CC BY
0
УДК 621.391.1
ОБ ИНФОРМАТИВНОСТИ В КАТЕГОРИИ АДДИТИВНЫХ ОТНОШЕНИЙ
Д. А. Тауснев Научный руководитель - Р. В. Ульверт
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газеты «Красноярский рабочий», 31
E-mail: mr.tays@bk.ru
Всюду определенные аддитивные отношения рассматриваются с точки зрения теории преобразователей информации. Изучается вопрос сравнения информативности аддитивных отношений.
Ключевые слова: категории преобразователей информации, аддитивное отношение, информативность.
ON THE INFORMATIVITY IN THE CATEGORY OF ADDITIVE RELATIONS
D. A. Tausnev Scientific supervisor - R. V. Ulvert
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
E-mail: mr.tays@bk.ru
Everywhere defined additive relations are considered in terms of the theory of the information transformers. The question of the informativity comparing in case of additive relations is being studied.
Keywords: categories of information transformers, additive relation, informativity.
Под измерительными системами (ИС) предлагается понимать как экспериментальную установку, производящую измерения, или канал передачи данных, среду, передающую возмущение от исследуемого объекта к детектору, так и вычислительное устройство, осуществляющее обработку результатов измерения. При этом всю цепочку типа среда ^ детектор ^ канал ^ электронный преобразователь ^ компьютер можно рассматривать как единую ИС.
Достаточно общий класс ИС описывается следующей моделью: пусть имеется пространство D «входов» (входных сигналов, входной информации) и пространство A «выходов» (результатов измерения, обработки и т.д. входящей информации), а ИС является «преобразованием» пространства D в пространство A. При этом, как правило, считается, что такое преобразование привносит некоторый «шум», т.е. недетерминировано. В описанной ситуации будем говорить, что задан преобразователь информации (ПИ) a, действующий из пространства D в пространство A и использовать обозначение a : D ^ A. Различные виды искажений, появляющиеся в результате преобразования информации, допускают разные способы описания возникающей неопределенности, что приводит к рассмотрению соответствующих классов ПИ, таких как стохастические, нечеткие и многозначные ПИ.
Выявление общих свойств различных классов ПИ привело к созданию общего аксиоматического подхода [1] к определению ПИ на основе теории категорий. При этом в
Секция «Прикладнаяматематика»
качестве класса объектов конкретной категории ПИ выступает фиксированный класс пространств «входов» и «выходов», а в качестве морфизмов выступают допустимые преобразователи информации. Естественность такого подхода подтверждается многочисленными применениями конструкций теории категорий в теории вероятностей и математической статистике (см. [2]). В свою очередь такой общий взгляд на изучение ПИ позволяет переносить методологию и основные результаты, полученные изначально для стохастических ПИ, на другие категории ПИ с иным подходом к описанию неопределенности.
Одним из основных примеров конкретных категорий ПИ является категория многозначных преобразователей информации (МПИ) [3]. Объектами этой категории служат произвольные множества, а морфизмами - многозначные отображения г: Б ^ А (всюду определенные на множестве Б отношения). Образ г(ё) ^ А каждого элемента ё е Б непуст и выступает в качестве набора значений преобразованного сигнала ё, каждое из которых считается равновозможным. При этом обычные (однозначные) отображения г0: Б ^ А считаются детерминированными преобразователями информации. С точки зрения теории вероятностей МПИ г: Б ^ А есть семейство распределений г(ё) в А, параметризованное элементами ё е Б, иными словами, переходное распределение из Б в А.
Особый интерес представляет проблема сравнения информационных возможностей преобразователей информации (информативности) в различных категориях ПИ. В категории МПИ будем говорить, что ПИ г не менее информативен, чем ПИ 5 (и писать г > 5), если существует такой ПИ I, что t о г = 5, иными словами: любая информация, которая может быть извлечена из 5, может быть извлечена и из г. Преобразователи информации г и 5 называются эквивалентными ( г ~ 5 ), если г > 5 и 5 > г.
Помимо операций и отношений, которые аксиоматически вводятся на всех категориях ПИ, в некоторых вопросах важно рассматривать категории ПИ с дополнительной структурой. Целью нашей работы является изучение примера категории ПИ, который мог бы служить отправной точкой для создания теории абелевых категорий ПИ как категорий ПИ с дополнительной структурой, «похожей» на линейную. Этот пример, как мы надеемся, сам по себе представляющий интерес, позволяет по-новому (с более естественной для теории категорий позиции) взглянуть на основные результаты об информативности МПИ, изложенные в [3].
Рассмотрим категорию, в которой класс объектов образуют всевозможные (левые) модули над фиксированным кольцом Я, а в качестве морфизмов выступают аддитивные отношения г : Б ^ А, определяемые (см. [4]) как подмодули прямой суммы модулей Б и А; другими словами, аддитивное отношение г - это непустое множество пар (ё, а) е Б Ф А, замкнутое относительно сложения и умножения на элементы кольца Я. Композиция 5 ° г аддитивных отношений г и 5, а также обратное отношение г 1 определяются как обычно. Для каждого аддитивного отношения г: Б ^ А вводятся следующие подмодули в Б и А: БеДг) = \ё | За: (ё, а) е г] - область определения, 1т(г) = {а | Зё: (ё, а) е г] - образ,
Кег(г) = {ё | (ё, 0) е г] - ядро и 1пё(г) = {а | (0,а) е г} - неопределённость. При этом имеется
изоморфизм Бе^г)/Кег(г) = 1т(г)/1пё(г) .
Заметим, что всюду определенные на модуле Б аддитивные отношения г: Б ^ А, БеДг) = Б, можно мыслить как многозначные отображения (гомоморфизмы), поэтому такие аддитивные отношения образуют подкатегорию в категории МПИ, которую мы будем называть категорией аддитивных МПИ (АМПИ). Нетрудно заметить, что АМПИ г : Б ^ А является детерминированным в том, и только в том случае, когда 1пё(г) = 0. Для АМПИ далее будем использовать определение информативности, данное выше для МПИ. Следует
ожидать, что в категории АМПИ сравнение информативности осуществляется в терминах подмодулей Кег и 1иё .
Основной идеей при сравнении информативности двух различных ПИ является построение для них «канонических» представителей в классах эквивалентных (в смысле информативности) ПИ, сравнение которых оказывается относительно простым. В случае МПИ с одинаковой областью определения Б такие «канонические» ПИ имеют область значений, являющуюся покрытием множества Б. При этом сравнение информативности «канонических» МПИ производится на основе сравнения соответствующих покрытий [3]. Переходя от произвольных МПИ к АМПИ, описанная схема сравнения информативности по меньшей мере требует корректировки, так как покрытие модуля каким-то образом должно наследовать структуру модуля. Оставляя этот вопрос открытым, мы предлагаем более простой и естественный подход к сравнению информативности в категории АМПИ.
Заметим, что любой АМПИ г : Б ^ А можно представить в виде г = тт"1 ° г0, где л : А ^ А / 1иё(г) - каноническая проекция, а г0 : Б ^ А / 1пё(г) - детерминированный АМПИ, определяемый однозначно. Так как при этом г0 = л ° г, то г эквивалентно г0, то есть в каждом классе эквивалентных АМПИ имеются «канонические» детерминированные представители. Далее, нетрудно видеть, что если г > 5, то Кег(г) ^ Кег(^). Поэтому ядра эквивалентных АМПИ совпадают. Однако из условия г > 5 в общем случае не следует, что Кег(г) ^ Кег(^). Опишем два частных случая, в которых условие г > 5 оказывается эквивалентным условию Кег(г) ^ Кег(^), то есть сравнение информативности полностью реализуется через сравнение ядер. При этом сравнивать можно соответствующие «канонические» детерминированные АМПИ г0 и 50. 1) Рассматриваются только АМПИ г: Б ^ А, всюду определенные на А, то есть такие, что 1т(г) = А (многозначные эпиморфизмы). Условие 1т(г) = А является двойственным условию ОеГ(г) = Б, и поэтому, как мы считаем, вполне естественно. Отметим, что в общем случае «сужение» г : Б ^ 1т(г) АМПИ г на свой образ оказывается не менее информативным: г > г. 2) Сравниваются детерминированные АМПИ вида г0: Б ^ А, где А - инъективный модуль. Заметим, что
любой модуль над полем Я, то есть линейное пространство, инъективен. Также инъективным модулем над кольцом целых чисел является любая полная абелева группа (см. [4]). В общем случае известно, что любой модуль А вкладывается в некоторый инъективный модуль 3, причем если У : А ^ У - соответствующее вложение, то для произвольного АМПИ г : Б ^ А преобразователь информации г : Б ^ У , г = у ° г , не более информативен, чем г: г > г .
Библиографические ссылки
1. Голубцов П. В. Аксиоматическое описание категорий преобразователей информации // Пробл. передачи информ. 1999. Т. 35(3). С. 80-98.
2. Ченцов Н. Н. Категории математической статистики // ДАН СССР. 1965. Т. 164(3). С. 511-514.
3. Голубцов П. В. Информативность в категории многозначных преобразователей информации // Пробл. передачи информ. 1998. Т. 34(3). С. 60-80.
4. Маклейн С. Гомология. М. : Мир, 1966. 544 с.
© Тауснев Д. А., 2020
