CC BY
11
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 530.19
ОБ ИНТЕГРАЛАХ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ТОЧНО РЕШАЕМОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ФЕРМИОНОВ
В. И. Иноземцев*^, Н. Г. Иноземцева, Б. И. Садовников
(.кафедра квантовой статистики и теории поля) E-mail: sadovnikov@phys.msu.ru
Для гиперболических систем частиц Сазерленда с внутренними степенями свободы (su(n) спинами), находящихся во внешнем поле с потенциалом Морса, характеризуемым параметром т2, построены интегралы движения с использованием формализма Лажса. Пожазано, что соответствующая бесжонечномерная алгебра, определяющая сжрытую симметрию систем, не является янгианом.
Проблема нахождения скрытой симметрии систем многих взаимодействующих частиц привлекла значительное внимание после того, как были найдены примеры точно решаемых одномерных моделей с локальным двухчастичным взаимодействием [1,2].
Список подобных моделей был значительно расширен после презентации систем Калоджеро-Са-зерленда (КС) [3, 4] — систем частиц с дальнодействием, описываемым парным потенциалом У(х) = А(А + \)х^2 и находящихся в поле гармонического осциллятора Щх) = ш2х2/2 или рассматриваемых при периодических граничных условиях. Последний случай обычно интерпретируется как взаимодействие частиц, помещенных на окружность с бинарным потенциалом взаимодействия, обратно пропорциональным квадрату длины хорды, соединяющей частицы [5].
Расширение класса моделей типа КС было связано с рассмотрением взаимодействий со структурой, определяемой системами корней классических алгебр Ли [6]. Наиболее общие модели, построенные в рамках данного подхода, определяются короткодействующим потенциалом бинарного взаимодействия [оГ1 БтЬ(ах)]^2, аналогичным оригинальному тригонометрическому потенциалу, предложенному Сазерлендом [5], и «граничными условиями», которые могут быть интерпретированы как взаимодействие частиц с внешним полем с трехпараметрическим потенциалом Ш(х) = А\ соБЬ(4ах + Ь\) + А2 со$Ъ{2ах + Ь2) [7]. Многочастичный потенциал для этих систем записывается в форме
N
"-Е
д_
дХ;
W(Xj
N
■Е' е.;
А(А + \)а2
j<k
sinh a(xj
■ч) (1)
Однако для произвольных значений параметров простая форма спектра и волновых функций теряется. Единственный случай, в котором удается хотя бы частично восстановить эту простоту, соответствует пределу Ьхд-ь+оо с заменой Аа на ехр(—Ьа) [8], который приводит к однопараметрическому потенциалу Морса для внешнего поля:
W(x) = 2т2а2(ехр(2ах) - I)2
(2)
Динамика систем, описывающихся выражениями (1), (2) (далее обозначаются СМ), намного более сложна [8] по сравнению с системами КС в поле с потенциалом гармонического осциллятора. Последние могут быть рассмотрены как предел СМ-моделей, когда параметр потенциала Морса т неограниченно возрастает как из/Аа2 при а—» 0. В частности, в работе [8] было показано, что в случае статистики Бозе дискретная часть спектра для СМ-систем существует лишь при выполнении условия на параметры т и А, т — 1/2 — (А+ 1)(А/'— 1) > О и содержит конечное число уровней.
Весьма вероятно, что для бесспиновых частиц не существует других нетривиальных примеров точно решаемых проблем с физически мотивированной структурой гамильтониана (1). Несколько лет назад дальнейший прогресс был достигнут в работах Ха и Холдейна [9] и Поликронакоса [10]. Они предложили обобщение модели КС для частиц с внутренними степенями свободы ($и(/г) -спинами) и обменным спиновым взаимодействием вида А(А + Р^ь)]/^ — хь), где оператор Р^ переставляет спины частиц с номерами / и к:
£
ря „яр
(3)
РА=
Лаборатория теоретической физики ОИЯИ, 141980, г. Дубна Московской обл.
{е^} — элементарные спиновые операторы, подчиняющиеся коммутационным соотношениям
(4)
Эти новые модели и соответствующие им решеточные спиновые цепочки с ясной физической интерпретацией, которые возникают после исключения динамических систем свободы, были впоследствии детально исследованы [11-20]. При анализе свойств их спектра было обнаружено, что их общей чертой является наличие громадного числа вырожденных уровней. Впоследствии этот факт был объяснен общей для этих моделей дополнительной внутренней симметрией типа янгиана [13, 19]. Важные физические приложения систем фермионов с 5и(2)-спи-нами и дальнодействующим КС-взаимодействием были найдены и подробно исследованы в [16]. Для более сложных систем типа СМ спектральная задача рассматривалась только для предельного случая неоднородных спиновых цепочек [21].
В свете результатов работ [11-21] возникает естественный вопрос: существует ли точно решаемая спиновая версия динамических СМ-систем, описываемая гамильтонианом
Н(8) = V
N
д_
дХ;
2г2а2(ехр(2ах;) - 1)'
N
■Е
А(А + Рц)а2 БтЬ2 а(х; — хк)
(5)
!<к
Цель настоящей работы — показать, что ответ на данный вопрос положителен, но соответствующая скрытая симметрия уже не является янгианом. Для этого используется представление Лакса, которое успешно зарекомендовало себя при анализе более простых систем КС-типа.
В настоящее время общеизвестно, что возможность редукции спектральной проблемы в квантовой механике обусловлена ее скрытой симметрией. Для систем с N степенями свободы эта симметрия проявляется в существовании по меньшей мере N — 1 интегралов движения — операторов, коммутирующих с гамильтонианом. Стандартный способ нахождения этих интегралов состоит в построении представления Лакса для уравнений движения в форме Гейзенберга. Ниже будет продемонстрировано, что этот способ позволяет найти интегралы движения для спиновых СМ-систем.
Для упрощения обозначений удобно ввести пере-
менные г
ехр(2ах;), в которых гамильтониан (5) приобретает более удобную форму Н^ = Аа2'Н^м >
N
БМ — 2^1
р2 + ш(гА
2 1
N
£
¡<к
А(А + Р^гк (г,- - гк)2
где
ш(г) =
I)2. Р/ = — щд/дг^.
(6)
(7)
Везде в дальнейшем будем предполагать, что А > 0.
Фундаментальное соотношение Лакса для оператора (6) может быть записано в форме
[-н1)м,Ц = [Ь,М]. (8)
Элементы матриц Ь и М должны быть спиновыми операторами. Поэтому инварианты матрицы Ь не коммутируют с (6). Если, однако, удастся найти такую пару (¿,М), что М удовлетворяет условию
МХ = 2?М = 0, (9)
где все элементы вектора-столбца X равны, то соотношение (8) гарантирует существование интегралов движения в форме [13-15]
и=х^их. (10)
Для того чтобы найти пару Лакса для спиновых СМ-систем, рассмотрим следующую подстановку [7, 22]:
1=( ¿о Ф + р\ м=(Мо + т Ф \
\-ф-р -¿о/ \ $ Мо + т)'
(11)
где 10 и Мо образуют стандартную пару Лакса для N-частичной системы Сазерленда:
(¿0);к = Р&к - - ¿/^А/^Р/Ь
N
(М0);ь = (1 - 81к)ЩР1к - Щ ^Г
Zk
Ф = -—Г' л/'* =
(12)
и ф, ф, р и т являются матрицами размера N х N с элементами
(т)}к = (м(г/)8}к, (р);к = сР;к(1 - •
(13)
Можно показать, что соотношение Лакса (8) эквивалентно переопределенной системе функциональных уравнений
сI I (1£
1г—(т(г) + ц(г)) = =
(14)
Ыр(гь) ~ц(г})] + с[<р(г}) + <р(гк)] =0, (15)
а ' 2
-^¡¡к Ыг}) + <р(гк)] + Щк [С(2/) - £(гк)]
(16)
= с[р(г^ - р(гк)].
Наиболее ограничительными являются уравнения (15), (16). Если рассматривать их в первую очередь, то можно найти общее решение всей системы в форме
р,{г) = р,\г + р,2г^х, <р(г) = е{р,\г - р2г^1),
С(г) = 21е(1мг + 1л2г^1 +7), (17)
ш(г) = 2{ц2хг2 + + (27 -1/2 ){щг + ц2г^1)],
(18)
2 с = —¿бЛ, с = гЬ 1.
Потенциал внешнего поля (18), найденный этим способом, содержит три произвольных параметра. Однако из (13) видно, что матрица М (11) удовлетворяет условию (9) только при условии ц,(г) + (р(г) = 0. Соответствующий набор параметров может быть записан в форме
ц\=т/2, /¿2 = 0, € = -1, 7= 1/4 -г/2.
Из (17), (18) следует, что ш)(г) приобретает форму (7), и элементы матриц Ь и М записываются в виде
Щк = -1[т(г1-\) + 1/2Щь
(Ф)1к = -(т)1к = -тг^к/2, (19)
(р)!к = 1Щ( 1-5/*)/2.
Таким образом, набор интегралов движения дается формулами (10)-(12), (19) при четных значениях б = 21, Легко проверить, что гамиль-
тониан (6) пропорционален первому элементу 12 этого набора и все {/2/} являются функционально независимыми.
Можно построить другое представление для {/2/} посредством введения операторов типа Дункла, похожих на те, что были найдены для КС-систем в [10, 13, 22]:
N
К1к + 1[т(ъ- 1) + 1/2],
bf=Pj-i\J2
k^j zi Zk N
k^j zi Zk
Kjk-i\r{z¡- 1) + 1/2],
где переставляют координаты частиц:
= г^К^ъ. Тогда операторы 12[ могут быть записаны с точностью до несущественных множителей в виде
N
/2/схтгШ, Jl = J2B>
где
B¡ = bfbj
(20)
(21)
и 7г — операция, состоящая в замещении произведений типа Kjlj2... K¡ ф на Pjf)_lj„ ■ ■ ■ Pjxj2 ■ Коммута-
ционные соотношения для Ьр могут быть записаны в виде
[ь+,ь;] = IX [Ь+ -ь^ + 2т-\ + где Ш] = ^ . Коммутатор операторов (21) с учетом этих соотношений может быть представлен в форме
[BhBk] = iX(2T-
1 )(Bk-B})Kjk +
+ Х 2(oükK¡kBk-BkK¡koük), (22)
которая может быть использована, с учетом (20), для оценки коммутаторов операторов 12[. Последний член в (22) делает вычисления весьма громоздкими. Тем не менее использование (22) несколько раз позволяет показать, что [/4,/2/] =0. Этот факт поддерживает гипотезу о том, что [121,12т] =0 для любой пары 1,т ^Ы.
Существование пары Лакса (11) со свойством (9) позволяет сконструировать другой набор операторов, коммутирующих с гамильтонианом (6), аналогичный найденному в [13-15]. Пусть ЕаЬ = <1\щ(е^ь,... ,е\ь,... — матрица размера 2Ы х 2Ы с элементами, удовлетворяющими соотношениям (4). Из (11), (12) можно заметить, что (8) по-прежнему имеет место, если заменить Ь на Ерч. Таким образом, соответствующий набор имеет вид
даЬ = 2~^+^ЕаЬ1211. (23)
Наиболее удобный способ определения типа алгебры, генерируемой €}аЬ, состоит в рассмотрении их решеточных аналогов 0аЬ, которые получаются из (23) путем замены т —> тХ как коэффициенты при ведущих членах при А —> ос. Явная форма двух первых 0 имеет вид
N
Оо6 = £<
,ab
(24)
N
Qf = J2ef(hjk + -fß
N
■ £
N
ZjZi
(Zj — Zk)(2k — Z[)
(еда)
ab
■ T
J2(zj-l)2ef,
(25)
где {¿у} — координаты частиц в классической СМ-системе в состоянии равновесия, удовлетворяющие уравнениям
N
+ + У =0, /-1.....N
СZk - Zj)3
и fjk> hjk даются уравнениями (12) с Zjj¿, замененными на Zjj¿. Операторы (24), (25) коммутируют с гамильтонианом спиновой СМ-цепочки Hs = Yh^jkPjk- Используя (4), легко проверить, что
они удовлетворяют соотношениям
r/S ab ¿Sed i _¡rebinad zadr\cb
LVo , Vo,lJ — 0 ^0,1 0 ^0,1-
Если бы Оо и О1 генерировали янгиан У(ЗС/(п)), как это имеет место для аналогов (24), (25) для спиновых цепочек КС-типа [19], то они удовлетворяли бы также деформированному соотношению Серра
раЬсйе! = щЬ^ _ ЩЬ; = _ к раЬсйе{
~ Т 0 ' (26)
- [(ОоОо)а6, [Оо^,(ОоОо)в/]]
с некоторым параметром деформации /г2. Прямое вычисление показывает, однако, что вместо (26) имеет место соотношение
pa.bcd.ef _ N — 1 ^ раЬсйе{ ^ ^аЬей _ ^йе^аЬс} ^ ^аёфв[сЬ _^Ьсфе[аё ^Ьвфсёа[ _фсёеЬ (27)
где ФаЬЫ = (О2 - пОо^О0^ - 0^(02 - «00)с6 •
Этот факт свидетельствует об отсутствии скрытой симметрии в форме янгиана для СМ-систем и дает основание полагать, что для них симметрия обусловлена более сложной бесконечномерной алгеброй.
В настоящей работе показано, что часть результатов, полученных для КС-систем частиц со спином, может быть распространена на СМ-еиетемы. Формализм Лакса позволяет найти множество интегралов движения, которые образуют представление некоторой скрытой бесконечномерной алгебры. Однако для СМ-систем не существует аналогов операторов рождения и уничтожения, которые были найдены для КС-систем [6, 22] и использованы для явного построения волновых функций. Соотношение (27) показывает, что структура скрытой бесконечномерной алгебры для СМ- систем крайне сложна и требует отдельного исследования. Она может быть связана с трансфер-матрицами, удовлетворяющими уравнениям отражения [23]. Примеры таких матриц для спиновых цепочек с дальнодействующим обменным взаимодействием были указаны в [24], и этот факт позволяет надеяться на возможность рассмотрения спиновых СМ-систем в рамках общего квантового метода обратной задачи рассеяния.
Литература
1. Lieb E.H., Liniger W. 11 Phys. Rev. 1963. 130. P. 1605.
2. McGuire I.B. 11 J.Math. Phys. 1964. 5. P. 622; 1965. 6. P. 432; 1966. 7. P. 123.
3. CalogeroF. 11 J.Math. Phys. 1969. 10. P. 2191; 1971. 12. P. 419.
4. Sutherland B.II J.Math. Phys. 1971. 12. P. 247.
5. Sutherland В. 11 Phys. Rev. 1972. A5. P. 1372.
6. Olshanetsky M.A., Perelomov A.M. // Phys. Rep. 1983. 94. P. 313.
7. Inozemtsev V.l. 11 Physica Scripta. 1984. 29. P. 518.
8. Inozemtsev V.l., Meshcheryakov D.V. 11 Physica Scripta. 1986. 33. P. 99; JINR Rapid Commun. 1984. N 4. P. 22.
9. Ha Z.N.C., Haldane F.D.M. 11 Phys. Rev. 1992. B46. P. 9359.
10. Polychronakos Ä.P. 11 Phys. Rev. Lett. 1992. 69. P. 703.
11. Kawakami N. 11 Phys. Rev. 1992. B46. P. 3191.
12. Minahan I.A., Polychronakos A.P. 11 Phys. Lett. 1993. B302. P. 265.
13. Bernard D., Gaudin M., Haldane F.D.M., Pasquier V. 11 J. Phys. A: Math. Gen. 1993. 26. P. 5219.
14. Hikami K„ Wadati M. 11 J. Phys. Soc. Japan. 1993. 62. P. 469.
15. Sutherland В., Shastry B.S. 11 Phys. Rev. Lett. 1993. 71. P. 5.
16. Vacek K., Okiji A., Kawakami N. 11 Phys. Rev. 1994. B49. P. 4635.
17. Vacek K., Okiji A., Kawakami N. // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. 27. P. 201.
18. Kato Y., Kuramoto Y. 11 Phys. Rev. Lett. 1995. 74. P. 1222.
19. Hikami К. 11 Nucl. Phys. 1995. B441. P. 530.
20. Haldane F.D.M. 11 Phys. Rev. Lett. 1988. 60. P.635; Shastry B.S. 11 Phys. Rev. Lett. 1988. 60. P. 639.
21. Frahm H., Inozemtsev V.l. 11 J. Phys. A: Math. Gen. 1994. 27. P. 801.
22. Brink L., Hansson Т.Н., Vasiliev M.A. 11 Phys. Lett. 1992. 286B. P. 109.
23. Sklyanin E.K. 11 J. Phys. A: Math. Gen. 1988. 21. P. 2375.
24. Bernard D., Pasquier V., Serban D. Exact solutions of long-range interacting spin chains with boundaries. hep-th/9501044.
Поступила в редакцию 18.04.2007
