Об интегралах третьей степени в задаче взаимодействующих частиц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ ИНТЕГРАЛАХ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ В ЗАДАЧЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ

ЧАСТИЦ

П. А. Нагаев

1. Введение. В работе рассматривается система взаимодействующих частиц на прямой, описываемая гамильтонианом

1 n

Н = +(1)

i=i i<j

где Xi, pi, i = 1,2,3, — координаты и импульсы частиц. Часто предполагается известным потенциал V = v(xi — X2) + v(x2 — X3) + v(x3 — X1) и ставится задача о нахождении условий, при которых система с функцией Гамильтона (1) будет иметь n независимых интегралов в инволюции. Такие системы называются вполне интегрируемыми. Теорема Лиувилля утверждает, что в этом случае вышеназванная система интегрируется в квадратурах. Кроме полной энергии система всегда будет иметь интеграл P = ^pi. Замечено, что в случае вполне интегрируемых натуральных систем остальные интегралы являются полиномами по импульсам. Таким образом, можно поставить задачу о нахождении потенциала V, считая набор n независимых интегралов известным. Будем говорить, что потенциал V допускает интеграл F, если F является первым интегралом системы с гамильтонианом (1).

В работе Ю. Мозера [1] найдены дополнительные первые интегралы для систем с потенциалами типа . 2 , . • Как показали М. Эно [2], Г. Фляшка [3] и С. В. Манаков [41, в случае потенциала v(x) = ех

x sin kx sh kx

у системы (1) также существует дополнительный первый интеграл, который является полиномиальным по импульсам, вида F = F3 + Fi, где F3 = F3(p), а Fi = Fi(p; x) (Fi — полином i-й степени по импульсам, Р = (Pi,P2,Р3), x = (xi,x2,x3)). Эти работы основаны на применении метода L—A-пары Лакса. Подробно с методом L—A-пары, а также другими методами нахождения первых интегралов можно ознакомиться в [5, 6]. В работе [7] показано, что если дополнительный первый интеграл является симметричной функцией своих аргументов, то потенциал v есть либо р-функция Вейерштрасса, либо ее вырожденные случаи: -%, . " , " . Эти соображения наводят на мысль рассмотреть задачу нахождения потенциала V =

x sin kx sh kx

V(x), допускающего дополнительный первый интеграл общего вида F = F3 + Fi, для системы трех взаимодействующих частиц с функцией Гамильтона (1).

2. Интегралы третьей степени. Итак, рассмотрим интеграл системы (1), находящийся в инволюции с H и имеющий следующий вид:

3

F = PiP2P3 + ^ bi(x)pi, (2)

i=i

где b(x) = b(xi,x2,x3) — неизвестные функции. Чтобы указать явный вид функций b(x) = b(xi,x2,x3), воспользуемся тем, что {H,F} =0 и {F,P} = 0 (здесь {,} — скобка Пуассона). Имеем

Е

i=i

d^V 3 db

V— • = о

^ Oxí

i=i

Так как уравнения должны тождественно равняться нулю, то коэффициенты при ркр^, к + I = т, т = 0,1, 2, также следует приравнять к нулю. В итоге получаем семь уравнений относительно функций V и Ь:

дУ db3 дЪ2

dxi dx2 dx3

дУ dbi db3

dx2 dx3 dxi

дУ dbi db2

dx3 dx2 dxi

0, (3)

0, (4)

0, (5)

дЪг _ дЬ2_ _ дЬз_ _ 0 ^

дх\ дх2 дхз ' , дУ , дУ , дУ п дх1 дх2 дх3

Из уравнений (3)—(5), учитывая (6), дифференцированием находим выражения для частных производных функций Ьг. Затем, дифференцируя дважды по каждой переменной уравнение (7) и используя уже найденные выражения для частных производных Ьг, получаем следующее уравнение:

^^(УiiiУjkkk + 2УШкукк + 2Уiiij Уjjk + Уjk(Уiiikk +

У.гг33)) = 0- (8)

i,j,k

Здесь Угьг2)...;гп = дх дх дх.п • Итак, мы доказали

Утверждение 1. Если потенциал У допускает интеграл вида

F = Р1Р2Р3 + ^ bi(x)pi

i=i

то V удовлетворяет уравнению (8).

Решение уравнений типа (8) составляет непростую задачу. Поэтому рассмотрим коэффициенты bi специального вида, а именно bi = -v(xi+i — Xi+2). При этом Xi+3 = Xi. Данные выражения для bi получатся, если заметить, что ^ = v'(xí —Xj) —v'{xk — Xi). Похожий вид имеют уравнения (3)—(5). Сопоставляя правые части, будем иметь требуемые равенства. Подставим bi в уравнение (7). Получим следующее дифференциально-функциональное уравнение относительно потенциала парного взаимодействия v:

v(xi — X2) [v'(X3 — Xi) — v'(X2 — X3)] + v(X2 — X3) [v'(xi — X2) — v'(X3 — Xi)] +

+v(X3 — Xi) [v'(X2 — X3) — v'(xi — X2)] = 0. (9)

Решениями этого уравнения являются функции вида v = ex и v = 1/x2. Но класс решений уравнения (9) не ограничивается этими функциями. Недостающие функции будем искать в классе гладких функций.

Замечание. Функция p(x), а также 1/ sin2(x) и 1/ sh2(x), к сожалению, не удовлетворяют (9). Причина заключается в том, что для этих потенциалов интеграл третьей степени Мозера-Калоджеро имеет другой вид.

Сделаем замену

xi — x2 = u, x2 — x3 = w, x3 — xi = —u — w. Также можно считать без ограничения общности, что w = 0. Приходим к следующему соотношению:

v(u)[v' (—u) — v' (0)] + v(0)[v' (u) — v'(—u)] + v(—u)[v' (0) — v'(u)] =0. (10)

Таким образом, перейдя к более узкому классу решений, а именно таких, что для любого решения должны существовать константы а = v(0) и в = v'(0), мы значительно упростили вид уравнения. Заметим, что если v —четная функция, то v — константа, а если нечетная, то v(x) = x.

3. Анализ функционально-дифференциального уравнения. Попробуем получить отличные от тривиальных решения уравнения (10). Для этого представим потенциал v в виде v(x) = P(x) + Q(x), где P(x) — четная функция, а Q(x) — нечетная. С учетом того что v(—x) = P(x) — Q(x), v'(x) = P'(x) + Q'(x), v'(—x) = —P'(x) + Q'(x), уравнение (10) приобретает вид PP' — QQ' — aP' + @Q = 0. Это же уравнение можно переписать следующим образом: P'(P — а) = Q(Q — fix)'. Пусть Q — @x = R. Тогда приходим к уравнению

dP_ _ R + (3x dR ~ Р — а '

решения которого включают в себя решения системы

dP dR

=t(x)(R- /Зх), -j- = t(x)(P — а), (11)

dx dx

причем функция t(x) должна быть четной. Решим систему (11). Для этого сложим уравнения:

P'(x) + R'(x) = t(x)[P(x) + R(x) — ßx — а]. Сделав замену z(x) = P(x) + R(x) — ßx — а и решив это уравнение, получим

z(x) = (а/2 — ßj^Х e-T(s)dsd?j eT(x),

где Т'(х) = Ь(х). В итоге получаем решения и(х) = г(х) + 2(3х + а. Итак, мы доказали Утверждение 2. Часть класса функций V, допускающих интеграл (2), имеет вид

(x) = [а/2 — ßj^Х e-T(s)dsd?j eT(x) + 2ßx +

а,

где Т(х) — нечетная функция, а = v(0)7 в = v'(0).

В частности, уже известный интегрируемый случай — цепочка Тоды — получается, если взять функцию Т (х) = х.

Теперь рассмотрим свойства коэффициентов ряда Тейлора разложения решений уравнения (9). Для этого представим V в виде ряда

v(x) = а1х + а2х2 + а3х3 + ... + ак хк + ... (12)

и подставим этот ряд в (9), предварительно сделав замену х1 — х2 = и, х2 — хз = w, хз — х\ = —и — w. Далее приравняем коэффициенты при одинаковых членах хпут. Заметим, что если (п + т) четное, то соответствующие мономы сокращаются и мы не получаем никакого условия на коэффициенты ряда. В случае, если (п + т) нечетное, имеем уравнения вида

п + 1 п-1

пахйп Н--— ^(-1)г+1ецап-г+1 = 0, (13)

г=2

где п = 3, 5,.... Уже знакомое нам решение и(х) = е-х удовлетворяет соотношениям (13). Для него имеет место известное равенство

^ г!(п — г + 1)! 7 п

г=0 у ' г=0

Можно показать, что радиус сходимости степенного ряда (12) с коэффициентами, удовлетворяющими (13), отличен от нуля.

Мы уже отметили, что на каждую новую связь вида (13) приходится по два неизвестных параметра. Таким образом, варьируя произвольные параметры, получаем класс потенциалов ("окрестность экспоненты"), допускающих интеграл (2). Имеем

Утверждение 3. Для того чтобы потенциал v(x) = а1х+а2х2+азх3+.. .+акхк+... допускал первый интеграл вида (2), достаточно потребовать, чтобы выполнялись следущие условия на коэффициенты ряда:

п + 1 п-1

пахйп Н--— ^(-1)г+1ецап-г+1 = 0,

г=2

где п = 3, 5,....

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-01058).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Moser J. Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations // Adv. Math. 1975. 16. 197-220.

2. Henon M. Integrals of the Toda lattice // Phys. Rev. 1974. 9. 1921-1923.

3. Flaschka H. The Toda lattice. I. Existence of integrals // Phys. Rev. 1974. 9. 1924-1925.

4. Манаков С.В. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах // Журн. экс-пер. и теор. физ. 1974. 67, № 2. 543-545.

5. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 1995.

6. Борисов А.В., Мамаев И.С. Современные методы теории интегрируемых систем. Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2003.

7. Пидкуйко С.И., Степин А.М. Полиноминальные интегралы гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1978. 239, № 1. 50-53.

Поступила в редакцию 11.09.2006

УДК 515.1+521

ТОНКАЯ ЛИУВИЛЛЕВА КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМОГО СЛУЧАЯ

КОВАЛЕВСКОЙ—ЯХЬИ

П. В. Морозов

1. Постановка задачи. Случай интегрируемости Ковалевской—Яхьи является обобщением классического волчка Ковалевской на случай задачи о движении тяжелого гиростата. Приведем конкретный вид уравнений и первых интегралов этой системы.

Рассмотрим алгебру Ли е(3) группы Ли Е(3) движений трехмерного евклидова пространства. На линейном пространстве е(3)* определена скобка Ли-Пуассона двух произвольных гладких функций / и 9:

{/,д}(х) = х([йх/,йхд\),

где х € е(3)*, а [ , ] — коммутатор в алгебре Ли е(3).

В канонических координатах (.1,.2,.з,Г1 ,Г2,Гз) на линейном пространстве е(3)* эта скобка записывается следующим образом: {si,sj} = £ijkSk, {ri,Sj} = е^г^ {fi,fj} = 0, где 1 < г,^,к < 3, е^ = \{г-т~к){к-г).

Пусть на е(3)* задана некоторая функция Гамильтона Н(.в, г). Рассмотрим систему уравнений

Si = = {п ,Н}. (1)

Функции /1 = г2 + г| + г^ и /2 = в1Г1 + в2Г2 + взГз лежат в ядре скобки Ли-Пуассона и поэтому являются первыми интегралами уравнений (1). Далее, если существует функционально независимая с гамильтонианом функция Е(з,г), такая, что {Н,Е} = 0, то на совместных четырехмерных поверхностях уровня функций /1 и /2

М4 = {/1 = г2 + г2 + г2 = 1, /2 = в1Г1 + 32Г2 + взГз = д}

ограничение системы (1) задает интегрируемую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Параметр д имеет физический смысл постоянной площадей. Симплектическая структура задается ограничением скобки Ли-Пуассона из объемлющего пространства е(3)*.

Рассмотрим следующее обобщение приведенного гамильтониана Ковалевской:

4 4 2

Как впервые указал Х. М. Яхья [1, 2], для него существует дополнительный интеграл четвертой степени

(2 2 \ 2 2 \

^ + +(^ + -2) -|(вз + 2Л)(в? + в|) + 2Лв1гз.

Здесь Л — величина постоянного гиростатического момента, направленного по условию вдоль оси динамической симметрии волчка. При Л = 0 получаем классический случай Ковалевской. Уравнения системы (1) в координатах записываются в виде

¿1 = -1(5з + 2А), П = ^Р-г2(53 + А),

¿2 = ^(5з + 2Л) + Г3, г2 = -^ + Г1(83 + Х), (2)

¿3 = -Г2, Н = ^ -