Метод выделения квазициклических компонент изображения, определяемых его энергией в заданных частотных субинтервалах Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.397

МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ КВАЗИЦИКЛИЧЕСКИХ КОМПОНЕНТ ИЗОБРАЖЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ЕГО ЭНЕРГИЕЙ В ЗАДАННЫХЧАСТОТНЫХСУБИНТЕРВАЛАХ

В работе изложен метод выделения квазициклических компонент изображения, оптимальный в смысле аппроксимации спектральной энергии в заданном частотном субинтервале и вне его, с учетом различной значимости составляющих используемого функционала.

Ключевые слова: изображение, трансформанты Фурье, частотный субинтервал, квазициклические компоненты, оптимальная фильтрация.

В процессе создания систем обработки и анализа изображений в различных сферах хозяйственной деятельности человека, например, мониторинг земной поверхности, анализ рентгеновских снимков, одной из основных задач является выявление различных характеристик объектов, отображенных на изображениях.

Для задачи выделения различных характеристик на изображениях большую значимость имеет решение проблемы фильтрации квазициклических компонент изображения, которые характеризуются повышенной концентрацией спектральной энергии [1] изображения в отдельных частотных интервалах. В данной работе предложен новый метод фильтрации изображений, который позволяет выделять такие компоненты, что их спектр имеет наименьшее среднеквадратическое отклонение, с учетом некоторой значимости данной аппроксимации, от спектра исходного изображения в заданном двумерном частотном интервале, а вне этого интервала имеет наименьшее отклонение от нуля, также с учетом некоторой значимости указанной аппроксимации.

Рассмотрим математические основы метода решения задачи разделения изображений в цифровой форме на аддитивные составляющие (квазициклические компоненты) с использованием частотных представлений (линейной частотной фильтрации). Задача выделения квазициклических компонент изображений, которые полностью определяются энергией исходного изображения в заданном частотном интервале, рассматривается в данной работе в следующей общей формулировке. Пусть Ф=(/ис), 1=1,2,...,М, к=1,2,..^, - изображение, заданное в виде матрицы, элементы / которой представляют собой значения яркости в точках (7,к) некоторой пространственной области. Трансформанта Фурье Р (и, V) данного изображения согласно определению [2] имеет вид

М N

/■ ОмОп п п 4е'"а1) (1)

<□1 к

I

Задача заключается в разделении изображения на аддитивные компоненты

□ ПГо,

так, что первая компонента Y обладает трансформантой Фурье

М N

РТ(и,У)П □ □ у1ке*а™ 'Г1Х (2)

/□1 к

□1

А.А. ЧЕРНОМОРЕЦ ОН. ИВАНОВ

Белгородский

государственный

национальный

исследовательский

университет

e-mail:

Chernomorets@bsu.edu.ru

которая в идеальном случае должна удовлетворять условиям

1’’‘ (и, V) □ /' (и, V), (и, у) □ □,

1’’‘ (и,у) □ 0, (г/, V) и и, (4)

где П - частотный субинтервал, определенный следующим соотношением,

□ : {1_ (//, V’) I (г/ □ □ 2 О, V’ □ □ □!, (//□ □□1,С2“уП I Щ, 0,1)11

□2П)11

(и □ □ □ Цуа С □ П)и

(г/ □'С2~П1 ,1;и Г,, ) }, (5)

О Г,

Известно [3], что отрезки конечной длины не могут иметь трансформанты Фурье с финитными областями определения, то есть удовлетворить условиям «идеальной» частотной фильтрации (3), (4) не представляется возможным. Вместе с тем можно предложить вариант оптимального решения сформулированной задачи разделения изображения на аддитивные составляющие (частотной фильтрации).

В работе предлагается использовать следующий вариационный принцип -спектр результата преобразования должен наилучшим образом

аппроксимировать спектр исходного изображения в смысле минимума некоторого функционала.

В качестве предварительных исследований приведем процесс [4] выделения

квазициклической компоненты у вектора X (отрезка сигнала) конечной длины М (одномерная оптимальная линейная фильтрация),

х □ ух°,

где X □ (Х,Х ,...,Х ) ’ у О (у ,у ,...,у ) ’ X □ (х ,Х ) _ векторы длины М.

12 М 12 М О 01 02 ОМ

Введем квадратичный функционал

Я2(х,у) □ (1 □) |^*(П)>-У(П)|2^ПЛ 1^'(П)|2 ^ (6)

□ □ □

□ ПУГ □ ПУГ

где Т7 ( П ) И Т7 (□ ) _ трансф0рманты Фурье векторов X и у .

/' " (») □ □ х/'ип (7)

/П1

и

Fy(v) □ ^ yjei«0n (8)

/П1

- параметр, определяющий относительную важность составляющих функционала

(6), удовлетворяет неравенству

ODD Cl, (9)

Vr - интервал, задаваемый соотношением

К L[vrl,vr)a[vr,vrl), (10)

0 □ v0 □ vr □ vrl □ г 01,..,R.

Параметр у указывает на возможную различную важность составляющих функционала (6). Функционал ^ может служить мерой погрешности выполнения условий (3), (4). Поэтому использование вариационного принципа

S2(x,y) _mmS2(x,y), С11)

1:1 У 1:1

где поиск минимума осуществляется по компонентам у, позволяет получить оптимальное (в смысле вариационного принципа (11)) решение задачи аддитивного разделения вектора на основе частотных представлений.

Подстановка определений (7) и (8) в функционал (11) позволяет легко преобразовать его к виду

52(х,у) □ (1 Е)хтАх 2(1 С)/Лх/(□/,(1 2П)А )у,

ГГ г

(12)

где

Аг - субполосная матрица [5], соответствующая частотному интервалу Уг.

2011. №7(102). Выпуск 18/1

Поскольку субполосная матрица Аг является неотрицательно-определенной и имеет место неравенство (9), то матрица

Сп □(□/|2ПК) (13)

будет неособенной. Поэтому, справедливо следующее представление для вектора, удовлетворяющего требованию (11),

- . , _ (14)

уП(1 0){~ 1\2П)А У Ах. >

Используя определения элементов субполосных матриц, для компонент вектора

2 □ (3 У О Ах

Г

нетрудно получить равенства

г, □ ^■'•'(□)ехр(./П(£ 1)>Г/2П ,к □ 1,..,#. асу.

Таким образом, вектор I, а, следовательно, вся правая часть соотношения (14)

и вектор у определяются только энергией исходного вектора в заданном частотном интервале ¥г.

На основании указанного результата в данной работе разработан вариационный принцип выделения квазициклических компонент изображений, которые полностью определяются энергией исходного изображения в заданном частотном субинтервале (5), заключающийся в последовательном применении вариационного принципа (и) оптимальной линейной фильтрации одномерных дискретных сигналов, сначала к столбцам исходного изображения, затем к строкам результата первого преобразования.

Для описания метода выделения квазициклических компонент изображений введем следующие обозначения:

- и1 П (/«•)> с (Лд-)> 1 п (/зд)> ' П ХХ-М, к с 1,2,...,#, - изображения размерности ЫхЫ, заданные соответствующими матрицами яркости;

- ии., а2к,кс и...,# - £-тый столбец матриц Фх и Ф2;

- ), 1\к ( ) - трансформанты Фурье, соответствующие указанным столбцам,

м

п /и/ "" •

с /□!

м . _

^ ^ (,1) ;

(□)

. . □

г г

□ 2, П3, / □ 1,2,...,М- г-тая строка матриц Ф2 и Ф3;

- F2 (□), F3 (□) - трансформанты Фурье, соответствующие указанным строкам;

N

' F2(U)D

U

F3(U) □

□

itll

N

□

лої

2,ik

j №D

f e

} №D

3,ik - □.

u

fe

- проекции частотного субинтервала (5) на координатные оси ОИ и ОУ частотной области соответственно.

В процессе выделения квазициклических компонент изображений, соответст- вующих заданному частотному субинтервалу (5), предлагается на основании приме- нения вариационного принципа (и) к изображению Фх последовательно построить некоторые изображения Ф2 и Ф3 следующим образом:

2011. №7(102). Выпуск 18/1

1) Вариационный принцип (11), примененный к отдельным столбцам

к 1,2,...,Ж,, исходного изображения Фх в частотной области ц, и позволяющий

найти оптимальный результат фильтрации в том смысле, что спектр получаемых в результате фильтрации столбцов имеет наименьшее среднеквадратическое отклонение от спектра фильтруемых столбцов в частотном интервале ц, а вне этого интервала имеет наименьшее отклонение от нуля, то есть

1 , 1

S.OVH*) □(!□)_ (P\'dD.n_ n|Kf(D)|-rfDn (l5)

min,

и и 7

2D 2D D:i

ODD □□□

0 □ □ ! □ 1,

определяет столбцы nk , к 1,2,..., Af, изображения T Очевидно, что определенное таким способом изображение 2 представляет собой результат оптимальной линейной фильтрации столбцов исходного изображения I, в частотной области ц. Параметр , определяет относительную важность составляющих функционала (15).

2) Вариационный принцип (и), примененный к отдельным строкам \,

/’ 1,2, изображения Ф2 в частотной области ,,, и позволяющий найти опти-

мальный результат фильтрации в том смысле, что спектр получаемых в результате фильтрации строк имеет наименьшее среднеквадратическое отклонение от спектра фильтруемых строк в частотном интервале .,, а вне этого интервала имеет наименьшее отклонение от нуля, то есть

S (□',□')□(!□ )4г ^'(□Н(П) <р □ 1 |^'(П f d/D □ (16)

2 I . I n

2 mm,

□ 2 3 2 — □ з

2

з

2

2

о □ □ 2 □

1,

определяет строки / и 1,2,..., изображения ,. Очевидно, что определенное таким способом изображение 3 представляет собой результат оптимальной линейной фильтрации строк изображения 1_ 0 в частотной области ,. Параметр определяет

относительную важность составляющих функционала (16).

Вариационный принцип (15), определяет метод оптимальной линейной фильтрации столбцов исследуемого изображения [, который на основании выражения (14), позволяет получить изображение т (столбцы изображения , являются результатом (14) оптимальной линейной фильтрации (и) столбцов изображения ,) на основании соотношения

□, □ (і' □1)(п1/|іа1м.) 1 ап,, (17)

где А - субполосная матрица, соответствующая проекции частотного субинтервал (5)-

Аналогично, вариационный принцип (16), определяет метод оптимальной линейной фильтрации строк изображения 2, который на основании выражения (14), позволяет получить изображение з (строки изображения 3 являются результатом (14) оптимальной линейной фильтрации (и) строк изображения и ) На основании соотношения

□ л_(д 4(і'2П ю'д □ ), 2

(18)

где А

2011. №7(102). Выпуск 18/1

- субполосная матрица, соответствующая проекции У частотного субинтервал (5)-

Подстановка выражения (17) в выражение (18) дает соотношение, определяющее вариационный метод выделения квазициклической компоненты Y изображения Ф (оптимальная фильтрация), которая полностью определяется энергией исходного изображения в заданном частотном субинтервале ,

У □ (1 □ ,)(□,/ (1 2П) ' А ПА (О 1.(1213 )А )’(1 □ ). (19)

О □ □1 р

1

О □ □, Г 1

□ о

где А , Ап - субполосные матрицы А □ (а,,,,) и А □ а, а-,), соответствующие час-

('а

тотному субинтервалу (5), значения элементов которых задаются соотношениями (20), (21),

П ( 2 .□ 1 )((71 и )) ( 2 0 1 )((71 и ))

2('о.\ 2 17441 8п1

и________________2___________________________2_________

□ ■ , /, □ /-,, ач,2~- □ П(¥2) "

□и □ . .

}—а ь 7 - 7 , (20)

□ 2C.ps 2 а 1 )((^1 ^)) Ят^2 11^

о о

и □

Пй □

□ 2 1 , к □ к Г

Г (*>,), *,□*,

(21)

1 2

В частном случае, при значениях

□ , □ Г2 □

0.5,

что соответствует одинаковой важности составляющих функционалов в (15) и (16), имеем

У П Аи ПА ,

(22)

тем самым, результат, полученный в [6], является частным случаем предлагаемого метода.

Вариационный принцип (15), (16) обеспечивает построение такой аппроксимации трансформант Фурье исходного изображения, при которой спектр | Рг(и,и)\ полученного изображения в области практически совпадает со спектром \¥ф(и,и)\ исходного изображения, а вне области близок к нулю в смысле минимума указанных функционалов.

Очевидно, что такой подход соответствует постановке задачи оптимальной частотной фильтрации изображений в заданной частотной области. Определенный таким образом спектр не допускает растекания энергии изображения за пределы частотного субинтервала . Следовательно, выражение (19) определяет метод оптимальной фильтрации изображений на основе частотных представлений и позволяет для нахождения квазициклических компонент изображений, которые полностью определяются энергией исходного изображения в заданном частотном субинтервале, построить вычислительную процедуру, не вычисляя при этом трансформанты Фурье.

2011. №7(102). Выпуск 18/1

Известно [7], что субполосные матрицы также можно представить в виде разложения по их собственным векторам,

А ПО 1_ О | (23)

т

□ □ □

А СО ОЬ ПО (24)

т □ ,

□ □ □

где столбцы матриц О и О составлены из значений собственных векторов матриц Аа и Ар соответственно,

О П(д1 ,д2,...,дм), О □ (дх ,д2 ,...,дм), матрицы La и Lp - квадратные матрицы, на главной диагонали которых расположены

значения их собственных чисел,

La L diag(x) ,-Р ,...м L С diag(\ . ,□ ] ).

□ U),

Будем в дальнейшем считать, что значения собственных чисел упорядочены по

убыванию,

□ о о а □ о

Tj □ П2 □ ... □ Dv/ О, □ П...ПСМ.

" > ‘

На основании свойств субполосных матриц [7], будем считать, что некоторые величины Jx и J2 определяют количество ненулевых собственных чисел субполосных матриц А и А . Следовательно, для данных матриц можно использовать следующее разложение по собственным векторам,

пг

л сала ,

vU ТП Т

A DQ 1, Q

где

О 0(q ,q ), О □ (q ,q ),

□ 1 1 2

□ 1 1 2

Ь П diag(Z\ , ] Ь и diag(U ,□ ).

),

П1 12 ^ П1 12 J2

С учетом ненулевых собственных чисел субполосных матриц А и А выражение для определения результата оптимальной фильтрации принимает вид

7 □ (1 □ )( /,(1 2П )0 ЬОтУО С10та0ЬЗ

□

11 1 Ш Ю Ш 1П Ш Ш 1П 1П

Т Т ~ 1

ПОх (Г 21{\2П2)Ох Ц Ох ) (1 С,), (25)

или

где

7 □ CXUC2,

сх □ (і nxq i\2U )Q

(2б)

(27)

c2 □

Т Т 1

О, Ц О, (□І/(12ГІ)01 і, О, ) (1П2) (28)

В случае, когда частотная область разбита на Ях хЯ2 равновеликих частотных субинтервалов, то результат оптимальной фильтрации в частотном субинтервале

[7] имеет вид

гссис, (29)

где

cn □(i D1)(D1/,(i 2a1)a.A,a ) KQu>

С □ О L От /,(1 2 □ )0 L От)\ 1 □ ).

(□

(30)

(31)

lr2 l Г2 l Г2 2

2 l Г2 l?2 lr2

J

J

2

l2

Tl

T

2

r

2

Выражения (19) и (25) определяют новый инструмент выделения квазицикли-

ческих компонент изображений, которые полностью определяются энергией исходно-

2011. №7(102). Выпуск 18/1

го изображения в заданном частотном субинтервале, на основе частотных представлений, не использующий прямое и обратное преобразования Фурье.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры для инновационной России» на 2009-2013 годы, гос. контракт № 14.740.11.0390 и гранта РФФИ 10-07-00266.

Литература

1. Сойфер, В. А. Методы компьютерной обработки изображений [Текст] / В. А. Сойфер. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 784 с.

2. Гонсалес, Р. Цифровая обработка изображений [Текст] / Р. Гонсалес, Р. Вудс. - М.: Техносфера, 200б. - l072 с.

3. Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов [Текст] / Л. Раби-нер, Б. Гоулд. - М.: Мир, l978. - 327 с.

4. Жиляков, Е. Г. Методы анализа и построения функций по эмпирическим данным на основе частотных представлений [Текст] / Е. Г. Жиляков. - Белгород: изд-во БелГУ,

2007. - i60 с.

5. Жиляков, Е.Г. Вариационные методы анализа сигналов на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков, С.П. Белов, А.А. Черноморец // Вопросы радиоэлектроники, Сер. ЭВТ. - 20l0. - Вып. l. - С. l0-25.

6. Жиляков, Е.Г. Оптимальная фильтрация изображений на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец // Вопросы радиоэлектроники,, Сер. ЭВТ. -

2008. - Вып. l. - С. ll8-l3l.

7. Черноморец, А.А. О свойствах собственных векторов субполосных матриц [Текст] / А.А. Черноморец, Е.И. Прохоренко, В.А. Голощапова // Научные ведомости БелГУ. Сер. Исто- рия. Политология. Экономика. Информатика. - 2009. - № 7 (62). - Вып. ю/l. - С. l22-l28.

METHOD OF IMAGE QUASICYCLIC COMPONENTS FILTERING BASED ON ITS ENERGY IN GIVEN FREQUENCYSUBINTERVALS

A. A. CHERNOMORETS O. N. IVANOV

Belgorod National Research University e-mail:

chernomorets@bsu.edu.ru

In this work we propose the method of image quasicyclic components filtering which is optimal in terms of spectral approximation with adaptive- ly weighted componets of the functional.

Key words: image, Furier transformants, frequency subinterval, qua- sicyclic components, optimal filtration.