К задаче о движении тела вращения по сфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

Динамические системы, 2018, том 8(36), №1, 23-30 УДК 531.36+531.384

К задаче о движении тела вращения по сфере1

А. С. Кулешов, Д. С. Зуева

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова,

Москва 119991. E-mail: kuleshov@mech.math.msu.su, dariakhramova.z@gmail.com

Аннотация. Рассматривается задача о качении без проскальзывания динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной сфере. Предполагается, что приложенные к твердому телу силы, имеют приложенную к центру масс G тела равнодействующую, направленную к центру O опорной сферы и зависящую только от расстояния между точками G и O. В этом случае решение задачи сводится к интегрированию системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно компонент шз и n угловой скорости тела в проекции на его ось динамической симметрии и на нормаль к опорной сфере соответственно. Изучается вопрос: при каком условии на форму поверхности катящегося тела уравнение, которому удовлетворяет шз, интегрируется методом разделения переменных отдельно от других уравнений.

Ключевые слова: тело вращения; качение по сфере; интегрируемость в явном виде.

Motion of a Rotationally Symmetric Body on a Sphere

A. S. Kuleshov, D. S. Zueva

M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991.

Abstract. The problem of rolling without sliding of a rotationally symmetric rigid body on a sphere is considered. The rolling body is assumed to be subjected to the forces, the resultant of which is directed from the center of mass G of the body to the center O of the sphere, and depends only on the distance between G and O. In this case the solution of this problem is reduced to solving the system of two first order linear differential equations over the projections ш3 and n of the angular velocity of the body onto its axis of symmetry and onto the normal to the sphere respectively. The problem of determination of the shape of the rolling body for which the equation for ш3 can be solved by separation of variables is studied.

Keywords: rotationally symmetric body; body rolling on a sphere; integrability. MSC 20 10: 70F25; 70E18; 70E40

Введение

Задача о качении без скольжения динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной поверхности является одной из

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты No. 16-01-00338 и No. 17-0100123.

© А. С. КУЛЕШОВ, Д. С. ЗУЕВА

классических задач механики неголономных систем. В 1897 году С. А. Чаплыгин в работе [1] установил, что в случае качения тяжелого тела вращения по горизонтальной плоскости решение соответствующей задачи сводится к интегрированию системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно двух компонент угловой скорости тела. В той же работе [1] был исследован вопрос: при каком условии на форму поверхности катящегося тела и распределение масс в нем одно из двух линейных уравнений первого порядка (относительно компоненты угловой скорости тела в проекции на его ось динамической симметрии) интегрируется отдельно от других уравнений методом разделения переменных. Было установлено, что соответствующее уравнение интегрируется методом разделения переменных в случае, когда катящееся по плоскости тело представляет собой неоднородный динамически симметричный шар, центр масс которого не совпадает с геометрическим центром, но лежит на оси динамической симметрии.

В 1910 году П. В. Воронец в работе [2] показал, что рассуждения С. А. Чаплыгина переносятся на случай качения тела вращения по поверхности сферы, если приложенные к твердому телу силы имеют равнодействующую, приложенную к центру масс О тела, направленную к центру О опорной сферы и зависящую только от расстояния между точками О и О. В этом случае задача также сводится к интегрированию системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно компонент угловой скорости тела в проекции на его ось динамической симметрии и на нормаль к поверхности сферы.

В данной работе изучается задача о качении тела вращения по поверхности сферы при условиях П. В. Воронца. Получена система двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка, к интегрированию которой приводится решение задачи. Исследован вопрос, при каком условии на форму поверхности катящегося тела и распределение масс в нем линейное уравнение первого порядка на компоненту угловой скорости тела в проекции на ось динамической симметрии интегрируется отдельно от других уравнений методом разделения переменных. Таким образом, в работе полностью исследована задача, аналогичная той, что была решена С. А. Чаплыгиным в работе [1] для случая движения тяжёлого тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости.

1. Общая постановка задачи о качении тела вращения по сфере. Уравнения движения

Рассмотрим задачу о качении динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по абсолютно шероховатой сфере радиуса Я1. Следуя работе П. В. Воронца [2], введем четыре системы координат (в скобках указаны единичные векторы осей):

0х1у1г1 (ех, еу, ех) — неподвижная система координат с началом в центре опорной сферы;

Охуг (е1, е2, е3) — система координат, жестко связанная с движущимся твердым телом; ее начало выбрано в центре масс О движущегося тела, а оси направлены по главным осям инерции;

Puvn (eu, ev, en) — подвижная система координат с началом в точке контакта P тела с опорной сферой и осями, направленными по касательным к координатным линиям и по нормали к поверхности тела;

Puivin1 (eUl, eVl, eni) — подвижная система координат, оси которой направлены по касательным к координатным линиям и по нормали к опорной сфере.

Положение точки контакта P на поверхности S тела определяется радиусом-вектором

р = —P = x (u, v) ei + y (u, v) e2 + z (u, v) e3,

где u и v — гауссовы криволинейные координаты точки P на поверхности S. Коэффициенты первых двух квадратичных форм поверхности S катящегося тела обозначим E, F, G и L, M, N соответственно. Будем считать, что координатные линии на поверхности совпадают с ее линиями кривизны, поэтому F = 0, M = 0.

Сферическая поверхность Si, по которой движется твердое тело, задается уравнениями:

Pi

Op = x1ex + y1ey + z1 ez = R1 sin u1 cos v1ex + R1 sin u1 sin v1ey + R1 cos u1ez,

где щ и У\ — гауссовы криволинейные координаты точки Р на сфере Б\. Для единичных базисных векторов еи, ev, еп и еи1, е^, еп1 имеем следующие формулы:

-«1

1 др TE du,

R1 ди1

-V1

1 др _ TG^ en =

= 1 р

R1 sin u1 dv1

-ni

eui X evi •

Взаимная ориентация систем координат Охуг и Рпьи определяется при помощи матрицы направляющих косинусов, задаваемых таблицей

x У z

u C11 C12 C13

v C21 C22 C23

n C31 C32 C33

причем коэффициенты являются функциями только переменных п и V ив явном виде записываются следующим образом:

С11

С21

С33

1 дх /Edu

1 дх

Vadv 1

С12

С22

(

дх ду VEG\dudv

1 ду

/Edu

1 дУ УGдv,

ду дх du дv

С13

С23

1 дz

TEou;

1 dz

tgov v

1

C31

C32

(

dy dz VEG\dudv

1 ( dz dx

VEG\du dv

dz dy du dv

dx dz du dv

eu X ev;

e

e

u

v

n = —0 + 2 /е^ 1 д^й —— V1 cosu1.

Следуя Воронцу [2], будем определять положение тела гауссовыми координатами u, v, u1, v1, и углом в между осями Pu и Pvi. Предположим, что тело катится по опорной сфере без проскальзывания. Это условие приводит к тому, что на систему накладываются две неголономные связи, имеющие вид:

R1ü 1 = -VÉU sin в + VGv cos в, R1Í! 1 sin U1 = VEu cos в + VGv sin в. (1.2)

Пусть векторы скорости w центра масс G и угловой скорости ш тела задаются в системе координат Gxyz компонентами w1, w2, w3 и ш1, ш2, ш3 соответственно. Из условия того, что точка касания P тела находится в мгновенном покое, получим формулы, связывающие компоненты векторов w и ш:

w1 + u2z — ш3у = 0, w2 + ш3х — u1z = 0, w3 + ш1у — ш2х = 0, (1.3) а для компонент ш1, ш2, ш3 вектора ш справедливы следующие формулы (см. [2]): Ш1 = C11TÍ) + C210Íl+C31U, Ш2 = C12Tv + C220U+C32U, Ш3 = C13TÍ) + C23^Ul + C33U, (1.4)

T=-(N—R) ^ .=(E—RD VE,

(1.5)

J_ Í8E. _ dG

2VEG\dvU du

Будем предполагать, что силы, действующие на твердое тело, имеют потенциал, и что потенциальная энергия V зависит лишь от координат u и v точки касания P. Такой случай будет иметь место, например, когда приложенные к твердому телу силы имеют равнодействующую, приложенную к центру масс G тела, направленную к центру O сферы и зависящую только от расстояния точек G и O друг от друга. Итак, пусть V = V (u,v).

Пусть в = в (u, v, u, v, n) — кинетическая энергия системы, вычисленная с учетом неголономных связей (1.2) и соотношений (1.3)-(1.4). Она вычисляется по стандартной формуле

2в (u, v, u,v, n) = m (w2 + w2 + wl) + А1ш2 + A2+ А3ш1,

где m - масса движущегося тела, а A1, А2 и А3 - его главные центральные моменты инерции. Данное выражение можно переписать следующим образом:

2в (u,v, u, v, n) = К33П + 2 (K13Í1 + K23v) n + Кцп2 + 2KUuv + K22V2, (1.6)

причем на основании формул (1.3)-(1.5) можно сделать вывод, что коэффициенты Kij являются функциями переменных u и v. Если мы обозначим через р и е расстояния от центра масс G тела до точки касания P и до касательной плоскости к поверхности S в точке P

р2 = х2 + у2 + z2, е = XC31 + yC32 + ZC33,

то мы можем записать уравнения движения тела в таком виде (см. [2])

dt (Oi^ du ^

'LN 1 \ de. vE i de EG — ~щ) ~ÖUv + RTdv

др 2 -и — тр—п u

Гъп (N М • dV —meVEG^G — rJ nv — -QU*

dti^ ¿е) dv ^ G

'LN 1 \ ее. Vc ide EG — R2) ~ЪПи + Rä~eU

р2

n — тр—п +

v

m^iL — f) nu — f-,

\E RiJ dv

LG- NE

yCidev-^Eideu+m (diu + dib]n_m£_uv

\8n) Ri a duV Ri t dvU mP \8uU dvj U m л/EG UV

)

(1.7)

Присоединяя к этим уравнениям последнее из уравнений (1.5), а также уравнения связей (1.2), получим систему шести уравнений, из которой определяются все неизвестные п, V, и, в, щ, VI как функции времени.

Предположим теперь, что твердое тело, катящееся по сфере, является телом вращения, то есть его моменты инерции А\ и А2 относительно осей Gx и Gy равны между собой (А! = А2), а поверхность Б, ограничивающая твердое тело, является поверхностью вращения вокруг оси Gz:

x = f (u) cos v, y = f (u) sin v, z = g (u).

:i.s)

В этом случае кинетическая энергия тела, вычисляемая по формуле (1.6), в явном виде запишется следующим образом:

26 (П, V, п, V, и) = КцП2 + К22,и2 + К33П2 + 2K2зVи,

K

22

Kii = (Ai + Mf2 + Mg2) (f2 + g'2)

2 , Mg2)(f2 , g'2)(gf' — f''g' — Л

V(f '2 + g'2)1 RiJ

Aif'2 + Aag'2 + M (gf — fg')

f'2 + g'2

)

g' f vf+F Ri

)

K

33 =

K

Aig'2 + A3f'2 + M (ff + gg')2

f'2 + g'2 '

M (gf — fg') (ff + gg') — (A3 — Ai) f'g

23 =

f'2 + g'2

g

g' f

f+g2 Ri

)

2

Здесь штрихом обозначена производная по и. Очевидно, что все коэффициенты Kij будут функциями только переменной и. Справедливы также следующие соотношения:

д« дп

0, — = 0.

06 _ 0 др

dv ' dv

dV

dv

В этом случае два последних уравнения системы (1.7) дают: 1 1

-Г (К23П + К22'Ъ) = (е1и + кхЬ) и, — (К33П + К2зЬ) = (е2п + к2Ь) и, 1ъ 1ъ

:i.9)

где коэффициенты К22, К23, К33, с1, с2, к1, к2 являются функциями только переменной и. Кроме того, в выражениях (1.4) для компонент угловой скорости ш\, ш2 и ш3 будем иметь с23 = 0, откуда следует, что

1

v _

-Ш3

С33

-п,

:i.io)

С13Т С13Т

причем коэффициенты при переменных ш3 и п также будут функциями только переменной и. Переходя в уравнениях (1.9) к новой независимой переменной и, приведем эти уравнения к виду

К22 1ш3

с13т du

K23 du3

+

+

TS К22Сзз\ dn

K23--~т _ din + siШ3,

с13т J du

K23c33 dn

K33--— _ d2n + S2Ш3,

i.ii)

С13Т 1и \ с13т ) 1и

где 1\, 12, в2 - функции, зависящие от и. Таким образом, решение задачи сводится к интегрированию системы двух линейных уравнений первого порядка (1.11) относительно компонент угловой скорости п и ш3. Если найти общее решение этой системы уравнений, то задача сводится к квадратурам.

2. Простейшие случаи интегрирования уравнений движения

Разрешим систему уравнений (1.11) относительно производных и приведем ее к виду:

dn d.mn

bin + Ь2ш3. (2.1)

dn

— _ ain + a2Ш3, du

du

Выясним, каким должен быть вид поверхности, ограничивающей тело, чтобы второе из уравнений (2.1) интегрировалось методом разделения переменных. Соответствующее условие записывается в виде Ь1 = 0. В явном виде оно может быть представлено следующим образом:

(

d2gdf d2fdgs

du2 du du2 du

)f 1 ^i^du^ du) ^i^^^d'u) dt^) + 1 du

x

v f2

du

-R,^ IWI^

du

\j [di^ + ( du)

0.

Таким образом, второе из уравнений (2.1) интегрируется разделением переменных, если поверхность, ограничивающая твердое тело, удовлетворяет уравнению

. ( df)2 + ( dg \ _ у \du) \du) du

/\П1т 1+1 d9) 2 - Я. ^ = 0. (2.2)

или уравнению

(_ d2ldl\ ((_)2 +(^\Л _ и_)2+ (ъ-)2+Я ^ = о.

\du2 du du2 du^ \ \du) 1\ у \du^ du

(2.3)

Рассмотрим сначала уравнение (2.2). Полагая в нем _ (^ = Я1u, приведем его к виду _

Я2 + (dg\2 d9 о (2 4)

у 1 / du

Общее решение уравнения (2.4) имеет вид

д Ы = _Я1у/ 1 _ u2 + Сь

где С1 — произвольная постоянная интегрирования. Таким образом, поверхность катящегося тела в данном случае удовлетворяет уравнению

_2 + (д _ С1)2 = Я2,

то есть катящееся тело представляет собой неоднородный динамически симметричный шар того же радиуса, что и радиус опорной сферы. Центр масс этого шара в общем случае не совпадает с геометрическим центром, а отстоит от него на расстояние С1 вдоль оси динамической симметрии.

Теперь рассмотрим уравнение (2.3). Полагая в нем _ (^ = Я^, приведем его к виду

Я2"0_ (Я2 + (|)1 + П^+М' =о- («)

Общее решение уравнения (2.5) имеет вид

Г R.v (CR + lnv) dv 9 (u)= . 1 1 ; + C2

yjl - (C.R2 + ln v)2 v2

где С1, С2 — произвольные постоянные интегрирования. Полагая С1Я2 = 1, представим уравнение поверхности в параметрическом виде:

_ Ы = Я^, д (u) = яЛ V (1+1П У) ^ = + С2. (2.6)

3 у1 _ V2 (1+1п у)2

На Рис. 1 представлен общий вид поверхности, задаваемой параметрически уравнениями (2.6) при К\ = 1 и С2 = 0.

Таким образом, нами полностью исследован вопрос о том, какой должна быть форма поверхности, ограничивающей твердое тело, чтобы второе из уравнений (2.1) для него интегрировалось разделением переменных. В этом случае твердое тело либо является неоднородным динамически симметричным шаром того же радиуса, что и радиус опорной сферы, либо имеет форму, задаваемую соотношениями (2.6).

1. Чаплыгин, С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии — 1897. — Т. 9, Вып. 1. — С. 10-16.

Chaplygin, S. A. On a motion of a heavy body of revolution on a horizontal plane. Regul. Chaotic Dyn. 7, 119—130 (2002).

2. Воронец, П. В. К задаче о движении твердого тела, катящегося без скольжения по данной поверхности под действием данных сил // Киевские Университетские Известия. — 1910. — Т. 50, Вып. 10. — С. 101-111.

Woronetz, P. V. On the problem of the motion of a rigid body rolling without sliding on a given surface under the influence of given forces. Kievskie Universitetskie Izvestija. 50, 101-111 (1910). (Russian)

Рис. 1.

Список цитируемых источников

Получена 23.02.2018