Об интегрируемости в квадратурах задачи о качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2024. Т. 11 (69). Вып. 2 УДК 517.926+531.384 МБС 70Е18, 70F25, 34А30

Об интегрируемости в квадратурах задачи о качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения второго порядка*

А. С. Кулешов, А. А. Шишков

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Российская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, 1

Для цитирования: Кулешов А. С., Шишков А. А. Об интегрируемости в квадратурах задачи о качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения второго порядка // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2024. Т. 11(69). Вып. 2. С. 347-353. https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.208

В данной работе рассматривается задача о качении тяжелого однородного шара по абсолютно шероховатой поверхности вращения. Обычно при рассмотрении этой задачи принято задавать в явном виде не поверхность, по которой катится шар, а поверхность, по которой при качении движется центр шара. Поверхность, по которой движется центр шара, является эквидистантной к поверхности, по которой катится шар. В этом случае решение задачи сводится к интегрированию некоторого линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Коэффициенты данного уравнения зависят от характеристик поверхности, по которой движется центр шара, ее главных кривизн и коэффициентов Ламе. В случае, когда удается в явном виде найти общее решение соответствующего линейного дифференциального уравнения второго порядка, задача о качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения может быть проинтегрирована в квадратурах. Однако найти в явном виде общее решение соответствующего уравнения для произвольной поверхности вращения невозможно. Поэтому представляет интерес вопрос, для каких поверхностей вращения общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка находится в явном виде. В работе предполагается, что поверхность, по которой движется центр шара, представляет собой невырожденную поверхность вращения второго порядка. В этом случае удается найти в явном виде общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, к интегрированию которого сводится задача о качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения. Тем самым доказано, что если при качении тяжелого шара по поверхности вращения его центр принадлежит невырожденной поверхности вращения второго порядка, то задача о качении шара может быть проинтегрирована в квадратурах. Ключевые слова: качение без проскальзывания, однородный шар, поверхность вращения второго порядка, интегрируемость в квадратурах.

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о качении однородного шара по произвольной выпуклой абсолютно шероховатой поверхности под действием сил, результирующая которых проходит через центр масс О шара, совпадающий с его геометрическим центром [1—3]. Для описания движения шара введем подвижную

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект №RAI-И^-2490).

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2024

систему координат 0x1x2x3, ось 0xз которой направлена по нормали к опорной поверхности. Направления осей 0x1 и 0x2 определим позднее. Обозначим через е1, е2, ез единичные базисные векторы осей 0x1, 0x2 и 0x3 соответственно. Пусть П = #1е1+^2е2+взез — угловая скорость выбранной подвижной системы координат; VG = ме1+^е2 +и>ез — вектор скорости точки 0 (очевидно, что и> = 0, поскольку шар не отрывается от опорной поверхности во время движения); ш = ^е1 +^2е2 +изез — угловая скорость шара. Обозначим через N = Р1е1 + Р2е2 + Ме3 силу реакции, действующую на шар со стороны опорной поверхности. Через Р = Xе1 + Уе2 + Рез обозначим результирующую силу, приложенную к центру масс шара. Пусть М — масса шара, Д — его радиус, Л — момент инерции шара относительно любой оси, проходящей через его центр масс. Уравнения движения шара запишем в векторном виде:

MVа + П х MvG = Р + N, (1)

Лш + П х Лш = ОК х N. (2)

Уравнения (1) и (2) выражают, соответственно, законы изменения импульса и кинетического момента шара относительно выбранной подвижной системы координат. Здесь ОК = - Дез — радиус-вектор из центра масс 0 шара в точку К контакта шара с опорной поверхностью. Поскольку скорость точки шара, находящейся в соприкосновении с опорной поверхностью, в каждый момент времени равна нулю, следовательно,

vG + ш х ОК = 0. (3)

В скалярной форме уравнения (1)-(3) записываются следующим образом:

Ми - Мв3у = X + ^, + М63и = У + Р2, Мв1у - Мв2и = Р + N; (4)

Ли 1 + Лв2Шз - ЛвзШ2 = Д, Ли>2 + Л9з^1 - Лв^з = -Е1Д, из + в^2 — $2^1 = 0; (5)

и - Ди2 =0, V + Ди1 = 0. (6)

Исключая , Ш1, Ш2 из уравнений (4)-(6), получаем

Д2Х ЛДв1из Д2У ЛДв2из

м ~ ТТмд2 + ТТмд2' п + взи = ТПШ + ТПШ- (7)

Центр масс 0 шара движется по поверхности, полученной из данной опорной поверхности смещением по нормали на расстояние, равное радиусу Д шара. Направим оси 0x1 и 0x2 по касательным к линиям кривизны этой поверхности. Получим теперь линейное дифференциальное уравнение второго порядка, к интегрированию которого приводится решение рассматриваемой задачи.

2. Вывод основного уравнения. Пусть поверхность, по которой движется центр масс 0 шара, является поверхностью вращения, которая задается относительно некоторой неподвижной системы координат уравнением

Г = (р (91 )со8 92, р (91)811192, С (91)). (8)

В уравнении (8) через 91, 92 обозначены гауссовы координаты на поверхности. Поверхность вращения (8) получается, если кривую, заданную параметрически уравнениями р = р (91), £ = £ (91), повернуть вокруг некоторой вертикальной оси, при этом 92 — угол поворота.

Тогда компоненты 61, 62, 63 угловой скорости П системы координат Ох\Х2Х3 будут равны (см. [1])

6>1 = к2к2ц2, О2 = вз = р-^-. (9)

Здесь через Н\, Н2 обозначены коэффициенты Ламе данной поверхности, а через кь — ее главные кривизны, которые вычисляются по формулам [1],

Ьл = М<71) = у + , Ь2 = к2(д1)=р Ы, (10)

в2С вр в( в2р\ ¿с

, , , ч \dqldqi (1д\) __ , ,

к 1 = к 1 ((?!) = —^—±-к2 = к2 (91) = -, ^ 2 ■ (11)

+ ) 1)

Компоненты скорости и и V центра масс О шара связаны с координатами , д2 и их производными соотношениями (см. [1]):

и = Н1сц, V = Ь,2С[2, (12)

с учетом которых можно переписать выражения для компонент 61, 62, 63 угловой скорости П следующим образом:

6>1 = к2у, в2 = —к\и, в3 = -г^-^г-- (13)

П1П2

Принимая во внимание формулы (9), (12), (13), а также уравнения неголоном-ных связей (6), из третьего уравнения системы (5) получаем

62V иб1 (к1 — ^2) vhl¿ll

= 02ю\ — 0\ю2 = ——— — ———

К К К К К

Переходя в полученном уравнении к новой независимой переменной — координате Ц1, запишем данное уравнение в виде

вшз (к1 — к2) hl

^Г =-д-(14)

Поскольку движение шара происходит под действием силы тяжести, следовательно имеем У = 0. С учетом этого факта и формул (9), (12), (13), из второго уравнения системы (7) находим, что

V dh2 ,1^.,1к1д1

В полученном уравнении мы также перейдем к новой независимой переменной — координате ^, в результате чего данное дифференциальное уравнение примет вид

вV V dh2 ,1КЬ,1к1

Система уравнений (14), (15) представляет собой систему двух линейных уравнений первого порядка относительно неизвестных V и из. Решение задачи о качении шара по поверхности такой, что центр масс шара принадлежит заданной поверхности вращения, сводится к интегрированию системы уравнений (14), (15).

Немного преобразуем данную систему. Введем новые переменные V и О по формулам

V = h2V = р (91) V, О = Диз,

а также обозначим

J

= n2 < 1.

Л + МД2

Тогда система уравнений (14), (15) перепишется в виде

^ = ^ = -п2к1к2к1П. (16)

а91 h2 091

Систему уравнений (16) легко привести к одному линейному дифференциальному уравнению второго порядка относительно V:

d2V 1 d

dq2 Н\Н2к\ dqi

hh ki

—+n2 (кг-k^hjkiV = 0. (17)

dq11

Таким образом, задача о качении шара по неподвижной выпуклой поверхности под действием силы тяжести, в предположении, что центр масс 0 шара движется по заданной поверхности вращения, сводится к интегрированию уравнения (17). Коэффициенты данного уравнения определяются формой поверхности вращения, по которой движется центр шара. Можно поставить вопрос о том, для каких поверхностей вращения уравнение (17) интегрируется в явном виде, т. е. соответствующая задача приводится к квадратурам. Для ответа на этот вопрос можно воспользоваться алгоритмом Ковачича [4-6]. Ниже доказано, что если при качении шара его центр движется по невырожденной поверхности второго порядка, то уравнение (17) интегрируется явно.

3. Качение шара по поверхности второго порядка. Рассмотрим задачу о качении шара по поверхности такой, что при качении центр масс шара движется по заданной поверхности вращения второго порядка, причем будем считать, что для данной поверхности выполняется условие к1 = 0, т.е. она не является цилиндром или конусом (тот факт, что задача о качении шара по цилиндру и по конусу интегрируется в квадратурах, был доказан еще Раусом [2]). В этом случае кривую, определяющую меридиан соответствующей поверхности вращения, можно задать ее полярным уравнением

Р

r (qi)

1 — e cos ql

и следовательно, для функций р (qi) и Z (ql), определяющих меридиан заданной поверхности вращения, мы будем иметь следующие выражения:

p sin qi p cos qi

P (<Zi) = r <71 sin 91 = --, С <71 = r cos = --.

1 — e cos qi 1 — e cos qi

Тогда коэффициенты Ламе Н\, и главные кривизны к\, поверхности, вычисляемые по формулам (10), (11), будут равны

Р Гл-9-о- ; psmgi

■s/l + е2 — 2е cos q\, h2

1 — e cos q1 1 — e cos q1

(1 — e cos qi)3 1 — e cos q1 к i =--k2 = —

p(l + e2 - 2ecosi?i)2 ' p^/l + e2 - 2ecosgi

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка (17) запишется следующим образом:

d2V ^ 2е — (l + е2) cos q\ dV n2e2sm2qí ^ ^

dqj (1 + e2-2e cos qt) sin qtdqt (1 + e2 - 2eeos<?i)2

В дифференциальном уравнении (18) сделаем замену независимой переменной по формуле cos qi = x. Тогда уравнение (18) примет вид уравнения с рациональными коэффициентами

d2V 2e dV n2e2 , ,

+ 777—-"я-TT-JT ~ 77-^-72^ = 0- (19)

dx2 (2ех - е2 - 1) dx (2ех - е2 - 1)

Для того, чтобы привести дифференциальное уравнение (19) к более простому виду, сделаем замену:

у = V V2ех — е2 — 1.

Тогда линейное дифференциальное уравнение второго порядка (19) перепишется следующим образом:

<9у _ (1 - и2),

dx2 (2ex — e2 — 1)

У. (20)

Уравнение (20) имеет в точности вид, необходимый для того, чтобы применить к данному уравнению алгоритм Ковачича [4-6]. Применение к уравнению (20) алгоритма Ковачича [4-6] показывает, что общее решение данного уравнения может быть представлено в виде

(1 + п) (1-п)

у = Сх (2ех - е2 - 1) 2 + С2 (2ех - е2 - 1) 2 ,

где С и С2 — произвольные постоянные. Для исходного линейного дифференциального уравнения (18) общее решение записывается следующим образом:

V = Кг (1 + е2 - 2есоз91)? + К2 (1 + е2 - 2есо,

где К и К2 — произвольные постоянные интегрирования. Таким образом, нами установлено, что при любых значениях параметров и, р и е линейное дифференциальное уравнение второго порядка (18) интегрируется в явном виде. Следовательно, задача о качении шара по поверхности такой, что центр шара движется по заданной невырожденной поверхности вращения второго порядка, может быть проинтегрирована в квадратурах.

Литература

1. Кулешов А. С., Соломина Д. В. Лиувиллевы решения в задаче о качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 8 (66), вып. 4, 653-660 (2021). https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.411

2. Routh E. J. The Advanced Part of a Treatise on the Dynamics of a ¡System of Rigid Bodies: Being Part II of a Treatise on the Whole Subject. Cambridge, Cambridge University Press (2013). https://doi.org/10.1017/CBO9781139237284

3. Noether F. Uber rollende Bewegung einer Kugel auf Rotationsflächen. Leipzig, Teubner (1909).

4. Kovacic J. An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations. J. Symb. Comput. 2 (1), 3-43 (1986). https://doi.org/10.1016/S0747-7171(86)80010-4

5. Кулешов А. С., Черняков Г. А. Применение алгоритма Ковачича для исследования задачи о движении тяжелого тела вращения по абсолютно шероховатой плоскости. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 4, 93-102 (2013).

6. Кулешов А. С., Ицкович М.О. Несуществование лиувиллевых решений в задаче о движении эллипсоида вращения по абсолютно шероховатой плоскости. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 4 (62), вып. 2, 291-299 (2017). https://doi.org/0.21638/11701/spbu01.2017.213

Статья поступила в редакцию 9 августа 2023 г.;

доработана 6 ноября 2023 г.; рекомендована к печати 9 ноября 2023 г.

Контактная информация:

Кулешов Александр Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, доц.; kuleshov@mech.math.msu.su Шишков Александр Александрович — аспирант; shish-tula@yandex.ru

Integrability by quadratures of the problem of rolling motion of a heavy homogeneous ball on a surface of revolution of the second order*

A. S. Kuleshov, A.A. Shishkov

Lomonosov Moscow State University, 1, Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation

For citation: Kuleshov A. S., Shishkov A.A. Integrability by quadratures of the problem of rolling motion of a heavy homogeneous ball on a surface of revolution of the second order. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2024, vol. 11 (69), issue 2, pp. 347-353. https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.208 (In Russian)

In this paper, we consider the problem of rolling of a heavy homogeneous ball on a perfectly rough surface of revolution. Usually, when considering this problem, it is convenient to specify explicitly the surface along which the center of the ball moves during rolling, instead of the surface along which the ball rolls. The surface on which the center of the ball moves is equidistant to the surface on which the ball is rolling. It is well known, that the considered problem is reduced to the integration the second order linear homogeneous differential equation. In this paper we assume, that the surface along which the center of the ball moves is a non — degenerate surface of revolution of the second order. Using the Kovacic algorithm we prove that the general solution of the corresponding linear differential equation can be found explicitly. This means, that in this case the problem of rolling of a ball on a surface of revolution can be integrated by quadratures.

Keywords: rolling without sliding, homogeneous ball, surface of revolution of the 2nd order, integrability by quadratures.

*This work is supported by Russian Science Foundation (project no. RAI-RSF-2490).

References

1. Kuleshov A.S., Solomina D.V. Liouvillian Solutions in the Problem of Rolling of a Heavy Homogeneous Ball on a Surface of Revolution. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 8 (66), iss. 4, 653-660 (2021). https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.411 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 54, iss. 4, 405-410 (2021). https://doi.org/10.1134/S1063454121040105].

2. Routh E. J. The Advanced Part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies: Being Part II of a Treatise on the Whole Subject. Cambridge: Cambridge University Press (2013). https://doi.org/10.1017/CB09781139237284

3. Noether F. Uber rollende Bewegung einer Kugel auf Rotationsflächen. Leipzig, Teubner (1909).

4. Kovacic J. An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations. J. Symb. Comput. 2 (1), 3-43 (1986). https://doi.org/10.1016/S0747-7171(86)80010-4

5. Kuleshov A.S., Chernyakov G.A. Application of the Kovacic algorithm for investigation of the problem of motion of a heavy body of revolution on a perfectly rough plane. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy iss. 4, 93-102 (2013). (In Russian)

6. Kuleshov A. S., Itskovich M.O. Nonexistence of Liouvillian solutions in the problem of motion of a rotationally symmetric ellipsoid on a perfectly rough plane. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 4 (62), iss. 3, 291-299 (2017). https://doi.org/0.21638/11701/spbu01.2017.213 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik StPetersburg University, Mathematics 50, iss. 2, 173-179 (2021). https://doi.org/10.3103/S106345411702008X].

Received: August 9, 2023 Revised: November 6, 2023 Accepted: November 9, 2023

Authors' information:

Alexander S. Kuleshov — kuleshov@mech.math.msu.su Alexander A. Shishkov — shish-tula@yandex.ru