CC BY
46
УДК 621.397
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДА ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТИМЫХ СУБИНТЕРВАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Белгородский
государственный
университет
ДА ЧЕРНОМОРЕЦ, И.И. ЧИЖОВ, И.В. ЛЫСЕНКО, КА МДРЕНОВ
В работе приведены результаты экспериментальных исследований эффективности метода оптимальных обратимых субинтер-вальных преобразований изображений на основе частотных представлений. Описаны сравнительные исследования предложенного метода и метода субполосных преобразований на основе банка КИХ-фильтров.
e-mail:chernomorets@bsu.edu.ru
Ключевые слова: изображение, частотные представления, су-бинтервальные преобразования, субполосные матрицы, доли энергии, погрешность восстановления
Введение
В современных информационно-телекоммуникационных системах постоянно возрастает объем информации, передаваемой в естественной, с позиций восприятия человеком, форме (речь, изображения, видео). Это обуславливает важность проблемы совершенствования и разработки новых методов уменьшения объема битовых представлений передаваемой аудио и видео информации.
Большой интерес представляют алгоритмы сжатия, учитывающие свойства отдельных компонент изображения, соответствующих различным частотным интервалам. В настоящее время большое распространение получил подход к решению проблемы сжатия данных на основе так называемого субполосного кодирования [1], когда некоторое исходное изображение Ф заменяется некоторым множеством изображений, которые отражают частотные свойства исходного изображения в некотором частотном интервале. Однако, данная группа методов основана на использовании КИХ-фильтрации в выбранных частотных интервалах, которая не является оптимальной [2] и вызывает, как будет показано далее, значительные погрешности восстановления изображений после их хранения и передачи в сжатом виде.
В данной работе исследуется эффективность вариационного метода построения оптимальных обратимых субинтервальных преобразований изображений на основе частотных представлений, который является основой для создания новых эффективных методов сжатия.
Возможность проведения анализа изображений на основе частотных представлений определяется тем, что в визуальных данных, зачастую, наблюдается периодичность или квазипериодичность отображаемых процессов. На изображении могут присутствовать повторяющиеся объекты, которые задают некоторую периодичность изменения яркости его точек. Анализ изображений на основе частотных представлений подразумевает использование следующих свойств изображений, основанных на том, что изображение можно определить как некоторую двумерную функцию 1(х,у) на плоскости. Известно, что любая функция, периодически воспроизводящая свои значения и удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде суммы синусоид или косинусоид, имеющих различную частоту колебаний, и некоторые весовые коэффициенты (ряд Фурье). В случае, если функция не является периодической, то она может быть выражена в виде интеграла от произведения синусов или косинусов, и некоторой весовой функции. В этом случае рассматривается преобразование Фурье [3] и справедливо следующее представление:
^ СО СО
/ (X, у) = —- 11Г (и, у)в]их ет' іїсйу, (1)
4п2
—ад—ад
где j — мнимая единица. Таким образом, функция 1\х,у), описывающая некоторое изображение, определяется через множество базисных функций, являющихся функциями синус и косинус различных аргументов (на основании формулы Эйлера). Каждая синусоидальная базисная функция характеризуется своей частотой, что позволяет говорить о частотных представлениях функций, задающих различные изображения. Функцию Г(и^) принято называть трансформантой Фурье (основная частотная характеристика), а её аргументы — круговой частотой, отражающей периодичность (цикличность) изменений исходной функции 1\х,у) с изменением аргументов х и у. Поскольку трансформанта Фурье является периодической функцией, то обычно ее значения рассматриваются в области нормированных частот и, V: - п < и, V < п .
Метод оптимальных обратимых субинтервальных преобразований
Теоретические основы метода построения оптимальных обратимых субинтер-вальных преобразований изображений заключаются в следующем [2].
В процессе анализа на основе субинтервальных преобразований изображения Ф, представленного в виде матрицы яркости Ф=(^к), 1=1,2,...,М, к=1,2,...,Ы, данная матрица яркости исходного изображения заменяется матрицей субинтервального преобразования Ш={Ш1,г\г2, Г1=1,2,...Де, Г2=1,2,...,&}, которая имеет структуру, приведенную на рисунке 1.
Рис. 1. Структура матрицы субинтервального преобразования
Подматрицы субинтервального преобразования Ші.пл, гі=1,2,...Де, гг=1,2,...Дь, отражают частотные свойства исходного изображения в соответствующих частотных субинтервалах 0.г\гг, гі=1,2,...,Яа, Г2=1,2,...,(ь, которые получены в результате разбиения области нормированных частот и, V на равные элементарные подобласти ((а и Яь — количество частотных интервалов, на которые разбивается пространство нормированных частот вдоль осей абсцисс и ординат соответственно). Если отдельный частотный субинтервал определяется множеством значений частот а, а2, Д, Д. Тогда
К = и К = ■ (2)
а2 — а Д — Д
В дальнейших преобразованиях в рамках некоторого частотного субинтервала будут использованы так называемые субполосные матрицы А=(ат2), І1,І2=1,2,...,М, и В=(Ькік2), к.1,к.2=1,2,...,Ы, значения элементов которых зависят только от размерности изображения и значений частот а, а2, Д, Д2 на границах субинтервала и определяются выражениями
Sin (а2 (г\ -12)) - Sin (а1 (г\ - i2)) - i2) :
п
Ып(Р2(^ - k2 )) Ып(Р1(^ - k 2 )) k ф k
Ък\к2 -
А - Л
п
п(^ -k2) k1 — k2.
(3)
Для определения значений элементов подматриц субинтервальных преобразований и сглаженных субинтервальных преобразований изображения Ф в некотором
частотном субинтервале О используются выражения, являющиеся следствием метода оптимальной фильтрации изображений на основе частотных представлений [2]
^О— QTл•*Q\в и W,a — 4LAIQTA<ЬQ\вlLв , (4)
где матрицы Q^A и Q^в, Lu и L^в являются подматрицами матриц QA, Qв, LА, Lв собственных векторов и собственных чисел субполосных матриц Л и В соответственно (способ построения подматриц Q^л и Q^в, Lu и L^в будет указан ниже):
матрицы Lл и Lв — квадратные матрицы, на главной диагонали которых расположены значения собственных чисел субполосных матриц А и В
ЬА (ЛА1,ЛА2,
,КАМ ) ' LB (Кв\,КВ 2,
считается, что значения собственных чисел упорядочены по убыванию, т.е.
КА\ — КА2 — ... — КЛМ ' КВ\ — КВ2 — ... — КВМ '
столбцы матриц Qл и Qв составлены из значений соответствующих собственных векторов субполосных матриц Л и В
QA — (ЧА\, $А2>...> ЧаМ ) ' ^ — (Чв\, ЧВ 2,..., $ВЫ ) '
Учитывая матрицы Qл и Qв, LА и Lв, субполосные симметрические матрицы А и В можно представить в виде
Л — QALлQTA , В — QвLвQl. ц (5)
На основании вышеприведенных обозначений матрицы Q^л и Q^в, L^А и L^в, применяемые в субинтервальных преобразованиях, имеют следующий вид
&А — (Ч А\, 4 А2 ,..., 4 А^„ ) ' ^В — (Чв\, ЧВ 2,..., ЧвЗи ) '
^а <Зш£;(Ха\,Ла2,
,КА^„) ' ^В (КВ\,КВ2,
,КШк ) '
где
М
2Я.
+ 2 и
Jъ — 2
N 2 Я
+2
(6)
Для восстановления (синтеза) результата анализа изображения на основании субинтервального преобразования и сглаженного субинтервального преобразования, соответствующего выбранному частотному субинтервалу О, следует выполнить следующие операции
Га— Q\лL\лW\aL\вQTв и То— Q\л4LjV\o^IЦвQTв ■ (7)
В данной работе в вычислительных экспериментах использованы подматрицы субинтервальных преобразований W^О поскольку сглаженные субинтервальные преобразования обладают аналогичными свойствами.
Результат восстановления (синтез) всего изображения после проведения его анализа на основании субинтервальных преобразований во всех частотных субинтервалах определяется следующим соотношением
а2 - а
Г = 11 ЦРма,,Ггг)■ Г,,, , (8)
г1 =1 г2 =1
где Уг^гг — результат восстановления изображения в частотном субинтервале Опг2, Рмаэк(г-\,Г2) — матрица, построенная таким образом, чтобы исключить из дальнейшего исследования доли энергии Рпгг(Ф) исходного изображения Ф в частотных субинтервалах О г\г2, которые не превышают некоторое пороговое значение Т\
р ( ) I1, Р*(ф) * Т1.
РМак (Г1. Г2 ) , (9)
[0. в противном случае (9)
Г\=\,2,...Де, Г2=\,2,...Дь.
Для сокращения объема битовых представлений, необходимых для хранения подматриц субинтервальных преобразований, используется квантование по уров-
ням значений элементов данных матриц.
Планирование вычислительных экспериментов
Главной целью экспериментальных исследований эффективности метода построения оптимальных обратимых субинтервальных преобразований является получение оценки относительной погрешности аппроксимации долей энергии исходного изображения в соответствующем частотном субинтервале О г\гг, г\=\,2,...,&,,
Гг = 1,2 Ъ,
= 1 -^7^7 , (10)
Рп(ф )
РгЛГ )
где Ф — исходное изображение, У — результат (соотношение (8)) восстановления (синтез) всего изображения после проведения его анализа на основании субинтервальных преобразований, Рпгг(Ф), Рг\гг(У) - доли энергий [4] изображений Ф, У в частотном субинтервале О г\г2.
В процессе экспериментов также определялись следующие величины:
- среднеквадратическое отклонение значений долей энергии восстановленного изображения У относительно долей энергии исходного изображения Ф
=
Г1= п, ---------------------------------, (11)
1 1 Рг(ф)
Г= \ Гг==
- среднеквадратическое отклонение значений яркости (в пикселях изображения) восстановленного изображения У=(уик), 1=1,2,...,М, к=1,2,...,М, относительно исходного изображения Ф=(/к), 1=1,2,...,М, к=1,2,...,М(погрешность восстановления),
1 1 {/гк - Угк У
к=1____________
М N
11 /к
г=1 к=1
В рамках настоящего исследования представляет интерес не только определение погрешностей аппроксимации абсолютных значений исходных трансформант Фурье на основе предложенных оптимальных субинтервальных преобразований изображений, но и сопоставление их с аналогичными погрешностями аппроксимации на основе применяемых на практике субполосных преобразований на основе банка КИХ-фильтров [3] (при этом имеется в виду аппроксимация трансформант Фурье исходных данных на основе базиса Фурье).
При субполосном преобразовании (анализ) на основе банка КИХ-фильтров изображение разлагается на несколько составляющих (субдиапазонов), соответствующих полосовой КИХ-фильтрации [3] в ограниченных частотных областях. В дальнейшем полученные субдиапазоны могут быть объединены (синтез), что позволит без искажений восстановить изображение. Поскольку ширина полосы частот субдиапазонов меньше ширины частот исходного изображения, то применение к субдиапазонам прореживающей выборки (децимации) не приводит к существенной потере информации в процессе анализа изображений. Восстановление исходного изображения осуществляется последовательным выполнением сгущающей выборки (интерполяции), фильтрации и «сложения» отдельных субдиапазонов. Обычно при субполосном преобразовании двумерных изображений используются одномерные полосовые КИХ-фильтры, которые образуют двумерные разделимые фильтры.
На основании результатов субполосных преобразований изображений с использованием КИХ-фильтров, длина импульсной характеристики которых равна 1-, получены аналогично выражениям (10)-(12) оценки относительной погрешности аппроксимации спектров исходного изображения в соответствующем частотном субинтервале О г1г2, г1 = 1,2,...Да, г2=1,2,...Яь, среднеквадратического отклонения значений долей энергии восстановленного изображения 11 относительно долей энергии исходного изображения, среднеквадратического отклонения значений яркости восстановленного изображения относительно исходного изображения (погрешность восстановления).
Экспериментальные исследования осуществлялись на основе вычислений оптимальных обратимых субинтервальных преобразований и субполосных преобразований изображений земной поверхности размерностью 256x256 и 512x512 пикселей, а также модельных изображений.
При реализации субполосных преобразований использованы КИХ-фильтры, длины импульсных характеристик ^ которых равны 256, 512 и 1024.
Субинтервальные и субполосные преобразования (анализ и синтез) изображений осуществлены при следующих значениях различных параметров:
- количество частотных интервалов, на которые разбивается пространство нормированных частот вдоль осей абсцисс 1а и ординат ^, выбиралось равным !■?а=^={2, 4, 8,16, 32, 64},
— величина порогового значения То, которому соответствует То-100% суммарной энергии исследуемого изображения, выбиралась равной То={1, 0.999, 0.99, 0.98, 0.97, 0.96, 0.95}.
Величина порогового значения То связана с пороговым значением Т1, (соотношение (9)), на основании которого определяются значения элементов матрицы Рмаэк(г1,г2), г1 = 1,2,...Яа, г2 = 1,2,.,/?ь, следующим соотношением
1 1 Рмак (Г. гг) ■ РК(Ф)
7т _ Г{=\ Гг=1
п
Ка Я/
1
к = 1 г2= 1
I Р,,(ф)
Результаты вычислительных экспериментов
Далее приведены отдельные результаты проведенных экспериментов.
В табл. 1 — 3 даны результаты анализа и синтеза на основе субинтервальных и субполосных преобразований модельного изображения, размерностью 512х512 пикселей, пороговое значение используемой суммарной энергии выбрано равным То=1.
В таблице 1 представлены значения относительной погрешности вычисления в различных частотных субинтервалах значений долей энергии восстановленных изображений на основании анализируемых преобразований (относительная погрешность аппроксимации значений долей энергии исходного изображения). Значения погрешностей найдены согласно соотношения (10), количество интервалов разбиения выбрано равным (1а=1ь = 4.
Таблица 1
Относительная погрешность аппроксимации значений долей энергии исходного изображения в различных частотных субинтервалах, =4
№ п/п Границы частотного субинтервала Относительная погрешность аппроксимации долей энергии
аг а2 Р Р2 ^81,12 ^256,^2 ^512,г1г2 ®1024,г1г2
1 0 0.25л 0 0.25л 0.0011 0.3751 0.0624 0.0020
2 0 0.25л 0.25л 0.5л 0.0535 5.0069 0.7237 0.1124
3 0 0.25л 0.5л 0.75л 0.1983 19.873 2.0451 0.1994
4 0 0.25л 0.75л л 0.1007 26.867 3.2271 0.0519
5 0.25л 0.5л 0 0.25л 0.1316 12.602 0.1347 0.4133
6 0.25л 0.5л 0.25л 0.5л 0.1772 129.74 0.4039 0.3461
7 0.25л 0.5л 0.5л 0.75л 0.3030 453.32 1.4801 0.5294
8 0.25л 0.5л 0.75л л 0.2182 605.54 2.4427 0.4426
9 0.5л 0.75л 0 0.25л 0.1888 10.282 0.8630 0.2742
10 0.5л 0.75л 0.25л 0.5л 0.2313 107.44 2.0225 0.1911
11 0.5л 0.75л 0.5л 0.75л 0.3489 375.82 4.3396 0.4178
12 0.5л 0.75л 0.75л л 0.2696 502.09 6.4121 0.3105
13 0.75л л 0 0.25л 0.0792 72.442 4.2786 0.1915
14 0.75л л 0.25л 0.5л 0.1275 704.90 7.5641 0.0989
15 0.75л л 0.5л 0.75л 0.2610 2452.0 14.1290 0.3514
16 0.75л л 0.75л л 0.1710 3273.8 20.0020 0.2319
Приведенные в табл. 1 данные указывают на существенные преимущества в аппроксимации спектра исходного изображения при использовании оптимальных су-бинтервальных преобразований по сравнению с субполосными преобразованиями изображений на основе КИХ-фильтров.
Дальнейшие вычислительные эксперименты продемонстрировали, что погрешности аппроксимации долей энергии в различных частотных субинтервалах при значениях #а=#ь={2, 8, 16, 32, 64 и т.д.} при применении субинтервальных преобразований изображений также существенно меньше аналогичных погрешностей при суб-полосных преобразованиях.
В табл. 2 представлены значения среднеквадратических отклонений значений долей энергии изображений, восстановленных на основании результатов анализа изображения с помощью исследуемых преобразований, относительно долей энергии исходного изображения. Значения отклонений найдены согласно соотношения (11), пороговое значение выбрано равным То=1.
Таблица 2
Среднеквадратические отклонения значений долей энергии восстановленных изображений, То=1
№ п/п Количество интервалов разбиения Ra=Rb оБ\ о256 о512 о1024
1 2 0.0001 0.3776 0.0601 0.0007
2 4 0.0011 0.3761 0.0625 0.0020
3 8 0.0024 0.1035 0.0758 0.0077
4 16 0.0024 0.1035 0.0758 0.0077
5 32 0.0246 1.6354 0.5181 0.4539
6 64 0.0381 37.9150 1.0368 0.8121
В табл. 3 представлены значения среднеквадратических погрешностей значений яркости (в пикселях изображения) изображений, восстановленных на основании результатов анализа изображения с помощью исследуемых преобразований, относительно исходного изображения (погрешность восстановления). Значения погрешностей найдены согласно соотношения (12), пороговое значение выбрано равным То=1.
Таблица 3
Среднеквадратические погрешности восстановления изображений по результатам анализа, То=1
№ п/п Количество интервалов разбиения Ra=Rb 8в\ 8256 8512 81024
1 2 0.0003 0.1013 0.0226 0.0077
2 4 0.0034 0.1149 0.0312 0.0151
3 8 0.0046 0.1828 0.0615 0.0509
4 16 0.0088 0.3244 0.0783 0.0617
5 32 0.0122 1.1023 0.2059 0.1875
6 64 0.0135 11.2820 0.3046 0.2459
На рис. 2 приведены значения среднеквадратических отклонений значений долей энергии исследуемых восстановленных изображений в зависимости от величины порогового значения То используемой в преобразованиях суммарной энергии исходного изображения при количестве интервалов разбиения (^е=^ =8.
Рис. 2. Среднеквадратические отклонения значений долей энергии восстановленных изображений, /1а=^=8
На рис. 3 приведены значения среднеквадратических погрешностей восстановления изображений по результатам анализа на основании субинтервальных и субпо-лосных преобразований в зависимости от величины порогового значения То используемой суммарной энергии исходного изображения при количестве интервалов разбиения (^е = ^ =8.
Рис. 3. Среднеквадратические погрешности восстановления изображений по результатам анализа, Ra=Rb =8
Выводы
Предложенный метод оптимальных обратимых субинтервальных преобразований позволяет достичь высоких точностей аппроксимаций значений трансформант Фурье в заданных частотных интервалах и может быть использован для создания новых эффективных методов сжатия. Полученные результаты вычислительных экспериментов над различными изображениями показывают высокую эффективность применения оптимальных обратимых субинтервальных преобразований на основе частотных представлений и демонстрирует преимущества данных преобразований в погрешностях аппроксимации долей энергии изображений и в погрешностях восстановления изображений.
Литература
1. Ковалгин, Ю.А. Цифровое кодирование звуковых сигналов [Текст] / Ю.А. Ковалгин, Э.И. Вологодин. - СПб: Корона-принт, 2004. - 240 с.: ил.
2. Жиляков, Е.Г. Вариационные алгоритмы анализа и обработки изображений на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец. — Белгород: Изд-во БелГУ, 2008. — 146 с.
3. Гонсалес, Р. Цифровая обработка изображений [Текст] / Р. Гонсалес, Р. Вудс. — М.: Техносфера, 2006. — 1072 с.
4. Жиляков, Е.Г. Метод определения точных значений долей энергии изображений в заданных частотных интервалах [Текст] / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец, И.В. Лысенко // Вопросы радиоэлектроники. — Сер. РЛТ, 2007. — Вып. 4. — С. 115-123.
ON EFFICIENCY OF THE OPTIMAL REVERSIBLE SUBINTERVAL IMAGE TRANSFORMATION METHOD ON THE BASIS OF FREQUENCY REPRESENTATIONS
A.A. CHERNOMORETS,
I I CHIZHOV Experimental research results of efficiency of the optimal reversi-
' ble subinterval image transformation method on the basis of fre-
I.V. LYSENKO, quency representations are given in the work. Comparative investiga-
KA. MARENOV tion of the proposed method and subband transformation method
based on FI R-filters bank are described.
Belgorod State University
Key words: image, frequency representations, subinterval transe-mail: chernomorets@bsu.edu.ru formation, subband matrix, energy parts, reconstruction error
