О группе автоморфизмов конечных локальных колец характеристики p 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.765

Е.В. Журавлев

О группе автоморфизмов конечных локальных колец характеристики p2

E. V. Zhuravlev

On Automorphism Group of Finite Local Rings With Characteristics p2

В статье рассмотрена группа автоморфизмов конечных локальных колец характеристики р2 с радикалом Джекобсона Л, таким, что Л4 = (0), Л3 = (0) и К/Л = 0¥(рг) - конечное поле из рг элементов.

Ключевые слова: конечное кольцо, локальное кольцо, радикал, изоморфизм.

1. Введение. Все кольца R, рассматриваемые в данной работе, являются конечными, ассоциативными и содержат единицу. Обозначим через J(R) радикал Джекобсона, R* - группу обратимых элементов, Aut R - группу автоморфизмов кольца R, F = GF (pr) - конечное поле и Zn -кольцо классов вычетов по модулю п.

Кольцо R называется локальным, если R/J(R) = F - поле. Все делители нуля локального кольца образуют радикал J(R) , и всякий элемент кольца либо обратимый, либо нильпо-тентный. Один из примеров локальных колец

- так называемые кольца Галуа GR(pnr,pn), представимые в виде Zpn [x]/(f), где p - простое число; f - унитарный многочлен степени г, образ которого при естественном гомоморфизме Zpn ^ Zp является неприводимым над Zp многочленом. В частности, GR(pn,pn) = Zpn и GR(pr ,p) = GF (pr).

Следующие предложения содержат хорошо известные результаты из теории конечных колец (см.: [1,2]).

Предложение 1. Пусть R - конечное кольцо, в котором все делители нуля образуют идеал M. Тогда существует простое число pj и натуральные числа п и г, такие, что

1. |R| = pnr;

2. M = J(R) - радикал Джекобсона кольца R и Mn = 0;

3. |J(R)| = p(n-1)r;

4. R/J(R) = GF(pr);

5. char R = pk, где 1 < k < n;

Кроме того, пусть p,n,k - числа с указанными выше свойствами. Тогда справедливы следующие утверждения:

In this article we describe the group of automorphisms of finite local rings of characteristic p2 with Jacobson radical J such that J4 = (0), J3 = (0) and R/J = GF(pr), the finite field of pr elements.

Key words: finite ring, local ring, radical,

izomorphism.

6. Если п = к, то К - кольцо Галуа ОК(ркг,рк).

В частности, Л (К) = рК, АпЬ(К) =

АиЬ(К/рК) и К = Zpk [6], где Ь - элемент К мультипликативного порядка рг — 1;

7. Если еНат(К) = рк, то К содержит максимальное подкольцо Галуа К0 = СК(ркг ,рк) = Zpk [Ь] и если К'0 - другое максимальное подкольцо Галуа кольца К, то существует обратимый элемент х € К, такой, что К'0 = хК0х-1. Пусть К0 = (Ь) и {0}. Тогда каждый элемент кольца К0 может быть запи-

к-1

сан единственным образом в виде ^ ргХг,

г=0

где Хг € Ко;

8. Существуют элементы т1,..., т^ € Л (К) и

о1,... ,ои € АпЬ(К0), такие, что К раскладывается в прямую сумму левых К0 - модулей

К = Ко ® Кот-1 ф ... ф Коть,

где тгт0 = т\0^ тг для всех г = {1,... ,Н} и для любого элемента т0 € К0. Отсюда, в частности, следует, что

Л (К) = рК0 ф К0т1 ф ... ф Я^т^.

Множество {п1,п2,... ,п^}, следуя определениям работы [1], будем называть отмеченным базисом для радикала Л (К). Такие базисы впервые были изучены Рагхавендраном в случае К0 = GF (рг).

Пусть А и В - подгруппы некоторой группы G. Если А - нормальная подгруппа, А П В = {е} и G = АВ, то группа G является полупрямым произведением своих подгрупп А и В (см.: [3]). Полупрямое произведение обозначим G = А X В.

Предложение 2. (см.: [1,2]). Пусть К - конечное локальное кольцо. Тогда

1. Группа R* кольца R содержит циклическую подгруппу (Ь) порядка pr — l и R* является полупрямым произведением групп l + J(R) и (Ь), т.е. R* = (l + J(R)) X(Ь);

2. Группа R* разрешима;

3. Если G - подгруппа R* порядка pr — l, то группа G сопряжена с (Ь) в R*;

Известно, что группа автоморфизмов конечного поля GF(pr) является циклической порядка r и порождена автоморфизмом Фробениу-са a G Aut GF(pr), а : а ^ ap, для всякого а G GF (pr).

Группа автоморфизмов колец Галуа Ro = GR(pnr,pn) была полностью определена Рагха-вендраном [1], а именно, Aut Ro = Aut GF(pr) и Aut Ro =< a >, где а(а) = ap для любого a G Ro.

Аль-Хамис [4] описал группу автоморфизмов конечных локальных колец, в которых произведение любых двух делителей нуля есть ноль, т.е. J (R)2 = 0.

Чиканджи в работах [5,6] исследовал строение группы Aut R локальных колец с радикалом J индекса нильпотентности 3 при всех возможных значениях характеристики кольца, но с ограничением ai = а2 = ... = ah на автоморфизмы отмеченного базиса.

Наша цель - в случае char R = p2 описать строение группы Aut R конечных локальных колец, радикал Джекобсона J(R) которых имеет индекс нильпотентности четыре. Таким образом будут продолжены исследования в области конечных колец и их классификации, начатые автором ранее (см.: [7-10]).

2. Строение колец характеристики p2. Пусть R - конечное ассоциативное локальное кольцо характеристики p2, J(R)4 = 0, J(R)3 = 0 и F = R/J(R) - конечное поле GF (pr). Тогда R содержит элемент Ь порядкаpr — l такой, что Ь+ J(R)

- примитивный элемент поля R/J(R) = GF(pr) (см.: [1]) . Пусть R0 = Zp2 [Ь] - подкольцо Галуа кольца R, Ro = GR(p2r,p2). Заметим, что множество pRo = J(R) nRo - максимальный идеал кольца R0 и Ro/J(Ro) = GF(pr). Более того, так как Ь имеет порядокpr — l и J(Ro) С J(R), то Ь+J(Ro) -примитивный элемент Ro/J (Ro) и всякий элемент Ro может быть единственным образом записан в виде Ao + A1p, где Ao, A1 G Ko = (Ь) U 0 (см. предложение 1).

Пусть r G R. Тогда в силу предложения 1,

h

r = ao + ^2 ami, ao,ai G Ro. Если J(R)4 =0,

i= 1

J(R)3 = 0, то мы можем переобозначить базис {mi,..., mh} радикала J(R) следующим образом:

J{Rf

{wb. .. ,uSl,vi,. .. ,-yS2, wi, .. .,wS3 },

'---------V----------'

J (R)2

где ui,. .. ,uSl G J \ J2, vi,..., v S2 G J2 \ J3, w1,..., ws3 G J3 и s1 + s2 + s3 = h. Далее, пере-обозначим соответствующие автоморфизмы:

{ai,...,ah} = {ai,...,asi , 0Ь...,^2 ,Ti,...,Ts3}.

Так как p G J(R), то возможны ситуации: p G J(R)3, p G J(R)2 \ J(R)3, p G J(R) \ J(R)2. В данной статье мы рассмотрим случай p G J(R)3.

Итак, всюду далее будем полагать p G J(R)3. Тогда pui, pvi, pwi G J(R)4 и pu = pvi = pwi = 0. Следовательно, всякий элемент кольца R может быть единственным образом представлен в виде

si s2 s3

Ao + Aip + ^2 akUk + ^2 вкVk + ^2 Ikwk,

k=i

k=1

k=1

где Ао, Ах, ак, вк, ^к € Ко.

Числа вх, в2 и вз являются размерностями модулей 3(Д)3, 3(Д)2/3(Д)3 и 7(Д)2/3(Д) над Д0, следовательно, 1 < в2 < в2 и 1 < вз + 1 < вхв2. Заметим также, что До = Ко + рДо и

(Ао + Ахр)и* = Аои*,

(Ао + Ахр)^ = Ао V*

и

(Ао + Ахр)ш* = Ао-ш*.

Следовательно, радикал 3(Д) можно рассматривать как модуль над До/рДо, т.е. для всякого Э € 3(Д)

51 S2 Sз

Э = Ахр + ^2 акик + ^2 вк V + ^2 7кШк,

k=1

k=1

k=i

где Ao, Ai, ak, ek, Yk G Ro/pRo.

Так как u^uj G J(R)2 и uvj,viUj G J(R)3, то

j ") i j

s3

uiuj =^2 a% Vk + Ь°p + ^2 wk,

k=i

k=i

где a*., 69.? b* £ Ro/pRo, i, j = 1, sb

s3

ok

uiVj = Cij p + ^ Cj wk, Vj ui = k=i

dojp +J2 dkj wk ,

k=i

где 4, c*., d?ip G Ro/pRo, i = 1, si, i = 1, «2-Рассмотрим матрицы:

A = ( aii ai2 12 2121 .. aa . . as121 .. . as1. 22

Vaiisi a2i si . .. as2si /

B = 12 OhOh • • ЬЬ Ь111. Ь11. 2 . . ЬЦ\ Ьs3 . Ь i 2

VCi ^isi . Ьsз у sisi

С =

В

'11

о

12

\с°

N„8182

312

„11

„1

„12

с;

£ц

3Ь

с83 \ с11 „53 с12

„83

„81 82/

ЗЦ \ 3Ц

\^о182 <82 ... ^83 82/

Так как элементы иги% + 3(Д)3 порождают 3(Д)2/3(Д)3, то матрица А имеет ранг в2 (максимальное число линейно независимых строк). Следовательно, матрицы Ак = (ак %), образованные столбцами матрицы А, линейно независимы над полем До/рДо. Аналогично, так как элементы иггО] (соответственно Vjщ) порождают 3(Д)3, то матрицы С и В имеют ранг в3 + 1. Следовательно, матрицы Ск = (ск) (соответственно Вк = (3.)), образованные соответствующими столбцами матрицы С (соответственно В), линейно независимы над полем До/рДо.

Далее, так как кольцо Д является ассоциативным, то (иаив)и7 = иа(ири^) для любых чисел

а, в, 7 €{1,...,в1}. Следовательно,

( 82 8з \

(и„ия)и~ = акяV., + Ъ0аЯр + ЪкаЯШк \ и^ =

(иаи/з)и1 = ^2 акавVk + Ъ0а/Зр + ^2 ЪкавШк I и,7

\к=1 к=1

82 / 83 \

^ ^ аав ( 3окр + ^ ^ 3-укшт\ = иа(иви7) к=1 \ т=1 )

82 8з

иа ( ав1Vк + ^$7р + ^ у ^$7Шк

\к=1 82

Т (а

к=1

1ав^ I „акр + Шт

к=1 \ т=1 у

Отсюда

Ек зт = (ак „т

аав37к / и \ав7/ „ак

к=1 к=1

для любого числа т € {0,1,..., в3}.

Далее, пусть Ъ - элемент порядка рг — 1, определенный ранее. В силу ассоциативности Д имеем

(uiUj)Ъ = ^2 а% (Ъ + рДо)&кVk + Ъ%(Ъ + рДо)р + к=1

8з

+ 53 Ъ% (Ъ + рДо )Тк Шк = ((Ъ + рДо )°3 UiUj =

к=1

82 8з

= (ъ+рДо)ст* ^ (^2а% vk+ъо jP+^ъ% ш |.

=1

=1

Так как элементы р, V к, шк линейно независимы, то

а] ((Ъ + рДо)вк — (Ъ + рДо)*<) =0,

Ъ% ((Ъ + рДо) — (Ъ + рДо)СТ*°3 ) = °

Ъ.% ((Ъ + рДо )Тк — (Ъ + рДо )^ ) = 0

для соответствующих значений к. Матрицы, (ак%) линейно независимы, а значит, отличны от нуля, поэтому для каждого к € {1,..., в2} существуют некоторые г,Э € {1,..., в 1}, такие, что а% = 0. Следовательно, (Ъ + рДо)вк = (Ъ + рДо)ст^3, и так как Ъ + рД является примитивным элементом поля До/рДо, то в к = ага] . Заметим также, что если матрица Вк = (Ькк = 0, вз, образованная соответствующим столбцом матрицы В, содержит ненулевой элемент Ък%, то т. = ага% . В частности, если к = 0, то то = г3и0 = ага% .

Аналогично из равенств

(щ^%)Ъ = Uj(vjЪ) и ^и*)Ъ = го%(и*Ъ),

следует, что

со% (ъ + рДо )р + ^ с% (ъ + рДо)Тк ш . =

к =1

/ 83 N

= (Ъ + рДо)вз'| с%р + ^2 Шк

=1

83

Зо% (Ъ + рДо)р + ^2 з.:) (Ъ + рДо)ТкШк = к =1

= (Ъ + рДо^ р + Т3%шк^ .

Так как р, ш. линейно независимы, то

Со) ((Ъ + рДо) — (Ъ + рДо)вз) = 0,

с% ((Ъ + рДо )Тк — (Ъ + рДо )в^) =0,

г] '

зо

37 ((Ъ + рДо) — (Ъ + рДо) 3 ) = 0

((Ъ + рДо )Тк — (Ъ + рДо )вз ^) = 0

для всех к = {1,..., 53}. Матрицы (с]) (соответственно (з%)) - линейно независимы, поэтому для каждого к = {0,..., в3} существуют соответствующие числа г и Э, такие, что ск% = 0 (соответственно 3к% = 0). Следовательно, (Ъ + рДо) = (Ъ+рДо )вз и так как Ъ+рДо - примитивный элемент поля До/рДо, то то = %3и0 = в%стг и тк = в%а*.

Таким образом, автоморфизмы {в1,...,в82, т1, ... ,т83} выражаются через автоморфизмы {а1,...,а81}.

Окончательно заметим, что умножение на кольце Д удовлетворяет равенству

0

1

82

Яі я2 «з \ / 51 52 5з '

«о + ^2 ак Пк + ^2 вк «к + ^ ЧкЫк) ■ «0 + ^ а'кик + УЗ вк «к + УЗ ч'к ™к

V к= 1 к=1 к=1 / V к=1 к=1 к=1 У

аоа0 + р ( УЗ Ь°к« С * + УЗ УЗ (с°каі(в'к)Г + ^°квк(аі)вз) ) +

\і,з=1 і=1 к=1

51

+ 53 ([а0 + РД0] ак + ак [(а0)СТк + РД0]) ик +

к=1

51

+ I [а0 + РД0]вк + вк [(а0) к + РД0] + аік аі(ак)Г* ] «к +

к=1 \ і,к=1

51 52

ик \Гг I \ л \ л („к „, ( /ОМ (Гг I лк О ( 04 Л

+ УЗ ( [«0 + рД0]7к + 7к[а0 + рДоГ + У^ ь'аі(ак)Г* + ^УЗ (скаі(вк)І7* + вк(аі)вз) к=1 У і,к=1 і=1 к=1

І2 Із

и = УЗ ^, V = 53 Уі, ш = ]ТШ.

і= 1 і= 1 і=0

где а0, «0 Є Д0, ак, а'к, вк, вк, 7к, 7к Є Д0/рД0- занные соответственно с ик-, «к и адк-• Тогда

3. Группа автоморфизмов. Пусть

и>о = р, то = *^д0 и І1, І2, 1з + 1 соответственно количество различных автоморфизмов совокупностей {<71,, а«1}, {01,...,0«2} и {т1,...,т«3 }•

При этом будем полагать, что именно автомор- Если А = (аік-) - матрица над полем Г, а 7 -физмы {71,...,7;1}, {01,...,0і2 } и {т1,...,т;3 } автоморфизм поля Г, то в дальнейшем символом

различны- АГ будем обозначать матрицу (7(0^)). Пусть А и

Рассмотрим подпространства В - матрицы над полем Г размерностей т х п

____ и пх к соответственно, и аі,...,ат Є АиЬ(Р),

иі= УЗ * = Мь п,т,к Є N. Обозначим через [А, В](а1 .,,ат) мат-

Г=Г* рицу С = (с)тхк, где

Уі = Fvj, І = 1, 1-2 С.Ц = віїЬу + в*2&2к + • • • + агпЪп)>

в і =вг

и і = 1,т, j = 1,к. Если «і = .. . = а8 = а, то

^ і = 0^, Iа’ В]{аі,...,ат) = АВа.

Ті =Ті Теорема 1. Пусть р - линейное отображе-

где Г = Д0/рД0; 7к, ^, Тк - автоморфизмы, свя- ние Кольца Д-

(«1 «2 5 з N

«о + ^2 аіиі + ві«і + ^3 ^іюі] = і=1 і=1 і=1 )

51 52 53

= ^ ар ^У' арРк (иі) + V ?кіа Vк +У] вр фк («і) ^У] пкі аітк +УЗ 8кі вртк ^УЗ Фк (адіЛ Х-1

0і = Г* і= 1 Ті =Г*

для некоторых элементов х € 1 + 3, ао, аг € Ко, и существуют невырожденные матрицы

вг ,1г,Я]г ,П]г,в]г € До/рДо, р = („ ) д =(г-•) Т = (1 ■ •) _1_1 _1_1

р (рг] ) 8 1 X 8 1 , Д (1 г] )82 X 82 , Т (1г] )83 + 1X83 + 1,

<р7 € Aut (и7), если иг € и7; такие, что

82

ф^кпЬ{У^, еслиу1&у^ РТ[Ак,Р}{аи...гаВ1)=^2гкгАР, к= 1,52, (1)

г=1

■ф] € AUt {Ш] ), если шг € , р т [В к, р ](ст1,...,ста1) + рТ [С к , Я](е1,...,0!,1) +

51

51 52

5з

+QT [dT ,P](9i,...,9S2 ) = ^2 skiAi tki Bp, (2)

i=i i=o

s3

PT [Ck ,R]{ai,...,asl) =E tkiCP, (3)

o

s3

ДТ[^,Р](011...Л2)=^^(ДТ)", ^ = 0,^3 (4)

г=о

и аг = а%, если р%г = 0; вг = в%, если г%г = 0; тг = т], если 1%г = 0; аг = в%, если д%г = 0; вг = т% , если в]г = 0.

Доказательство. Пусть у € Aut (Д). Заметим, что у (До) - максимальное подкольцо Галуа кольца Д. В силу предложения 1 существует х € Д* такой, что у (До) = хДох-1. Так как

Д* = (1 + 3) • {Ъ),

где Ъ - элемент порядка рг — 1, определенный ранее (см. предложение 2), то х = (1 + Э)Ъо, где Э € 3, Ъо € {Ъ), и

у(До) = хДох-1 =

= (1+ Э)ЪоДоЪ-1(1 + Э)-1 = (1+ Э)До(1+ Э)-1.

Следовательно, будем полагать у (До) = хДох-1 для некоторого х € 1 + 3 и у (г о) = хгдх-1 для любого го € До и некоторого автоморфизма р € АиЬ(До).

Рассмотрим автоморфизм х = уху, где ух(г) = х-1гх, х € 1 + 3, г € Д. Тогда

si s2 s3

X ao + ^2 a-iui + eiVi + Yiwij =

=i

si

= i

s2

o

s3

o

+ 13 aiX(ui) + вРX(vi) + ^ YiPX(wi).

i=i i=i i=o

Так как

si s2 s3

v>i £ J = Fv,i ® Fvi ® Fwi, * = 1, si,

i=i i=i i=o

s2 s3

Vi G J2 = 0 Fwj, *=l,s2,

i=i i=o

s3

73

Wi G J3 = ^2 i = S3,

i=o

то

si s2 s3

xW = +13 *= Sb

j=i j=i j = o

s2 s3

X(«i) = J2rjivj + SjiWj, i = 1, S2,

j=i j=o

X(wj) = i = 0,s3

j=o

для некоторых pji, j, Uji, r j, sji, t ji G Ro /pRo, причем too = l и tjo = 0, при j = 0.

Пусть ro G Ro и uiro = roЩ, Viro = r<°°iVi и wi ro = r^- wi. Тогда

X(ui ro) = X(ro-ui) = X(ro-)X(ui) = si

= X(r0Oi)

si s2 s3

J2pjiuj + 13 qji Vj + 13 njiwj

j=i j=i j=o

X(uiro) = X(ui)X(ro) =

si s2 s3

^2pjiuj + 13 qji Vj + 13 njiwj

j=i j=i j=o

si s2

X(ro)

Epji [X(ro)]0j uj + 13 qji [X(ro)]0j Vj+

j=i

j=i

+ 13 nji [X(ro)]Tj wj.

j=o

Так как uj, Vj и wj - элементы базиса, то

X(r° )pji = [X(ro)]0j pji,

X(r° )qji = [X(ro)]0j j, X(r° )nji = [X(ro)]T

ji

Следовательно, если aj = ai, то pji = 0; если 0j = ai, то j = 0; если Tj = ai, то nji = 0. Аналогично из соотношений

X(Viro) = X(ro- Vi) = X(Vi)X(ro)

х(шгго) = х(гв^ шг) = х(шг)х(го)

соответственно получаем: если в% = вг, то г%г = 0; если т] = вг, то в]г = 0; если т% = тг, то Ь]г = 0.

Заметим, что матрицы р, Д, Т невырождены

и, следовательно,

si

pjiuj ^k (ui), ^k G Aut (Uk), если ui G Uk;

j=i

s2

y^J'jiVj = фk (Vi), фk G Aut (Vk), если Vi G Vk;

j=i

s3

121]гш] = Фк (шг), фк € А^ (Ш.), если шг € Ш.,

]=о

где ик, V., Шк - подмодули над До/рДо, рассмотренные ранее. Отсюда, принимая во внимание соотношение у = (ух )-1х, получаем

s3

s3

и

(Si S2 S3

ao + Е aiui + Е PiVi + E Yiwi

i= 1 i=l i=o

Si

= x \ aPp + EaP<fj(ui) + V qjiaPpVj +E(Vi) + V njiaPwj + V sjiepwj + E Yi^j(wiM x 1.

Oj = Oi i= 1 Tj = 0-

Далее продолжим исследовать условия, при гомоморфизмом кольца Д: которых указанное выше отображение является

( Si S2 S3 \ / si S2 S3 N

^2pkiuk + 53 qkiVk + 53 nkiwkj • pkjuk + 53 qkjVk + 53 nkjwk

k=1 k=1 k=o / \k=1 k= 1 k=o у

S2 f Si \ S3 / Si Si S2 . . \

53 53 pvip£^ Vk + $31 53 p^S+$3 53 (p^Ovck^ + q^ipVj) wk,

k=1 \v,^=1 ) k=o \v,^=1 v=1 ц=1

S3

X(uiuj) = X E alijVv + E bij-

Jv

\v=1 v=o /

S2 / S2 \ S2 / S3 \ S3 / S3 \

E X Kj) I E rk V Vkj + E X «j) I E Skv wM + E X (bij) I E tk V wk I = v=1 Vk=1 ) V=1 \k=o ) i/=o \k=o /

S2 S2 S3 / S2 S3 \

= EE rk V Vk + E I E KjT Sk V + E (bj)P ^k V I wk •

k=1 =1 k=o =1 =o

Принимая во внимание линейную независи- P [Bk,P](0i,...,0si) + P [Ck, Q](0i,...,0) + мость элементов Vk и wk, получаем требуемые s2 s3

соотношения: + QT[D't,P](0i,...,0S2) = E SkiAP + E tkiBP.

i=1 i=o

S2

P T [Ak ,P ](oi osi ) =E rki Ap, Аналогично

i= 1

Si S2 S3 S2 S3

X(ui)X(Vj ) = 13 pkiuk + E qki Vk + E nkiwA • 13 rkj Vk + E Skj wk \ =

ui)X(Vj

k=1 k=1 k=o / \k= 1 k=o У

S3 Si S2

E EE?v^ck^wk,

k=o \v=1 ^=1 /

S3 S3 S3

X(uiVj) = x (E3cjwv ) = E (E (j tkV i wk,

o k=o =o

S2

(Vj )X(ui'

\k=1 k=o / \k=1 k=1 k=o /

S3 Si S2

X(Vj )x(ui) = 13 rkj Vk + 13 Skj wj • 13 pki uk + E qki Vk + E nkiwk =

E EEr^jpVi< wk,

k=o \v=1^=1 /

S2

S3

S2

Х(«]иг) = X I Ё ^ши ) = ( Ё ( Ё О *к

=о

шк .

к=о =о

Следовательно,

рт [Ск ,Д](*1,...,*.1) = £ 1кг Ср

г=о

и

83

Дт [БТ ,Р ](01,..,0В2 ) = £ *кг(ВТ )р.

г=о

Для доказательства обратного утверждения достаточно рассмотреть отображение у из формулировки теоремы и проверить выполнимость свойств автоморфизма. Теорема доказана.

Пусть О - подгруппа группы А^ (Д), состоящая из автоморфизмов, определяемых по правилу

81 82 83

9 ао + Е агиг + £ вг«г + £ 7гшг =

г=1 г=1 г=о

81

г=1

82 83

ао +£ арук КН^З врфк М+Е 7рфк (шг),

г=1 г=о

1

1

о

81

82

83

г=1

г=1 г=о

а О1, О2 и О3 - подгруппы О, состоящие соответственно из автоморфизмов

93 ао + Е агиг + £ вг«г + £ ^г'

81 82 83

' агиг + У^ вг«г + У^ 7*ш* г=1 г=1 г=о /

81 82 83

= ао + 53 агиг + 53вг«г + 537гФк(шг).

1

1

о

Тогда О1 х О2 х О3 - прямое произведение групп. Кроме того,

О = (О1 х О2 х О3) • Оо, О1 х О2 х О3 < О

(О1 х О2 х Оз) П Оо — |*^д}.

Следовательно, группа О - полупрямое произведением групп Оо и О1 х О2 х Оз, т.е.

О = (О1 х О2 х О3) X Оо.

Пусть Н - подгруппа группы А^ (Д), состоящая из автоморфизмов, определяемых по правилу

81 82 83

у ао + Е агиг + £ вг«г + £ Ъшг\ =

г=1

г=1

г=о

81

где у. € Аи^и.), если иг € и., фк € Aut (V.), если «г € V., фк € Aut (Шк), если шг € Шк и р € Aut (До). Пусть Оо - подгруппа О, состоящая из автоморфизмов 9о таких, что

81 82 83

9о ао + Е агиг + £ вг«г + £ Тгшг =

х ао

+ УЗ агиг + £ Я]гаг«% + £ вг«г+

г=1

г=1

+ УЗ П]гагш% + ^ 8]гвгш] + £ 7гшг | х *.

Т, =^г Т, =0г г = о

Пусть Но, Н1, Н2, Н3 - подгруппы Н, состоящие соответственно из автоморфизмов

(81 82 83 \

ао + 53 агиг + 53 вг«г + 53 ^гшЛ = г=1 г=1 г=о )

81 82 83

х ао

+ УЗ агиг + £ вг«г + £ ^

г=1

г=1

г=о

(81 82 83 \

ао + 53 агиг + 53 вг«г + 53 7гшЛ = г=1 г=1 г=о )

81 82 83

= ао + ^3 агук(иг) +53вгЩ + 53^г,

1

1

о

Ь1 ао + ^3 агиг + 53 вг«г + 53 7г'

81 82 83

агиг + вг«г + 1г шг

\ г=1 г=1 г=о /

81 82 83

ао+53 агиг+ 53 ^%гаг«7 +53 вг«

г+ 1г шг,

1

1

о

(81 82 83 \

ао + 53 агиг + 53 вг«г + 53 ^гшЛ = г=1 г=1 г=о )

81 82 83

= ао + Е агиг + £ вгфк («г) + £ ^г'

(81 82 83 \

ао + 53 агиг + 53 вг«г + 53 ^гшг \ = г=1 г=1 г=о )

81 82 83

-- ао^Е агЩ+^2 вг«г+ £ п]гагш%+£ Тгшг,

г=1 г=1 т,=^г г=о

г=1

г=1

г=о

и

ш

1

шх

стоящая из автоморфизмов

(81 82 83 \

ао + 53 агиг + 53 вг«г + 53 ^г = г=1 г=1 г=о )

81 82 83

= ао^Еагиг+£вг«г + £ в]гвгш% +£7*ш*. г=1 г=1 т, =вг г=о

Тогда непосредственно проверяется, что

Н = Но х ((Н1 х Н2) X Нз).

Докажем, что группа Aut (Д) - полупрямое произведение нормальной подгруппы Н и группы

О. Очевидно Aut (Д) = Н • О. Пусть у € Н П О. Так как у € Н, то для всякого го € До имеем либо у(го) = го, либо у (го) / До. С другой стороны, у € О и у (го) = го или у (го) = гр € До. Следовательно, у (го) = го, Уго € До и

у € ((Н1 х Н2) X Нз) П (О1 х О2 х Оз). Так как у € О1 х О2 х Оз, то у(и) = и и у(У) = V. Но в группе Н единственный элемент с таким условием - %<1д. Таким образом, у = %<1д, Н П О = {г<1д} и Aut (Д) = Н X О.

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 2.

Aut (Д) =

[Но х ((Н1 х Н2) X Нз)] X [(О1 х О2 х Оз) X Оо]. Заметим, что подгруппа Но группы Aut Д, со-

(S1 S2 S3 \

а0 + 53 а-іиі + 53 fiiVi + 53 YiWij = i=1 i=1 i=0 )

(Si S2 S3 \

oo + £ oiUi + E ^iVi + £ YiWi I x

i=1 i=1 i=o )

1

где x G l + J(R), изоморфна фактор-группе (l + J(R))/(l + Z(R) П J(R)).

Автоморфизмы групп H1, H2, H3, G1, G2 и G3, очевидно, есть невырожденные линейные преобразования конечномерного векторного пространства J(R) и изоморфны невырожденным матрицам, по сути являющимися матрицами перехода от одного базиса R к другому. При этом должны быть выполнены условия (1)-(4) теоремы 2, связывающие равенствами матрицы перехода R как векторного пространства с матрицами умножения R как кольца.

Вопрос о строении группы автоморфизмов в ситуациях char R = pk, к = 3,4 остается открытым. Предполагаются аналогичные рассуждения с учетом того, что в отмеченный базис пространства J(R), возможно, добавятся элементы

2 3 2 2

радикала p, p2, p и pu1,... ,puSi, p2u1,... ,p2usi , pV1,...,pVS2. Более общий случай, когда индекс нильпотентности радикала есть произвольное натуральное число, будет рассмотрен автором в последующих работах.

Библиографический список

1. Raghavendran R. Finite associative rings // Compositio Math. - 1969. - Vol. 21.

2. McDonald B.R. Finite rings with identity. -Decker, 1974.

3. Холл М. Теория групп. - M., 1962.

4. Al-Khamees Y. Finite rings in wich the multiplication of any two zero-rings is zero // Arch. Math. - 1981. - Vol. 37.

5. Chikunji C.J. Automorphism of completely primary finite rings of characteristic p // Colloquium mathematicum. - 2008. - Vol 111.

6. Chikunji C.J. Automorphism groups of finite rings of characteristic p2 and p3 // Glasnik matematicki. - 2008. - Vol. 13.

7. Журавлев Е.В. Локальные кольца порядка p6 c 4-нильпотентным радикалом Джекобсо-

на // Сибирские электронные математические известия. [Электронный ресурс]. - 2006. - №3. URL: http://semr.math.nsc.ru.

8. Журавлев Е.В. О классификации конечных локальных колец характеристики р2, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре // Известия АлтГУ. - 2008. - №1 (57).

9. Журавлев Е.В. Об изоморфизме конеч-

2

ных локальных колец характеристики р , радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре // Известия АлтГУ. - 2009. - №1 (61).

10. Журавлев Е.В. Группа автоморфизмов конечных локальных колец характеристики р // Сибирские электронные математические известия. [Электронный ресурс]. - 2011, - №8. URL: http://semr.math.nsc.ru.