CC BY
47
УДК 621.397
О СВОЙСТВАХ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ СУБПОЛОСНЫХ МАТРИЦ
В работе описаны свойства субполосных матриц, используемых при оптимальной фильтрации изображений на основе частотных представлений. Приведены результаты экспериментальных исследований эффективности метода оптимальной фильтрации с учетом свойств субполосных матриц
Ключевые слова: субполосная матрица, обработка изображе-в-таИ: chernomorets@bsu.edu.ru ний, собственный вектор, фильтрация
Введение
В настоящее время внимание к методам цифровой обработки изображений возрастает в связи с тенденцией использования в информационно-телекоммуникационных системах визуальных данных в качестве естественной формы информационного обмена. Необходимость использования естественных форм обмена информацией в виде визуальных данных определяется наличием общественных потребностей по обработке, хранению и передаче различных сведений, что предъявляет постоянно возрастающие требования к методам цифровой обработки изображений с позиций восприятия визуальной информации человеком.
При анализе и обработке изображений существенное значение имеет решение проблемы выделения (фильтрации) почти-периодических компонент изображения, характеризующихся проявлением повышенной концентрации спектральной энергии
[1] изображения в отдельных частотных интервалах. Путем фильтрации почти-периодических компонент изображения можно решать различные задачи, например: повышение качества изображения, заданного с низким разрешением, за счет сглаживания, "размывания" изображения; понижение резкости тонких линий; выявление шума, т.е. колебаний яркости высокой частоты и малой амплитуды; выявление границ объектов, т.е. колебаний яркости высокой частоты и большой амплитуды. Как показано в [2], наиболее эффективно данная задача решается в частотной области. В работе [3] был предложен новый метод фильтрации изображений, который является оптимальным в том смысле, что спектр получаемого в результате фильтрации изображения имеет наименьшее среднеквадратическое отклонение от спектра фильтруемого изображения в заданном двумерном частотном интервале, а вне этого интервала имеет наименьшее отклонение от нуля. Приведем основные моменты данного вариационного метода оптимальной линейной фильтрации изображений на основе частотных представлений и его модификацию, позволяющую снизить вычислительную сложность метода, используя свойства субполосных матриц.
Метод оптимальной линейной фильтрации изображений на основе частотных представлений
Изображение будем рассматривать в виде матрицы Ф=(Ъ/к), /=1,2,...,М,
к=1,2,...,М, элементы Ък которой представляют собой значения яркости в точках (/,к) некоторой плоскости. Двумерная частотная область О (субинтервал), в которой осуществляется фильтрация с помощью вариационного метода оптимальной фильтрации, определяется выражением
О: {О(и, у)\(ы е \а1, а2 1у е0, 02])и {и е[«1,«21V е[- 02,-01 ])и (и е[-а2,-а11V е[- 02,-01 ]) и {и е[-а2,-а1 ] V е[01,02 ])}, 0 < а1,а2,01,02 < ж, (1)
где а1, а2, 01, 02 - границы частотного субинтервала.
АА. ЧЕРНОМОРЕЦ, ЕЛ. ПРОХОРЕНКО ВА ГОЛОЩАПОВА
Белгородский
государственный
университет
Очевидно, что определенная данным образом частотная область П — симметричная.
Пусть Г(и,и), 7(и,и) - Фурье-преобразования исходного изображения Ф=(//к), /=1,2,...,М, к=1,2,...,М, и некоторого изображения УО=(у/к), /=1,2,...,М, к=1,2,...^, которое может быть получено в результате выполнения фильтрации исходного изображения в двумерной частотной области О (выделение некоторой компоненты, энергетический спектр которой содержится в выбранной частотной области О):
M N
М N
Z(иV) = 11 Уке"е
Р(и,V) = ^Е Ле-“|,-1)е-"(к-1),
1-1 к=1 1=1 к=1
где переменные и, V определены в области [-л,л] (нормированная частота).
Рассмотрим функционал
£0(Р,Z) = (1 - 0) Ц|Р(и,V) - Z(и, V)]2ёиё^ + 0 (и, V)]2ёиё^, (2)
(м,v)eQ (и^)£О
который может служить в качестве меры отклонения энергетического спектра выделяемой компоненты от энергетического спектра исходного изображения в заданном частотном интервале и отклонения от нуля вне этого интервала. При этом с помощью параметра 0 можно придавать различные весомости указанным двум составляющим введенной меры. Изучим случай, когда весомости обеих составляющих введенной меры (2) совпадают, то есть при 0=0,5.
Под оптимальной фильтрацией в частотной области О понимается процесс выделения компоненты УО изображения Ф, удовлетворяющей некоторому вариационному принципу. Этот вариационный принцип заключается в том, что энергетический спектр преобразования 1(и,у) компоненты УО должен наилучшим образом аппроксимировать энергетический спектр преобразования Г(и,^ исходного изображения в смысле минимума евклидовой нормы, т.е на основании введенной меры отклонения
(2) имеем
£(Р,Z) = Ц|Р(и,V) -Z(и, V)]2ёиёу + Ц|Z(и, V)2ёиёу ^ шт , (3)
(м^)еО (и^)£О
то есть спектр |/(и,^| полученного изображения в области О практически совпадает со спектром |Г(и,^| исходного изображения, а вне области О близок к нулю.
В работе [3] показано, что для нахождения результата фильтрации УО изображения Ф в частотной области П, оптимального в смысле указанного вариационного принципа (3), следует использовать выражение, которое в матричной форме имеет вид
УО - АтФ-В, (4)
где Л=(ап/2), /1,/2=1,2 М, и В=(Ькш), к1,к2=1,2,...,М, - субполосные матрицы [4], соответствующие выбранному частотному субинтервалу П (1), элементы которых определяются следующими соотношениями
Sin(a2|i1 -1 2))-Sin(a1|i1 -1 2))
,1 Ф ,2,
£1п02 (к1 - к2)) - £т{01 (к1 - к2))
Ькгк2 =
1л ---------- 1^
л
02 - 01
л
л(к1 - к2) к1 - к2.
к1 ф к2,
Значение отдельного элемента изображения УО, полученного в результате оптимальной фильтрации изображения Ф, определяется выражением
М N
УОтп =! I 1гка,тЪкп . (5)
1-1 к-1
Метод оптимальной фильтрации, основанный на применении выражения (4), имеет вычислительную сложность порядка 0(М2^2). Снизить вычислительную слож-
ность данного метода оптимальной фильтрации позволяет использование свойств субполосных матриц.
Свойства собственных чисел и собственных векторов субполосных матриц в задаче обработки изображений
В работе [5] было показано, что элементы субполосных матриц А и В представимы в виде
М N
\н = 2^аЧлуаЧлча ' Ькхк2 = ^^вкьЧвк1кьЧвк2кь '
’ ’ 2 ьАі \гаЧАі2іа , к^к2
іа=\ кь =1
где
^'A1■'^A2■• • •■^'АМ И ^Б1, 2■•••■^'БN'
Ча1, Ча2,'", ЧаМ И Чб1, Чб2,'", ЧбМ собственные числа и соответствующие собственные векторы данных матриц.
Будем считать, что значения собственных чисел упорядочены по убыванию, т.е.
^А1 — ^А2 — ••• — ^АМ , ^Б1 — ^Б2 — ••• — ^БМ ■
Выражение (5) может быть преобразовано к следующему виду:
ММ ММ
Уптп =^ ^ ^Аіа^Бкь ' ЧАтіа ^ ЧАііаїікЧБккь )ЧБпкь ■ (6)
іа=1 кь =1 і=1 к=1
Субполосные матрицы также можно представить виде [6]
А = ОаЬаОА , (7)
Б = ОбЬбОБ , (8)
где столбцы матриц Ол и Об составлены из значений собственных векторов матриц А и В соответственно, т.е.
Оа = (с1а 1, C^A2■^•••> ЧАМ ) ' Об = (с1б 1, ЧБ 2, •••, ЧБЫ ) '
матрицы іл и Ів — квадратные матрицы, на главной диагонали которых расположены значения их собственных чисел, т.е.
Ьа = (Аа1 ,^А2, • • • ■ ^АМ ) ' ЬБ = а'§(^Б1 ,^Б2 ■ • • • ■ ^БМ ) ■
Подставив выражения (7), (8) в выражение (4), получим следующее выражение для определения результата оптимальной фильтрации с использованием значений собственных чисел и собственных векторов субполосных матриц
^ = ОаЬаОА фОбЬбОБ ■ (9)
Интерес представляет визуализация вектора собственных чисел и матрицы собственных векторов О отдельной субполосной матрицы, соответствующей некоторому частотному интервалу.
При практических расчетах область нормированных частот разбивается на прямоугольные частотные интервалы Оп,г2, 0=1,2,..., їе, 0=1,2,..., ї, (вдоль координатных осей частотного пространства выбирается конкретное количество їе и ї частотных отрезков).
При визуализации значений собственных чисел и матрицы собственных векторов субполосной матрицы в качестве примера были выбраны следующие значения: количество частотных интервалов было выбрано равным 16, размеры изображения выбраны 128х128 пикселей. На рис. 1, 2 значения собственных чисел приведены в виде диаграммы, матрицы собственных векторов — в виде изображения. На данных рисунках приведены значения, соответствующие 1-му и 2-му частотным интервалам, на которые разбита координатная ось частот.
Результаты, отображенные на рис. 1, 2 и в табл. 1, показывают, и данный факт подтвержден многочисленными экспериментами, что значения собственных чисел, начиная с некоторого номера близки к нулю, и практически совпадают у различных матриц.
а б
Рис. 1. Визуализация значений собственных чисел и матрицы собственных векторов субполосной матрицы, соответствующей 1-му частотному интервалу: а — значения собственных чисел, б — матрицы собственных векторов в виде изображения
а б
Рис. 2. Визуализация значений собственных чисел и матрицы собственных векторов субполосной матрицы, соответствующей 2-му частотному интервалу: а — значения собственных чисел, б — матрицы собственных векторов в виде изображения
В табл. 1 приведены численные значения некоторых собственных чисел субпо-лосных матриц, соответствующих различным частотным интервалам (количество частотных интервалов — 16, размеры изображения — 128x128 пикселей).
Рассмотрим величины Ja и Jb, позволяющие выделить ненулевые собственные числа субполосных матриц,
Л = 2
+ 2 и = 2
N
2Л
+ 2,
где операция [выражение] означает операцию взятия целой части «выражения».
В работе [6] показано, что при За > 6 и Jъ > 6 собственные числа матриц A и B обладают следующими свойствами:
1, +к * 0, к = 1,2,...
и
1, +к * 0, к = 1,2,...,
то есть величины Ja и Jb определяют количество ненулевых собственных чисел матриц А и В соответственно.
Таблица 1
Значения первых 12 собственных чисел субполосных матриц, N=128
№ частот- ного интер- вала 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 1 1 1 0.999 0.993 0.937 0.699 0.299 0.064 0.008 0.001
2 1 1 0.998 0.997 0.964 0.958 0.729 0.72 0.276 0.268 0.045 0.037
3 1 1 0.998 0.998 0.961 0.959 0.724 0.721 0.275 0.272 0.043 0.041
4 1 1 0.998 0.998 0.96 0.959 0.723 0.722 0.275 0.274 0.043 0.042
5 1 1 0.998 0.998 0.96 0.959 0.723 0.722 0.275 0.274 0.043 0.042
6 1 1 0.998 0.998 0.96 0.959 0.722 0.722 0.275 0.274 0.043 0.043
7 1 1 0.998 0.998 0.96 0.959 0.722 0.722 0.275 0.274 0.043 0.043
8 1 1 0.998 0.998 0.96 0.96 0.722 0.722 0.274 0.274 0.043 0.043
Таким образом, в соответствии с (7) и (8), с достаточной степенью обоснованности для матриц A и B можно использовать следующую аппроксимацию при условии разбиения области определения трансформанты Фурье на Ra и Rb частотных интервалов вдоль координатных осей
Л * йлАлЙл ,
в * йвАвЙв ,
где
0\Л = (Ял1, Ял2,..., ЯлТа ) ' 01 в = (Яв1, Яв 2,..., Я.BJb ) '
Ал = &аЕ (^Л1,^Л2,...,^ЛJа ) ' Ав = &аЕ (^в1,^в 2,..., ^BJъ ) .
С учетом ненулевых собственных чисел субполосных матриц А и В выражение для определения результата оптимальной фильтрации принимает вид
^ = йлАлбГлФйвАвйв. (10)
Для определения значения отдельного элемента результата фильтрации на основании соотношения (10) можно использовать следующее выражение
іа =1 кь =1
т = 1,2,...,М, п = 1,2,...,N,
где
М N
^1акъ ^ ' ^ - Я.Лпа^1кЯ.вккъ '
1=1 к=1
Выражения (9) и (10) определяют новый инструмент нахождения результатов оптимальной фильтрации изображений на основе частотных представлений, не использующий прямое и обратное преобразования Фурье, учитывающий свойства суб-полосных матриц. Использование выражения (10) позволяет существенно сократить количество вычислительных операций по сравнению с выражением (9), не снижая точности вычислений.
Вычислительные эксперименты
С целью сравнения точности вычислений результатов фильтрации изображений с помощью методов, основанных на реализации выражений (9) и (10) был проведен ряд экспериментов.
В ходе вычислительных экспериментов по фильтрации модельного изображения, было получено среднеквадратическое отклонение приближенного результата фильтрации в частотном субинтервале с номерами (1,1) на основании соотношения (10), использующего свойства собственных чисел субполосных матриц, относительного точного результата фильтрации выбранного изображения в том же частотном субинтервале (соотношение (9)). В рассматриваемом примере в процессе вычислений
количество частотных интервалов по обеим координатным осям выбрано одинаковым, равным R. Размерность исследуемого изображения NхN, N=256, пикселей. Для конкретного значения R найденные точный и приближенный результаты фильтрации образуют соответственно матрицы (изображения) Уъ и YE, размерности NxN. Значение среднеквадратического отклонения 61, определено на основании следующего выражения
N N
)2
і=1 к=1
N N
,2 IX2
V і=1 к=1
(12)
Для найденных точного и приближенного результатов фильтрации Уъ и Уе также были найдены доли энергии в каждом частотном интервале, значения вычисленных долей энергий образуют матрицы Руъ и Руе. Для матриц долей энергий найдено среднеквадратическое отклонение 62, определенное на основании следующего выражения
я я
22 (РТ 0ік РуЕік )
і=1 к=1
(13)
я я
22 р 0к г=1 к=1
Значения среднеквадратических отклонений 61 и 62, соответствующие различным значениям количества частотных интервалов R, приведены в табл. 2.
Среднеквадратическое отклонение значений долей энергии изображений Yo и YE
Таблица 2
Количество частотных интервалов Я
2 4 8 16 32 64
Среднеквадратическое отклонение 6 0.0021 0.0025 0.0023 0.0017 0.0012 0.00071
Среднеквадратическое отклонение 62 3.86е-6 8.37е-6 4.2е-6 2.54е-5 1.35е-5 1.19е-5
Выводы
Проведенные вычислительные эксперименты демонстрируют достаточную точность вычисления результатов фильтрации при использовании ненулевых собственных чисел субполосных матриц и соответствующих им собственных векторов.
Использование свойств собственных чисел и собственных векторов субполос-ных матриц позволяет существенно снизить вычислительную сложность предлагаемого вариационного метода оптимальной фильтрации изображений.
Литература
1. Методы компьютерной обработки изображений [Текст] / Под редакцией В.А. Сой-фера. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 784 с.
2. Гонсалес Р. Цифровая обработка изображений [Текст] / Р. Гонсалес, Р. Вудс. - М.: Техносфера, 2006. - 1072 с.
3. Жиляков, Е.Г. Оптимальная фильтрация изображений на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец / / Вопросы радиоэлектроники. - Сер. ЭВТ, 2ЪЪ8. - Вып. 1. - С. 118-131.
4. Жиляков, Е.Г. Методы анализа и построения функций по эмпирическим данным на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков - Белгород, изд-во БелГУ, 2007. -160 с.
5. Жиляков, Е.Г. Метод определения точных значений долей энергии изображений в заданных частотных интервалах [Текст] / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец, И.В. Лысенко // Вопросы радиоэлектроники. - Сер. РЛТ, 2007. - Вып. 4. - С. 115-123.
6. Жиляков, Е.Г. Вариационные методы частотного анализа звуковых сигналов [Текст] / Е.Г. Жиляков, С.П. Белов, Е.И. Прохоренко // Труды учебных заведений связи. - СПб, 2ЪЪ6. - № 174. - С. 163-170.
ABOUT PROPERTIES OF SUBBAND MATRICES EIGENVECTORS
A.A. CHERNOMORETS E.I. PROKHORENKO V.A. GOLOSCHAPOVA
The properties of subband matrices used in the optimal image filtration on the basis of frequency representations are described in the work. Results of experimental investigations of efficiency of the optimal filtration subject to subbband matrices properties are given
