Об эквивалентности моделей оптимизации замен в условиях неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

согласно их расположению в кузове электровоза и назначению. Повышенный процент отказов двигателей привода компрессоров обусловлен тяжелыми режимами пуска и повышенным сопротивлением в условиях эксплуатации при низких температурах, в этом случае момент сопротивления увеличивается в 5-7 раз, в зависимости от температуры [5]. Повышенный процент отказов МВ1 охлаждения ТЭД, ВИП и СР на электровозах всех серий предположительно связан с неавтоматичностью пуска АВМ во всех режимах работы. Таким образом, первая включенная машина работает в наиболее тяжелых условиях и каждая последующая включенная машина работает в более облегченных условиях питания, а показатели надежности АВМ привода вентиляторов определяются исключительно порядком их пуска оператором ЭПС.

В заключение следует отметить, что:

1. Серьезная работа над улучшением показателей надежности АВМ вплоть до недавнего времени не велась в силу отсутствия как такового системного анализа в теории проектирования вспомогательного электропривода.

2. Совершенствование системы питания АВМ идет по пути улучшения эксплуатационных условий, в частности качества питания. Между тем, другие методы не затрагиваются (игнорируя научно-технические новшества и веяния прогресса). Основное развитие идет по пути энергосбережения и сокращения затрат при производстве и обслуживании подвижного состава в ущерб надежности.

3. На всех электровозах отечественного производства отсутствует система мониторинга и управления надежностью асинхронного вспомогательного электропривода.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гирник А. С., Рапопорт О. Л.. Математическое моделирование работы трёхфазных вспомогательных электрических машин на электровозе 2ЭС5к в условиях асимметричного питания // Изв. Томского политехн. ун-та. 2009. Т. 314. № 4. С. 69-73.

2. Рапопорт О. Л., Харлов Н. Н., Волков М. В. Особенности режимов работы вспомогательных электрических машин электровозов серий ВЛ85 и 2ЭС5К // Локомотив. 2006. Вып. 11. С. 21-22.

3. Шестоперов Г. П., Арискин О. Г., Тишкин А. А., Синявский И. В.. Анализ энергетических характеристик в системах питания вспомогательных машин электровозов переменного тока серии «ЕРМАК» // Вестник ВЭлНИИ. 2011. Т. 61. С. 38-49.

4. Тишкин А.А., Курганов А.А., Калюжный А.А., Синявский И.В.. Энергосбережение в системах питания вспомогательных машин электровозов переменного тока серии «ЕРМАК» за счет внедрения ШПВМ-250-У2. // Вестник ВЭлНИИ. 2011. Т. 63. С.63-74.

5. Смирнов В.П. Непрерывный контроль температуры предельно нагруженного оборудования электровоза. Иркутск : Изд-во ИГУ, 2003. 328 с.

УДК 621.3.019

Володарский Владислав Афанасьевич,

с. т. н., старший научный сотрудник, доцент кафедры транспортных систем, Красноярский институт железнодорожного транспорта - филиал ИрГУПС, тел. 8391 221 60 72, e-mail: volodarsky.vladislav@yandex.ru

ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МОДЕЛЕЙ ОПТИМИЗАЦИИ ЗАМЕН В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

V.A. Volodarsky

ON THE EQUIVALENCE OF MODELS OF OPTIMIZATION OF SUBSTITUTIONS IN THE CONDITIONS OF UNCERTAINTY

Аннотация. Приведены результаты исследований экономической устойчивости и эквивалентности математических моделей оптимизации предупредительных замен в условиях неопределенности исходной информации.

Ключевые слова: математическая модель, оптимизация, замена, неопределенность, устойчивость, эквивалентность.

Abstract. Investigation results of the economic steadiness and equivalence preventive replacement

optimization mathematical model on the assumption of initial information indetermination are shown.

Keywords: mathematical model, optimization, replacement, steadiness, indetermination, equivalence.

1. Исходные положения

Исходная информация, которую реально удается собрать и подготовить для решения задачи оптимизации периодичности предупредительных

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ш

замен технических устройств, оказывается, как правило, в значительной степени неопределенной [1]. Это, в первую очередь, относится к функции распределения вероятности безотказной работы (ВБР) Р(и). Если по данным об отказах могут быть получены оценки первых двух моментов (и, таким образом, коэффициента вариации V) функции Р(и), то можно утверждать, что она принадлежит заданному множеству Р(и) £ Е^) [2]. При этом на основании прошлого опыта использования аналогов можно сделать некоторые достаточно правдоподобные предположения о возможных видах функций распределения. Такую информацию назовем частично неопределенной. Если же получена оценка только наработки на отказ Т, то такую информацию назовем неопределенной.

Для решения задачи оптимизации периодичности предупредительных замен (ППЗ) в условиях неопределенности используется принцип мини-макса [2, 3]. Недостаток минимаксного подхода состоит в том, что он рассчитан на наихудшее стечение обстоятельств, которое, как правило, маловероятно. Минимизируя максимально возможные затраты, он часто приводит к малым выигрышам при наиболее вероятных реальных стечениях обстоятельств. Поэтому разработка специальных подходов и методов для рассматриваемых условий является актуальной.

С одной стороны, неопределенность исходной информации предопределяет неоднозначность оптимальных решений, поскольку каждой из возможных функций распределения соответствует свое условно-оптимальное значение ППЗ [1]. С другой стороны, исследования показали, что функция удельных эксплуатационных затрат в зоне оптимума обладает свойством экономической устойчивости, которое характеризуется незначительным увеличением затрат при достаточно больших отклонениях ППЗ от ее теоретически оптимального значения [4]. Это позволяет вводить в процедуру расчетов определенные допущения без особого риска «потерять» оптимальные решения.

При известной оценке величины V, исходя из эвристических представлений, можно задать семейство из п функций распределения {Рг(и), Р2(и), . . ., Рп(и)} £ F (V) , представляющихся правдоподобными. Путем минимизации математического ожидания удельных эксплуатационных затрат может быть вычислено п условно-оптимальных значений ППЗ. Вследствие приближенного описания распределения ВБР решение задачи оптимизации будет иметь погрешность удельных эксплуатационных затрат. Поэтому, используя свойство экономической устойчивости,

при заданной погрешности вычисления удельных эксплуатационных затрат, например 5 %, для каждой функции распределения можно найти диапазон практически оптимальных (равноэкономич-ных) значений ППЗ [4].

В связи с этим задачей статьи является изложение одного из возможных методических подходов к оптимизации ППЗ, идея которого заключается в использовании сочетания свойства экономической устойчивости удельных эксплуатационных затрат с неоднозначностью получаемых при неопределенности исходной информации решений.

Представляется целесообразным провести исследования по оценке эквивалентности получаемых решений в отношении определения диапазона оптимальных значений ППЗ при различных функциях распределения ВБР. После этого можно сделать выводы о целесообразности задания тех или иных функций распределения и тем самым снизить размерность решаемых задач. 2. Математические модели Проведем указанные исследования моделей оптимизации на примере стратегии замен по наработке, удельные эксплуатационные затраты С(т) при которой определяются [3]

Л-(Л-В)Р(т)

С(т) =

(1)

/0тр ( с) а с '

где А, В - затраты, связанные, соответственно, с заменой вследствие отказа и с предупредительной заменой; т - периодичность предупредительных замен; Р (т) и Р ( £:) - ВБР в течение времени т и

Приведем выражение (1) к безразмерному виду, разделив его на А/Т:

С(т)Г 1-(1 -у)Р(х)

у 00 =

(2)

л £Р(и)аи ' где у(х) - относительные удельные эксплуатационные затраты; - коэффициент затрат; х = т / Т и и = Ь/ Т - соответственно периодичность замен и время в единицах средней наработки на отказ.

Известно, что при этой стратегии оптимальный период замен конечен, если Р(и) принадлежит к классу распределений с возрастающей функцией интенсивности отказов и при этом выполняется условие V < 1 — у [3]. Многочисленные исследования показали, что процессы старения и износа, происходящие в элементах технических устройств различного вида, хорошо описываются распределениями усеченным нормальным, гамма и Вей-булла. Достаточно хорошо разработан и математический аппарат, описывающий данные распределения. Поэтому их целесообразно использовать при частичной неопределенности исходной информации. Вероятность безотказной работы в безраз-

мерном виде для этих распределений соответственно имеет вид [5]:

М = Ш 1 /V)] -

Р2 ( У) = ехр [- ( УКЬ) ь] ; Р3(У) = [ ехр ( - ж У) ]Шо 1 (жУ) 7 / ! , (3) где Fо - функция определяется по табл. 1.2 [6]; Ь -параметр формы распределения Вейбулла и коэффициент при оцененном значении

V определяются по табл. 3.5 [6]; т - параметр формы гамма-распределения определяется как ж = V- 2, причем принимается ближайшее целое его значение.

Подставив значения Р(и) из (3) в выражение (2), получим математические модели для определения оптимальных значений ППЗ: при распределении Вейбулла

у(х) =

1 - ( 1 -у) ехр[-(хКь) ь]'

/0хехР[- (ад *]<Ш при гамма-распределении

у(х) =

1 - ( 1 - у) е хр ( - ж)

йи

/0е хр ( - т У)!™ при усеченном нормальном распределении

У(.х)

^о(Э-(1-Г)ю(^).

ритм решения поставленной задачи состоит из следующих основных этапов:

1) по функции Д = у ( х) на интервале [0 -Б] вычисляются значения х о и уо;

2) определяется ( ) и проверяется выполнение условия | у (хо) — уо | /уо < 5, где 5 - заданная погрешность вычислений;

3) с учетом заданной точности оптимизации К вычисляется значение Уд = Куо и определяется новая функция вида /2 = | у (х) — Уд- | (см. рис. 1);

4) по функции на интервале [0 - ] вычисляется значение

5) по функции на интервале [ ] вычисляется значение х о.

В условиях неопределенности, аппроксимировав ВБР стареющих технических устройств функций косинуса, получим упрощенную математическую модель [4]

у (х) =( 1 —( 1 — 7) с о бх) ) /б 1 пх.

При этом оптимальное значение ППЗ и минимум удельных эксплуатационных затрат определяются из выражений [4]:

хо = аг с с о б ( 1 — у) ;

. (4)

3. Метод и алгоритм исследования Математические модели оптимизации ППЗ непрерывны, дифференцируемы и унимодальны с явно выраженным минимумом. Поэтому для их исследования могут быть использованы хорошо разработанные методы одномерного поиска экстремума целевых функций. Наиболее эффективным по числу необходимых для заданной точности вычислений является метод золотого сечения. По условиям решения задачи необходимо найти не только оптимальное значение х о, но и при заданной точности оптимизации K нижнее хо и верхнее

х о значения ППЗ (см. рис. 1). Однако стандартный метод золотого сечения предназначен для поиска только оптимального параметра. Поэтому алго-

Рис. 1. Графики целевых функций для вычисления Xц , Хо, Хц методом золотого сечения

Поскольку оптимальное значение ППЗ должно быть меньше наработки на отказ, поиск значений должен осуществляться в диапазоне от 0 до I. Учитывая, что значения хо могут выходить за этот интервал, целесообразно задать диапазон поиска зоны условно оптимальных значений ППЗ в пределах от 0 до 2.

4. Исследования экономической устойчивости и эквивалентности

Исследования экономической устойчивости математических моделей в случаях усеченного нормального, Вейбулла и гамма-распределения проведены путем вычислений на ЭВМ с использованием алгоритма, описанного выше. Результаты выполненных расчетов при К = 1,05 представлены в табл. 1, откуда видно следующее. Во-первых, с уменьшением коэффициента вариации значения х о, вычисленные на основе математических моделей с разными функциями распределения, сближаются, поскольку расхождения между функциями рассматриваемого семейства распределений снижаются [5]. Во-вторых, диапазоны практически оптимальных значений ППЗ х о • • • хо для рассмат-

Т а б л и ц а 1

ППЗ для различных распределений ВБР

Усеченное нормальное Вейбулла Гамма

У V = 0,5 Ь = 2,1 т = 4

х0 х0 х0 х0 х0 х0 Х0 х0 х0

0,02 0,17 0,25 0,33 0,13 0,17 0,23 0,16 0,20 0,24

0,05 0,25 0,35 0,47 0,20 0,27 0,36 0,21 0,27 0,34

0,1 0,34 0,45 0,62 0,28 0,38 0,52 0,27 0,35 0,46

0,2 0,47 0,65 0,84 0,41 0,57 0,79 0,37 0,49 0,67

0.4 068 091 1,52 0,65 0,93 147 0,58 0,82 1,37

V = 0,29 Ь = 3,9 т = 12

0,02 0,27 0,34 0,39 0,26 0,33 0,38 0,32 0,38 0,43

0,05 0,34 0,43 0,49 0,32 0,40 0,47 0,38 0,44 0,50

0,1 0,41 0,49 0,58 0,39 0,48 0,59 0,43 0,50 0,56

0,2 0,49 0,60 0,71 0,48 0,59 0,71 0,49 0,57 0,66

0,4 0,62 0,74 0,91 0,62 0,76 0,93 0,58 0,70 0,85

0,6 0,74 0,93 1,21 0,75 0,94 1,23 0,70 0,88 1,22

риваемого семейства распределений перекрываются. В большинстве случаев значения X о, вычисленные для разных распределений, находятся одно внутри другого.

Например, значения X о, вычисленные для усеченного нормального и гамма-распределения, находятся внутри зоны х0 • • • X о, вычисленной для распределения Вейбулла с Ь = 2,1 (V = 0,5) при у > 0, 0 5 и c Ь = 2,9 (V = 0,29) при у > 0,02. Поэтому можно констатировать, что для рассматриваемого диапазона коэффициента затрат у математическая модель с распределением Вейбулла является эквивалентной в отношении определения диапазона практически оптимальных значений ППЗ математическим моделям и усеченным нормальным и гамма-распределением. Причем с уменьшением коэффициента вариации степень эквивалентности математических моделей возрастает. Поэтому представляется целесообразным в рассматриваемых условиях принять за базовое наиболее простое распределение Вейбулла.

Таким образом, задачу оптимизации ППЗ в условиях частичной неопределенности целесообразно свести к эквивалентной ей определенной задаче путем выбора одной из заданного семейства функций распределения. Целью формализованного решения такой задачи является определение при заданной погрешности расчета удельных эксплуатационных затрат диапазона практически оптимальных значений ППЗ.

Исследования экономической устойчивости упрощенной математической модели проведем с использованием уравнений для определения

верхнего нижнего условно оптимальных

значений ППЗ вида [4]:

х^ = агсБтгх0 = агсзтг2;

_ фг-у2 ) 1/2±[( 1 -у) 2(2у-у 2 )(у2- 1)] 1/2 (5)

_ Л"2(2у-у2) + (1-у2)

Из выражений (5) видно, что экономическая устойчивость упрощенной математической модели также зависит от коэффициента стоимости.

На рис. 2-4 представлены зависимости для математических моделей в случаях усеченного нормального, Вейбулла и гамма-распределения при одинаковых коэффициентах вариации V, а также зависимости X 0( 7) , рассчитанные по уравнению (4), и зависимости

и X о ( 7) , рассчитанные по уравнениям (5) для упрощенной математической модели при К = 1,05. Как видно из рисунков, с уменьшением

V кривые X о ( 7 ) для разных распределений сближаются. Это объясняется тем, что с уменьшением коэффициента вариации расхождение между функциями рассмотренных распределений уменьшается. Из этих рисунков видно, что упрощенная математическая модель является эквивалентной математическим моделям для усеченного нормального, Вейбулла и гамма-распределения: при V = 0,5 для у > 0,01; при V = 0,3 75 для у > 0,02 и при

V = 0,29 для у > 0,05. В указанном диапазоне у значения , вычисленные на математических моделях с рассмотренными распределениями, лежат внутри зоны условно оптимальных значений X о • • • X о, вычисленных на основе упрощенной модели.

1.2

0.8 - -

0.2

ХО

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Рис. 2. Зависимости ( ' ) для математических моделей при V = 0,5 в случаях распределений: 1 - Вейбулла; 2 - усеченного нормального; 3 - гамма; 4 - (у ); 5 - (у ); 6 - ( ) для упрощенной математической модели

0,02

0.1

0,3

0,5

0.6

Рис. 3. Зависимости (у ) для математических моделей при V = 0,375 в случаях распределений: 1 - Вейбулла; 2 - усеченного нормального; 3 - гамма; 4 - (у ); 5 - (у ); 6 - (у ) для упрощенной математической модели

Рис. 4. Зависимости Хд ( / ) для математических моделей при V = 0,29 в случаях распределений: 1 - Вейбулла; 2 - усеченного нормального; 3 - гамма; 4 - Хд ( ' ); 5 - Хд (,"'); 6 - Хд ( '') для упрощенной математической модели

Поэтому можно констатировать, что упрощенная модель в указанном диапазоне изменения коэффициента затрат у эквивалентна моделям с рассматриваемыми функциями распределения в отношении определения зоны условно оптимальных ППЗ технических устройств.

Выводы

1. Используя математические модели оптимизации предупредительных замен, можно получать экономически устойчивые решения, поскольку достаточно большие отклонения периодичности замен в зоне оптимума целевой функции приводят к незначительному возрастанию удельных эксплуатационных затрат. В зоне экономической устойчивости при заданной погрешности оптимизации 5 % допустимы значительные отклонения периодичности замен от их оптимальных значений. Например, в случае стратегии замен по наработке допустимы отклонения срока замен в сторону уменьшения в пределах от -23 до -27 % и в сторону увеличения от +26 до +37 %.

2. Математические модели с теоретическими законами распределения показателей надежности: усеченным нормальным, Вейбулла и гамма в пределах точности расчетов 5 % являются эквивалентными в отношении определения диапазона

практически оптимальных значений периодичности замен. При уменьшении коэффициента вариации функций распределения степень эквивалентности моделей возрастает. Поэтому в случае, когда коэффициент вариации известен, целесообразно при построении математических моделей применять наиболее простое и универсальное распределение Вейбулла.

3. С допустимой для практики точностью расчетов 5 % упрощенная математическая модель, полученная при аппроксимации распределения вероятности безотказной работы функцией косинуса, эквивалентна моделям, использующим усеченное нормальное, Вейбулла и гамма-распределение в отношении определения зоны условно оптимальных значений периодичности замен. Поэтому при неизвестном коэффициенте вариации для решения задачи оптимизации предупредительных замен целесообразно использовать упрощенную математическую модель.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Володарский В. А. Принципы оптимизации предупредительных замен и ремонтов в условиях неопределенности // Современные техно-

логии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 3(31). С. 124-129.

2. Вопросы математической теории надежности / Е. Ю. Барзилович, Ю. К. Беляев, В. А. Каштанов и др. М. : Радио и связь, 1983. 376 с.

3. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. М. : Советское радио, 1969. 488 с.

4. Володарский В. А. Оптимизация периодичности предупредительных замен в условиях неопределенности исходной информации //

Надежность и контроль качества. 1984. №8. С. 39-44.

5. Володарский В. А. Определение показателей надежности электрооборудования при неопределенности исходной информации // Электричество. 1987. № 3. С. 49-51.

6. Шор Я. Б., Кузьмин Ф. И. Таблицы для анализа и контроля качества и надежности. М. : Советское радио, 1968. 288 с.

УДК 629.4.015 + 625.1.03 Зеньков Евгений Вячеславович,

аспирант, Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет,

e-mail: jovanny1@yandex.ru Цвик Лев Беркович,

д. т. н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: tsvik_l@mail.ru

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОЛЕСА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ВАГОНА НА ЛАБОРАТОРНОМ ОБРАЗЦЕ ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ

E. V. Zenkov, L.B. Tsvik

RAILWAY WHEEL STRESS-STRAIN STATE MODELLING ON THE LABORATORY SPECIMEN FOR MECHANICAL TESTING

Аннотация. Рассматривается моделирование напряжённо-деформированного состояния (НДС) и прочности колёс различного конструктивного оформления на лабораторных образцах. Предложен призматический образец для механических усталостных испытаний до разрушения с галтельным переходом, имеющий участки опи-рания по своим концам и подвергающийся в процессе испытаний изгибу поперечной нагрузкой. С помощью численного моделирования показано, что предложенный образец моделирует в своей рабочей зоне вид НДС зоны колеса, где возникают усталостные кольцевые трещины.

Ключевые слова: колесо железнодорожного вагона, вид напряженного состояния, призматический образец, изгиб, метод конечных элементов, кольцевые трещины.

Abstract. We consider the modeling of the stress-strain state (SSS) and strength of the railway wheels of various structural designs on laboratory specimen. We propose a prismatic specimen for mechanical fatigue testing to failure with hollow chamfer having a bearing on their land ends and subject to the tests of transverse bending load. A numerical simulation shows that the proposed specimen simulates in his work area kind it SSS zone wheel where there are

circular fatigue cracks.

Keywords: railway wheel, kind of stress-strain state, prismatic specimen, bend, finite element method, circumferential cracks.

Расчётная оценка надежности узлов и деталей оборудования может быть обеспечена при наличии достоверных экспериментальных сведений об усталостной прочности элементов конструкций. Существенно, что ресурс работы несущего элемента зависит от вида напряжённо -деформированного состояния (НДС) в возможном очаге его разрушения [1, 2, 3, 4]. Характерной особенностью вида НДС цельнокатаных колёс железнодорожных вагонов является высокий уровень напряжений сжатия. В процессе эксплуатации в ряде случаев возникают усталостные трещины, располагающиеся в зоне стыка массивных элементов колеса (обода, ступицы) с его относительно тонкой дисковой частью. Расчётная оценка ресурса работоспособности колёс опирается на экспериментально определяемые усталостные характеристики (кривую усталости) материала колеса. В данной работе описывается лабораторный образец для определения усталостных характеристик материала, находящегося в сложном НДС, аналогичном по своему виду НДС цельнокатаных колес