О формировании квазициклических компонент изображений с заданными частотными свойствами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.397

О ФОРМИРОВАНИИ КВАЗИЦИКЛИЧЕСКИХ КОМПОНЕНТ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ЗАДАННЫМИ ЧАСТОТНЫМИ СВОЙСТВАМИ

В работе изложен метод формирования компонент изображений, энергия которых сосредоточена в заданном частотном интервале. Приведены результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующих работоспособность данного метода.

Ключевые слова: изображение, внедрение, частотный интервал, сосредоточенность энергии, собственный вектор.

В. В. КРАСИЛЬНИКОВ А. А. ЧЕРНОМОРЕЦ

Белгородский

государственный

университет

Введение

Задача формирования квазициклических компонент изображений с заданными частотными свойствами возникает при совершенствовании средств информационного обмена - при решении проблем уплотнения информации (повышения коэффициента сжатия за счет передачи в одном файле нескольких изображений), ее скрытия (использования стеганографических систем при создании скрытого канала передачи данных) и др. Так, например, при создании систем защиты от копирования, защиты авторских прав в процессе распространения в цифровом виде музыкальных, графических и других произведений широко используется внедрение в мультимедийные объекты «цифровых водяных знаков». Большинство методов создания «водяных знаков» не обладают устойчивостью к внешним разрушающим воздействиям. В данной работе изложены теоретические положения метода формирования компонент изображения, энергии которых полностью находятся в заданных частотных интервалах, что может быть использовано при создании устойчивых методов уплотнения и скрытия информации.

Предлагаемый метод формирования указанных компонент изображения базируется на положениях теории обработки изображений на основе частотных представлений [1, 2].

1. Теоретические основы обработки изображений на основе частотных представлений

Пусть Ф=(£*), г=1,2,..., N1, к=1,2,..., N2, — некоторое изображение (дискретный двумерный сигнал), заданное матрицей яркости, размерности ^х^, в которой значения элементов задаются яркостью соответствующих пикселей рассматриваемого изображения.

В работах [2, 3] показано, что точное значение Ра доли энергии изображения Ф в симметричной двумерной частотной области а, названной субинтервалом, а : {(и,V) | (и е [а1,а2],V е [Д, Д])и (и е [а1,а2],V е [- Д2,-Д])и

и (и е[-а2,-а 1 V е[- Д2,-Д]) и (и е[-а2,-а11 V еД Д2 ])} , (1) где 0 < а1,а2, Д, Д < п,

может быть вычислено без перехода в частотную область на основании выражения

Ра = 1гес(АТ Ф- В Фт), (2)

где Ф — матрица исходного изображения (двумерного сигнала),

Л=(аш2) и В=(Ьк1к2)— субполосные матрицы [1], размерности ^хЭД. и N2x^2., значения элементов которых определяются на основании следующих выражений:

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2010. № 13 (84). Выпуск 15/1

^ =

Sin(a2 (i1 - i2)) - Sin(a1 (i1 - i2}) п{гг -i2) '

n

Sin(ß2(k1 - k2)) - Sinß1 (k1 - k2))

n(k1 - k2)

ß2 - ß1 n k1 — k2.

(3)

В работе [2] также показано, что выражение

Yü= At .ф.B (4)

определяет результат Yq фильтрации изображения Ф в частотной области Q, оптимальный в смысле евклидовой нормы отклонения трансформанты Фурье Z(u,v) результата фильтрации Yq, в заданном частотном интервале Q, от трансформанты Фурье F(u,v) исходного изображения Ф и от нуля - вне данного интервала, т.е.

JJ F(u, v) - Z(u, v)|2dudv + JJ |Z(u, v)|2 dudv ^ min . (5)

(u,v )gQ (u,v )^Q

Определенный таким образом результат фильтрации не допускает растекания энергии двумерного сигнала (изображения) за пределы заданной частотной области.

Субполосные матрицы являются симметрическими, неотрицательно определенными, следовательно, матрицы А и В представимы в виде произведения матриц

A = QA ■ LA . QaT , B = QB . LB ■ QbT , (6)

где

LAQA = AQA , LBQB = BQB, QA, QB - матрицы, столбцами которых являются собственные векторы матриц А и В,

QA = (qA, qA,..., <), QB = (qB, qB,..., <), (7)

LA, LB - диагональные матрицы, составленные из собственных чисел матриц А и В,

LA = diag(X,X,-X), LB = diag(XX,-Л2) ■ (8)

Предполагается, что собственные числа упорядочены по убыванию

X > X > ... > X, X > X > ... > X2 ■

Известны [l] свойства собственных векторов и собственных чисел субполосных матриц:

а) собственные векторы отдельной субполосной матрицы, например, матрицы А образуют ортогональную систему:

(qA, qA) = J, Vi, (9)

q,qA) = 0, ij * i2, ViJ,i2;

б) собственные векторы субполосных матриц Ari и Ar2, одинаковой размерности NxN, соответствующих непересекающимся частотным интервалам ri и Г2, ортогональны, т.е. если

XXr1 qA'1 = Ari qA и Xa2 qA2 = A2 qA2,

то

(qAr\qAr2) =0, v/,k = 1,2,...,N;

(10)

в) собственные числа субполосных матриц принимают значения в интерва-

ле]о,1]:

11 ф i2

j , ..2

a2— a1

'1 2

0 < XA < 1, Vi, 0 < XB < 1, Vk .

(11)

2. Формирование двумерных сигналов с минимальной долей просачивания энергии за пределы заданного частотного интервала

2.1. Формирование отдельного двумерного сигнала с заданными частотными свойствами.

Определим требования, при которых энергия Pq(W) некоторого двумерного сигнала W сосредоточена в одном частотном субинтервале Q. Данные требования могут быть сформулированы в результате решения следующей вариационной задачи

и ip

W -PQ(W) ^ min. (12)

W

Отметим, что так как

I 11^

W - PQ (W) > 0,

то минимальное возможное значение задачи (2.1) соответствует случаю, когда

II и?

|W| - Pq (W) = 0, (13)

т.е. энергия сигнала W целиком сосредоточена только в частотном субинтервале Q. Используя равенство

|W| |2 = trec(WWT ) и соотношение (2), можно выполнить следующие преобразования:

IWI|2 -Pq(W) = trec(WWT)- trec(AWBWT) =

= trec((W- AWB)WT) . Используя представление субполосных матриц с помощью их собственных чисел и векторов (6), получим

trec((W - QaLaQAWQbLbQB )Wt ) =

= trec(QA (QAWQb - LaQAWQbLb) QW). Рассмотрим некоторый двумерный сигнал Y:

Y = QAWQB . (14)

Тогда вариационная задача (12) может быть записана в виде:

trec(QA (Y - LaY Lb ) QBWT ) ^ min . (15)

W

Очевидно, что условием оптимальности решения задачи (1) является использование в преобразованиях над сигналами только собственных чисел, равных 1, и соответствующих им собственных векторов. В этом случае будем иметь

Y - LaYLB = Z ,

где Z - нулевая матрица.

Выполним некоторые преобразования, которые помогут найти оптимальное решение задач (12), (15).

Обозначим, Ja и Jxb - количество собственных чисел субполосных матриц А и В, равных 1 (единичные собственные числа субполосных матриц существуют на основании их свойств).

Обозначим также Qa и Qxb - матрицы, составленные из собственных векторов, соответствующих единичным собственным числам субполосных матриц А и В. Размерности матриц Q1a и Qxb равны (Nx, J1a) и (N2, Jxb) соответственно.

Напомним, что размерности матриц Qa и Qb соответственно равны (Nx,Nx) и (N2N2), размерность сигналов Wи Yравна (N1N2).

Рассмотрим произвольный двумерный сигнал Yx, размерности (Jxa, Jxb) и матрицу Yxx, определяемую значениями сигнала Yx:

Y = Y

1 11 1 1 •

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2010. № 13 (84). Выпуск 15/1

Рассмотрим далее сигнал W, задаваемый выражением

w' =q1a qo a ]

Y Y

x 1 1

YY

- 21

22.

Qtb

Qb

(16)

где QoA и Qoв — нулевые матрицы, дополняющие матрицы QlA и Q1в до матриц размерности (М,^) и (^,N2) соответственно, Yх2, Y2х, Y22 — нулевые матрицы, дополняющие матрицу Yхх до матрицы, размерности (N[,N2), скобки [ ] — операция составления некоторой матрицы из блоков других матриц.

Вычислим значение функции цели задачи (12), (15) для двумерного сигнала Ш (16). Для этого рассмотрим сигнал У, заданный с помощью выражения (14) для сигнала Ш, он имеет вид

Y' = qtaw'qb =

=QA Qia QOA ]

YY

"Ml 1 12

YY

21 22

QTb

QTb

Qb =

QTa QTa

Qia Qoa ]

YY

11 12

YY

-L 01 1 t

Qtb'

QTb

qib q2 в ],

21 J-22 _

где Q2A и Q2B - матрицы, столбцы которых составлены из собственных векторов с номерами, начиная с Jia +1 и Jib +1, субполосных матриц А и В соответственно.

Учитывая свойство ортогональности собственных векторов субполосных матриц, имеем

Y' =

YY

11 12

YY

21 22

Тогда для сигналов У и Ш разность в выражении (2.4) имеет вид

y lay lb = y la

YY

11 1

12

YY

г = Y' - Y' = Z

где У12, У21, У22 и Z — нулевые матрицы.

Таким образом, доказано, что для двумерного сигнала Ш, задаваемого с помощью выражения (16), имеем

и и?

И - Р (И') = 0.

Покажем, что с сигналом Ш совпадает двумерный сигнал Ж, полученный в результате преобразования

И = . (17)

Выполним следующие преобразования:

W' = ^А Q, A ]

= [S11 S12 ]

YY

11 12

YY

21 22

QTb QTb.

QTb Qtb.

где

Z12 - нулевая матрица.

= S11Q1B + S12 Q0B = S11Q1B = Q1AY1Q1B ,

S11 = Q1AY11 ^ Q0AY21 = Q1AY11 = Q1AY1 , S12 = Q1AY12 ^ Q0AY22 = Z12 ,

Таким образом, для выражений (16) и (17) имеем

W = w '.

Следовательно, справедливо следующее утверждение: для того чтобы энергия некоторого сигнала WQ, размерности (N1N2) была сосредоточена только в одном частотном субинтервале Q, достаточно, чтобы он был сформирован на основании другого сигнала Yi, размерности (Ja, Jib) и матриц Qa и Qib, столбцы которых составлены из собственных векторов, соответствующих единичным собственным числам субполосных матриц А и В (матрицы А и В соответствуют частотному субинтервалу Q):

Wq = qiayqqtb . (18)

Для восстановления сигнала Y1 из сигнала Wq следует выполнить преобразование

Y = qtawqq1b . (19)

2.2. Свойства суммы двумерных сигналов с заданными частотными свойствами.

Покажем, что из суммы нескольких сигналов, сформированных с помощью выражения (18) для различных двумерных частотных интервалов, можно восстановить каждый из использованных сигналов.

Предположим, что суммарный двумерный сигнал, содержащий формируемые сигналы, имеет размерность (N1N2).

Пусть двумерная частотная область разбита на множество непересекающихся равновеликих частотных интервалов {Qn^}, r1—1,2,...,R1; r2—1,2,...,R2, для каждого из которых вычислены субполосные матрицы An и Br2.

Для всех субполосных матриц найдем собственные числа и упорядочим их по убыванию (отдельно для каждой субполосной матрицы).

Определим значения J1A, J1B - минимальное количество единичных собственных чисел соответственно субполосных матриц An; r1=1,2,...,R1, и Br2, r2=1,2,...,R2,

J1A = min{ J1Arl) , r1=1,2,..., R1

jIb = min{ JiBr2} .

r2 =1,2,.. ,R2

Зададим матрицы Qla-1 и Q1br2, r1—1,2,...,R1, r2=1,2,...,R2, столбцы которых составлены из J1A и J1B собственных векторов, соответствующих указанным выше единичным собственным числам субполосных матриц Ar1 и Br2.

Зададим произвольные двумерные сигналы {Ул^}, размерностью (J1A, J1B).

Сформируем сигнал W как сумму преобразованных (в соответствии с выражением (18)) сигналов:

w = t t qIayqb . (20)

i=1 k=1

Выполним

восстановление исходного сигнала Ynr2, r1—1,2,...,R1, r2—1,2,...,R2, на основании выражения (19), умножив матрицу W слева и справа на соответствующие матрицы собственных векторов. Учтем тот факт, что собственные векторы субполосных матриц ортогональны. Тогда

R1 R2

QLWQ1B2

Q1 Ar (t tQiAYkQ 1Bk )QlBr2 — i=1 k=1

^ ^ &Лг-0.1лХ1к0.1Вк0.В1г2 & Лг$Л1г1'^г1г2^В^1Вг2 ^"г1г2 • (21)

1=1 к=1

Соотношение (21) указывает на тот факт, что одновременно в различные частотные интервалы можно «разместить» несколько исходных сигналов, которые затем можно «извлечь» из суммарного сигнала.

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2010. № 13 (84). Выпуск 15/1

Поскольку изображения представляют собой двумерные сигналы, то приведенные выше соотношения (18М19) и (20)-(21), определяющие метод формирования сигналов с заданными частотными свойствами, справедливы при обработке изображений и их квазициклических компонент, соответствующих различным частотным интервалам.

Следовательно, если (с учетом размерностей изображений) некоторое изображение Ж было получено в результате суммирования произвольного изображения и матрицы Но, сформированной на основании другого изображения с помощью выражений (18), (20), то изображение всегда может быть восстановлено с помощью выражений (19), (21).

3. Проверка работоспособности метода

Для проверки работоспособности предлагаемого метода формирования квазициклических компонент изображений с заданными частотными свойствами был проведен ряд вычислительных экспериментов над реальными изображениями — фотографиями земной поверхности.

Так, при проведении вычислительных экспериментов рассматривалось изображение-контейнер Шо (изображение 512x512 пикселей, рис. 1а), в которое внедрялся фрагмент Уо другого изображения (рис. 2а). При этом частотная область {о<и,ь<л} была разбита на 16 равных по величине субинтервалов (рис. 2в). Для заданного изображения-контейнера было произведено внедрение (рис. 1б) фрагмента в субинтервал ^13, которому соответствует доля энергии исходного изображения-контейнера меньше, чем 99% от его суммарной энергии.

Так как в данном эксперименте количество единичных собственных чисел используемых в вычислениях субполосных матриц равно 122, то внедряемый фрагмент изображения был выбран размером (122,122) пикселей.

Результат Ш внедрения фрагмента Уо в контейнер Шо был получен на основании следующего соотношения (предварительно из изображения-контейнера был удален результат фильтрации (1.4)):

И = И + О У ОТ

а б

Рис. 1. Изображение-контейнер: исходное (а), с внедренным фрагментом (б)

Визуально изображения Ж и Жо практически не отличаются (рис. 1). Значение среднеквадратического отклонения для данных изображений равно 0.067.

Далее на изображение-контейнер с внедренным фрагментом был наложен случайный шум с отношением шум/сигнал, равным 0.03. При восстановление фрагмента из зашумленного контейнера было получено изображение Yn, среднеквадрати-ческое отклонение которого от исходного фрагмента равняется 0.15 (рис. 2б).

0

а

б

л

«11 «12 «13 «14

«21 «22 «23 «24

«31 «32 «33 «34

«41 «42 «43 «44

Рис. 2. Внедряемый фрагмент (а), результат восстановления фрагмента при зашумленном контейнере (б), разбиение частотной области (в)

v

в

Выводы

Предложенный метод позволяет формировать компоненты изображений, энергия которых сосредоточена в заданном частотном интервале, внедрять и восстанавливать их в изображениях.

Вычислительные эксперименты продемонстрировали работоспособность данного метода и некоторую устойчивость внедренной в изображение информации к случайному шуму.

Литература

1. Жиляков, Е.Г. Методы анализа и построения функций по эмпирическим данным на основе частотных представлений / Е.Г. Жиляков. - Белгород: Изд-во БелГУ, 2007. - 160 с.

2. Жиляков, Е.Г. Вариационные алгоритмы анализа и обработки изображений на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец. - Белгород: Изд-во ООО ГиК, 2009. - 146 с.

3. Жиляков, Е.Г. Метод определения точных значений долей энергии изображений в заданных частотных интервалах / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец, И.В. Лысенко // Вопросы радиоэлектроники. - Сер. РЛТ. - 2007. - Вып. 4. - С. 115-123.

Исследование выполнено при поддержке ФЦП «Науные и научно-педагогические кадры инновационной России», Государственный контракт №14.740.11.0390

ON FORMING QUASICYCLIC IMAGE COMPONENTS WITH SPECIFIED FREQUENCY PROPERTIES

A. A. CHERNOMORETS V. V. KRASILNIKOV

Belgorod State University

In this work we propose a method of forming image components that have their energy concentrated in specified frequency interval. We give results of computational experiments that demonstrate the efficiency of the method.

Key words: image, implementation, frequency interval, energy concentration, eigenvector.