CC BY
23
УДК 519.49
Е.В. Журавлев
Классификация некоторых классов конечных локальных колец, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре
Одной из актуальных проблем современной алгебры является задача описания и классификации конечных колец малых порядков ([1, 2]). В работах [3, 4] указано строение конечных локальных колец характеристики Р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре, и найдены необходимые и достаточные условия существования изоморфизма между двумя такими кольцами. В настоящей работе автор продолжает исследования по классификации конечных локальных колец.
Пусть К - конечное локальное кольцо с единицей характеристики р, 1 = 1(Р) - радикал Джекобсона, К/1{К) = Р = ОР(рг), .1(К)А = О, 1(К)3 ф 0, idF - тождественный автоморфизм поля Р и вц - матричные единицы.
1. Классификация колец с условием
сИт^ 1/апп(12) = 1, сИт^ 1/апп(1) = 2.
Пусть сИт_р 1/1 = в! для некоторого натурального числа в1, тогда (Нт_р 1/апп(1) = 2, сИт_р 12 /1 = с1 Ш1_р 13 = 1. В силу кон-
струкции А ([3, 4]) кольцо К определяется упорядоченным множеством автоморфизмов а1,а2,...,ав1 ,9,Т € ЛЫ(Р) (не обязательно различных) и совместными матрицами:
Л а 0 ■ ■ ■ . 0 , Сг = с 0
■ ■ • V \ 0 /
Ь 0 . • (di1\
В 0 0 . . 0 , А = 0
и 0 . • \ 0 /
а^, Ь^, с^, ^ € Р, причем 01 = а%, Г! = а±,
а11 # с11 Ф ^1 # а11^1 = (а11У1 с11 и
если Ь\г ф 0, то а = idp.
Обозначим кольцо К через
с^1, {аi})■
Пусть К' (аи ,ЬП, сп,
{а'}) - другое кольцо этого же типа. Согласно теореме 2 работы [4] К = К' тогда и только тогда, когда существует невырожденные матрицы Р = (р^)е1 ха1,
К = (гц), Т = (^ц), некоторые матрицы
Я = (9ц)1 хзг, Я = (ви) и автоморфизм
р € ЛЫ(Р) такие, что
рТ ' 1Л1 ,рК= ГИЛ1,
РТ • В1 ,Р К + РТ • С ,Я К +
+ЯТ • [Е'х', р (в'г) = ^1Лр + ЪцВр;
рТ • С1 ,Кк= Ь1СР-,
КТ • [Б'Т,р№)= ^{БТУ
и
1) ^ = а', если рц ф 0;
2) а^ = 9', если ф 0;
3) 9^ 9Ц, если rji ф 0;
4) 9г = т', если ф 0;
5) п= т 1, если Ъ 'i ф 0.
Заметим, что если К = К', то рц ф 0 (проверяется непосредственно), а значит а = а'х. Р
ца (не обязательно единичная), то {а2, ■ ■ ■ ,аа1} и {а2, ■ ■ ■ ,а'а } равны как неупорядоченные множества (они состоят из одних и тех же автоморфизмов, но возможно в разном порядке следования).
Рассмотрим кольцо К'( 1,0,1,1, {а[}) такое, что {а2, ■ ■ ■ ,аа1} и {а',■ ■ ■ ,а'а } равны как неупорядоченные множества и а = аПусть р= idF, Я = (0, ■■■, 0),
1,1 Ьп
rll■а^l,^11■а^1^l, ^
Р
ляются по правилу рц = 1 (^ ] € {1,■■■,«! })> если {к € {1, ■■■, в} \ а^ а'к и рак = 0
для всех а < ипаче р.1 ц = 0. Принимая во
внимание указанные выше соотношения, получим а^ = 1, = 0, = 1. Кроме того, так
как а^ d^ = (а^ )^ с^ то с^ = 1. Таким образом, К = К'( 1, 0,1,1, {а[}).
К
а
и множеством автоморфизмов {а2,^,аа1} (не
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА. УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА
обязательно различных). Так как \АЫ(Г)| = г, то справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Количество взаимно неизоморфных конечных локальных колец характеристики р с условиями
К/1(К) = Г = СГ(рг), 1(К)А = О, 1(К)3 ф 0;
с1іт_р 3(Я)/3(Я)2 = ві; йітр .](Я)/апп(.1(Я)2) = 1; йітр .](Я)/апп{3(Я)) = 2 'г + ^ — 2^
равно г •
2. Классификация колец с условием
сИт_р 1(К)/1(К)2 = в1, сИт_р 1(К)2/1(К)3 = в\, dimF У(К)3 = в|, ^ > 1.
К
рого в2 = вз = в3 (см. [3, 4]). Тогда К опре-
деляется упорядоченным множеством автоморфизмов
а1 ,■■■, аа 1, 91, ■■■,9а2 , Т1 , ■ ■ ■ ,Та? € Ли^Р)
и множествами совместных матриц над полем Р
Л — '|Л1, ■ ■ ■ , Ла^ , ГДС Лк — (ац)а1 хаг , к — 1,в1!
В={В!,■ ■ ■ ,Ва*} , Где Вк = (ЬЦ)а1 хаг , к= 1,4', С=^С, ■ ■ ■ ,Са?} , Где Ск = (сЦ)аг ха? , к=1, в?;
■ ■ ,Д,?} ,Т№Вк=^кц)а1 ха? , к= 1,в^
Причем Л, С, В есть множества линейно независимых матриц и
1) если аЦ ф 0, 1 < к < в|, то 9к = аац-,
2) если ЬЦ ф 0, 1 < к < в|, то тк = аац]
3) если сЦ ф 0, 1 < к < в3, то тк = а^ц]
4) если dkj ф 0, 1 < к < в3, то Тк = аi9ц
5) для любых чисел а,в,^ € {1, ■ ■ ■ , в } и любого числа т € {!,■■■, в} справедливо равенство
а^У* Ск. (*)
Пусть К' - другое кольцо этого же типа. Согласно теореме 2 работы [4] К = К' тогда и только тогда, когда существуют невырожденные матрицы Р = {рц)а1 х^,
К= {гч)а? ха?, Т = Ща? ха?, некоторые матриЦЫ Я = (яЦа? хаг , Я= (вц)а? ха? и авТОМОрфиЗМ
рР
рТ • [Ак,Р] К ,...,о'Я1) = J2ГkiAi, к= 1,вЪ
1=1
РТ • В ,Р К ,..,о^ + РТ • С ,Я] К ,...,,'1) +
4 4
+ ЯТ • [В'к , Р] в ,...,в'2) = вкіАі +^2 ІкіВР;
і=1
і=1
РТ • С ,що
— і к іСР;
ЯТ • [Б'І, Р{в{,...,в\)= Т^ікЛ.ОТУ, к= 1,4
1) о-і = о', если Рзі ф 0;
2) Оі = 93, если д^і ф 0;
3) 9і = 9р есл и г^і ф 0;
4) 9і = т', если в зі ф 0;
5) ті = т'р есл и ф 0.
Если Я = Я', то [ог,...,о81} и {о[,... ,о'3і} равны как неупорядоченные множества. За-
А А'
С, С1, В, О' являются соответственно базисами векторных пространств матриц М81 (Р) и
Маг ха? (Р)-
Я'
вместных матриц
А — {еіь ^,
..., еаі1, еаі2, С' = {е1Ъ ^,
. .., еаі1, еаг2, В' = {е1Ъ el,
, е^ ,e2:ьe22,..., е^ ,...
: еаі аі } , еіз ^ Маі х ^ (Р), , е1 а? ,el, ^, ..., е^ , . . .
еаіа^ | , еі з Є Маг ха? (Р)', , еаі1, ^, ^, ..^ еаі2, . . . еаіа^| , еіз Є Маг ха? (Р)і
В' = {0 ,■■■,()}
и множеством автоморфизмов {а' ,■■■,а'^l}. При этом {а2, ■ ■ ^,а^ } и {а'2, ■■■,а'Ь1} равны как неупорядоченные множества.
Пусть р = idF, Я = (0,- ■ ■ , 0) и эле-
Р
ся по правилу: рц = 1 ^, ] € {1, ■ ■ ■ ,в}),
если ] = шп {к € {, ■ ■ ■ ,в1 }\а^ а'к и рак = 0 для всех а < г1}, иначе рц = 0. Кроме
К
перехода от базиса к базису
{РТ Л' P,■■■,PT Л'4 р}, Т является матрицей перехода от базиса |^Т,■■■,D'T2^ к базису
RT D'T P,■■■, RT DT P} и
Я (4кт^аз ха2, 4кт ^ ^ ^ка^іу, т (^ 1 )41™Ь.7.
а=1
Принимая во внимание указанные выше соотношения, а также решение системы уравнений (*) (Ск - переменные), получаем, что Я = Я'.
Я
изоморфизма, определяется множеством автоморфизмов {о\,...,оаі} (не обязательно различных). Так как \Апі(Г) \ = г, то справедливо
следующее утверждение.
Теорема 2. Количество взаимно неизоморфных конечных локальных колец характери-р
Я/Л{Я) = ¥ = СГ(рг), 7(Я)А = 0, 7(Я)3 ф 0;
сііт^ 7(Я)/7(Я)2 = ві; с1іт_р 7(Я)2/7(Я)3 = в2; йітр 7(Я)3 = в?
равно
s-
s
Автор выражает благодарность профессору Ю.Н. Мальцеву за внимание, проявленное к данной работе.
Литература
1. Gorbas В. Rings of order p5 / В. Gorbas, G.D. Williams. Part 1. Nonlocal rings // Journal of Algebra. - 2000. - V. 231.
p
Williams. Part 2. Local rings // Journal of Algebra. - 2000. - V. 231.
3. Журавлев E.B. Локальные кольца поряд-p
кобсона / / Сибирские электронные ма-
тематические известия [Электронный ресурс]. - 2006. - Т. 3. Режим доступа: http: //semr.math.nsc.ru.
4. Журавлев Е.В. Конечные локальные коль-pp кал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре // Известия АлтГУ. -2006. - Ж (49).
r
