''^- АВР-/ к — \, в",

1У=1 1У=1 1У= 1 1У= 1 1У=1

РТ • Вк ,Р ]г^) + РТ • [Ск л]( + ят • БТ ,Р ](

.

.

9,2.)

. ,...,.. '

А

У ; вк+8'', vAР + У~'/ вк+8'', V+8' АР + У ] *к 8'', В Р 8' + ’У',*к + 8'', V + 8'' ВР + ^У^ ^к^т8" ^ -{-8''^- АВ Р-) к — 1,А-1 и=1

8

8

1У=1

1У=1

1У= 1

1У=1

РТ • ВкР{<,...,.' ) +РТ • Ск,Я]ы,...К) + ЯТ • БкТ,Р]9

вк+8'' + А, V Ар +

1У=1

8

+ 53 вк^-8'' + А, V-■f--8' Ар Н~ ^ ^ ^-1-8'' + А, V В ^^-8' 53 ^к^8" + А, V -\-8" В р Н“ 53 ^к^-8'' + А, v--j--8'' + АВр , к — 1, в3,

1У= 1

1У= 1

1У= 1

РТ

Ск+8', Е

и=-1

8

. ,...,.. '

*к, С Р 8' *к, 8''

С Р

Е *к, V-+-8''^-АCР, к — \, в',

и=-1

и=-1 8

рт• [СкЕ ,,ш ) = ^м'.-С;+,, + ^2*м'.-+.''ср + ’Е(м’.**.-*асрр, к = 1,а

Р Т • Ск е ..............::1 = Е*

1У=1 1У= 1 1У= 1

А 83

к^_8'^_А, 1/Си^_8' Е ^к^-8'' + А, V-\-8 ''Ср + 12 *к+8''+А,v+8''+АСр, к — l, въ-,

1У=1

1У=1

А

РТ

БкТ+8', Е

1У=1 8

9[,-,9,2)

У*к, V (БТ+8') + 12>k,v+8'' ФТУ + 12 >k,v+8'' + А (Б ТУ , ^1,в",

и=1

1У=1

1У= 1

т

s Л s%

pt • dt ,r (e,_e,2) = Y,tk+s», * (dt+„)p+y, tk+s-v+s- DTy+Yl tk+s..,v+s»+л Diy , к = тд,

l/= 1 l/=l V=1

pT• [D>'T,R](tk+s” +Л,и D T+s^ +У^ tk+s”+ Л, v+s" (D T) +£ tk+s" + Л, v+s" + л(DT) , k — 1, s3,

ї/=1

ї/=1

ї/=1

а^ aj если Рр ф 0; pij = По,Щ)и І, і = 1, s';

ai = j если р ф 0; ps>+i,j = s^, при І = 1, s'', і = 1, s';

ei=j если гр ф 0; qs>+i,j = ss»+i,j, при І = 1, A і = 1, s';

ei = j если Гз+8>,1+8’ ф 0; rs>+i,j =0, при І = 1, s2, і = 1, s';

ei = aj если вр ф 0; ssn+л+і.,0 = 0, при і = 1, s3, і = 1, s';

ei = j если зр+е>^+е> ф 0; pi, s'+ j = 0, пр и i = 1, s', і = 1, s'';

Ti= aj если Ьрг ф 0; ps>+i,s>+j= tij,npи І, і = 1, s'';

Ti= j еСЛИ ,г+ви Ф 0, qs>+i,s>+ j= U,s"+j, пр и і = \,А,і = 1, s''

Ti= j еСЛИ д ф 0, ts»+л+і,0 =0, при І = 1, s3, і = 1, s";

T—1 О О p rsc+i, s'+j = ts"+i, s"+j, при І, і = 1, A;

i О О при г = 1, «1; ti, s"+j = 0, пр и і = 1, s", і = 1, A;

i о О при г = 1, в' + «2; ts»+л+і, s”+ j = 0, пр и ^ = 1, ^, і = 1, A.

Библиографический список

1. Журавлев, Е.В. О классификации конечных локальных колец характеристики р2, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре / Е.В. Журавлев // Известия АлтГУ. - 2008. - №1(57).

2. Журавлев, Е.В. Конечные локальные кольца порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотент-

ности четыре / Е.В. Журавлев // Известия АлтГУ. - 2006. - №1(49).

3. Журавлев, Е.В. Локальные кольца порядка рв с 4-нильпотентным радикалом Джекобсона / Е.В. Журавлев // Сибирские электронные математические известия [Электронный ресурс]. - 2006. Т. 3. - Режим доступа: http: //semr.math.nsc.ru.