Электромагнетизм и механика: неголономные аналогии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 620.92(075.8).

Электромагнетизм и механика: неголономные аналогии

А.А. Соловьев [0000-0002-4376-1120] Географический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия E-mail: a.soloviev@geogr.msu.ru

Аннотация. Анализируются методы описания механических и электродинамических систем с неголономными связями. Выявляется роль выбора счета времени при описании динамики систем с голономными и неголо-номными связями. Рассматривается возможность перехода от уравнений механики к аналогичным уравнениям электродинамики для силовых энергетических полей с измененным мероопределением времени.

Ключевые слова: счет времени, голономные, неголономные связи, уравнения Лагранжа.

1 Введение

В последние годы активизируется интерес к механике сплошных сред, электродинамике, квантовой механике систем со связями, допускающими ограничения на изменения, как обобщенных координат, так и обобщенных скоростей [1]. Такие связи по Г.Герцу [2] принято называть неголономными, в отличие от го-лономных связей, зависящих только от обобщенных координат. Для механических систем с неголономными связями общие уравнения механики по причине взаимной зависимости координат не приводят к уравнениям Ж.Лагранжа, свойственных системам с голономными связями. С.А.Чаплыгин показал, каким образом в результате преобразований времени можно получить уравнения движения неголономных систем, аналогичные уравнениям Лагранжа [3]. Вслед за этим начались исследования с использованием разнообразных подходов, приводящих к преобразованию уравнений движения неголономных систем в различные формы [4]. В современных исследованиях неголономных систем отмечается обилие публикаций по различным задачам неголономной динамики большинство, из которых восходит к развитию работы С.А.Чаплыгина. В числе других подходов к описанию неголономных систем отметим работу А. С. Пред-водителева, который обратил внимание на значимость использованного при выводе уравнений С.А. Чаплыгина приводящего временного множителя [5].

Согласно которому при описании механических систем с неголономными связями можно принять постулат о переходе к другому исчислению времени. Аналогичные идеи преобразования времени реализуются в развитии метода расчета динамических полей неголономно связанных структур [6]. С этим же связаны исследования, в которых развивается нетрадиционный подход к задачам него-лономной механики и электродинамики с переходом от эвклидова пространства к метрике пространства Лобачевского Римана [7].

Основу таких подходов, нередко не укладывающихся в общепринятые представления, как правило, составляет сравнительный анализ между понятиями различных областей науки. Тем не менее к сравнительным аналогиям все же продолжаются обращаться для лучшего понимания нового явления. Но не только для этого, а потому, что нередко при всем несходстве явлений их описание сводится к абстракциям, в своем математическом выражении почти тождественно повторяющим друг друга. Получается так, что, хотя явления физически разнородны, а математические алгоритмы сближают их до уровня достаточно близкого соответствия. И это происходит от того, что у каждого положения одной теории существует гомолог в другой. Поэтому задачи, решенные в одной из них, могут быть использованы в другой. Этот факт позволяет не только формально отображать одну область знания в другую, но и взаимно ускорять их развитие. Аналоги являются проверенным инструментарием, позволяющим в новом явлении усмотреть старое с дополнением новых качеств [5, 8].

Представленные суждения являются преамбулой представляемой далее статьи, иллюстрирующей возможности аналогий для распространения алгоритмов, разработанных для решения задач динамики механических систем с голоном-ными связями, на другие системы, которые оказались в силу ряда причин неприемлемыми для систем с неголономными связями.

2 Определение времени в механике точек с неголономными связями

Мы привыкли к расчетам времени в механике настолько, что не задумываемся над тем, как происходит выбор единицы изменения времени при описании того или иного физического явления. Между тем, этот вопрос в первую очередь должен быть однозначно решен при постановке той или иной задачи. В механике в качестве образцового движения выбирается прямолинейное и равномерное движение, с которым сравниваются все остальные. Тем самым принимается, что выбор способа измерения течения времени в классической механике определяется однозначно. При построении электродинамики, выбор счета времени по образу классической механики не годится. Принято считать, что для того, чтобы уравнения электродинамики не зависели от выбора координат, а это необходимо, счет времени должен осуществляется в соответствии с группой преобразования Лоренца-Эйнштейна [9].

Но и в механике, как оказалось, далеко не всегда возможно пользоваться ньютоновским мероопределением времени. Уравнения Лагранжа для движения

материальных точек, свободного с голономными связями, так составлены, что при мероопределении времени можно без уточнений пользоваться равномерным и прямолинейным движением как образцовым, с которым допустимо сравнивать все другие. Но этого сделать нельзя, если механическая система подвержена неголономным связям. В этом случае уравнения Лагранжа изменяют свой вид. Чтобы сохранить его необходимо специально выбрать счет времени в зависимости от характера неголономных связей. Именно это главная идея описания процессов в неголономной механике, на которую как на весьма важное и принципиальное положение указал впервые С.А.Чаплыгин [3]. Для пояснения значимости этого положения обратимся к рассмотрению его примера механической системы с двумя свободными обобщенными координатами q1 и q2. Будем считать, что зависимые параметры, определяемые координатами х,у материальных точек системы, подчиняются следующим условиям

х = а1с[1 +а2с[2; у =1^ + Ь2с[2 (1)

Здесь множители, суть, произвольные функции параметров

а х,у,^1 ,с[2 обозначают производные по времени от всех параметров. Уравнения движения системы в форме Лагранжа для данного примера получаются из принципа Даламбера, и они для кинетической энергии Т и потенциальной энергии и запишутся так:

_эт _ _эт _

Л 9q1 9q1

= q2S

_d _dT __dT _9U

dt 9q2 9q2 9q2

ЭТ[ dal da

S —

= -q,s

dT (dbl db2

(2)

<5x1 9q 1 ) 9у I 9q2 9q1

Эти уравнения отличаются от обычных уравнений Лагранжа членом 8 в правой части. Он будет равен нулю только в случае интегрируемости уравнений связи (1).Но оказывается всегда можно найти такое преобразование течения времени от единиц t к единицам т, которое позволяет написанную систему уравнений движения свести к обычному виду уравнения Лагранжа. С этой целью С.А.Чаплыгин рекомендует принять следующий формат преобразования времени через множитель М ,считая его некоторой функцией независимых переменных .

Мdt = dт . (3)

По смыслу введения коэффициент М является множителем, переводящим один счет времени в другой. После преобразования приведенных выше уравнений к новому течению времени т , получаем уравнения:

d d(T) d(T) dU

------— q2r .

dx dq2 dq dq

dx öq2 dq2 dq2

^ о д(Г) 1 дМ д(Г) 1 дМ

Здесь R = М • 8 ——-----—---

Зс[2 М 5q1 М Зq2

а производные по новому времени т обозначены штрихами q' ,q' ,скобки в

этих равенствах означают, что кинетическая энергия (Т) берется в преобразо-

д г дГ д(Г)

ванном виде, например. М-=-

Очевидно, что приводящий множитель М можно выбрать так, что при этом

параметр Я обратится в нуль, т.е. когда:

„ _ 0 1 дМ 1 дМ Л

Я = М • 8 - р2 — •---р.— • — = 0 (5).

М д^ М дq2

Здесь введены следующие обозначения

_ д(Г) _ д(Г)

р1 = "г; , р2 = "г; .

дq2

Итак, мы видим, что с помощью уравнения (5) можно уравнения (4) привести к обычному виду уравнений Лагранжа, т.е. всегда существует приводящий множитель М, позволяющий подобрать такой счет времени, который дает возможность использовать уравнение механики в форме уравнений Лагранжа.

3 Время в статистических системах с неголономными связями

Полученный результат с приводящим множителем для механических систем имеет первостепенное значение и для статистических систем, подверженных действию неголономных связей. Покажем, что для таких систем подбор способа измерения времени с использованием приводящего временного множителя М приводит к необходимости пользоваться теоремой Лиувилля в исправленном виде. Проанализируем доказательство этой теоремы с использованием уравнений Гамильтона, которые по существу являются лишь видоизменением уравнений Лагранжа.

Пусть и - потенциальная, а Г - кинетическая энергия, W - полная энергия системы. Уравнения движения в каноническом виде такой системы можно записать следующим образом:

5qL_dW др. _ dW

д[ dpi ' д dql

Здесь ^ - обобщенные координаты, р - обобщенные импульсы. К этим уравнениям для вполне определенного движения следует еще присоединить условия

относительно начальных координат, импульсов и времени, которые в дальнейшем будут обозначаться штрихами.

Но можно поступить иначе, а именно начальные координаты, импульсы и время рассматривать как независимые переменные. И написать систему дифференциальных уравнений относительно 2п + 1 этих независимых переменных. С этой целью следует воспользоваться интегралом действия

8 = 12ТЛ.

Этот интеграл будет некоторой функцией координат .

В аналитической механике [4] доказывается, что

1' dql 1 dqJ dql

К этим уравнениям присоединяются еще следующие соотношения

_ , ар^__ dpj dt dW = ' = dq1 ' аш = dqj .

Пользуясь этими уравнениями можно установить следующую связь между начальным и конечным значением фазового элемента:

ds'dст'dt' = (-1)п+1dsdстdt (*).

Здесь введены такие обозначения:

ds = dq ,dq,.. . do = dp ,dp ,...„dp.

Принимая, что течение времени можно выбирать произвольно, то можно принять равенство начального и конечного значения времени dt' = dt. Тогда из равенства (*) следует ds'dст' = dsdст. В том случае если система подвержена неголономным связям, то уравнения Лагранжа, а, следовательно, и уравнения Гамильтона следует писать относительно переменной с новым счетом времени т , а не с прежним 1 Но поскольку для единиц измерения времени dт' и dт по отношению к dt' и dt существуют соотношения Чаплыгина , определяемые приводящим множителем М, то :

^ = dт; Ж = dт'

В этом случае между фазовым элементом и его начальным значением для измененного мероопределения времени будет иметь место следующая зависимость:

ds'dст'dт' = (-1)п+1dsdстdт .

Поэтому имеем:

ds'dст'M(q')dt' = (-1)п

Так как dt' = dt, то это приводит к такому равенству начального и конечного значения фазового объема согласно теореме Лиувилля ds'dст'M(q'') = dsdстM(ql)

Или

dq''dq2 ....dqndp'dp2 ...dpnM(q'') = dq1dq2 ....dqndp1dp2 ...dPnM(ql)

С учетом того что имеет место равенство М^') = М(^), после несложных вычислений можно получить следующее соотношение для функции распределения числа частиц находящихся в фазовом объеме :

N(b) = N

г< 2 >

г

3n

(m1;m2,...mn/2 [2W-2U] 2 dtbdb2....dbn (6)

Здесь величины (ш1,т2>-„шп) являются массами частиц;. К(Ь)выражает число частиц статистической системы, заключенных в фазовом объеме dЬ1dЬ2••••dЬn, тогда как моменты могут иметь любые значения, совместимые с уравнением энергии.

Символом Г обозначена гамма -функция, символ п' обозначает число материальных частиц в системе, поэтому имеем: п=3 п' .Для числа систем с конфигурацией (Ь), для которых один из моментов, например, рп заключен в интервале а и ап + dan, получаем :

N(b,an) = N-

г. 2)

г

n -1

■(m1,m2,...mn):

/2

W - U — m a 2

2

nn

n-2 2

mn/2dandbidb2....dbn ,(7)

Зная два числа систем по соотношениям (6) и (7) легко найти меру числа таких систем, для которых р лежит между Ь и ап + dan.

Эта мера будет совпадать с функцией распределения. Итак, будем иметь

m!2dan

N(b,an) [г( 2) W - U -1 mn a 2 2

N(b) ТТг 1 )г n -1" 2 _ [w - и ]•n-2

3n

Для бесконечно большого числа п, полученная формула вырождается в Мак-свелловское распределение.

ад = ^е-рЕ. л/ПР

Из приведенного краткого изложения вывода распределений Максвелла явствует, что только в одном случае функция распределения останется неизменной для неголономных систем. Именно, тогда, когда при интегрировании отношение М(^)/М(д[) получает одинаковое значение в обеих формулах (4)и (5).

4 Электродинамическая аналогия уравнений движения материальной точки с неголономными связями общего типа

Выше велись рассуждения о движении материальной точки с неголономны-ми связями при условии, когда в линейных уравнениях связей отсутствовал свободный член. Посмотрим, как изменятся уравнения Лагранжа для неголо-номных связей следующего типа:

х = а0+а1с[1+а2с12+азс1з У = ь0+Ь1с[1+Ь2с12+Ьзс1з (8)

¿ = С0+С1С[1+С2С[2+СзС[з

Обобщим написанные уравнения и в другом смысле. Будем считать, что производные в этих уравнениях относятся не к течению времени по Ньютону, а к течению времени, измеряемому с помощью функции = t'(t).

Тогда уравнения (8) по отношению к течению времени по Ньютону можно переписать так:

х = ео['+е1с[1 +е2с(2 +е3с(з

¿ = с0{' + с1<11 +с2<12 +с3я3

Уравнения Лагранжа для рассматриваемой задачи можно получить, исходя из принципа Даламбера.

Опуская несложные математические выкладки, запишем только окончательный результат:

d ST ST ^

----= Qi +

dt Sq; Sq;

d ST ST _

--:---= Q +

dt St' dt' 0

— Е +— f +ST C

Sx 1 dy dz 1

STf SIF STr

"TTE0 + TT" F0 + T7 C0

dx dy dz

(9)

Здесь:

(dei de0 + | | • + f | • + | ] •

1 l^t' 3qJ [öqj SqJ 1 [Sq, dqi J 2 [öq3 dqi J 3

Sf Sf

St' Sq;

Sf Sf

Sq Sq

Sf öf,

(10)

St' Sqt

Sq2 Sq; de- de

9b- Sf,

Sq2 Sq;

Sq3 Sq; de- de

Sq3 Sq;

Уравнения (9) вместе с тождествами (10) являются решением поставленной задачи. Полученные уравнения движения материальной точки с неголономными связями можно обобщить на любую систему материальных точек.

Уравнения Лагранжа будут справедливы и для системы точек с неголономными связями, если постоянные и е0,10,с0 выбраны так, что обращают в нуль выражения в квадратных скобках в уравнениях (9). Это будет тогда, когда коэффициенты при производных в тождествах (10) обращаются в нуль. Но в этом случае связи становятся интегрируемыми.

Рассмотрим один частный вид неголономных связей; именно положим

(11)

Кроме этих соотношений должны быть справедливы еще два соотношения с производными по I' именно:

Соотношения алогичные составленным для функций можно записать и для функций Г.Г0 , с;,с0 .Если значения величины Е рассматривать, как компоненты вектора электрической напряженности Е , значения величин с, как компоненты векторного потенциала е =А электромагнитного поля, а скалярную функцию е0 как скалярный потенциал ф электромагнитного поля , то одну группу из равенств (11) можно записать в векторном виде так:

del v9q2 3e2 9q; jq2 + Uq3 9e3 3qi > = 0 Е, = Se. [st' 9qi J

de2 9qj 5q2 , И de2 9q3 9e3 к = 0 Е2 de2 "St7" 1 t' 9 q2 J

д e3 9qj д ^ 9q3 у И de3 dq2 де2 = 0 Ез = f 9 ез [at' -**> 1 t' 9 q3 J

Е =

t' (11b)

Из второй группы равенств (11) следует

де2 | ( де3 ^ | (де2 де3 ^ ^ )_1дЧ1 )_1дЧз д42)_ 1 43 42 41 ^е

Здесь через обозначена некоторая постоянная. Последнее равенство можно записать в виде одного векторного равенства, если величины сц,^,^ рассматривать как компоненты вектора с'] = Н , который в общепринятых обозначениях соответствует вектору напряженности магнитного поля Н. Тогда последнее равенство, представляя вектор е как векторный потенциал А можно записать так

fi = V°tA (Не)

Полученные уравнения (lib) и (11с) аналогичны уравнениям Максвелла, выраженным через векторный А и скалярный ф потенциалы. Аналогия будет совершенно полной, если производную t' приравнять постоянной величине 1/с.

5 О множителях, сводящих электромагнитную аналогию к тождеству

Допустим, что существует такой множитель , который превращает уравнения (11b) и (11c) в уравнения Максвелла, т.е. положим, что имеют место такие равенства:

ад = "Be; = "Ае

(12)

сцАЁ = De С|аеХеф = сфе; цеХеео = фес При этих условиях уравнения (1 lb) и (11с) переходят в следующие:

D = -

1ЭА. c öt

+ gra#e

(

или D = -

1ЭА. c öt

+ Vфe

(12а)

В. = го1А.

Здесь принято во внимание также условие с!;' = I .Существование условия (11а) позволяет утверждать, что вектора Йе и Ве взаимно ортогональны.;

Подобные уравнения можно написать и для функций ^ и с .Таким образом, неголономные связи в форме дифференциальных уравнений (9) могут играть роль анизотропного поля Максвелла.

Однако, ограничимся частным случаем изотропного поля, когда имеют место равенства:

М-е = Мт = М-с = М-|Аеё = = |АСС фо = цХ^ = цХссо

Эти равенства вместе с условиями (12) позволяют уравнения для неголоном-ных связей (8) представить в следующем виде:

1

х =

■(Äe-rotÄe)+A-t'

ху е' ¡iXe

y = T1T(Äe-rOtÄe)+^t' z = -^(Äe-rotÄe) + 4^t'

(13)

XC]12 e' ¡iXc

С помощью найденных уравнений для неголономных связей формула для преобразований кинетической энергии будет выглядеть так:

2T=m

(

Обозначая

S2 =

1 1 1

— + — + —

Ч Ч л

-(Ae-rotAe) + ^ ц 2

—+ —+ —

\К Ц К j

Тогда для кинетической энергии получаем: т§2

2T = -

-(Ae-rotAe) + ^ ц 2.

Из этого соотношения можно вывести ряд любопытных следствий. В частности, при выбранном варианте неголономной связи, характерном для электромагнитных систем типа электрических генераторов с ветровыми ресурсами возобновляемой энергии [10] для описания процессов электрогенерации можно использовать аналог уравнения Лагранжа с параметрами Л = т§2/4]л2 ± д(Лф2) д(Лф2)_0 dт дq¡ дq1

Это означает, что расчет параметров генерации электрической энергии электромагнитной системы с неголономными связями удовлетворяет решению модифицированного уравнения Лагранжа, с кинетической энергией, определяемой Т потенциалом электродвижущей силы. В целом полученные результаты свидетельствуют о том, что видоизмененные аналоги уравнений неголономной механики в случае неголономных электродинамических систем могут быть использованы для формирования общих подходов к теоретическому рассмотрению инновационных технологий возобновляемой энергетики.

2

2

6 Заключение

Несмотря на ограниченные возможности метода сравнительных аналогий физически различных явлений, которому не стоит придавать большого значения. Тем не менее, в некоторых частных случаях, о чем свидетельствуют приведенные расчеты, следует обращаться к уточнениям выбора счета времени для преобразования неголономных систем различной физической природы к аналогам динамических уравнений Лагранжа в видоизмененной форме. Представленные результаты следует рассматривать как часть исследований направленных на объединение аналитических методов механики и электродинамики применительно к расширенному описанию нелинейных энергетических процессов.

Литература

1. Manuel de León A historical review on nonholomic mechanics// 2012 Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A, Matemáticas (RACSAM) V.106,P.191-224. (DOI: 10.1007 / s13398-011-0046-2)

2. Hertz, H., Gesammelte Werke: Vol. 3. Die Prinzipien der Mechanik, Leipzig: Barth, 1894.

3. Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем. М.-Л.: ГИТТЛД949-П2 с.

4. Alexey V. Borisov, Ivan S. Mamaev, Ivan A. Bizyaev Historical and critical review of the development of nonholonomic mechanics: the classical period| //Regular and Chaotic Dynamics. 2016, volume 21, P.455-476.(DOI:10.1134/S1560354716040055).

5. Предводителев А.С. Математический счет и наше познание // История и методология естественных наук , 1965 , вып.3,Физика.С.13-152.

6. Подосенов С.А. Пространство, время и классические поля связанных структур. _ М.: Спутник 2000 -.445 с.

7. Подосенов С.А., Потапов А.А., Фоукзон Дж., Менькова Е.Р.Неголономные, фрактальные и связанные структуры в релятивистских сплошных средах, электродинамике, квантовой механике и космологии: Кн. 2. М.: Издательство Ле-нанд, 2016 .- ,440 с.

8. Макки, С. Практические инструменты для новых идей / С. Макки // Intelligent Enterprise/. 2004. №5. - С.24-26.

9. Мёллер К. Теория относительности, М.: Атомиздат, 1975.

10. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967.

Reference

1. Manuel de Leоn A historical review on nonholomic mechanics// 2012 Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas. Fisicas y Naturales. Serie A. Matematicas (RACSAM) V.106.P.191-224. (DOI: 10.1007 / s13398-011-0046-2)

2. Hertz. H.. Gesammelte Werke: Vol. 3. Die Prinzipien der Mechanik. Leipzig: Barth. 1894.

3. Chaplygin S.A. Issledovaniya po dinamike negolonomnykh sistem. M.-L.: GITTL.1949-112 s.

4. Alexey V. Borisov, Ivan S. Mamaev, Ivan A. Bizyaev Historical and critical review of the development of nonholonomic mechanics: the classical period| //Regular and Chaotic Dynamics. 2016, volume 21, P.455-476.(DOI:10.1134/S1560354716040055).

5. Predvoditelev A.S. Matematicheskiy schet i nashe poznaniye // Istoriya i metodologiya estestvennykh nauk . 1965. vyp.3.Fizika. S.13-152.

6. Podosenov S.A. Prostranstvo. vremya i klassicheskiye polya svyazannykh struktur. _ M.: Sputnik 2000 -.445 s.

7. Podosenov S.A.. Potapov A.A.. Foukzon Dzh.. Menkova E.R.Negolonomnyye. fraktalnyye i svyazannyye struktury v relyativistskikh sploshnykh sredakh. elektrodinamike. kvantovoy mekhanike i kosmologii: Kn. 2. M.: Izdatelstvo Lenand. 2016 .- .440 s.

8. Makki. S. Prakticheskiye instrumenty dlya novykh idey / S. Makki // Intelligent Enterprise/. 2004. №5. - S.24-26.

9. Meller K. Teoriya otnositelnosti. M.: Atomizdat. 1975.

10. Neymark Yu. I.. Fufayev N. A. Dinamika negolonomnykh sistem. M.: Nauka. 1967.

ELECTROMAGNETISM AND MECHANICS: NONHOLONOMIC ANALOGY

A.A. Solovyev

Faculty of Geography, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia E-mail: a.soloviev@geogr.msu.ru

Abstract. Analogies are revealed that combine nonholonomic structures in mechanics and electrodynamics. The possibility of transition to the study of power energy fields with modified measure time is considered. The purpose of the article is to analyze the features of mechanics and electrodynamics of medium structures with the nonholonomic connection. A method for determining the time associated with inertial and noninertial reference systems, which are practically not used in existing systems for converting wind and solar energy, is proposed and implemented. The results presented in this work are part of research aimed at combining analytical methods of mechanics and electrodynamics as applied to an extended description of renewable energy processes.

Keywords: time estimation, holonomic mechanics, nonholonomic constraints, Lagrange equations