О классификации конечных локальных колец характеристики рг, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.49

Е.Б. Журавлев

О классификации конечных локальных колец характеристики /У2, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре

1. Введение. Данная статья является продолжением работы [1], п которой указано строение конечных локальных колец характеристики р с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности 4 и дана полная классификация таких колец порядка р6.

Цель данной работы указать строение конечных локальных колец с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности 4 и характеристики р-'. Все кольца, рассматриваемые и данной работе, являются ассоциативными и содержат единицу.

2. Предварительные сведения. В дальнейшем нам потребуются следующие хорошо известные результаты из теории конечных колец (см. [1-7]). '

Предложение 1. Пусть R конечное кольцо, в котором все делители нуля образуют идеал М. Тогда существуют простое число р и натуральные, числа п,г , такие, что

1■ \Щ = р"г;

2. М = J (Я) - радикал Джекобсона кольца Я и М" = 0;

3. \М\ =

I R/M S GF(p'):

5. duir П = где 1 < к < н.

Кроме того, пусть р, п, к являются числами с указанными выше, свойствами. Тогда справедливы следующие утверждения:

6. Если п = к, то Я является кольцом Галуа GR(pkr ,рк). В частности, М = pR, Aut.(R) э? Aut(R/pR) и Я = Z^lb], где Ь элемент Я мультипликативного порядка Рг - 1;

7. Если cliar(R) = pk, то R содержит максимальное подкольцо Галуа Rq = GR.{pkr,pk) = Zpb[b] и если R'0 другое максимальное подкольцо Галуа кольца R, то существует обратимый элемент х € R, такой, что R'0 = xRqx 1. Пусть Ко =< Ь > и{0}. Тогда каждый элемент кольца R0 моэнсет быть записан

А-1

единственным образом в виде ^ //Л,, где

.=о

Л, Є К0;

8. Если т Є М и р1 является аддитивным порядком, элемента т для некоторого положительного целого і < А:, то R^>m = Яо/р'Яо и | Яот | =рІГ;

9. Существуют элементы тЛ..... гп/, Є А/ и Єї,... ,07, € Aut(R^)), такие, что R раскладывается в прямую сумму левых Я0-модулей

Я = Ro 0 Ф... Ф Йоты,

где т,го — Гц' т, для всех і — 1,и для любого элсме?1ша Го Є До- Отсюда, в частности, следует, что

М = рН{| ф Я0ті Ф ... ф /?о»1/,.

Далее, будем всегда предполагать, что />’ является конечным локальным кольцом.

= 0. J(R)3 # 0 и Г = Я/./(Я) = С'Е(рг).

3. Кольца характеристики р2.

Пусть R конечное ассоциативное локальное кольцо характеристики р2. Тогда Я содержит элемент 6 порядка рг — 1 такой, что b + J(R) является примитивным элементом ноля R/J(R) = GF(7^Г). Пусть Ro = [¿>] - под-

кольцо Галуа кольца Я, До = СЯ{р2г ,р2). Заметим, что множество />Яо = ./(Я) П Ro является максимальным идеалом кольца Я<> и Ro|■)(R^\) = СЯ(рг). Более того, так как Ь имеет порядок рг — 1 и J{Ro) С ./(Я), то Ь + J(Ro) является примитивным элементом Ro/•J(Ro)■ В силу предложения 1 каждый элемент Яо может быть единственным образом записан в виде Ао + А¡р, где Ао, А) є К о = (Ь) и0.

Пусть г є R. Тогда в силу предложения I. і,

г = ао + Л»том а0>Л'» Є Р. Так как J(Я)', = О,

./(Я)-* ф 0, то мы можем гіерєобозначить базис {7/11 ---т/,} радикала J = J{R) следующим

образом

■ЛЯ)3

{^1,...,ЖЯ1,у\,..., у$2, Z],..., газ },

4---------'

/(Я)2

І ДС Х\, . . . , Xgï Є ./ \ ./ , у 1, . . . , УЄ \ :

2\,..., Є ./3 и «| + а а + Зз = її- Да.’іе(>, перо-

обозначим соответствующие автоморфизмы:

{(71... . , (Т/( } = {(Т\ , . . ., О а, , 01,. .. , Оцз , Т[,. .. , Т*з } .

Так как р € А/, то возможны следующие ситуации:

a) р е Л/3,

b) р е М2 \ М3.

c) р€ М\М*.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай (а). р€ ./(/?)’*.

В этом случае 1 < я-2 < в? и 1 < «з + I <

Так как рх, = ру, = рг, = 0, то каждый из элементов кольца Я может быть представлен единственным образом в виде

8| »г 53

Ао + А,р+ 52 <ХкХк + 52 РкУЬ + Ук2к' 1 = 1

к=1

к=1

где Ао, Ль а*, Рк, 7а• € Ао*

Так как х^х^ € J(R)^2 и XiУj>yiXi € </(й)3, то

¿2 £

1=1 к=1 где а£, Ь°Ху € Яо/рЯо, г, ; = 1,*ь

ХМ} ~ С%Р + 51 4}гь У:х> = (1°чР + Е 4уг*. °ТСЮДа’ *!=1

*.=1

где <$, <£> € Я0/рЯ0, * = 1,в1, ^ = 1, «2-

Рассмотр и м м атри цы:

А -

В =

(7

£> =

^ а11 > «11 •• \

«}г а\2 .. -Й

а«1«1 <*,/

М> •• Ч? \

ь\, .. Ь\ |

г>С, б53 ; "а,«, /

/с?1 «и г*3 \ с 11

сЪ Г1 С, 2 Г*з 12

'■5,5»

(*и ¿и • N

Й}2 • <1

4^1 *2 ••

Так как элементы XjXj + J(R) (г. у = 1.»1) порождают ,/(Я)2/./(Я)3} то матрица .4 имеет ранг вг (максимальное число линейно независимых строк). Следовательно, матрицы (а^) (к =

1,я2), образованные столбцами матрицы .4, линейно независимы надполем Я0/рЯо- Аналогично, так как элементы (соответственно ;^х,) порождают ./(Я)3, то матрицы С я О имеют ранг + 1. Следовательно, матрицы (г^) (соответственно ($,)), к — 0, 83, I = 1,-41, $ = 1..Ч2, образованные соответствующими столбцами матрицы С (соответственно О), линейно независимы над полем Яо/рЯо.

Далее, так как кольцо Я является ассоциативным, то (хс,ха)х-) = хс{хрху) для любых чисел п, ¡3, 7 € {1,...,Следовательно,

(хахв)х 7 = 51 + Ь%Р + 51=

\*:=1 /Ь=1 /

Кр+ 51 <ф*т) =

А:= 1 \ т=1 /

/ *а \

хо{х0х^) = ха 51 а/ьУк + ЪдуР + 51 ЬЬ2к =

А = 1

= 51 (а*»Г“ (<£*р+ 51 <&*«!•) ■

Л=1

т=|

*.=1

А—1

для любых чисел а, 0, у € 1,...,«1 и любого числа т 6 0,1,...,¿¡з.

Далее, пусть Ь - примитивный элемент поля Р. В силу ассоциативности Я имеем

{хгх^Ь = 52 + рЯоЛу* + 6®(^ + рЯо)р+

*=1

53

^^Ь1|(Ь-ЬрДо)г*^ = ((Ь +рД0).<г^)<г*1Х^ =

^*=1

(й+рЯоГ^ 52 <г/* + ьЬр+Е •

\А=1 ¿=1 /

Так как элементы р, (уд-, г* линейно независимы, то

4((Ь + рЯоЛ -(й + рЯоГ'О =0,

Ь?:((6 + рЯо)-(6 + рЯоГ<гО =0,

^((Ь + рЯо)г* - (6 + рЯо)0'"’) = о

для соответствующих значений к. Матрицы (4) линейно независимы, а значит, отличны от нуля, поэтому для каждого к Є {1,..., я-2 } существуют некоторые і, і € {1..... 51 } такие, что 4 ф 0. Следовательно, (Ь + рГ1о)вк — (Ь + рЯ())с‘г’1, и так как Ь + рЛо является примитивным элементом поля /іо/рЛо, то &к — я%аг Заметим также, что если матрица В содержит ненулевой столбец с номером к. то существуют і,ї Є {1,... в і} такие, что т* = <т,<г7 . В частности, если к = 0, то то = і(1и0 —

Аналогично из равенств

{хіУ^Ь = х,{у^) и (уух,)Ь = у^х.Ь), следует, что

4 {ь + рЯо)р + 524(ь + Рл<>Ук гк -*=і -(6 + |>Дд)в^ ^+¿4^ , 4 (Ь + рЛо)р + 52 4 ^ + рЛ0)Гк г* =

= (ь+рйог^ ( 4р+£ 42*

\ А=1

Так как р, гк линейно независимы, то

с?((Ь + рЯо)-(Ь+рДо)в^') = 0,

с^аь + р/гьр -(г> + р^)в^-) = о, 4((ы-рйо) - (Ы-р/го)®^1) = о,

4((Ь + РЛ0)Т1 - (Ь + рЯо)9^') - о

для всех к = I,.... .43. Матрицы (с-) (соответственно (4)) являются линейно независимыми, поэтому для каждого к - 0,■ ■■■■Ь существуют соответствующие числа г и такие, что 4 Ф 0 (соответственно 4 Ф 0)- Следовательно, (Ь + рЛо) — (Ь + рИц)п‘а' и так как Ь + рЯо является примитивным элементом поля Ло/рЛо, то 7-0 = гс1ца = в^сг/ и тк = 9]а,.

Таким образом, автоморфизмы {0[....,0„2, т\,..., т3з} выражаются через автоморфизмы

{^1 , • ’ • 9 } •

Окончательно получаем, что умножение на кольце Л удовлетворяет равенству

/Ь=1

із

00 + 51 ак*к + 51 дкУк + £ ) ' ( л0 + £ + 12РкУк + £ =

V /1-І Л.-1 *=1 / V Ь=1 6=1 Ь=1 /

= «0«0 + V ( 52 ЬЬа< КГ’ + ІІ £ (<&«»'(#)"' + <Рг$М)в>)) +

\<.;=1 .=1 ;=і у

+ 51 ([«о + рЛо] а* + ак ((Оо)04 + рЛ0]) £* + к=1

+ Ё ( ^а° + + /Ы(°о) 1 + рЯо] + 52 а0пч(п})'7' ) Ук +

к= I \ 1.7=1 /

+ Іі ( (а° + РЯоМ + 7*к + рЯп]Тк + £ б'ул.Ц)'7' + 52Іі (4“^)"' + 4'^(а<)°’) ) г**

£=1 \ ¿,>=1 1=1 7=1

где а0, «о Є Ло, а*, а*, /3*,, /?[., 7*, 7* Є Л0/рЛ0.

Случай (Ь). ре ,/(Л)2\7(Л)3.

Пусть в > 0 максимальное число эле- ^о+^іР+52 а*-,*+52 а*/лс* + 52 .^*У<.-+52

*=1 *=1 *=1 к=1

ментов ра:^ не равных нулю, Х1,...,.г41 €

J{R)\J(R)^:. Предположим, без потери общ- где Л», Л1, сц-, о*-, (¿ь, 7д € А(1.

иости, что рх[,..., рх„ не равны нулю. В этом Так как ххх] 6 '/(Л)~ и х1у), \jiXj € 3( Л),!. то

случае 1 < +1 < и 1 < «з +.? < в) во + «• Ка- 8

ждый элемент кольца Л может быть представ- _ _ ,,о т. , „к „ , V" А* \ /Л ,

1 ^ Х(Х} - а р -I- > а{]ук + > Ь^рхк + > ,

лен единственным образом в виде ^^—'

Дг=1 А = 1 к= I

где а°, а-у, € /•’. *,} = 1,«т,

Я 5л

= £^№ + £Ф*'

А=1

«3

угх‘ = £ 4/Рж»-+ X

А = 1

Ь=1

где с£,, с* , . <1^ € Г, /: = 1, 5ь 3 = 1, «2.

Рассмотрим матрицы:

2? =

0 =

А = / а?, а'и 1 С1® я ^ \ 5131 515| : «11 ^ «12 а%ч) 1

/ ¿1. .... ьи ^11 \

... ьи Ь\2 ь\I

и., *Й../

/ ¿м с}2 с.п с12 ‘11 4* СЙ \ г53 12

1 с6 • * 5|52 0 С»1 »2 0 С$л 51 52 0

0 а 0 ... 0

V о 1 0 0 /

( ({п ^11 ¿11 . •. ¿Г1 \

¿\2 .. . г/?2 ¿12 ... ¿Й

1 * I *2 0 ¿«1 52 0 5| 52 0

0 0 0 0

^ 0 1 0 0 >

Далее, так как кольцо Л является ассоциативным, то (.ГаХ;3 = Хп(Х1)Х-у) ДЛЯ любых ЧИ-

сел а, .3, 7 £ {1___ л-1}. Следовательно,

(л-0хй)хт = «°^х7+

+ёа*/з ( £ с^с»>+£ <1-хг>») =

к=1 \т=1 т=1 /

= х„(аг^а:-,) = (а^)*“ рхЛ +

+ £ {а/)уУ'' ( £ с^*,рхг„ + ]Г <&.*„,') ,

£=1 \т= 1 т=1 /

Отсюда, в силу линейной независимости рх,, г, над F имеем

х>£а=£(4,р<&

Л-1

*.— 1

для любых чисел а, в, 76 1,и любого числа т 6 1,..., вз, и

0;в+Х>£л = (<&)*■ с+£ Ш’а с

к=1

А = 1

для любых чисел а, 3, 7 € 1__________ и любого

числа т 6 1_____,е, причем

<5™ =

6"‘ =

[ 0, если 7 > *• или 7 ф т.,

II, иначе;

0, если а > и или а Ф т,

1, иначе.

Далее, пусть Ь - примитивный элемент поля Р. В силу ассоциативности Я имеем

Так как элементы XiXj + ./(Л)3 (г..у = 1, в1) порождают ,/(Л)2/./(/?.)3, то матрица А имеет ранг зг + 1 (максимальное число линейно независимых строк). Следовательно, матрицы (а^) (к — 0,«о), образованные столбцами матрицы А, линейно независимы над полем Яа/рЯ»-Аналогично, гак как элементы х^ц, рх, (соответственно уух!, рх,) порождают J{Я)3, то матрицы С и В имеют ранг вз + я. Следовательно, матрицы (<•* ) (соответственно (Йу))> к = 1,Яз, г = 1. л 1. у == 1,«з, образованные соответствующими столбцами матрицы С (соответственно В), линейно независимы над полем Яо/рЯя-

{х,э^)Ь - xi(xjb), г,] = 1.«|,

$2

(х1х))Ь = (6 4- рЯи)р + ^2а^(Ь + рЯо)°куь +

к= 1

+ £ Ь^(Ь + рЙсУ+рхк + 52 Ь^{Ь + рЯо)Т1гк. = к—1 к=1

= ((Ь + рЯоУ> г х-хщ = {Ъ + ря0У'а> •

(52 $ \

а%р + £ аЬУк + £ ЩрЯк + £ ь^гк .

к=1 А=1 А=1 /

Так как элементы р, рхк, у к, ¿к линейно независимы, то

а^((Ь+рЯо)-(Ь + рЯоГ^) = 0,

аШ> + рЯ0)н - (Ь + рЯоГ‘аП = О,

Ьу {(I) + рЯа)°1 — (Ь + рЯо)ег“г‘) - 0, и линейной независимости рхк, г*, следует, что

§{{>> + - (Ь + рЪ)*"*) = 0 с* ((;, + рЛо)"" - (6 + рЯп)в,°‘) = О,

для соответствующих значений &. Матрицы

(ау), /; - 0,«г линейно независимы, а зна- Су((& + Р-Ко) 1 — (Ь + рйо) ' ‘)=0,

чит, отличны от нуля, поэтому для каждого ,... _ ,

I г (п \ ■ г ‘1ц((Ь+рЯо) к - (Ь + рЯоГ’"-) =0,

К € {0,. . . , «2} существуют некоторые е ** Г и/ \ I и/ /

такие, что ау ^ 0. Следовательно, 4((Ь + РЛЬ)Г* - (*> + рЯо)в'°') = 0

(Ь + рЯ.о)0к = (Ь + рЯ(,)°'а>, и так как Ь + рЯ<>

является примитивным элементом поля Ло/рЯц. для ш:ох соответствующих значений к. Матри-то вк = о ¡о,. В частности, если к = 0. то цы (со) (соответственно (</*)) являются линей-

00 =г^йо = ст,о> Заметим также, что 110 независимыми, поэтому для каждого к =

т ч___ 1 х- / г, _ „ _ „ л , , , - , 1,— ,$з существуют соответствующие числа г и

1) если о-, ф 0 для некоторого 1 < А < «з, то ~ ..

т _ о а . )> такие, нто Ф 0 (соответственно а у Ф ()).

Следовательно, (Ь+рЯо)п = {Ь + рЯо)0,а' и так

2) если б*, ф 0 для некоторого 1 < к < я, то как ру^0 является примитивным элементом

а к — ПОЛЯ Яо/рЯо, то г*. — 6^- ГГ(. Кроме того, если

3) если матрица Б содержит ненулевой стол- о* ф 0 или ф- 0, то ок = 0]о,.

бец с номером к, то существуют г,] € Таким образом, автоморфизмы {$ь__0вз,

{1,... Я)} такие, что тк = о,а]. *1,..., т*3} выражаются через автоморфизмы

Аналогично из равенств {сг1,...,ог4,}.

Окончательно получаем, что умножение на {ххУ^)Ь — х,(у1Ь) и {у^х^Ь = уу(х(Ь), кольце Я удовлетворяет равенству

(*1 ¿2 *3 \ / »1 *2 »3

оо + 52 акХк + 51 Рм*+ 52 ^к2к) ■ + £ а'кХк + 52 Р'ьук + 52 7'к2к

А = 1 «.=1 *=1 / V <••=] *=| к= 1

«I ¿1 / / *1

= оо^п+р 52 пЬ [°> КГ'+ 1)П"]+ 52 (п°а'к + а*(ао)"1 +р ( 52 [п< (а;)"+ +

i,J=l к= 1 у \'.7=1

+52 52 (см ia‘ p-ß°] (ßj)17' + ¿ijßj f(«i)tf; + рЯо]) J j -ГД-.+

+ 52 (+p^o\ß'k + &k [(«ö)^ +P-R«] + 52 aiy +рл0] | yk+ k=i V ¿,i=i

»3

+ 52 ^°° + l)Rob'k + 7ft[«0 + PRo]r" +

A=1

+ 52 bij Ы«Т + рль] + 52 52 (4 !«•[(«i)9; + Л))

«,j=i >=i j=i /

где а0, Oq, ft*., e ßo, /3*, /5[., 7*, 7k e Яо/рЯо-

Случай (с). € J(R)\J(R)3. случае 1 < s' + s2 < (l+sj)2, 1 < s-s' + Ä + s3 <

Пусть s > 0 - максимальное число элемен- (1 + *'i )(s' + «2)- Каждый элемент кольца R мотов pxi, не равных нулю, и А > 0 макси- жет быть представлен единственным образом в

мальное число элементов ру,, не равных нулю. виде

Предположим, без потерн общности, ЧТО именно , , \ „ I V' , V' -

Ao + Aip4- 2^ nkXk + 2-, QkpXk-1-px 1,..., px,рух не равны нулю. Пусть k= t k= j

s' > 0 такое целое число, что рх\,... ,px'a £ *2, ^,3 i2,

J(R)2\J(R)3 II pX,i +1.pxf € J(R)3. В ЭТОМ V* 4 а?^¿кРУк + X) •

где А0, Ль а к, Оку Рк, Рк, 7 к Є К0.

Так как з•lXj Є -/(Л)2 и х,у,. у,х} е ./(Л)3, то

ХіХі + ./(Л)3 = 52 «&/>хк + £ а>3Ук +

А=1 А=1

й .-»2

XiXJ = £ (Аи + Р'£ь + 51 йО’У* +

*=1 *=1

А

+51 + 526ог*>

А'=1 А = 1

где й£, ву, 6}Г 6у € Г, і,> = 1,яь а* Є /\0

И ¿у + рЛо = 61^. Причем Ьу — 0, еСЛИ рЖ* 6

./(Л)2\./(Л)3, и = 0, если рх*. е ./(Л)3.

5 А 5з

= £ сур**- + 51 + 51 'ч**’

Л = 1 А:=1 *=1

5 А »л

У;*! = £ + 51 4>2*-

А:=1 А = 1 А = 1

где еу, с*. С* , С/у, € /•’.» = Т7«7. } = ОТ.

Причем = ¿у = 0, если рз'А 6 ./(Л)3. Рассмотрим матрицы .4, В, С. О:

/а!

*і*і

41

Й|2

о

*п

г"*'

12

^¡+'

і,*'+і

12

¿«' + 1 «1»!

£

О

'і і

І)®

12

*1*1

¿11

¿}2

О

Е

^і

ьъ

6А

-Ч 1 * I

1>11

Ь\2

ы

О

о

ЬЙ

ьа

б*'

-'1*1

/г’41

си

+1

12

Л$ т і С5|в|

/,5

"12

о

сп

12

* I *2

О

‘-и

лА

12

*1 *2

12

О

О

,.«3 \ Сц

г*3

12

Е =

/1 О О 1

\0 О

0\

V

А/Ї?’

4+‘

(У +1

*я> »I

Е

О

^іі

^12

м 1 * 1

(1}

11

“12

*1*2

О

Е

¿12

<*и

(і[

*1*2

О

о

ч\

<£й

(II3 *1 *2

О =

/О и О о

\о о

о\

о

О/

Так как элементы х.Ж; + ./(Л)3, р.г, + ./(Л)3 (г,7 = 1,8|) порождают ./(/?)"/./(/?)3, то матрица Л имеет ранг »' + «2 (максимальное число линейно независимых строк). Следовательно, матрицы (а^) (А; = 1, во), образованные первыми элементами столбцов матрицы .4, линейно независимы над полем Ло/рйо- Аналогично, так как элементы х,у]. рц1 (? = 1,«х, 3 — 1**г) и Рх> (г = *' + 1,6-) (соответственно уух^ рц, (г = 1,«ь 1 = 1,5>) и рх, (г — «' + 1,.«)) порождают ./(Л)3,

то матрицы С и О имеют ранг « - *■' + А + л'з. Следовательно, матрицы (су) (соответственно (¿у)), к = Т7»з, » = 1,«і, У = Ма, образованные первыми л-]я2 элементами соответствующих столбцов матрицы С (соответственно О), линейно независимы над полем Ло/рЛо■

Далее, гак как кольцо Л является ассоциативным, то (х„х,ч)х^ = ха(хрху) дли любых чисел «, 0, 7 € {1,..., в]}. Следовательно,

(*«*<»)*Ч = £ (¿"«л) Р*т + £ (¿(««Л + 5>*а) Гот + 52 гт

т=1 и=1 / т=1 и-=1 к=1 ) т=1 \А-=1 /

5 / $2

ха(х3х^) = 53 ПС (а0уУ" Рт»‘ +

ш=1 \А:= 1 /

+ £ (52 (Й*»Г° “«* + £ («07 Г" ) РУт + £ (]£ (“*»)"“ с)

т=] уЬ= 1 6=1 у т=1 \6=1 /

Отсюда для любых чисел а, ,3, 7 Є и любого

«2 числа т Є 1,... ,А, и

5>^. = 52к7Г с.

Ь= 1 к — 1 «У2 52

ДЛЯ любых чисел О. /3, 7 Є 1,...,ві И любого 52 аа0(!"ук = 52 (^¿т) С»6

числа т Є 1......в, и *=1 *=1

і *2

526«0°Ъ + 52 «аЛ = АЛЯ любых чиссл а’ 7 € 11 любого

А.=1 А.=1 числа т 6 1,... ,в3.

* «а Далее, пусть Ь - примитивный элемент поля

- («а-,)”' «,"* + 52 (а0-у)а° с™к Р- ^ силу ассоциативности Я имеем

6=1 6=1

$ «2 А Л'З

[х{х})Ь= ^^{Ь+рН0)"крхк+^/а^ЬІ>іук+'^,Щ{ь+рЯ<>)№і,РУк+^Г,Ь^(Ь+рП<)У,'гк - (Ь°')а'х^ = 6= I *=1 *=1 к=1

ХХ^^ + Х

6=1 *=1 б=і б=і

= £ («у + ¿о) (Ь + рЯоУ^РХк + £акі}Ь'«>ук + £Ь^Ь+рЯоГ^рук + £ Ь^(Ь + рЯ^'г*.

Следовательно. <8|} такие, что №у 7^ 0 (соответствен-

/ . . \ / ч но «у ф 0). Следовательно, (Ь + рЯо)°к —

(®у + ^у) (Ь + 7^«) " - (4у + &у j (Ь + рДп) + рДоУ^’, и так как 1> + рЯо является прими-

тивным элементом ПОЛЯ Яо/рЯо, ТО $А- = 01 О у. ¿уЬ®* = йуЬ17'^ , Заметим также, что

К»**)» -Шь + рЯоГ'‘, 4 +%*0*™"™Р°™'5*<».

Ьу(Ь + рЯоУ1 — 6 у{Ь + рЯц)а'а> 2) если 6^ ф 0 для некоторого 1 < /с < А, то

для соответствующих значений £. Матрицы ~ сг‘сг-'’

(а^). А = 1.52 линейно независимы, а зна- 3) если />у / О для некоторого 1 < А- < *-3, то

чит, отличны ОТ нуля, поэтому для каждого Тк—0\0).

к € {0,..., 52} существуют некоторые 1,3 € Далее,

« А 53

(ж«3/,)& - 52 дЫЬ + рЯоУ“рхк +52$)(!> +РЯо)в"рУк + 52 с^(ь + Р^У" гк -6=1 6=1 6=1

= = ((ь + рЯо)0* У' | XI <%рхк + 52 ¿чРУк + £ с&к) ■

\6=| 6=1 6=1 /

» Л «3

(У]Хх)ь = 52 ^(ь+рЯоу-рхк + 52 +р^о)й,’Р2/б + 52 +рЯоУ‘?к =

6=1 6=1 6=1

= 2/Лх'6) = аь+рЛо)9'),т' £ ¿ур*б + 52 + 52

\б=1 6=1 6=1

Так как рхд., рук, гк линейно независимы, то Лз существуют соответствующие числа г и

], такие, что Су ф 0 (соответственно ¿у ф 0). Сц((Ь+рЯо) 1 — (6 + рЛо) ' ') = 0, Следовательно, (Ь + рЯо)Тк = (6 + рЯо)0,(,‘ и так

й ^ как Ь ■+• рЛо является примитивным элементом

¿ц({Ь + рЯо) 1 — (Ь + рЯп) ' 1) = 0, поля Яо/рЯа, то тд. = 0л-ст,. Заметим также, что

¿^((б + рЛо)8*' -(Ь + рЯо)°1а') = 0, 1) если Су ф 0 или ^ 0 для некоторого

1 < к < «, то О д- = 0,17,;

4((Ь+рЛо)^-(Ь + рЛо)^) = 0,

2) если с\3 ^ 0 или ^ 0 для некоторого

с*((6 + рЯ0)г" - (¿> + рЛоУ^') =0, 1 < * < А, то вк =

а* ((6 + рЛ, )г‘ - (6 + рЯп)в,а*) = О Таким образом, автоморфизмы {0,...........04а,

п,... ■,т83} выражаются через автоморфизмы для всех соответствующих значений к. Матри- {<7|,..., а.,,}.

цы (су) (соответственно (¿у)) являются линей- Окончательно получаем, что умножение на

но независимыми, поэтому для каждого к = кольце Л удовлетворяет равенству

«1 *2 43 \ / *1 »2 »3 \

а0 + Е ащ + ^ А?/«: + £ 7а-2а- | • ( «о + £ + £ + £ 7*2* ) =

А-=1 *=1 *:= 1 / \ *=1 *=1 *=1 /

*1 / / «1

= ао«о + £ а°а* + а*К)Г‘ + V £ (А0 + К) К ЩУ* + РЛ°] +

А = 1 \ \і>=1

+ ££ ЫД'Г + рЛо] + <% [/?>')*' +рЛо]) I ) ** +

і=і і= і

¿2

+ £ I Ю * + £ <^/*<(а^)'7' +

Аг=1 V і,^=і

*1 *2

+Р £ К М«})'* + р*о] + £ £ (4 [а,(Д'Г + рЯо] + Щ [$М)°1 + рЛо]) ук+

\ч=1 1=1 ;=і / /

«3

+ £ ([«О + рПаЫ + 7* К + рЛ„]Гк +

А‘= I

+ £ 6*, [а,(«'Г' +рЛо] + £ £ (4 Ь^Г' +рДо] +4 Ш<*№ +РЛо]) ] 2*<

і,і=1 ¿=1 і=1 /

где а0, Од-: /?*, ^ € /?о, 7ь 7а- е Л0/рЛо-

Конструкция В где в, А - некоторые целые числа, 0 < .ч < $ь

и < А < 52.

Пусть Ло = СЛ(р“’,р2) - кольцо Галуа и п 1а<г . а г {вь в....б }

Ло/рЛо = (?Л(рг) = Л. Пусть «7, V, IV , ’ 1 ,/ ’ г/'

{Го, , 4 . . , } 5 ^7(1 и() То - 1(1 <ІВ ГО

— Яо-модули с порождающими множествами морсЬизмы Я и

{«і,...,«,,}, (у,). {’“-'Л (() < * < «2, о <; < .«з)

соответственно, И \¥. кроме ТОГО, является век- I,,к \ I. _ гГ77

^ _ \«гу /«і X5і ! «• — и,А2,

торным пространством над полем Ї . Предполо-

ЖИМ, ЧТО пк \ і к \ і )к \ ; 7\-

{blJ)s\Xs^l )^і Х52? ((¡¡J)s^Xs^¿^ к — 0,£з,

Р“1 Ф 0.....ті Ф 0.ри„ + 1 = 0,-----рм4, = 0, ,- А- Ч /ГА- ч /¿к ч I IА ч А. _ 1—Г

Х«1 1 \и0 / •«! Х«1 > 1 \а0'*1Х*2> Л- —

рг)| ф 0,...,ртл # 0,рг'л+| = 0,...,рьвг = 0, (&£)*,*«,, М))пх*г! (^о)»іх»г, Аг = 1,А,

- матрицы над полем Г, удовлетворяющие следующим условиям:

1) множества {(«*;)}- {(Су*)}, {('4?)}

являются множествами линейно независимых матриц;

2) если ф 0 для некоторого 0 < к < ва, то в к = а ¡о у,

3) если а* ф 0 или Щ ф 0 для некоторого 1 < к < V, то а к — Огсгу,

4) если Щ ф 0 для некоторого 0 < к < вз, то тк = сг,сг7;

5) если Ф 0 для некоторого 1 < к < А, то в к = сг^сг,;

6) если Сц Ф О ИЛИ (1^ Ф 0 для некоторого

0 < к < »з, то Тк = 0¡о,'.

7) если с* ф 0 или (1кч Ф 0 для некоторого

1 < к < 8, ТО (Тк =

8) если с* ф О или ф 0 для некоторого

1 < А; < А, то в к =

Кроме того, пусть выполнен один из следующих наборов ограничений:

а) 1 < Я*> ^ 5|[, 1 ^ + 1 ^ 8*2, 5 = А = О,

и® — ¿1к — Ьк ~~ с* — (У'' — // — л!'. —

11 1 ч 'I) u^^ Л J VI]

¿к} = 0 и для любых чисел о, 0, 7 = 1,в] и тп = 0, лз справедливо равенство

52 ¿2

■К,)'т+ЕК,Го

*=1

ДЛЯ любых чисел а, ¡1, 7 — 1, А'I II Ш\ — 1, А'з, т-2 = 1, .9, причем

О, если 7 > я или 7 ф тп,

¿Г =

6"' =

1, иначе.

0, если о > .ч или а ф тп,

1, иначе;

С) 1 ^ 6‘* 4* .9*2 ^ (1+51)", 1 ^ ^ + А + 93 <

(1 + я1)(а' + я2), <4 = ^ = О

и 1>1 = ... = Ц = 0, = ... = с*] = 0.

= ■ ■ ■ = = 0, а*'+1 = ... = а?; = 0 где

0 < я' < я, и

*.—1

*•=1

к-1 Л=1

Ь) 1 < $2 4” 1 < 5^. 1 К б’з +5 < .5| 52 “Ь А = 0

ь% - 4 = ,г1, =4« - Щ - ‘:ч = =0 “

Е»г,с = £«)'• с.

I *=1

Е(^)«п+Е«^<з =

А = 1 А = 1

*=1 А~1

ХХА = Х>ё,)"‘с

а=1

*=1

*•=1

для любых чисел а, 0, 7 = 1,яь т\ = 1.я3, 171,2 = 1, А, гпз = 1,.в.

Рассмотрим прямую сумму

/? = /?0 Н* С/ Ф V И

и определим умножение на Я по правилу

«1

1^=1

(«о + Е °кНк + Е &кХ>к + Е 1кП'к) ■ (ао+ Е акик + Е + Е ~/кЮк) =

\ А-1 А = 1 *=! / \ А=1 А=1 А=! /

а0а'0+1> I £ («° + 6« ) [а, («')я' +рЛ0] + Е Е (4 М^‘ + Р^О + 4 + РЛ«])

*=| >=1

Е (а°а* +«А.(«о)а‘' +р (Е (^и+ Щ [“«■ ('г>>) г' +рпо] +

А = 1 \ \и=1

+ ЕЕ (4 Ы%)°' +рПо}+$ [0М)*> +Ря о]

,=1 ^=l

Ук-

£ ( Оор'к + Рк («о/1 + £ +

к — \

'•7=1

+р £ щ ы«'г + prо] + £ £ (4 [<*ЩУ' + рЛо] + 4 + p-Ro]))) vk,

y,J=i »=1 j=l

53 ([«О + рЯ0]7* + 7*[<*о + Р^оГ* + k = i

£ 4 + />/?(>] + EE (4 [a'(^)'7' +PRo] + d’ij [Рз(а\)в} + pRo\) ) Wk

U=i <=i i= і

где a0, Op, Ok, <**, /4, /ЗІ- Є R0. 7ь 7fe Є Ro/pRo, nfj Є A'o, «?, + p/?o = a£.

Относительно введенного умножения, как показывает следующая теорема, Я образует ассоциативное кольцо.

Теорема 1. Ассоциативное кольцо Я, определяемое конструкцией В, является конечным локальным кольцом характеристики р2, радикал Джекобеона которого имеет индекс нильпотентности четыре. Обратно, каждое такое кольцо, отличное от кольца Галуа, изоморфно одному из колец конструкции В.

Доказательство. По условию Я является абелевой группой. Легко проверяется дистрибутивность и ассоциативность. Также заметим, что элемент (1,0,0,0) является единицей Я. Итак, Я ассоциативное кольцо с единицей.

— *,2г , „г(«і+і) ,

где

Далее, |A|==.|Ho[.|t/| |V|-|1У| = р‘- р

j/[s2+\) . рГ*3 _ p(2+ii+s+s2+A+i3)l" _ рШ-

п = 2 + Si + s +■ $-2 + А 4- S3 и char Я — р .

Осталось показать, что кольцо Я является локальным и имеет радикал Джекобеона индекса нильпотентности четыре. Очевидно, что Яо. U, V и !Г можно рассматривать как подмножества Я. Пусть М = рЯ0 © U © V © W. Из определения умножения на Я следует, что М2 С pU © pY © V © IF, А/3 С pU © pV © W и М (pV © pV ф И') = (pU ©pVr 0 W) M = 0. Следовательно, A/'1 = 0. Аналогично получаем, что RM = А/Я С А/, т.е. А/ является идеалом R.

Далее, М С .¡(Я). Пусть г0 € Яо. г0 $ р/?о и m € М. Тогда элемент го + т является обратимым в силу обратимости элементов вида 1 + т', т' € М.

Так как \М\ = р'(1+*1+«+*г+А^-*3) и

\(Ro/pRoY + А/| = (рг - 1)р^(1+*1+Н-«+А+«а)ч то Ко + М = Я \ Л/. Следовательно, Я/М = GF{pr). Итак, Я является локальным кольцом и ./(/?)4 = 0, J{Rf ф 0.

Обратное утверждение очевидно. Теорема

доказана.

Утверждение 2. Пусть Я кольцо конструкции В. Тогда кольцо Галуа Яо лежит и центре Я тогда и только тогда, когда автоморфизмы

, • • . , <Т.,| » @1 , • . • , $4^ , Г| , . . . , Т*з |

являются тождественными

Доказательство. Пусть Яо Я. Я{Л). Тогда

(0,^,«^,ш»)'-(6.0,0,0) = (0, Ьсг'и1,Ьп,чу.ЬГки'к) =

= (0, Ьщ, ЬЬ), Ьхик) = (0,0.0,0) • (0, и,, и>к).

где г — 1, в 1, ] = 1,«а, к = 1.«з. Отсюда следует, что Ь"' = Ь°> = 6Г* = Ь, т.е. автоморфизмы {СТ1,..., <Т31, 9\,..., <?52, п,..., 7-,3} являются тождественными.

Обратно, если автоморфизмы

{(71 .. . . , <751, 0\ , . . . , 6цч , Т\ , . . . ,}

являются тождественными, то КОЛЬЦО Я<\ лежит в центре Я в силу определенного в конструкции В умножения. Предложение доказано.

Утверждение 3. Пусть Я кольцо конструкции В. Тогда Я является коммутативным тогда и только тогда, когда

1) все автоморфизмы

{сГ(о$1, 07*1,..., т5з }

тождественные;

2) матрицы (<*$), (а*,1), (Ъ%), (Щ), (Ь*?), являются симметрическими;

3) матрицы (с^) и (<1^), (с* ) и (¿^), [с^) и (¿¿'•) соответственно равны.

Автор выражает благодарность профессору Ю.Н. Мальцеву за внимание, проявленное к данной работе.

Библиографический список

1. Журавлев, Е.В. Конечные локальные кольца порядка р6 п характеристики р. радикал Джекобеона которых имеет индекс нильпотентности четыре / Е.В. Журавлев // Известия АлтГУ. - 2006.'.VI (4!)).

2. Журавлев, Е.В Локальные кольца порядка рь с 4-ии.пьпотентным радикалом Джекобсо-на / Е.В. Журавлев // Сибирские электронные математические известия [Электронный ресурс]. 2006. Т. 3. Режим доступа: http://semr.matli.nsc.ru.

3. Gorbas, В. Rings of order //’. Part I. Nonlocal rings / В Gorbas, G.D. Williams // Journal of Algebra. 2000. V. 231.

4. Gorbas. B. Rings of order //’. Pari 2. Local rings / B. Gorbas, G.D. Williams // Journal of Algebra. 2000. V. 231.

5. C'orbas, B. Finite rings in which the product of any two zero divisors is zero / B. Gorbas // Archiv der Math - 1970 - Y 21

6. Cbikunji. C.J. On a Class of Finite Rings / C.J. Chikunji // Communication in Algebra. 1999. V. 27(10).

7. Raghavendran. R. Finite associative rings / R. Raghavendran // Cornpositio Math. - 1969 -V. 21.