CC BY
8
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 1.
УДК 512.541 DOI 10.22405/2226-8383-2018-20-1-204-213
Алгебраически компактные абелевы Т/-группы
Е. И. Компанцева, Т. К. Ч. Нгуен
Компанцева Екатерина Игоревна — доктор технических наук, доцент, профессор кафедры алгебры, Московский педагогический государственный университет; профессор кафедры теории вероятностей и математической статистики, Финансовый университет при Правительстве РФ, г. Москва. e-mail: котpantseva@yandex.ru
Нгуен Т. К. Ч. — аспирант, Московский педагогический государственный университет, г. Москва.
e-mail: trangnguyen.ru@gmMil.com,
Аннотация
Абелева группа G называется Т/-группой если любое ассоциативное кольцо с аддитивной группой G является филиальным. Абелева группа называется ЙТ-группой (S7#-группой), если любое (ассоциативное) кольцо с аддитивной группой G является SI-кольцом (гамильтоновым кольцом). В работе в классе редуцированных алгебраически компактных абелевых групп описаны Т/-группы, а также ЙТ-группы и SIh-группы.
Ключевые слова: абелева группа, кольцо на абелевой группе, алгебраически компактная группа, филиальное кольцо, Т/-группа.
Библиография: 23 названий. Для цитирования:
Е. И. Компанцева, Т. К. Ч. Нгуен Алгебраически компактные абелевы TI-группы // Чебы-шевский сборник, 2019. Т. 20, вып. 1. С. 204-213.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 1.
UDC 512.541 DOI 10.22405/2226-8383-2018-20-1-204-213
Algebraically compact abelian TI-groups
E. I. Kompantseva, T. Q. T. Nguyen
Kompantseva Ekaterina Igorevna — doctor of engineering, professor, Professor, Department of algebra, Moscow state pedagogical University; Professor of the Department of probability theory and mathematical statistics, Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow.
e-mail: кот,pantseva@yandex.ru,
Nguyen T. Q. T. — postgraduate student, Moscow state pedagogical University, Moscow. e-mail: trangnguyen.ru@gmail.com
Abstract
An abelian group G is called a T/-group if every associative ring with additive group G is filial. An abelian group G such that every (associative) ring with additive group G is an ST-ring (a hamiltonian ring) is called an 5/-group (an S7#-group). In this paper, TI-groups, as well as <S7-groups and SIh-groups are described in the class of reduced algebraically compact abelian groups.
Keywords: abelian group, ring on a group, algebraically compact group, filial ring, T/-group.
Bibliography: 23 titles.
For citation:
E. I. Kompantseva, T. Q. T. Nguyen, 2019, "Algebraically compact abelian T/-groups" , Cheby-shevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 204-213.
1. Введение
Изучение взаимосвязи между свойствами кольца и строением его аддитивной группы имеет долгую историю в алгебре (см., например, [1-5]), а также вызывает интерес у современных алгебраистов ([6-8] и других), наиболее полные обзоры содержатся в [9] и [10].
Для определения кольцевой структуры на абелевой группе G необходимо указать гомоморфизм ß : G ® G ^ G, который называется умножением на группе G. Абелева группа с заданным на ней умножением называется кольцом на этой группе. В [11] получено описание всех умножений на редуцированной алгебраически компактной абелевой группе, которое выявляет тесную связь между кольцевыми структурами и базисными подмодулями р-адических компонент и дает удобный метод построения алгебраически компактных колец. На основании этого описания в настоящей работе исследуются свойства колец на редуцированных алгебраически компактных абелевых группах. Изучение колец на алгебраически компактных группах обусловлено и следующим фактом. В [9] показано, что умножение на произвольной абелевой группе продолжается однозначно до умножения на ее сервантно-инъективной и копериоди-ческих оболочках, поэтому изучение колец на алгебраичеки компактных и копериодических группах может дать полезную информацию об умножениях на произвольной абелевой группе. Таким способом, например, в [12] описаны абсолютные ниль-идеалы смешанных абелевых групп.
В [13] изучаются аддитивные группы ST-колец, ST-кольцо - это кольцо, в котором любое подкольцо является идеалом. Ассоциативное SI-кольцо называется гамильтоновым кольцом или Н-кольцом, поскольку эти структуры в определенном смысле аналогичны гамильтоновым группам. Гамильтоновы кольца систематически изучались многими авторами, наиболее значительные результаты содержатся в [14-16]. Абелева группа, на которой любое (ассоциативное) кольцо является S*/-кольцом (^-кольцом), называется £/-группой (SIh-группой). Естественным обобщением Д-колец являются филиальные кольца, то есть ассоцитативные кольца, в которых отношение «быть идеалом» транзитивно. Филиальные кольца изучались в [17-20]. В связи с этим в [21] введено понятие Т/-груипы (от «transitive ideal»). Абелева группа называется Т/-группой, если любое ассоциативное кольцо на ней филиально. В [22] С. Фей-гельсток изучал абелевы группы, на которых любое умножение коммутативно, такие группы называются СД-группами. В [8] введено понятие ^АСД-группы, ЗАСД-группа - это абелева группа, на которой любое кольцо является ассоциативным и коммутативным. В [22] описаны периодические СД-группы, а в [8] показано, что в классе всех периодических абелевых групп понятия СД-группы и ЗАСД-группы эквивалентны. В [13] получено описание периодических ЗТя-групп и £/-групп, а в [21] - описание периодических TI-групп.
В настоящей работе описаны Т/-группы, а также ST-группы, £/я-группы и SACR-группы в классе редуцированных алгебраически компактных абелевых групп.
Все группы, рассматриваемые в работе, абелевы, и слово «группа» везде в дальнейшем означает «абелева группа». Умножение ^ : С ® С ^ С на группе С часто обозначается знаком х ( • и т. п.), т.е. ^(д\ ® д2) = д\ х д2 для любых д\,д2 € О. Умножение х задает кольцо на группе С, которое обозначется (С, х). Если в кольце (С, х) выполняется д\ х д2 = 0 для всех 91,92 € С, то умножение называется нулевым, а кольцо (О, х) обозначается С0. Как обычно, N N0, Р - множества натуральных, целых неотрицательных, всех простых чисел соответственно, 2 - кольцо целых чисел, Ър, 0* - аддитивная группа и кольцо целых р-адических чисел соответственно, Ъ(п) - циклическая группа порядка п, а Ъп - кольцо Ъ)пЪ. Циклический модуль над ассоциативным кольцом Д, порожденный элементом е, будем записывать в виде Не. Пусть С - группа, д € С и (С, х) - кольцо на С, через Т(С) обозначим периодическую часть группы С, о(д), (д), (д)х ~ порядок элемента д, циклическая группа, порожденная д, и идеал кольца (С, х), порожденн ый д, соответственно. Элемент прямого произведнеия С = П О г
г
групп Ог (г € I) будем записывать в виде (д^^-, где д^ € Ог для всех г € I. Если ■] - идеал кольца Д, то пишем ■] < К. Чтобы подчеркнуть, что разложение С = А фВ группы С в прямую сумму подгрупп А и В является также разложением некоторго фиксированного кольца на С в прямую сумму идеалов, будем писать С = А + В. За всеми определениями и обозначениями, если не оговорено противное, мы отсылаем к [9].
Известно [9], что редуцированная алгебраически компактная группа С представима в виде С = Л Ор, где Ср р-адическая алгебраически компактная группа, которая называется р
р-адической компонентой группы С. При этом разложение С = П Ор является разложением
р
любого кольца на С в прямое произведение иделов [11]. Для описания р-адических алгебраически компактных групп приведем определения из [23]. Пусть I - множество индексов. Набор целых р-адических чисел {а,г | г € I} называется почти конечным, если, во первых, не более чем счетное число сц (г € I) отлично от нуля; во вторых, для любого натурального числа п почти все а1 (г € I) делятся в 0** на рп. Пусть ]/[ - прямое произведение циклических
р-адических модулей с образующими элементами а. Подгруппу группы Л 0**ег, состоящую
ге1
из таких элемнтов (а^вт)^, что {а,г | г € I} - почти конечный набор целых р-адических чисел, называются регулярной прямой суммой циклических р-адических модулей и обозначаются Каждая р-адическая алгебраически компактная группа С изоморфна р-адическому
пополнению своего базисного подмодуля В = ф где I - некоторое множество индексов
ге1 _
[9], следовательно, С является регулярной прямой суммой циклических модулей: С = ^ Кроме того, такую группу можно представить в виде С = А ф С, где А = ^ 0рвг - алгебраически компактная группа без кручения, С = ^ 0р&г - урегулированная алгебраически
геь
компактная группа, здесь о(вг) = ж при г € II и о(вг) = рк* (кг € ^ при г € I2■
2. Алгебраически компактные Т/-группы
Лемма 1-1) Любое кольцо с ненулевым умножением на группе Ър изоморфно кольцу рк0* при некотором к € N0.
2) Идеалами кольца рк0* (к € N0) являются подгруппы рк+к10* (к\ € N0) и только они. Доказате
льство. 1) Запишем группу Ър в виде Ър = где е € Ър. Пусть е х е = рка,е, где а € 0* \ р0р. Тогда хе х уе = (ху)ркае для любых х,у € 0* [11]. Легко проверить, что
отображение
у : %е ^ ркО.;,
при котором <р(хе) = рках для любого х € О; является изоморфизмом колец х) и
Рко; (к е N0)
2) Пусть I < ркО* и пусть к\ - наименьшее целое неотрицательное число такое, что рк+к1 О* п I = 0. Тогда существует х € О; такой, что д = рк+к1 х € I и р | ж. Элемент ж можно представить в виде х = а + рку, где а € Ъ, у € О; и Р I а- Существуют и,у € Ъ, для которых иа + ирк = 1. Имеем
ид = рк+к1 (их) = рк+к1 (иа + ирку) = рк+к1 (1 - ирк + ирку) = рк+к1 + р2к+к1 г € I,
где г = иу — V € О;. Поскольку д1 = р2к+к1 г = д(ркх-1х) € I, то рк+к1 = ид — д1 € I. Отсюда рк+к1 О* С I. Так как обратное включение выполняется в силу выбора числа то
I = рк+к1 о;. □
Следствие 1. Группа Ъ; целых р-адических чисел является Т1-группой.
Доказательство. Кольцо с нулевым умножением на группе Ъ; является филиальным. Если умножение х на Ъ; ненулевое, то (Ъ;, х) изоморфно кольцу ркО* (к € N0) по лемме 1. Пусть 3 < I < ркО;, тогда I = рк+к1 О;, 3 = рк+к1+к2О* где к1,к2 € N0 в силу леммы 1. Значит, 3 < ркО; Следовательно, Ъ; является ТТ-группой. □
Лемма 2. Пусть р € Р А - такая группа, что А = Т(А) или А; = 0. Тогда, кольцо О; + А° не является филиальным.
Доказательство. Пусть а - такой элемент из группы А, что о(а) = го или о(а) = р. Положим д = р + а € О; + Д I = РО; + (а) < О* + Д ^ = Р2О* + (д)- Так как д • а = 0 (здесь • - умножение в кольце О; + А), то нетрудно видеть, что 3 < I < О; + АР. Допустим, 1 • д € 3, где 1 € О; тогда 1 • д = р = (р2х + кр) + ка при некоторых х € О* к € Ъ.
Если о(а) = го, то к = 0 откуца р = р2х. Если о(а) = р, то к = где к1 € Ъ, откуда р = р2(х + ^1), где х + € О;• В каждом из случаев получили противоречие, следовательно, 3 ^ О; + АР. Значит, кольцо О; + АР не является филиальным. □
Следствие 2. Пусть р € Р А - такая группа, что А = Т(А) или А; = 0. Тогда группа Ъ; ® А не является Т1-группой.
Замечание 1. Из предложений 1, 2, 7 в [21] следует,, что если А - такая группа, что А = Т(А) или Ар = 0, то группы Ъ(рп) ® А (п > 2) и Ъ; ® Ъ; ® А не являются ТI-группами. Там же показано, что прямые слагаемые Т1 -группы являются ТI-группами.
Теорема 1. р-адическш алгебраически компактная группа О, не являющаяся периодической, является Т1-группой тогда и только тогда, когда С = Ъ;.
Доказательство. Пусть С - р-адическая адгебраически компактная группа. Тогда С можно представить в виде С = А ® С, где А = ^ О;ег (здесь о(е^ = го) - алгебраически компакт-
пая группа без кручения, С = ^ О;ег (здесь о(вг) = рк) - урегулированная алгебраически
геь
компактная группа [9]. Пусть С является ТТ-группой, тогда А и С - также ТТ-группы.
Если А = 0, то А = 0^1 — Ъ; при некотором р € Р в силу следствия 2. По тому же следствию в этом случае С = 0.
Допустим, А = 0 Тогдa G = С = Т(С), поэтому группу С можно представить в виде С = Z(pk) ® С\, где С\ = Т(С\), что противоречит предложению 2 в [21] (см. замечание 1). Таким образом, G = Ър. Следствие 1 завершает доказательство. □
Далее символом (а,Ь), как обычно, обозначаем наибольший общий делитель целых чисел а и Ь.
Лемма 3. Группа ® Z(n), где п - натуральное число, свободное от квадратов и (р, п) = 1, является TI-группой.
Доказательство. Группу G = ® Z(n) можно записать в виде
G = Qpei ® Ъе-2, (1)
где ei G Zp, е2 G Z(n), о(е2) = п. Пусть (G, х) - кольцо на группе G, тогда разложение (1) является разложением кольца (G, х) в прямую сумму идеалов. При этом, согласно [11], (x\ei + У1в2) х (Х2в1 + У2в2) = (Х\Х2)(е\ х е\) + (У1У2)(&2 х е2) для любых Х\,Х2 G Qp, yi,y2 G Z. Легко видеть, что кольцо (G, х) является ассоциативным и коммутативным. Пусть в2 х &2 = to&2, где to G No. По теореме 1 в [19] кольцо (G, х) является филиальным тогда и только тогда, когда
(9), =(9)1 + (9), (2)
для любого g G G. Пусть
g = pkael + te2 G G, (3)
где k G No, a G Qp \ pQp, t G Z.
Случай 1. Умножение х индуцирует на Qpei ненулевое умножение.
В этом случае элемент ei может быть выбран таким обр азом, что ei х ei = pk° ei для некоторого k0 G N0. Тогда
(g)x = g х G + (g) = pk+k°Q*pei + (t^) + (g). (4)
Так как (p,n) = 1, то Uipk° + Vian = 1 при некоторых Ui,Vi G Z. Имеем:
(vin)g = (pkvian)ei + 0 = pk(1 - uipk°)ei = pkei - (pk+k°ui)ei G (g)x. (5)
Так как (pk+k°ui)ei G (g)x в силу (4), то го (5) получаем, что pkei G (g)x, откуда (РкZ)ei ç (g) x. Следовательно, (pkQp)ei = (pkZ)ei + (pk+k°Qp)ei ç (g)x- Отсюда из (3) имеем (te2) Ç (g)x. Значит,
(g)x =(pk Qp)ei + (te2). (6)
Рассмотрим теперь
I = (gfx + (9) = (p2k+k0 Qp)ei + (t2to&2) + (g). (7)
Имеем U2Pk+k° + V2na = 1 при некотор ых U2,V2 G Z, откуда
(v2n)g = (pkv2na)ei = pk(1 - u2pk+k°)ei = pkei - (u2p2k+k°)ei G (g)x. (8)
Так как (u2p2k+k°)ei G I в силу (7), то из (8) имеем ркei G I, откуда (ркZ)ei Ç I. Следовательно, (ркQp,)ei = (ркZ)ei + (р2к+к°Qp))ei Ç I. Отсюда получаем (te2) Ç / в силу (3). Значит, в силу (7) имеем I = (g)2x + (g) = (ркQp^ + (te2) = (g)x. Следовательно, кольцо (G, х) филиально в силу (2).
Случай 2. Умножение х индуцирует на Qpei нулевое умножение.
В этом случае (С, х) = Ъ; + Ъе2, (д)х = (Ы0е2) + (д). Нетрудно видеть, что (д)2х + (д) = = (1Чое2) + (д).
Заметим, что о(И0е2) = поэтому (1,о(Ы0е2)) = 1, так как п свободно от квадратов.
Следовательно, (121е2) = (И0е2}. Значит, (д)\ + (д) = (И0е2) + (д) = (д)х- Следовательно, кольцо (С, х) филиально. □
Лемма 4. Если Р0 С Р то группа П Ъ(р) является Т1-группой.
;еРо
Доказательство. Запишем группу О = П Ъ(р) в гаде О = П Ъе;, где о(е;) = р. Пусть
;еРо ;еРо
(С, х) - кольцо на группе С. Тогда разложение С = П Ъе; является разложением кольца
;€Ро
(С, х) в прямое произведение идеалов. При этом кольцо (С, х) ассоциативно и коммутативно,
так как таким является каждый из идеалов Ъе; (р € Р0)
Пусть д € С, д = 0. Обозначим: - проекция С на Ъе;, Р1 = [р € Р0 | к;(д) = 0,е;хе; = 0}.
Без потери общности можно считать, что Р1 = 0. Элементы е; (р € Р1) могут быть выбраны
таким образом, что е; х е; = е;.
Нетрудно видеть, что (д)х = П Ъе; + (д), откуда (д)х = (д)\ + (д). По теореме 1 в [19]
;€Р1
кольцо (С, х) филиально. Следовательно, С является ТТ-группой. □
Теорема 2. Пусть С - редуцированная алгебраически компактная группа, не являющаяся периодической. Группа С является Т1-группой тогда и только тогда, когда С удовлетворяет одном,у из следующих условий:
1) С = Ъ;, где р € Р,
2) С = Ъ; ® Ъ(п), где р € Р (р,п) = 1, п - натуральное число, свободное от квадратов,
3) С = П Ъ(р), где Р0 - бесконечное подмножество множества Р.
;€Ро
Доказательство. Пусть С - редуцированная алгебраически компактная группа и С =
= Т(О). Тогда С = Л С;, где С; р-адическая алгебраически компактная группа. Допустим, ;ёР
С является ТТ-группой, тогда С; также являются Т/-группами при всех р € Р (замечание 1).
Пусть Р0 = [р € Р | С; = 0}. Допустим, для неко торого р € Р0 групп а С; не является
периодической, тогда С; = Ъ; по теореме 1 и С = Ъ; ® П Ся, где Р1 = Р0 \ [р}. Если Р1 = 0,
дёР1
то О = Ъ;. Есл и же Р1 = 0, то в силу следствия 2 множество Р1 конечно шСя периодическая группа для всех д € Рь При этом каждая из групп Сд (д € Р1) не имеет прямых слагаемых вида Ъ(дк) где к > 2, и Ъ(д) ® Ъ(д) (см. замечание 1). Следовательно, Сч = Ъ(д) при любом д € Р1; и, значит, П Сч = 0 Ъ(д) = Ъ(п), где п = П Ч- Таким образом, С = Ъ; ® Ъ(п), где
д€Р1 д€Р1 д€Р1
(п, р) = 1 и число п свободно от квадратов.
Пусть теперь для любого р € Р0 групп а С; является периодической. В этом случае, так как С = Т (О), множество Р0 бесконечно. Отсюда для любого р € Р0 групп а С может быть записано в виде С = С; ® В;, где В; = Ся группа без кручения. Значит, ни одна
<?€Ро\{;}
из групп С; (р € Р0) не содержит подгрупп вида Ъ(рк), где к > 2, и Ъ(р) ® Ъ(р) (замечание 1). Следовательно, С; = Ъ; ^рт всех р € Р^. ^тачит, С = Л Ъ(р), вде Р0 - бесконечное
;€Ро
множество простых чисел.
□
3. Алгебраически компактные 57-группы и ^АО Д-группы
Пусть С - редуцированная алгебраически компактная группа, тогда, С может быть пред-
'р, где Ро С Р и Ор = <ре?
ставлена в виде С = П Ор, где Ро С Р и О р = ^ — регулярная прямая сумма при лю
реРо
бом р € Р0. Согласно [11], для любых элементов т^ € О р таких, что о(т!^) < тт{о(ет), о(е^)},
существует умножение х на С, для которого х = и х е^ = 0 при р = д. Следовательно, если хотя бы для одного р множество 1р содержит более одного элемента, то на группе О существует некоммутативное умножение. Отсюда получаем описание алгебраически компактных 5 АС К- групп.
Предложение 1. Редуцированная алгебраически компактная группа С является БАСК-
группой тогда и только тогда, когда С = П Ср, где Р0 С Р, Ср = Zр ил и Ср = Ъ(рк) (к € М)
реРо
при любом р € Ро. □
В следующей теореме описаны Б/-группы и Б/я-группы в классе редуцированных алгебраически компактных групп.
Теорема 3. Пусть С - редуцированная алгебраически компактная группа. Тогда, следующие условия равносильны:
1) С является БI-группой,
2) С является Б 1н-группой,
3) С = Ъ(п) при некотором п € N.
Доказательство. Так как то, что из 1) следует 2), а из 3 следует 1), очевидно, докажем,
что из 2) следует 3). Пусть С - Б/я-группа и С = Л Ср, где Ро С Р, Ср р-адическая
реРо
компонента группы С. Пусть р € Ро, тогда группа Ср является Б/я-группой в силу леммы 3
в [13]. ^
Отметим, что Ър не являет ся Б /я-группой, поскольку в кольце <р подколь цо Ъ не является
идеалом. Значит, Ср не содержит подгруппы Ър и имеет вид Ср = ^ Ъ(рП1>р), где € N
ге1Р
при всех г € 1р. По следствию 9 в [13] группа Т(Ср) является Б/я-группой, и, следовательно, Т(Ср) = Ъ(рпр) при некотором пр € N (по теореме 7 в [13]). Отсюда ибр = Ъ(рПр), так как Ср - это р-адическое пополнение Т(Ср).
Допустим, Ро - бесконечное множество. Запишем группу С в виде С = Л Ъер, где
реРо
о( ер) = рПр, и определим ассоциативное у множение х на С, положи в ер х ер = ер и ер х ед = 0 при р = д. Рассмотрим элемент д = (ер)реР0 € С, тогда подгруппа (д) является подкольцом кольца (С, х), но не является его идеалом. Следовательно, С не является Б /я-группой. Отсюда получаем, что множество Ро конечно и, значит, С = П Ъ(рПр) = Ъ(п), где п = П рПр.
реРо реРо
□
Следствие 3. В классе непериодических редуцированных алгебраически компактных групп не существует БI-групп и Б 1н-групп. □
4. Заключение
В [9] показано, что любое умножение на периодической группе С полностью определяется его сужением на базисную подгруппу группы С. Как уже отмечалось, описание всех умножений на редуцированных алгебраически компактных группах [11] также выявило тесную связь
между кольцевыми структурами на этих группах и базисными подмодулями их р-адических компонент. Этот факт позволяет успешно изучать и строить кольца на алгебраически компактных группах.
В свою очередь, возможность продолжения умножения на группе до умножения на ее сервантно-инъективной оболочке дает метод изучения колец на произвольных редуцированных группах. Действительно, вкладывая кольцо на редуцированной группе G в качестве под-кольца в кольцо на алгебраически компактной группе, свойства которого известны, мы можем получать информацию о кольцах на G. Так, например, нетрудно видеть, что группа, сервантно-инъективная оболочка которой является S*/-группой (бТя-группой), сама является 5/-группой (5/я-группой); заметим, что обратное не верно, примером чему служит аддитивная группа Z. Кроме того, группа является SACR-группой тогда и только тогда, когда SACR-группой является ее сервантно-инъективная оболочка.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Beaumont R.A. Rings with additive groups which is the direct sum of cyclic groups // Duke Math. J. 1948. Vol. 15, № 2. R 367-369.
2. Fuchs L. Ringe und ihre additive Gruppe // Publ. Math. Debrecen 1956. Vol. 4. P. 488-508.
3. Szele T. Zur Theorie der Zeroringe // Math. Ann. 1949. Vol. 121. P. 242-246.
4. Redei L., Szele T. Die Ringe "erstaen Ranges" // Acta Sci. Math. (Szeged) 1950. Vol. 12a. P. 18-29.
5. Beaumont R .A., Pierce R.S. Torsion-free rings // Illinois J. Math. 1961. Vol. 5. P. 61-98.
6. Чехлов A. P., Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами // Вести. Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2009. № 3(7). С. 64-67.
7. Aghdam А. \!.. Karimi F., Najafizadeh A. On the subgroups of torsion-free groups which are subrings in every ring // Ital. J. Pure Appl. Math. 2013. Vol. 31. P. 63-76.
8. Andruszkiewicz R., Woronowicz M. On additive groups of associative and commutative rings // J. Quaest. Math. 2017. Vol. 40, № 4. P. 527-537.
9. Fuchs L. Abelian groups. Switz.: Springer International Publishing, 2015.
10. Feigelstock S. Additive Groups of Rings. Vol. I, II. Boston-London: Pitman Advanced Publishing Program, 1983, 1988.
11. Kompantseva E. I. Torsion-free rings // J. Math. Sci. 2010. Vol. 171. № 2. P. 213-247.
12. Kompantseva E. I. Absolute nil-ideals of Abelian groups //J. Math. Sci. 2014. Vol. 197. № 5. P. 625-634.
13. Feigelstock S. Additive groups of rings whose subrings are ideals // Bull. Austral. Math. Soc. 1997. Vol. 55. P. 477-481.
14. Redei L. Vollidealringe im weiteren Sinn. I // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1952. Vol. 3. P. 243-268.
15. Андриянов В. И. Периодические гамильтоновы кольца // Матем. сб. 1967. Vol. 74(116). № 2. С. 241-261
16. Kruse R. L. Rings in which all subrings are ideals // Canad. J. Math. 1968. Vol. 20. P. 862-871.
17. Ehrlich G. Filial rings // Portugal. Math. 1983-1984. vol. 42. P. 185-194.
18. Sands A. D. On ideals in over-rings // Publ. Math. Debrecen. 1988. V. 35. P. 273-279.
19. Andruszkiewicz R., Puczvlowski E. On filial rings// Portugal. Math. 1988. Vol. 45, № 2. P. 139149.
20. Filipowicz M., Puczvlowski E. R. Left filial rings // Algebra Colloq. 2004. Vol. 11. P. 335-344.
21. Andruszkiewicz R., Woronowicz M. On TT-groups // Recent Results in Pure and Applied Math. Podlasie. 2014. P. 33-41.
22. Feigelstock S. Additive groups of commutative rings // Quaest. Math. 2000. Vol. 23. P. 241-245.
23. Куликов Л. Я. Обобщенный примарные группы. I, II // Труды московского матем. общества 1952. С. 247-326., 1953. С. 85-167.
REFERENCES
1. Beaumont, R. А. 1948, "Rings with additive groups which is the direct sum of cyclic groups", Duke Math. ,J., vol. 15, no. 2, pp. 367-369.
2. Fuchs, L. 1948, "Ringe und ihre additive Gruppe", Publ. Math. Debrecen, vol. 4, pp. 488-508.
3. Szele, T. 1949, "Zur Theorie der Zeroringe", Math. Ann., vol. 121, pp. 242-246.
4. Redei, L. к Szele, T. 1950, "Die Ringe "erstaen Ranges", Acta Set. Math. (Szeged), vol. 12a, pp. 18-29.
5. Beaumont, R. A. к Pierce, R. S. 1961, "Torsion-free rings", Illinois J. Math., vol. 5, pp. 61-98.
6. Chekhlov, A.R. 2009, "On abelian groups, in which all subgroups are ideals", Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh., no. 3(7), pp. 64-67.
7. Aghdam, A. M. к Karimi, F. к Najafizadeh, A. 2013, "On the subgroups of torsion-free groups which are subrings in every ring", Ital. J. Pure Appl. Math., vol. 31, pp. 63-76.
8. Andruszkiewicz, R. к Woronowicz, M. 2017," On additive groups of associative and commutative rings", J. Quaest. Math., vol. 40, no. 4, pp. 527-537.
9. Fuchs, L. 2015, "Abelian groups", Switz.: Springer International Publishing.
10. Feigelstock, S. 1983, 1988, "Additive groups of rings", vol. 1, vol. 2, Boston-London: Pitman Advanced Publishing Program.
11. Kompantseva, E. I. 2010, "Torsion-free rings", J. Math. Sci., vol. 171, no. 2, pp. 213-247.
12. Kompantseva, E.I. 2014, "Absolute nil-ideals of Abelian groups", J. Math. Sci., vol. 197, no. 5, pp. 625-634.
13. Feigelstock, S. 1997, "Additive groups of rings whose subrings are ideals", Bull. Austral. Math. Soc., vol. 55, pp. 477-481.
14. Redei, L. 1952, "Vollidealringe im weiteren Sinn. I", Acta Math. Acad. Sci. Hungar., vol. 3, pp. 243-268.
15. Andrivanov, V.l. 1967, "Periodic Hamiltonian rings", Math. USSR-Sb., vol. 3, no. 2, pp. 225242.
16. Kruse, R. L. 1968, "Rings in which all subrings are ideals", Canad. J. Math., vol. 20, pp. 862-871.
17. Ehrlich, G. 1983-1984. "Filial rings", Portugal. Math., vol. 42, pp. 185-194.
18. Sands, A.D. 1988, "On ideals in over-rings", Publ. Math. Debrecen., vol. 35, pp. 273-279.
19. Andruszkiewicz, R. k, Puczvlowski, E. 1988, "On filial rings", Portugal. Math., vol. 45, no. 2, pp. 139-149.
20. Filipowicz, M. к Puczvlowski, E. R. 2004, "Left filial rings", Algebra Colloq., vol. 11, pp. 335-344.
Т
Applied Math. Podlasie., pp. 33-41.
22. Feigelstock, S. 2000, "Additive groups of commutative rings", Quaest. Math., vol. 23, pp. 241245.
23. Kulikov L.Ya. 1952, 1953, "Generalized primary groups. I, II", Tr. Mosk. Mat. Obs., pp. 247326, pp. 85-167.
Получено 14.01.2019 г. Принято в печать 10.04.2019 г.
