Простой способ точного расчета термодинамических свойств одномерной модели Хаббарда с бесконечным отталкиванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 2. С. 95-99.

УДК 530.1

К.А. Сидоров, С.Г. Овчинников

ПРОСТОЙ СПОСОБ ТОЧНОГО РАСЧЕТА ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ ХАББАРДА С БЕСКОНЕЧНЫМ ОТТАЛКИВАНИЕМ

Приведен точный расчет канонической статсуммы для одномерной 1-модели в приближении ближайших соседей. Для электронной концентрации 0 < пе < 1 в этом приближении точно вычислены концентрационные и температурные зависимости свободной и внутренней энергий, химпотенциала, энтропии и теплоемкости.

Ключевые слова: модель Хаббарда, бесконечное отталкивание, точное решение.

1. Введение

Термодинамика одномерной модели Хаббарда была исследована различными методами: на основе Бете анзаца с помощью гипотезы струн [1;

2] и методом квантовой трансфер-матрицы [3]. Все эти методы достаточно сложны, поэтому представляет интерес получение точных результатов более простым способом. В настоящей работе используется факт расщепления спиновых и зарядовых степеней свободы [4], что приводит к факторизации статистической суммы в виде произведения статистических сумм спинонов и холонов. При и обменное взаимодействие между

2?2

ближайшими соседями 3 = ц—> 0 , поэтому имеется цепочка невзаимодействующих спинов со статсуммой 2= 2Ы‘ , где Ые - полное число электронов в цепочке. Статистическая сумма холонов 2легко вычисляется благодаря точной диагонализации гамильтониана межатомных перескоков для бесспиновых фермионов. В результате получены простые соотношения между термодинамическими характеристиками электронов и бесспиновых фермионов (холонов).

2. Атомный предел

Исследуемые нами гамильтонианы имеют следующий вид:

В атомном пределе ? = 0 и второе слагаемое в гамильтонианах (1), (2) обращается в нуль. Канонические статистические суммы при этом легко вычисляются точно:

(1)

(2)

f ,т,а

2 =

(3)

(4)

© К.А. Сидоров, С.Г. Овчинников, 2013

Расписывая в формулах (3), (4) факто-

риалы по формуле Стирлинга п! «| — | и

используя хорошо известные тождества статистической физики и термодинамики, получаем выражения для всех термодинамических характеристик:

/(() = е(1 - х)+ квТ(х 1п х + (1 - х)1п (1 - х)) , (5) / = е(1 - х) +

+квТ(х 1п х + (1 - х)1п (1 - х) -(1 - х)1п2) , (6) 5(()=-кв (х 1п х + (1 - х)1п (1 - х)) , (7)

5 = кв ((1 - х)1п2 -(х 1п х + (1 - х)1п (1 - х))) ,(8) и(() = и = є(1 - х) , (9)

с(( ) = с = 0, 1^к( = е - Т 1п

ц = е - Т 1п

1-х 2 х 1 - х

(10)

(11)

(12)

где

И, =

10^ , если узел г не оккупирован электроном,

|1) , если узел г оккупирован

электроном, при отсутствии спина и

10^ , если узел г не оккупирован электроном,

| ^ , если узел оккупирован 1

(14)

И, =

электроном со спином

(15)

2'

| ^ , если узел оккупирован

электроном со спином — ^,

при наличии спина.

В работе [5] посредством рассмотрения

матриц операторов Ни Н в базисах (14) и (15) доказывается, что электронная каноническая статистическая сумма следующим образом связана с холонной статистической суммой:

2 = 2 Ые2

№

(16)

4. Точное решение для электронов в общем случае

Поскольку операторы X1° и Х^1 удовлетворяют чисто фермиевскому антикоммута-ционному соотношению

(17)

то

ехр

і (к )-М

квТ

■ = /гв ((к)). (18)

+1

В формулах (5)-(12) /, в, и, с, /и, х обозначают свободную энергию, энтропию, внутреннюю энергию, теплоемкость, химический потенциал и концентрацию дырок соответственно; верхний индекс (К) указывает, что рассматриваемая величина относится к холонам.

3. Анализ многоэлектронных волновых функций

В качестве базиса волновых функций, в котором мы будем рассматривать матрицы

операторов Ни Н, возьмем функции, представляющие собой произведения одно-узельных волновых функций:

N

И=к>1 И 2... I y/)N=ПИ,-, (13)

\ ° У

Равенство (18) позволяет для расчета термодинамики применить точную стандартную схему, в которой сначала решается уравнение на химический потенциал, затем вычисляется внутренняя энергия, а после этого с использованием хорошо известных термодинамических формул последовательно вычисляется вся термодинамика. При этом получаются хорошо известные результаты для идеального ферми-газа.

Результаты расчета, проведенного нами по указанной схеме, представлены на рис. 1-5. Вкратце обсудим полученные результаты. Как видно из рис. 1, а, химпотенциал при х = 0 и х = 1 обращается в +ж и -ж соответственно. Это есть типичное проявление особенностей Ван-Хова.

На рис. 1, б представлена температурная зависимость химического потенциала. На полученные нами результаты наложены данные работы [6], в которой термодинамика рассчитывалась по-другому.

Зависимости внутренней энергии от температуры расположены между двумя критическими кривыми, отвечающими случаям нулевой и бесконечной температуры:

>('\т=0)=і1 £ е(к )=

N

к=-кр

(і-х)п

[ 008 уёу = - — 8Іп (пх)

, ч п

(19)

п

(1-х)п

(т=«) =2 N ]£е(к) =

а

(20)

2і П 2і . ( ,

---I 008 уау = 8іп (пх).

п ^ п

Полученные температурные и концентрационные зависимости представлены на рис. 2.

1

а

б

Рис. 1. Зависимости электронного химического потенциала: а) концентрационная и б) температурная (пунктиром обозначены данные работы [6])

x, holes

а

б

Рис. 2. Зависимости электронной внутренней энергии: а) концентрационная и б) температурная (пунктиром обозначены данные работы [6])

а

б

Рис. 3. Зависимости электронной теплоемкости с учетом равенства (18) а) концентрационная и б) температурная

(пунктиром обозначены данные работы [6])

а

б

Рис. 4. Зависимости электронной энтропии а) концентрационная и б) температурная (пунктиром обозначены данные работы [6])

б

Рис. 5. Зависимости электронной свободной энергии а) концентрационная и б) температурная (пунктиром обозначены данные работы [6])

Кривые с | х, — = const |, описывающие

концентрационную зависимость теплоемкости (рис. 3, а), по мере увеличения температуры поднимаются из начального положения с = 0 при T = 0 , достигают некоторой критической (самой верхней) кривой и далее снова сплющиваются к нулю при T ^<» . Ту же физическую особенность можно увидеть и из рассмотрения температурной зависимости теплоемкости (рис. 3, б).

Энтропия возрастает на kB (1 - х) ln 2 по

сравнению со вкладом холонов. Получаемые при такой добавке концентрационные зависимости представлены на рис. 4, а. Видно, что при х = 0 получается хорошо известный результат s (х = 0) = kB ln 2 , т. е. энтропия оп-

1

ределяется локализованными спинами с = -j .

Далее, по мере увеличения отношения

t

kBT

кривая 5 (х) «переходит» из своего начального положения, описываемого равенством (8), в прямую, определяемую уравнением

( к Т

5 = кв (1 - х)1п2 . Кривые 51 —в—

из точки

V t

(0, kв (І -x )ln2) и при

«выходят» kT

-» да

t

стремятся к своей асимптоте, описываемой равенством (8) (рис. 4, б).

Обсудим, наконец, поведение свободной энергии. Кривая f (х) (рис. 5, а) по мере воз-

t

растания отношения -------- «сплющивается» из

kBT

минус бесконечности к некоторой «критиче-

J кКт\

ской» кривой. Кривые f I —— I выходят из

fn 2t . ( Л kBT

точки | 0,-sin (пх) I и при —---------асим-

I п I t

птотически приближаются к прямым, описываемым уравнением (рис. 5, б)

f = — sin (пх)-

^ (21)

-kBT (1 - х )ln2 - х ln х -(1 - х )ln (1 - х)).

Результаты работы были представлены на IX Сибирском семинаре по сверхпроводимости и физике наноструктур ОКНО - 2012.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Takahashi M. Prog. Theor. Phys. 52, 103 (1974).

[2] Kawakami N., Uzuki T., Okiji A. Phys. Lett. A 137, 287 (1989).

[3] Jutter G., Klumper A, Suzuki J. Nucl. Phys. B 522, 471 (1998).

[4] Ogata M., Shiba H. Phys. Rev. B 41, 2326 (1990).

[5] Сидоров К. А, Овчинников С. Г., Тихонов Н. В. ЖЭТФ, 143 (2013).

[6] Klein D. J. Phys. Rev. B 8, 3452 9(1973).

а