CC BY
7
2020 Математика и механика № 66
УДК 512.553.2 М8С 2020: 16Б40
Б01 10.17223/19988621/66/4
Е.А. Тимошенко
ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МОДУЛЕЙ НАД С8Р-КОЛЬЦАМИ1
Исследуется тензорное произведение модулей над СБр-кольцами. Получены критерии равенства такого произведения нулю. Полностью описаны чистые подмодули и плоские модули в категории модулей над СБр-кольцом.
Ключевые слова: езр-колъцо, тензорное произведение, чистый подмодуль, плоский модуль.
1. Введение
Через Z и Зр мы обозначаем кольцо целых чисел и кольцо целых р-адических чисел соответственно; ■ - символ конца доказательства или его отсутствия.
Пусть Ь - некоторое бесконечное множество простых чисел. Для числа р е Ь зафиксируем кольцо Яр, которое совпадает либо с либо с некоторым кольцом вычетов Z /pkZ (для разных р число к > 0 может быть разным). Обозначим
К = П Яр и Т = @Яр с К ;
реЬ реЬ
очевидно, что Т - идеал кольца К.
Назовём СБр-колъцом всякое содержащее Т подкольцо Я кольца К, такое, что факторкольцо Я0 = Я /Т есть поле. Если Ь совпадает с множеством всех простых чисел и Яр = Зр при всех р, а Я0 изоморфно полю рациональных чисел О, то соответствующее СБр-кольцо (оно определено однозначно) называют кольцом псевдо-рационалъных чисел. Это кольцо было независимо введено в работах Фомина [1] и Крылова, Пахомовой и Подберезиной [2] для исследования ряда важных классов смешанных абелевых групп. Позже Крылов предложил рассматривать СБр-кольца (как обобщение кольца псевдорациональных чисел).
Зиновьев [3] дал описание инъективных модулей над СБр-кольцами; в работах [4] и [5] автором были получены структурные теоремы для проективных модулей над такими кольцами. В настоящей статье полностью описаны чистые подмодули и плоские модули над произвольным СБр-кольцом Я.
Напомним основную терминологию, касающуюся чистых подмодулей.
Определение. Подмодуль В правого ^-модуля А называется:
- чистым (говорят также «чистым в смысле Кона»), если для каждого левого ^-модуля Е индуцируемый естественным вложением модуля В в А гомоморфизм В Е ^ А Е является мономорфизмом;
- п-чистым, если В п Ах = Вх при всех х е &
Известно, что каждое прямое слагаемое модуля является чистым и п-чистым подмодулем; для п-чистой подгруппы (абелевой) группы используется и термин
1 Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-02-2020-1479/1).
«сервантная подгруппа». Из того, что кольца Z и /р являются областями главных идеалов, можно вывести (см. [6]) следующее утверждение:
Теорема 1. а) Подгруппа абелевой группы чиста в том и только в том случае, когда она сервантна (т.е. п-чиста).
б) Если А есть /-модуль, то его подмодуль В чист в том и только в том случае, когда В пркА = ркВ для всех к > 0 (т.е. когда В является п-чистым подмодулем). ■
Для р е Ь кольца Яр и их единичные элементы ер естественным образом отождествляются с соответствующими идеалами и идемпотентами кольца Я, в этом случае Яр = Яер. Заметим, что кольцо Яр (р е Ь) допускает ровно одну модульную структуру как над самим собой, так и над кольцом Я; поэтому в дальнейшем мы рассматриваем все Яр как Я-модули, не оговаривая это дополнительно.
Если А - модуль над Я, будем писать А0 = А /АТ и Ар = Аер для р е Ь (заметим, что это согласуется с обозначениями Я0 и Яр). Очевидно, Ар является Яр-модулем при любом р е Ь0, где Ь0 = Ь и{0}. Для всякого Я-модуля А можно рассматривать точную последовательность Я-модулей
0-> АТ-> А-> А0-> 0, (1)
при этом справедливы равенства
АТ = А -0Яер = ©Аер = ©Ар . (2)
реЬ реЬ реЬ
Утверждения следующей леммы устанавливаются непосредственно.
Лемма 2. Пусть А - модуль над кольцом Я. Тогда:
а) А = Ар ©А(1 - ер) для любого р е Ь;
б) для любых различных р, д е Ь0 выполнено (Ар)д = 0;
в) (А0)0 = А0 и для любого р е Ь выполнено (Ар)р = Ар;
г) А = 0 в том и только в том случае, когда Ар = 0 для всех р е Ь0. ■
Напомним, что если дан кольцевой гомоморфизм е: ^ Е, то каждый правый
(левый) Е-модуль О можно рассматривать как правый (левый) 5-модуль, полагая = яе^) (соответственно = при всех я е О, 5 е 5. Отсюда вытекает, что для любых правого и левого модулей А и Е над Е мы можем задать канонический эпиморфизм А ®5Е ^ А ®ЕЕ, переводящий все элементы а®5/в элементы а ®Е/ (здесь а е А и/е Е). Известно [7], что если гомоморфизм 5 ^ Е сюръективен, то указанный канонический эпиморфизм будет изоморфизмом при любых А и Е.
Замечание 3. Обе абелевых группы А ®5Е и А ®Е Е по определению являются факторгруппами одной и той же свободной абелевой группы (свободным базисом которой служит множество А х Е ). Таким образом, инъективность канонического эпиморфизма А ®5 Е ^ А ®Е Е эквивалентна равенству А ®5 Е = А ®Е Е.
2. Условия равенства тензорного произведения нулю
Замечание 4. Для произвольного р е Ь0 в силу существования гомоморфизма колец Я ^ Яр всякий Яр-модуль естественным образом превращается в Я-модуль. При этом ввиду сюръективности данного гомоморфизма тензорные произведения двух произвольных Яр-модулей над Я и над Яр совпадают (см. замечание 3).
Предложение 5. Пусть А и Е - модули над Я, и пусть ар: Ар ®Я Е ^ А ®ЯЕ, где р е Ь, - гомоморфизм, индуцируемый естественным вложением модулей Ар ^А,
а гомоморфизм а0: A ®R F ^ Л0 ®R F индуцируется естественным эпиморфизмом A ^ A0. Тогда:
а) ар является мономорфизмом при всех р е L;
б) при всех p е L выполнено (Л ®R F)p = 1т аp;
в) Кег а0 = (Л ®R F)Т;
г) при всех p е L0 выполнено (Л ®R F)р = Лр ®R F = Лр ®R Ер.
Доказательство. Утверждение а) следует из того, что Лр - прямое слагаемое
(и, значит, чистый подмодуль) модуля Л, если p е L.
б) Пусть p е L. Для произвольных элементов а е Лр и / е Е в Л-модуле Л ®R Е выполнено а ®ц/ = ав1> ®ц/ = (а ®ц/)ер е (Л ®ц Е )ер, откуда получаем, что модуль 1т ар содержится в модуле (Л ®ц Е )ер = (Л ®ц Е )р. Обратно, если а е Л и / е Е, то (а /)ер = ав1> / е 1т ар. Тем самым доказано, что (Л ®ц Е )р с 1т ap, а значит, справедливо равенство (Л ®ц Е )р = 1т ap.
в) Рассмотрим точную (см., например, [8]) последовательность
ЛТ ®КЕ ——Л ®КЕ — >Л0 ®КЕ->0, (3)
индуцированную последовательностью (1). Ввиду (2) мы имеем
(Л ®к Е)Т = 0(Л ®к Е)p =ф 1таp = 1та = Кега0.
pеL pеL
г) Из утверждений а) и б) следует, что (Л Е )р = 1т ар = Лр Е Поскольку последовательность (3) точна, то выполнено
(Л Е )0 = (Л Е ) / (Л Е )Т = (Л Е ) / Кег а0 = Л0 ®цЕ. Наконец, для любого р е L0 имеем (Л Е )р = ((Л ®ц Е )р)р = (Лр Е )р = Лр ®ц Fp, что завершает доказательство предложения. ■
Учитывая лемму 2, приходим к такому результату.
Теорема 6. Для Л-модулей Л и Е эквивалентны следующие условия:
1) Л ®цЕ = 0;
2) Л ®ц Ер = 0 при всех p е L0;
3) Лр ®цЕ = 0 при всехp е L0;
4) Лр, ®ц Ер, = 0 при всех p е L0. ■
Кроме того, из леммы 2 и предложения 5 следует, что для любых Л-модулей Л и Е и любых различных p, д е L0 выполнено Лд ®ц Ер, = Лд ®ц (Ер)д = Лд 0 = 0.
С учётом замечания 4 и условия 4) теоремы 6 вопрос о равенстве Л Е нулю сводится теперь к вопросу о том, при каких условиях равно нулю тензорное произведение в категории модулей над кольцом 8, равным Jp, Z /ркХ или Я0. Известен следующий факт (через г(О) обозначаем периодическую часть группы О):
Лемма 7. Для модулей и и V над кольцом 8 = Jp справедливы утверждения:
а) если г(и ) = и = ри Ф 0, то и®8 V = 0 тогда и только тогда, когда выполнено
р(уИ^)) =
б) если г(и ) = и Фри, то и®8 V = 0 тогда и только тогда, когдаpV = V;
в) если К и) Ф и и ^) ф V, то и®8 V ф 0. ■
Напомним, что в ситуации 8 = Х /ркХ категория 8-модулей совпадает с категорией ^-ограниченных абелевых групп; поскольку кольцевой гомоморфизм Jp ^ 8 сюръективен, то (см. замечание 3) тензорное произведение двух 8-модулей будет одним и тем же над кольцом Jp и над кольцом 8. С учётом леммы 7 и того факта, что для любого ненулевого 8-модуля О выполнено г(О) = О Ф рО, получаем такое утверждение: и ®8 V = 0 тогда и только тогда, когда и = 0 или V = 0. Ясно также,
что указанная эквивалентность остаётся верной и в том случае, когда является полем. Приведённые рассуждения вместе с теоремой 6 и леммой 7 дают полный ответ на вопрос, когда для Л-модулей А и Е справедливо равенство А ®ЛЕ = 0.
3. Плоские модули и чистые подмодули
Предложение 8. Пусть А, В, Е - некоторые Л-модули, причём В - подмодуль модуля А, и пусть гомоморфизмы рр: Вр®Л Е ^ В ®Л Е, Хр: Вр®ЛЕ ^ Ар®ЛЕ, где р е Ь, и гомоморфизм Х: В ®ЛЕ ^ А ®ЛЕ индуцированы соответственно естественными вложениями модулей Вр ^В, Вр ^Ар и В ^А. Справедливы следующие утверждения:
а) Кег Х = 0в р (Кег X р);
реЬ
б) Х является мономорфизмом в том и только в том случае, когда Хр является мономорфизмом при всех р е Ь.
Доказательство. а) Легко показать, что Вп АТ = ВТ, а значит, можно задать естественное вложение модуля В0 = В /ВТ в модуль А0 = А /АТ; это вложение обозначим через ц. Пусть Х0: В0 ®Л Е ^ А0 ®Л Е есть гомоморфизм, индуцированный вложением ц, а а0: А ®ЛЕ ^ А0 ®ЛЕ и р0: В ®ЛЕ ^ В0 ®ЛЕ - это гомоморфизмы, индуцированные естественными эпиморфизмами А ^ А0 и В ^ В0. Диаграмма
В ®ЛЕ р° > В0 ®ЛЕ
А ®Л Е а° > А0 ®Л Е
(вертикальные отображения - X и Х0) коммутативна, так как и гомоморфизм Х0р0, и гомоморфизм а0Х переводят каждый элемент Ь ®Л/, где Ь е В и / е Е, в элемент (Ь + АТ) ®Л/. Заметим, что ц(В0) - подпространство Л0-пространства А0, а значит, ц(В0) служит для А0 прямым слагаемым (и как Л0-пространство, и как Л-модуль). Следовательно, ц(В0) - чистый подмодуль Л-модуля А0, а Х0 - мономорфизм. Пусть у е Кег Х, тогда ввиду предложения 5 имеем
у е Кег(а0Х) = Кег(Х0Ре) = Кегва = (В ®я Е)Т = 01трр .
реЬ
Поэтому для подходящего конечного подмножества X с Ь справедливо равенство
у = X р р (Ур), где Ур е Вр ®н Е.
реХ
Пусть ар: А р ®Л Е ^ А ®Л Е - это гомоморфизм, индуцируемый естественным вложением Ар ^А. Зафиксируем р е Xи рассмотрим коммутативную диаграмму
0 -> Вр ®Л Е Рр > В ®Л Е
0 -> Ар ®Л Е а" > А ®Л Е
(вертикальные отображения - Хр и Х; строки диаграммы являются точными ввиду предложения 5). Так какурвр = ур, то у = X вр (Урер) = X вр (У р )ер ; отсюда
реХ реХ
0 = Х( у)ер = Х( уер) = Х(вр( ур)ер) = Х(вр( у рер)) = Х(вр( ур)) и, следовательно, у р е Кег(Хвр) = Кег(арХр) = Кег Хр (при любом р е X).
Тем самым мы доказали, что справедливо включение
Кег Хс£р р (Кег X р). (4)
реЬ
Стоящая в правой части (4) сумма является прямой (поскольку прямой является сумма подмодулей 1т вр с В ®ЛЕ по всем р из Ь). Верно и обратное включение, так как РР(Кег Хр) = рр(Кег(арХр)) = рр(Кег(Хрр)) с Кег X для любого р е Ь.
Утверждение б) сразу вытекает из а) в силу инъективности гомоморфизмов Рр при всехр е Ь. ■
С учётом замечания 4 и условия 4) теоремы 9 вопрос об инъективности гомоморфизма В ®Л Е ^ А ®Л Е, индуцированного естественным вложением модулей В ^А, сводится к аналогичному вопросу для Лр-модулей.
Теорема 9. Пусть А, В, Е - некоторые Л-модули, причём В с А. Эквивалентны следующие условия:
1) гомоморфизм В ®Л Е ^ А ®Л Е инъективен;
2) гомоморфизм Вр ®ЛЕ ^ Ар ®ЛЕ инъективен для всехр е Ь;
3) гомоморфизм В ®ЛЕр ^ А ®ЛЕр инъективен для всехр е Ь;
4) гомоморфизм Вр ®Л Ер ^ Ар ®Л Ер инъективен для всех р е Ь. Доказательство. Эквивалентность 1) и 2) уже установлена в предложении 8.
Поскольку справедлива импликация 1) ^ 2), то из инъективности гомоморфизма В ®Л Ер ^ А ®Л Ер для какого-то р е Ь немедленно следует, что инъективен также гомоморфизм Вр ®Л Ер ^ Ар ®Л Ер - а это даёт нам импликацию 3) ^ 4).
4) ^ 3). Допустим, что гомоморфизм Вр ®ЛЕр ^ Ар ®ЛЕр, где р е Ь, является инъективным. Для произвольного д е Ь \ {р} имеем Ад ®Л Ер = Вд ®Л Ер = 0. Таким образом, при всех д е Ь гомоморфизм Вд ®Л Ер ^ Ад ®Л Ер инъективен. Поскольку справедлива импликация 2) ^ 1), получаем, что гомоморфизм В ®Л Ер ^ А ®Л Ер также инъективен.
Установим теперь эквивалентность условий 2) и 4). Зафиксируем р е Ь; пусть
ар: Ар ®ЛЕр ^ Ар ®ЛЕ и Рр: Вр ®ЛЕр ^ Вр ®ЛЕ - гомоморфизмы, индуцированные вложением Ер ^ Е. Рассмотрим коммутативную диаграмму
0 -> Вр ®к Ер Вр ®КЕ
I I
0 -> Ар ®кЕр Ар ®КЕ
(вертикальные отображения индуцируются вложением модулей Вр ^Ар). В силу предложения 5 строки диаграммы являются точными и, кроме того, выполняется Ар ®Л Е = (Ар ®Л Е )ер = (Ар ®Л Е )р = 1т ар, а значит, ар - изоморфизм (аналогичное утверждение верно и для Рр). Отсюда ясно, что первое вертикальное отображение будет инъективным тогда и только тогда, когда инъективно второе вертикальное отображение. ■
Теорема 10 по сути обобщает данное в работе [9] описание плоских модулей над кольцом псевдорациональных чисел.
Теорема 10. Для Л-модуля Е эквивалентны следующие условия:
1) Е - плоский Л-модуль;
2) Ер - плоский Л-модуль для всех р е Ь;
3) Ер - плоский Лр-модуль для всехр е Ь;
4) Ер является Лр-модулем без кручения для всех р е Ь, таких, что выполнено Лр = Jp, и свободным Лр-модулем для всех р е Ь, таких, что Лр Ф Jp.
Доказательство. Импликация 1) ^ 2) получается из того факта, что каждый модуль Fp, где p е L, служит прямым слагаемым R-модуля F.
2) ^ 3). Пусть Fp - плоский R-модуль; зафиксируем некоторый модуль A над кольцом Rp и подмодуль B с A. Гомоморфизм B ®R Fp ^ A ®R Fp, индуцируемый естественным вложением B ^A, инъективен, откуда в силу замечания 4 следует, что Fp - плоский Rp-модуль.
3) ^ 1). Пусть A - произвольный R-модуль и B - его подмодуль. Из условия 3) и замечания 4 вытекает, что индуцированный естественным вложением модулей Bp ^Ap гомоморфизм Bp ®R Fp ^ Ap ®R Fp является мономорфизмом для всякого p е L, а значит, ввиду теоремы 9 индуцируемый вложением B ^A гомоморфизм B ®R F ^ A ®R F - тоже мономорфизм. Получаем, что F - плоский R-модуль.
Эквивалентность условий 3) и 4) следует из двух хорошо известных фактов:
- Jp-модуль G является плоским тогда и только тогда, когда t(G) = 0;
- модуль над кольцом Z /pkZ является плоским тогда и только тогда, когда он свободен. ■
Теорема 11. Пусть B - подмодуль R-модуля A. Тогда эквивалентны условия:
1) B - чистый подмодуль R-модуля A;
2) B n AI = BI для любого идеала I кольца R;
3) B есть n-чистый подмодуль R-модуля A;
4) Bp - чистый подмодуль Rp-модуля Ap при всех p е L;
5) Bp n Ap I = BpI для любого p е L и любого идеала I кольца Rp;
6) Bp есть n-чистый подмодуль Rp-модуля Ap при всех p е L. Доказательство. Известно, что импликация 1) ^ 2) имеет место для модулей
над произвольным кольцом R (см. [6]).
2) ^ 3). Полагая I = Rr для произвольного элемента r е R, получаем требуемое равенство B n Ar = Br.
3) ^ 6). Поскольку мы договорились отождествлять Rp с идеалом кольца R, то всякий элемент х е Rp можно считать принадлежащим R. Ввиду условия 3) имеем Bp n Ap х с B n Ax = Bx = B(ep х) = Bp х; следовательно, Bp n Ap х = Bp х (включение Bpx с Bp n Apx очевидно).
Импликации 4) ^ 5) ^ 6) доказываются так же, как 1) ^ 2) ^ 3). 6) ^ 4). Из условия 6) вытекает, что Bp - сервантная подгруппа группы Ap для каждого p е L. По теореме 1 получаем, что Bp - чистый подмодуль Rp-модуля Ap (как в случае Rp = Jp, так и в случае Rp ^ Jp).
4) ^ 1). Пусть F - некоторый R-модуль. Из условия 4) и замечания 4 следует, что для каждого p е L гомоморфизм Bp ®R Fp ^ Ap ®R Fp будет мономорфизмом; применяя теорему 9, получаем, что гомоморфизм B ®R F ^ A ®R F тоже является мономорфизмом. Таким образом, B - чистый подмодуль R-модуля A. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Fomin A.A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian Groups and Modules. Basel et al.: Birkhauser, 1999. P. 87-100. DOI: 10.1007/978-30348-7591-2.
2. Крылов П.А., Пахомова Е.Г., Подберезина Е.И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 47-51.
3. Зиновьев Е.Г. Инъективные и делимые модули над csp-кольцами // Вестник ТГУ. 2007. № 299. С. 96-97.
4. Тимошенко Е.А. Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел // Журнал СФУ. Математика и физика. 2011. Т. 4. № 4. С. 541-550.
5. Тимошенко Е.А. Проективные модули над csp-кольцами // Журнал СФУ. Математика и физика. 2012. Т. 5. № 4. С. 581-585.
6. Lam T.Y. Lectures on modules and rings. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1999. DOI: 10.1007/978-1-4612-0525-8.
7. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т. 1. М.: Мир, 1977.
8. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: Иностр. лит., 1960.
9. Царев А.В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // Мат. заметки. 2006. Т. 80. № 3. С. 437-448. DOI: 10.4213/mzm2830.
Статья поступила 07.05.2020 г.
Timoshenko Е.А. (2020) TENSOR PRODUCT OF MODULES OVER CSP-RINGS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 66. pp. 56-63
DOI 10.17223/19988621/66/4
Keywords: csp-ring, tensor product, pure submodule, flat module.
Let us fix an infinite set L of primes. For every p e L, let Rp be either the ring Jp of p-adic integers or the residue class ring Z /pkZ (the number k > 0 may depend on p). Define
K = ПRP and T =Q)Rp сK ;
peL peL
it is clear that T is an ideal of the ring K. By a csp-ring we mean any subring R of the ring K such that T с R and the quotient ring R /T is a field.
For any p e L the ring Rp and its identity ep can be identified with the corresponding ideal and idempotent of R (then Rp = Rep). If A is an R-module, then we write A0 = A /AT and Ap = Aep for p e L (in particular, R0 = R /T ). It is obvious that Ap is an Rp-module for any p e L и {0}. Theorem 6. Let A and F be R-modules. The following conditions are equivalent:
1) A ®R F = 0;
2)A ®RFp = 0 for all p e Lu{0};
3)Ap®RF = 0 for all p e Lu{0};
4)Ap®RFp = 0 for all p e Lu{0}.
If S coincides with Jp, with Z /pkZ or with a field, then the criteria under which U®S V = 0 are well-known. Thus Theorem 6 gives a full answer to the question of when A ®R F = 0.
The last two theorems provide a complete description of flat modules and pure submodules in the category of modules over an arbitrary csp-ring R.
Theorem 10. Let F be an R-module. The following conditions are equivalent:
1) F is a flat R-module;
2) Fp is a flat R-module for all p e L;
3) Fp is a flat Rp-module for all p e L;
4) Fp is a free Rp-module for all p e L with Rp Ф Jp, and is a torsion-free Rp-module for all p e L such that Rp = Jp.
Definition. We say that a submodule B of a right S-module A is
- pure if for every left S-module F the homomorphism B ®S F ^ A ®S F induced by the inclusion map B ^ A is a monomorphism;
- n-pure if B n Ax = Bx for every x e S.
Theorem 11. For a submodule B of an R-module A, the following are equivalent:
1) B is a pure submodule of the R-module A;
2) B n AI = BI for every ideal I of R;
3) B is a n-pure submodule of the R-module A;
4) Bp is a pure submodule of the Rp-module Ap for every p e L;
5) Bp n Ap I = Bp I for every p e L and every ideal I of Rp;
6) Bp is a n-pure submodule of the Rp-module Ap for every p e L.
AMS 2020 Mathematical Subject Classification: 16D40
Financial support. This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of
Russia (agreement No. 075-02-2020-1479/1).
Egor A. TIMOSHENKO (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk,
Russian Federation). E-mail: tea471@mail.tsu.ru
REFERENCES
1. Fomin A.A. (1999) Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers. Abelian Groups and Modules. Basel et al.: Birkhauser. pp. 87-100. DOI: 10.1007/978-3-0348-7591-2.
2. Krylov P.A., Pakhomova E.G., Podberezina E.I. (2000) Ob odnom klasse smeshannykh abelevykh grupp [On one class of mixed abelian groups]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal. 269. pp. 47-51.
3. Zinoviev E.G. (2007) In"ektivnye i delimye moduli nad csp-kol'tsami [Injective and divisible modules over csp-rings]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal. 299. pp. 96-97.
4. Timoshenko E.A. (2011) Proyektivnye moduli nad kol'tsom psevdoratsional'nykh chisel [Projective modules over the ring of pseudorational numbers]. Zhurnal Sibirskogo Federal'nogo Universiteta. Matematika i Fizika - Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 4(4). pp. 541-550.
5. Timoshenko E.A. (2012) Proyektivnye moduli nad csp-kol'tsami [Projective modules over csp-rings]. Zhurnal Sibirskogo Federal'nogo Universiteta. Matematika i Fizika - Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 5(4). pp. 581-585.
6. Lam T.Y. (1999) Lectures on Modules and Rings. Berlin; Heidelberg; New York: Springer. DOI: 10.1007/978-1-4612-0525-8.
7. Faith C. (1973) Algebra. Vol. 1. Berlin; Heidelberg; New York: Springer. DOI: 10.1007/9783-642-80634-6.
8. Cartan H., Eilenberg S. (1956) Homological algebra. Princeton: Princeton University Press.
9. Tsarev A.V. (2006) Projective and generating modules over the ring of pseudorational numbers. Math. Notes. 80(3). pp. 417-427. DOI: 10.1007/s11006-006-0155-y.
Received: May 7, 2020
