ДИНАМИКА КАЧЕНИЯ ДИСКА С НАКЛОННОЙ СКОЛЬЗЯЩЕЙ ОПОРОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.384

doi:10.21685/2072-3040-2021-3-4

Динамика качения диска с наклонной скользящей опорой

Е. А. Микишанина

Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова, Чебоксары, Россия

[email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. Неголономные механические системы могут быть моделями различных технических и робототехнических устройств. С учетом современных тенденций актуальность исследования неголономных систем очевидна и неоспорима. К неголономным моделям относятся модели качения различных тел: шаров, дисков, эллипсоидов и др. Данная работа посвящена исследованию еще одной неголономной модели качения по горизонтальной плоскости тяжелого однородного осесимметричного диска, соединенного с невесомой опорой. Причем в точке контакта диска с плоскостью качения отсутствует проскальзывание, а в точке контакта опоры с плоскостью качения наоборот, наблюдается идеальное скольжение. Это определяет наложение на систему дополнительных связей: неголономной в первом случае и голономной во втором. Материалы и методы. Для анализа динамики рассмотренной системы поставлены уравнения движения в форме Пуанкаре - Суслова, определены первые интегралы движения и инвариантная мера там, где она существует. В более ранних работах учеными показана интегрируемость классической задачи о качении диска по горизонтальной поверхности. В данной постановке также показана интегрируемость системы дифференциальных уравнений. Результаты и выводы. Получены аналитические решения в виде периодических функций от времени в случае динамически симметричного диска. В случае динамически несимметричного диска нахождение аналитического решения сведено к эллиптическим квадратурам. В последнем случае на основании численных расчетов также построены фазовый портрет редуцированной на уровень интегралов системы и графики искомых механических параметров. Для построения фазовых портретов и графиков параметров использовался программный комплекс «Computer Dynamics: Chaos».

Ключевые слова: неголономная модель, динамическая система, диск, фазовый портрет

Финансирование: работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 18-29-10051 мк.

Для цитирования: Микишанина Е. А. Динамика качения диска с наклонной скользящей опорой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 3. С. 45-56. doi:10.21685/2072-3040-2021-3-4

Dynamics of a rolling disc with an inclined sliding support

E.A. Mikishanina

Chuvash State University, Cheboksary, Russia [email protected]

Abstract. Background. Nonholonomic mechanical systems can be models of various technical and robotic devices. Taking into account modern trends, the relevance of the study of nonholonomic systems is obvious and indisputable. Nonholonomic models include, among

© Микишанина Е. А., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

other things, rolling models of various bodies: balls, disks, ellipsoids, and others. This article is devoted to the study of another nonholonomic model of rolling along the horizontal plane of a heavy homogeneous axisymmetric disk connected to a weightless support. And at the point of contact of the disk with the plane of rolling is no slippage, and the contact point of the support plane rolling on the contrary, there is a perfect slide. This determines the imposition of additional links on the system: nonholonomic in the first case and ho-lonomic in the second. Materials and methods. To analyze the dynamics of the considered system, the Poincare-Suslov equations of motion are formulated, the first integrals of motion and the invariant measure where it exists are determined. In earlier works, scientists have shown the integrability of the classical problem of rolling a disk on a horizontal surface. This statement also shows the integrability of a system of differential equations. Results and conclusions. Analytical solutions are obtained in the form of periodic functions of time in the case of a dynamically symmetric disk. In the case of a dynamically asymmetric disk, the analytical solution is reduced to elliptic quadratures. In the latter case, on the basis of numerical calculations, a phase portrait of the system reduced to the level of integrals and graphs of the desired mechanical parameters are also constructed. To build phase portraits and graphs of parameters, the software package "Computer Dynamics: Chaos" was used.

Keywords: nonholonomic model, dynamical system, disk, phase portrait Acknowledgments: the research was financed by the RFBR, grant No.18-29-10051 mk. For citation: Mikishanina E.A. Dynamics of a rolling disc with an inclined sliding support.

Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(3):45-56. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-3-4

Введение

В современной науке рассмотрено и исследовано большое количество неголономных систем: шар Чаплыгина [1-5], волчок Чаплыгина [6, 7], волчок «тип-топ» [8], сани Чаплыгина [9-11], неголономные связки нескольких тел [12-15] и др. В неголономных задачах на систему, помимо геометрических связей, накладываются кинематические связи, которые нельзя свести к геометрическим и которые выражаются с помощью неинтегрируемых уравнений. Например, условие отсутствия проскальзывания в точке контакта тела при качении с поверхностью качения, выраженное в равенстве нулю скорости в точке контакта, является условием неголономным, а вот уже условие полного проскальзывания, выраженное в равенстве нулю проекции скорости точки контакта на нормаль к поверхности качения, является связью голоном-ной. Неголономные системы могут быть интегрируемыми, а искомые параметры носить вполне регулярный непериодический или периодический характер, или неинтегрируемыми, и тогда быть интересными наличием различных эффектов, таких как эффект реверса и наличие странных аттракторов.

В данной работе рассматривается еще одна неголономная модель - качение по горизонтальной поверхности осесимметричного диска в поле силы тяжести, соединенного с невесомой опорой.

Движение тяжелого диска по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости впервые исследовалось Г. Слессером [16], Н. Феррерсом [17], К. Нейманом [18], благодаря которым появилась правильная форма уравнений движения. Позже С. Чаплыгин [19] доказал интегрируемость задачи о качении диска и свел ее к интегрированию в гипергеометрических квадратурах. Позже решения были получены П. Аппелем [20] и Д. Кортевегом [21]

в гиперэллиптических функциях и Геллопом [22] с помощью функции Ле-жандра. В современной науке достаточное количество работ тоже посвящено качению диска. Стоит особенно отметить работы [23-28].

В данной работе к диску добавлена еще невесомая опора, причем в точке контакта диска с поверхностью качения отсутствует проскальзывание, а в точке контакта опоры наблюдается идеальное скольжение. Уравнения движения поставлены в форме Пуанкаре - Суслова [29, 30]. Рассматриваются случаи динамически симметричного и динамически несимметричного диска. В обоих случаях показана интегрируемость полученной системы дифференциальных уравнений, найдены первые интегралы и инвариантная мера там, где она существует. В первом случае получено аналитическое решение, во втором случае построена редуцированная на уровень интегралов система дифференциальных уравнений, построены фазовые портреты и графики численных решений, выполненных с помощью компьютерных вычислений, искомых механических параметров.

1. Математическая модель

Рассмотрим качение без проскальзывания осесимметричного диска заданного радиуса R и массой m в поле силы тяжести по горизонтальной поверхности. Геометрический центр диска совпадает с центром масс диска.

К геометрическому центру диска прикреплена невесомая наклонная опора (рис. 1). Причем в точке контакта наклонной опоры с горизонтальной поверхностью присутствует идеальное скольжение. Опора может быть не только наклонной, но и вертикальной, соединенной с центром диска невесомой рамой (плечом). Прямая BP, на которой лежат точки контакта системы, также перпендикулярна плоскости диска. Говоря о невесомости опоры, имеем в виду, что вес опоры много меньше веса диска. Поэтому центр масс всей системы совпадает с центром масс самого диска.

Рис. 1. Модель конструкции

Введем две системы координат:

- неподвижную ОХХХ с центром в некоторой фиксированной точке О и осью OZ, перпендикулярной горизонтальной поверхности качения диска, а, в, у - орты неподвижной системы координат;

- подвижную Сху2, связанную с диском, с центром в геометрическом центре диска С и осью С2 , направленной перпендикулярно плоскости диска, е1, е2, ез - орты подвижной системы координат.

Связь между подвижной и неподвижной системой координат задается матрицей перехода

' a1 Pi Yi ^

Q = a 2 P2 Y2 e 50(3)

v a3 P3 Y3 у

Уравнение поверхности диска имеет вид

f (г) = П2 + г2 - R2 = 0,

где г - радиус-вектор точки контакта диска P в подвижной системе координат, компоненты которого равны соответственно

----, ГЗ =0. (1)

Ф-Y32' V1 -Y32

Таким образом, матрица Q однозначно определяет конфигурацию системы.

Для поля силы тяжести потенциальная энергия имеет вид

2

U = -mg (r, у) = mgR^j 1-Y32.

Далее будем работать в проекциях на оси подвижной системы координат. Пусть v = (,V2,V3), ю = ((Ю2,®3) - скорость центра масс и угловая

скорость диска. Условие отсутствия проскальзывания в точке контакта P имеет вид

v + ю х r = 0. (2)

Условие идеального скольжения в точке контакта опоры B имеет вид

Y (v + ю х (r + ae3)) = 0, (3)

где a=BP. При совместном решении равенств (2) и (3) получим дополнительное уравнение связи

(e3, ю х y ) = 0. (4)

Эволюция ортов неподвижной системы координат в подвижной системе координат описывается уравнениями

a = а х ю, в = в х ю, Y = Y х ю. (5)

Таким образом, при совместном рассмотрении (4) и (5) можно сделать вывод, что

Y3 = с = const.

Считая, что плоскость диска в начальный момент времени была перпендикулярна опорной плоскости, получим еще одно условие:

Y3 = 0.

Выражения для компонент радиус-вектора (1) и их производных перепишутся в виде

1 = -ЯУъ г2 = -ЯУ2, г3 = 0, (6)

(6)

1 = -ЯУъ Л = -ЯУ2, Л = 0

Запишем функцию Лагранжа для построенной системы:

12 1 L = ^ ту + ^ (ю, 1ю)-С/ (у),

где I - центральный тензор инерции; g - ускорение свободного падения.

Уравнения движения с неопределенными множителями запишутся в виде

ту = ту X ю + Fc + X,

1ю = 1ю X ю + МС + г X X + |у X е3, (7)

где X = ^2, ^з), I - неопределенные множители, описывающие реакцию связей; Мс, Fc - внешний момент сил и внешняя сила, приложенные к телу относительно центра масс, причем справедливо равенство

™ т^ ди п

Мс + % Xг = у X-= 0.

Эу

Выражая из первого уравнения системы (7) X, получим уравнение для угловой скорости:

1ю = 1ю X ю - тг x(ю X Г ) + |у X ез,

I = I + тг2Е - тг ® г, (8)

Е - единичная матрица. Переход к кинетическому моменту с учетом (4) осуществляется по формуле

2

М = 1ю = Jю, J = diag(11,12,1з + ё), ё = тЯ .

Таким образом, замкнутая система, описывающая динамику качения диска для переменных М, у, имеет вид

М = М X АМ + |у X е3,

у = у X АМ, (9)

А = J-1 = diag (, а2, аз).

Найдя значение множителя | из уравнения (8) с учетом уравнений связи, можно переписать систему (9) относительно компонент векторов М, у в виде

М1 = (аз - а2)М2Мз + |у2, МЛ2 = (а1 - аъ )ММз - |У1, Мъ = (а2 - а1 )МцМ2, 71 = аз У 2Мз - а2 У зМ2^ ?2 = а1УзМ1 - азУ^ Уз = 0,

Ц --^-2[М1М3(°1°2 - а2а3 + а3а1) +

а2 71 + а112

+М2М3У2 (а1а2 + а2аз -аза1 )з (а( + а|м|) . (10)

Система обладает инвариантной мерой (2у2 + а^2)сСМСу и допускает следующие интегралы движения:

УЗ - 0, (11)

(М, у)- Н, (12)

- геометрический интеграл:

(у, у)-1; (13)

- интеграл энергии:

Е -2(М, АМ) + mgR ; (14)

- интеграл, являющийся уравнением связи (4):

аМ^ -а2М2У1 - 0. (15)

Интеграл (11) является следствием интеграла (15). На уровне указанных интегралов система (10) интегрируема по теореме Эйлера - Якоби [31].

Для доопределения положения диска в пространстве требуется еще определение координат точки контакта Р(Х,У) по формулам

X --К(а, у), У --К(р, у).

Для более подробного анализа динамики рассмотрим отдельно два случая: динамически симметричный диск, т.е. /1 - /2, и динамически несимметричный диск, т.е. /1 Ф /2 .

2. Качение динамически симметричного диска с опорой

В случае динамически симметричного диска /1 - /2 интеграл энергии (14) эквивалентен интегралу

М2 + М2 + М32 - О2,

и аналитическое решение системы на уровне первых интегралов может быть представлено в виде

У1 -У;Ът(?) + у°^(?) у2-у2^(?)-у0яп(?), У3 -0,

М1 - Н

у2 sin(Г) + у0 cos(Г) , М2 -Н у2 cos(Г)- у0 sin(Г)

М3 О" -Н

где а = ±а34О2 — Н2г, у° = у1 (0), у2 = у2(0). Причем (ю,у) = Н /11. Находя теперь вектора а, в из уравнений (5), получим следующие варианты поведения диска:

- при л/О2 — Н2 = 0, Н = 0 , диск останется без движения;

- при д/о2 — Н2 = 0, Н 0 , диск будет вертеться на месте с постоянной угловой скоростью;

- при \1о2 — Н2 ^ 0, Н = 0, качение диска будет происходить по прямой с постоянной скоростью;

- при VG2 — H2 Ф 0, H Ф 0, качение диска будет происходить по окружности с постоянной скоростью.

3. Качение динамически несимметричного диска с опорой

Рассмотрим качение с опорой динамически несимметричного диска, т.е. I\ ФI2. Редуцируя систему (10) на уровень интегралов и вводя замену У1 = sin 0, У2 = cos 0, получаем систему

2 sin 0 cos 0

M3 = («2 — 01)0102 H

2 2 \2 ' 02 sin 0 + aiCos 0) (16)

0 = a3M3.

Из совместного рассмотрения первых интегралов можно получить формулы для оставшихся компонент вектора M :

M = f22 , M2 = 2 .

aiY 2 + a2 Yi a^ + a2 Yi

Для получения аналитического решения системы (16) можно перейти к дифференциальному уравнению (считая, например, что a2 > ai):

dM3 aia2 2 (a2 - ai)sin 0 cos 0 -=-H '

a3

M3 ((a2 — a1)sin2 0 + a1

общий интеграл имеет вид

Мз2(0) = — ^ Н2?-Ц-- + С,

а3 ((а2 — a1)sin2 0 + а1)

С 2Е — mgR где постоянная С =-.

аз

Далее, переходя к уравнению

(0 )2 = с — Н2 1

a3 ((a2 — a1)sin2 0 + a1)

решение можно получить в эллиптических квадратурах. В силу громоздкости не будем здесь приводить полученные решения, а воспользуемся численными расчетами.

Построим фазовый портрет для системы 16 (рис. 2) и графики искомых функций для начальных условий 0-4,М3 -1 , получая решение системы численно (рис. 3).

Рис. 2. Фазовый портрет системы (18) при /1 - 0,8,/2 - 2,/3 -1,5, Н -1

п

Рис. 3. Графики моментов импульса при начальных условиях 0- — М3 -1

4 3

В системе отсутствует хаотическая динамика. По результатам численных экспериментов можно сделать вывод, что траектории качения диска при

различных значениях числовых параметров могут быть различными: верчение на месте, криволинейное качение, криволинейное качение с последующим верчением на месте.

Заключение

В работе получена система уравнений, описывающая динамику качения осесимметричного диска с наклонной скользящей невесомой опорой в форме Пуанкаре - Суслова, найдены первые интегралы и инвариантная мера. Показано, что поставленная задача является интегрируемой. На уровне первых интегралов получены аналитические решения в случае динамически симметричного диска. А в случае динамически несимметричного диска система сведена к редуцированной на уровень первых интегралов системе, построены фазовый портрет и графики искомых параметров для динамически несимметричного диска.

Для построения фазовых портретов и графиков параметров использовался программный комплекс «Computer Dynamics: Chaos» (/http://site4.ics. org.ru//chaos_pack).

Полученные в статье результаты могут быть полезными при решении целого класса задач неголономной механики и при проектировании различных робототехнических устройств.

Список литературы

1. Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Математический сборник. 1903. Т. 24. С. 136-168.

2. Borisov A. V., Mikishanina E. A. Dynamics of the Chaplygin Ball with Variable Parameters // Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 16, № 3. P. 453-462.

3. Bizyaev I. A., Borisov A. V., Mamaev I. S. Dynamics of the Chaplygin Ball on a Rotating Plane // Russ. J. Math. Phys. 2018. Vol. 25, № 4. P. 423-433.

4. Москвин А. Ю. Шар Чаплыгина с гиростатом: особые решения // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 3. С. 345-356.

5. Мощук Н. К. О движении шара Чаплыгина на горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47, № 6. С. 916-921.

6. Борисов А. В., Казаков А. О., Пивоварова Е. Н. Регулярная и хаотическая динамика в «резиновой» модели волчка Чаплыгина // Нелинейная динамика. 2017. Т. 13, № 2. С. 277-297.

7. Борисов А. В., Казаков А. О., Сатаев И. Р. Регулярные и хаотические аттракторы в неголономной модели волчка Чаплыгина // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, № 3. С. 361-380.

8. Карапетян А. В. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-топ) // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2008. № 3. С. 33-41.

9. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика саней Чаплыгина // Прикладная математика и механика. 2009. Т.73, № 2. С. 219-225.

10. Borisov A. V., Mamaev I. S. An inhomogeneous Chaplygin sleigh // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2017. Vol. 13, № 4. P. 625-639.

11. Ифраимов С. В., Кулешов А. С. О движении саней Чаплыгина по выпуклой поверхности // Автоматика и телемеханика. 2013. № 8. С. 80-90.

12. Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A., Bizyaev I. A. Qualitative analysis of the dynamics of a wheeled vehicle // Regul. Chaotic Dyn. 2015. Vol. 20. P. 739-751.

13. Borisov A. V., Mikishanina E. A. Two nonholonomic chaotic systems. Part II. On the rolling of a nonholonomic bundle of two bodies // Regul. Chaotic Dyn. 2020. Vol. 25, № 4. P. 392-400.

14. Borisov A. V., Mikishanina E. A., Sokolov S. V. Dynamics of a multi-link uncontrolled wheeled vehicle // Russian Journal of Mathematical Physics. 2020. Vol. 27, № 4. P. 433-445.

15. Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Invariant submanifolds of genus 5 and a Cantor staircase in the nonholonomic model of a snakeboard // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2019. Vol. 29. Р. 1930008.

16. Slesser G. M. Notes on rigid dynamics // Quart. J. of Math. 1861. Vol. 4. P. 65-77.

17. Ferrers N. M. Extension of Lagrange's equations // Quart. J. Pure Appl. Math. 1872. Vol. 12, № 45. P. 1-5.

18. Neumann C. Über die rollende Bewegung einer Körper auf einer gegebenen Horisontal Ebene unter dem Einflüss der Schweren // Math. Annal. 1886. Bd. 27. S. 478-505.

19. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Исследования по динамике неголономных систем. М. ; Л. : Гостехиздат, 1949. С. 9-27.

20. Appell P. Sur l'intégration des équations du movement d'un corps pesant de révolution roulant par une arête circulaire sur un plan horizontal; cas particulier du cerceau // Ren-diconti del circolo matematico di Palermo. 1900. T. 14. P. 1-6.

21. Korteweg D. Extrait d'une letter â M. Appel // Rendiconti del circolo matematico di Palermo. 1900. Vol. 14. P. 7-8.

22. Gellop E. G. On the rise of a spinning top // Proc. Cambr. Phylos. Soc. 1904. Vol. 19, Pt. 3. P. 356-373.

23. Козлов В. В. О движении диска по наклонной плоскости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 1996. № 5. С. 29-35.

24. Кулешов А. С. О стационарных качениях диска по шероховатой плоскости // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, № 1. С. 173-175.

25. Batista M. Steady motion of rigid disk of finite thickness on a horizontal plane // Internat // J. Non-Linear Mech. 2006. Vol. 41, № 4. P. 605-621.

26. Batista M. The nearly horizontally rolling of a thick disk on a rough plane // Regul. Chaotic Dyn. 2008. Vol. 13, № 4. P. 344-354.

27. Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Dynamics of rolling disk // Regul. Chaotic Dyn. 2003. Vol. 8, № 2. P. 201-212.

28. Bizyaev I. A., Borisov A. V., Mamaev I. S. An invariant measure and the probability of a fall in the problem of an inhomogeneous disk rolling on a plane // Regul. Chaotic Dyn. 2018. Vol. 23, № 6. P. 665-684.

29. Борисов А. В., Мамаев И. С., Килин А. А., Бизяев И. А. Избранные задачи неголо-номной механики. М. ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2016. 980 с.

30. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 384 с.

31. Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики // Успехи механики. 1985. Т. 8, № 3. С. 85-101.

References

1. Chaplygin S.A. About rolling a ball on a horizontal plane. Matematicheskiy sbornik = Mathematical collection. 1903;24:136-168. (In Russ.)

2. Borisov A.V., Mikishanina E.A. Dynamics of the Chaplygin Ball with Variable Parameters. Nonlinear Dynamics. 2020;16(3):453-462.

3. Bizyaev I.A., Borisov A.V., Mamaev I.S. Dynamics of the Chaplygin Ball on a Rotating Plane. Russ. J. Math. Phys. 2018;25(4):423-433.

4. Moskvin A.Yu. Chaplygin ball with gyrostat: special solutions. Nelineynaya di-namika = Nonlinear dynamics. 2009;5(3):345-356. (In Russ.)

5. Moshchuk N.K. On the motion of the Chaplygin ball on the horizontal plane. Priklad-naya matematika i mekhanika = Applied mathematics and mechanics. 1983;47(6):916-921. (In Russ.)

6. Borisov A.V., Kazakov A.O., Pivovarova E.N. Regular and chaotic dynamics in the "rubber" model of the Chaplygin top. Nelineynaya dinamika = Nonlinear dynamics. 2017;13(2):277-297. (In Russ.)

7. Borisov A.V., Kazakov A.O., Sataev I.R. Regular and chaotic attractors in the nonho-lonomic model of the Chaplygin top. Nelineynaya dinamika = Nonlinear dynamics. 2014;10(3):361-380. (In Russ.)

8. Karapetyan A.V. Global qualitative analysis of the dynamics of the Chinese spinning top (tip-top). Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela = Proceeding of the Russian Academy of Sciences. Solid body mechanics. 2008;(3):33-41. (In Russ.)

9. Borisov A.V., Mamaev I.S. Chaplygin sleigh dynamics. Prikladnaya matematika i mekhanika = Applied mathematics and mechanics. 2009;73(2):219-225. (In Russ.)

10. Borisov A.V., Mamaev I.S. An inhomogeneous Chaplygin sleigh. Rus. J. Nonlin. Dyn. 2017;13(4):625-639.

11. Ifraimov S.V., Kuleshov A.S. On the motion of a Chaplygin sleigh on a convex surface. Avtomatika i telemekhanika = Automation and telemechanics. 2013;(8):80-90. (In Russ.)

12. Borisov A.V., Mamaev I.S., Kilin A.A., Bizyaev I.A. Qualitative analysis of the dynamics of a wheeled vehicle. Regul. Chaotic Dyn. 2015;20:739-751.

13. Borisov A.V., Mikishanina E.A. Two nonholonomic chaotic systems. Part II. On the rolling of a nonholonomic bundle of two bodies. Regul. Chaotic Dyn. 2020;25(4):392-400.

14. Borisov A.V., Mikishanina E.A., Sokolov S.V. Dynamics of a multi-link uncontrolled wheeled vehicle. Russian Journal of Mathematical Physics. 2020;27(4):433-445.

15. Borisov A.V., Kilin A.A., Mamaev I.S. Invariant submanifolds of genus 5 and a Can-tor staircase in the nonholonomic model of a snakeboard. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2019;29:1930008.

16. Slesser G.M. Notes on rigid dynamics. Quart. J. of Math. 1861;4:65-77.

17. Ferrers N.M. Extension of Lagrange's equations. Quart. J. Pure Appl. Math. 1872;12(45):1-5.

18. Neumann C. Über die rollende Bewegung einer Körper auf einer gegebenen Horisontal Ebene unter dem Einflüss der Schweren. Math. Annal. 1886;27:478-505.

19. Chaplygin S.A. On the motion of a heavy body of revolution on a horizontal plane. Is-sledovaniya po dinamike negolonomnykh system = Research on the dynamics of nonholonomic systems. Moscow; Leningrad: Gostekhizdat, 1949:9-27. (In Russ.)

20. Appell P. Sur l'intégration des équations du movement d'un corps pesant de révolution roulant par une arête circulaire sur un plan horizontal; cas particulier du cerceau. Rendi-conti del circolo matematico di Palermo. 1900;14:1-6.

21. Korteweg D. Extrait d'une letter â M. Appel. Rendiconti del circolo matematico di Palermo. 1900;14:7-8.

22. Gellop E.G. On the rise of a spinning top. Proc. Cambr. Phylos. Soc. 1904;19:356-373.

23. Kozlov V.V. On the movement of a disc along an inclined plane. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela = Proceeding of the Russian Academy of Sciences. Solid body mechanics. 1996;(5):29-35. (In Russ.)

24. Kuleshov A.S. On stationary rolling of a disc on a rough plane. Prikladnaya matematika i mekhanika = Applied mathematics and mechanics. 2001;65(1):173-175. (In Russ.)

25. Batista M. Steady motion of rigid disk of finite thickness on a horizontal plane. Internat. J. Non-Linear Mech. 2006;41(4):605-621.

26. Batista M. The nearly horizontally rolling of a thick disk on a rough plane. Regul. Chaotic Dyn. 2008;13(4):344-354.

27. Borisov A.V., Mamaev I.S., Kilin A.A. Dynamics of rolling disk. Regul. Chaotic Dyn. 2003;8(2):201-212.

28. Bizyaev I.A., Borisov A.V., Mamaev I.S. An invariant measure and the probability of a fall in the problem of an inhomogeneous disk rolling on a plane. Regul. Chaotic Dyn. 2018;23(6):665-684.

29. Borisov A.V., Mamaev I.S., Kilin A.A., Bizyaev I.A. Izbrannye zadachi negolonomnoy mekhaniki = Selected tasks of nonholonomic mechanics. Moscow; Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovaniy, 2016:980. (In Russ.)

30. Borisov A.V., Mamaev I.S. Dinamika tverdogo tela = Solid body dynamics. Izhevsk: Regulyarnaya i khao-ticheskaya dinamika, 2001:384. (In Russ.)

31. Kozlov V.V. On the theory of equations' integration of nonholonomic mechanics. Uspekhi mekhaniki = Achievements in mechanics. 1985;8(3):85-101. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Евгения Арифжановна Микишанина

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова (Россия, г. Чебоксары, Московский проспект, 15)

Evgeniya A. Mikishanina Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the sub-department of actuarial and financial mathematics, Chuvash State University (15 Moscovsky avenue, Cheboksary, Russia)

E-mail: [email protected]

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received i8.06.202i

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 25.07.202i Принята к публикации / Accepted 05.08.202i