CC BY
11Математика
УДК 51-77
ОБ ЭФФЕКТИВНОМ ПОРТФЕЛЕ, ЗАВИСЯЩЕМ ОТ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
КОКСА-ИНГЕРСОЛЛА-РОССА
Г. С. Камбарбаева1, О. С. Розанова2
Решается задача о составлении оптимального в определенном смысле портфеля ценных бумаг в случае, когда тренды активов зависят от процентной ставки, изменяющейся по закону Кокса-Ингерсолла-Росса. Статья является продолжением цикла работ, где процентная ставка моделируется линейным стохастическим дифференциальным уравнением с постоянной волатильностью.
Ключевые слова: эффективный портфель, процентная ставка, модель Кокса-Ингер-солла-Росса.
We solve a certain problem of portfolio optimization in the case of the asset prices trends depending on the bank interest rate governed by the Cox-Ingersoll-Ross dynamics. This work continues a series of papers where the interest rate is modeled by a linear stochastic differential equation with a constant volatility.
Key words: efficient portfolio, interest rate, Cox-Ingersoll-Ross model.
Введение. Во многих задачах физики и финансовой математики возникает необходимость отыскания среднего некоторой случайной величины F, являющейся функцией времени и некоторой другой случайной величины X (фактора) при фиксированном значении последней.
Исследуется одна из возможных постановок задачи о фильтрации сигнала (см., например, [1]). Аналогичная задача возникает при изучении стохастического возмущения уравнения Хопфа, когда координата частицы (X) наблюдаема, а скорость F латентна [2-4]. В финансовой математике при исследовании моделей со стохастической волатильностью можно рассматривать оценки латентной величины волатильности F через наблюдаемую доходность актива X [5]. В стохастической модели рынка Белецкого и Плиски, которой мы будем заниматься, цены активов зависят от стохастических факторов [6-8], и можно ставить задачу об оценке доходности капитала портфеля F через наблюдаемые макроэкономические факторы X. Данная задача сводится к нахождению совместной плотности распределения F и X. Мы получим общую формулу, позволяющую вычислить эту величину в терминах интегралов от преобразования Фурье от совместной плотности распределения (что иногда значительно упрощает задачу), и применим ее для отыскания средней доходности и дисперсии актива, зависящего от процентной ставки. Процентная ставка при этом моделируется по закону Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR): волатильность ее пропорциональна квадратному корню от значения ставки.
Ранее в [9] в рамках модели Белецкого и Плиски была найдена средняя доходность и дисперсия доходности актива в случае, когда волатильность ставки постоянна. В работе [10] были использованы эти результаты для построения эффективного портфеля ценных бумаг на конечном отрезке времени в случае постоянной волатильности процентной ставки. В настоящей статье мы строим эффективный портфель для двух активов в случае, когда процентная ставка изменяется по закону CIR, и сравниваем эти результаты с полученными в работах [9, 10].
Постановка задачи. Рассмотрим систему стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) достаточно общего вида
dF = A(t, X, F)dt + a(t, X, F)dWi,
dX = B(t, X, F)dt + A(t, X, F)dW2, (1)
F(0) = f, X(0) = x,t ^ 0, f G R,x G R,
где W(t) = (Wi(t),W2(t)) — двумерное стандартное броуновское движение; A,B,a, A — заданные функции.
1 Камбарбаева Гаухар Сабиклновна — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kambarg@mail.ru.
2 Розанова Ольга Сергеевна — доцент каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: roz anova@mech .math.msu.su.
Совместная плотность распределения Р(£, /, ж) случайных величин Б и X описывается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) (см., например, [11])
дР(Ь, /, ж) _ дА(Ь,х,})Р(Ь, /, х) 1 <92(72(£, х, /)-Р(£, /, ж) ¿й ~ 9/ + 2 9/2
дх 2 дх2 и
с начальными данными
Р (0,/,ж) = Ро(/,х), (3)
определенными начальным распределением ^ и X.
Если функция Р(£, /, ж) известна, то можно найти /(£, ж) — условное математическое ожидание величины Б при фиксированном значении X в момент времени £ (см. [12]), определенное формулой
т т) = к/Р&М<У
Заметим, что если мы выберем Ро(/, ж) = ¿(/ — /о(ж))д(ж), где /о(ж) и д(ж) — произвольные функции, то /(0,ж) = /о(ж). В настоящей работе для получения явных формул выберем равномерное начальное
распределение случайной величины X на ее области изменения, поэтому примем д(ж) = Х; где Х(о,Ь) — характеристическая функция отрезка (0,Ь). Соответствующую плотность распределения будем обозначать Р^(£, /, ж).
Величину /(£, ж) будем понимать следующим образом:
/(,,*) = „ш ШШ. (4)
Определим дисперсию величины ^ при фиксированном X как
Для некоторых случаев величины (4) и (5) найдены в [2-4, 9].
Иногда преобразование Фурье по переменным /, ж функции Р(£, /, ж) находится гораздо проще, чем сама эта функция. Мы получим формулу, позволяющую выразить /(£, ж) в терминах преобразования Фурье от Р(£, /, ж), и применим ее в интересном случае для отыскания средней доходности актива, зависящего от процентной ставки. Процентная ставка при этом моделируется по закону СШ [13].
Для простоты ограничимся рассмотрением скалярного уравнения для случайной величины X (£), поскольку полученные формулы в данной работе необходимы только для такого случая. Однако результаты практически без изменения переносятся на случай векторного уравнения с п компонентами: тогда математическое ожидание /(£,ж) и дисперсия ^(¿,ж) являются функциями времени и п пространственных переменных. При этом броуновский процесс может иметь и коррелированные компоненты. Задача сводится к нахождению решения параболического уравнения (2), что может вызвать трудности, в частности могут возникнуть проблемы с существованием и единственностью решения.
Представления для условного математического ожидания и дисперсии величины Б при фиксированном значении X.
Утверждение 1. Предположим, что — преобразование Фурье по переменным (/, ж) функ-
ции Р(£, /, ж), являющейся решением задачи (2), (3). Пусть Р(£, 0, £) и 0, £) — функции, убывающие
по £ на бесконечности быстрее всякой степени. Тогда величины / (£,ж) и ж), определяемые формулами (4) и (5), могут быть найдены следующим образом,:
к-1 [РМ,0]
№*)= M , (6)
БН,ж) = —5--Л—--5-, г ^ о, Ж ем. (7)
о, о})2
Доказательство. Здесь и далее под Р—1 и Р—1 понимается обратное преобразование Фурье по переменным у и £ соответственно, (., означает действие обобщенной функции на основную по переменной у. Под (ег, 1)— понимается ,Ше(/) *Х—Ь,Ь]) —, где Хп —характеристическая функция множества
О, а ие(/) — стандартная сглаживающая функция.
Докажем, например, формулу (6) (формула (7) доказывается совершенно аналогично). Вычислим знаменатель (4), формально выполнив выкладки (преобразование Фурье понимается в смысле обобщенных функций):
/ Р(ь,/,х) / = / р—1[р—1[Р(ь,^,£)]] / =
_ Тр—1/ 17—1
Аналогично находится числитель:
У /Р(г,/,х) / ^ /Е-1[Е"1[рР(^,у,£)]] / = Р?—1[ (Р——Ч/К^Р^М))
к к
= ^ [(<%), ] = ^¿^[(^Л^М))^] =гл/2^Р[1[д^Р(1,0,0]-
Таким образом, утверждение доказано. □
Модель актива, зависящего от процентной ставки С1И,. Конечно, не существует явной формулы для нахождения совместной плотности распределения Р в случае системы (1) общего вида. Мы ограничимся частным, но важным случаем, когда эта система такова:
(Р = (А + аЯ)(Ь + 7(Ш 1, (8)
<т = (в + ря)(И + \л/пйш2. (9)
Здесь В > 0,в < 0,7 > 0,А > 0,А, а — некоторые константы.
Уравнение (8) описывает изменение доходности Р актива, тренд которого линейным образом зависит от процентной ставки Я, изменяющейся по закону СШ [13] (иногда процесс (9) называют процессом квадратного корня). Чтобы обеспечить положительность случайного процесса, описывающего процентную ставку, достаточно потребовать, чтобы выполнялось неравенство -2@В > А2 [14]. Процентная ставка вида (9) в роли фактора рассматривалась, в частности, в [8].
Отметим, что в работах Белецкого и Плиски неоднократно исследовалась модель капитала портфеля, включающего активы, тренды которых линейным образом зависят от макроэкономических факторов. Решалась задача о максимизации темпа роста капитала на бесконечном горизонте времени при помощи некоторого рискочувствительного функционала (см., например, [6, 7]). Однако всюду (за исключением [8]) рассматривались факторы с постоянными волатильностями. Строгая теория, построенная Белецким и Плиской, ограничивается только этим случаем. Причина в том, что уравнение Беллмана сводится здесь к так называемому "уравнению второго порядка" — уравнению параболического типа, у которого сумма степеней производных по пространственным переменным и степеней многочленов, стоящих в качестве коэффициентов при этих производных, равна двум. Такие уравнения возникают во многих областях математики и физики, и они явно интегрируются. В работе [9] найдена величина /(Ь, г) для случая, когда фактор описывается уравнением
(Я = (В + ¡ЗЯ)<И + А(Ш2 (10)
(модель Васичека для процентной ставки [15]), а именно
¥( ,_а(/Зг + В)( (Ва — А(3)Ь |
п,г)~ /З2 /3 +
при условии начального равномерного распределения величины процентной ставки на ее возможной области распределения, где /о — начальная величина актива, т.е.
Р (0) = /0 при всех X (0). (11)
Уравнение ФПК (2) для системы (8), (10) также относится к "уравнениям второго порядка", поэтому задачу удалось явно решить. В случае системы (8), (9) уравнение (2) не сводится к указанному типу. Тем не менее задача отыскания / (£, ж) также была решена явно. Предположим, что первоначально процентная ставка К может принимать с равной вероятностью любое значение на интервале (0,£),£ > 0. Отметим, что если в случае модели Васичека можно было получить явные формулы и для любого гауссовского первоначального распределения величины процентной ставки, то в случае модели СШ мы можем выписать явную формулу только для равномерного первоначального распределения.
Уравнение ФПК для совместной плотности распределения случайных величин Б и К, подчиняющейся системе (8), (9), таково:
дР(£,/,г) . „ . дР(£,/,г) , ,
У 7 + (А + от) у ; + (ЗР{1, /, г)+
„ ,2ч дР(£,/,г) 1 2 д2Р(£,/,г) 1 л2 д2Р(£,/,г) . ,
+{В + 0г- А2) ^ - -а2 - г дг2 = (12)
Будем рассматривать (12) при следующих начальных условиях:
Р (0, /, г) = 5 (/ — /о) Х(о,ь)(г). (13)
Строго говоря, согласно (11) и принятому нами виду начальной функции распределения д(ж), чтобы функция Р (0, /,г) была плотностью распределения, следует разделить выражение в (13) на Однако в силу линейности уравнения (12) и определений (4) и (5) этот множитель не влияет на результат вычислений. Преобразование Фурье по (/, г) — функция Р (£, £) — подчиняется уравнению
д - ( — -1 х2^\ д .. ^ I Л _2..2
с начальными условиями
1 • , e-i?L - 1 1 • , = — e"v/o-—---при L ^ oo. (15)
Уравнение (14) имеет первый порядок и может быть проинтегрировано. Решение задачи (14), (15) в предельном случае L находится стандартными методами и представляется в виде
2 ¿/0дЛ2 + 2 (Ад Л2 i+2 t B l3+t&2^2\2
P(t, /X, О = e ^ 5 (s(t, /X, £)) x
в
2 га ц,Х2 + [32
где
((¡3- л/2 га /х Л2 + /З2) £ + 2 а ^ + _ /2 их /л Л2 + /З2) £ - 2 а ц
= ---; , , -^-Г--; -.
л/2 га/х Л2 + /З2 + гА2£ - /3 + (-у/2 га/хЛ2 + /32 - гА2£ + /З] е~Ч
Воспользуемся формулами (6) и (7), поскольку выполнены условия их применимости (см. утверждение 1). Вычисления показывают, что
Р(*, 0,£) = 0(*,£)5 (5(*, 0,£)), (16)
д,Р(*, 0, £) = £) ф(*, 0, £)) + £) 5,(5(*, 0, £)), (17)
д,Р(*, 0, £) = д1(£, £) ф(*, 0, £)) + д2(£, £) 5,(*(*, 0, £)) + дз(£, £)5, (*(*, 0, £)), (18)
где
г£Л2 + (2в - ¿CA2)e-et'
/ 2 \ /-гЛ2(ге2Л2-2/Зе)сЬ(|е^ Л
V ? )
Ф(ь, £) = 9(1, £) (Ь1 - г(АЬ + /о)), ф(Ь, £) = 9(1, £)Ь2,
Ва ((4/3 А4£2 - гЛ6е3 + 4г/32А2£)£ + (4/32 - 2А4£2 - 6г/ЗА2£)) (§ + г агс1ё(^^)) /ЗА2£(А2£ + 2г/3)2 А (§ +
2 | V в
+ 2аБ(гА2£(А4£2 - 5/32) - 4/ЗА4£2) + 2/33
¿2 =
в2А2£(А2£ + 2гв)2
-а£2А4е2в' + 2((А2£ + 2ф)А2£Ь - 2гА2£ + 2@)а@ев' + 4ифА2£ + аА2£ - 4ав2
г/ЗА2£(ев' - 1) + 2в2
Функции дг(Ь,£),г = 1, 2, 3, мы не будем выписывать, поскольку эти выражения слишком громоздки. Подставляя выражения (16), (17) и (18) в формулы (6) и (7), а затем выполняя длинные, но стандартные вычисления и преобразования, получим
/((,,=Л+(л. 2) (+(1^ - т^т++в«, ,1в,
, 2 , 2е3в' (2/Я + 3)е2в' 2ев' 1 , 2,2
3в' _ (2Я2Ь2 - 2Я+- 5)ев' \ а2 А4
Л 4в' 3(4вЬ + 5)е3в' /о2х2 ЛОх п. 2в' (2@2Ь2 - 2/ЗЬ - 5)ев'\ а2А4
+ Ые4^ - 2 -+ + 4/3* + 6)е ^ + ^-^-^—) +
+ - тт+3)е- +_ 4Ве* _
(20)
Пример эффективного портфеля из двух активов, зависящих от процентной ставки С1И,.
Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов (один из которых — банковский счет), линейно зависящих от одного случайного фактора — процентной ставки. Такой портфель систематически выступает в качестве примера в работах Белецкого и Плиски [6-8]. Предположим, что процесс стоимостей активов подчиняется уравнениям
<(0
= {Аг + ацК)<И + ахдШх,
¿1
ф- = пл. ¿2
Тренды активов линейным образом зависят от процентной ставки Я, изменяющейся по закону СШ (9).
Капитал портфеля V описывается уравнением —- = Ь-—^- + (1 — Ь)—^, где (Н, 1 — К) — стратегия
V ¿1 ¿2
инвестирования, согласно которой в момент времени Ь инвестор вкладывает долю капитала Н в первый актив и долю 1 - Н — во второй. Процесс инвестирования (Н, 1 - Н) предполагается допустимым (строгое определение допустимости дано в оригинальной работе [7]).
Сразу же отметим, что мы могли бы рассмотреть портфель, состоящий из любого конечного числа активов (как это делалось в [10] для случая линейного фактора). Это усложнило бы задачу только технически.
Обозначим 1п V = Р. Тогда
= (^Аф - ^<т2Л,2 + ((си - 1) Н + 1) В^ ей + афдШх. (21)
Для системы (21), (9) справедливы формулы условного математического ожидания и условной дисперсии (19) и (20) при подстановке в них значений
А = А1к-^а\к2, а = {а1-1)к + 1, а = аф. (22)
Рассмотрим функционал
д7(¿,г) = /(¿,г) - 7Я(*,г),
где 7 — коэффициент риска, меняя который мы можем увеличивать или уменьшать роль случайности. Находя максимум этого выражения относительно класса допустимых стратегий инвестирования (Л, 1 — Л), мы определяем стратегию, позволяющую получить максимальный средний доход портфеля с учетом потерь, возникающих из-за случайности, описываемой дисперсией.
Мы следуем здесь обозначениям работы [10], где было проведено сравнение функционала Q1 (¿, г), используемого для составления оптимального портфеля на конечном отрезке времени, с рискочувстви-тельным функционалом, используемым в работах Белецкого и Плиски для бесконечного горизонта инвестирования. Функционал Q1 (¿, г) является аналогом двух первых членов разложения упомянутого функционала по малому параметру риска [7].
В [10] аналогичная задача была решена для случая линейного фактора, подчиняющегося СДУ (10), но там применялись другие методы, что связано, как уже упоминалось ранее, с возможностью явного нахождения Р(¿, /, ж). Однако и в том случае можно было действовать, как предлагается в данной статье, а именно использовать для вычислений преобразование Фурье от Р(¿, /, ж). Согласно (18)-(20) и (22), получим
(¿, г) = (¿, г; Л) = К2Л2 + Щ + Ко,
где К — гладкие функции от ¿, г и коэффициентов А1, а^,^, В, в, А, 7. Эти функции выражаются через элементарные, однако выражения для них громоздкие и мы не будем их явно выписывать. Поскольку функция Q1 (¿, г; Л) квадратична по Л, а ее старший коэффициент
К2 =--1--7-О(*>01(а=а1-1,<т=<Т1) < 0,
то Q1 (¿, г; Л) достигает максимума в единственной точке экстремума (аналогично линейному случаю, описанному в [10]), и соответствующая оптимальная стратегия имеет вид
Н (¿, г) =
—К1 (1 — а1)(М4б4в* + Мзе3в + М2е2в + М^ + Мо) +
где
71 ' 7 2К2 (1 - а!)2(М4е4^ + М3е3^ + + Л^ + Щ) + (27 + 1)^/34'
М4 = 7А2(8А2 + 5В), Мз = —7А2 ((3А2 + В+ 15А2 + 4гв + 12В) , М2 = 27А4 в2^2 + (2А2 + вг)47вА2 í + 127А4 + (5В + 2вг)37А2 — (А2 + В)в2, М1 = 27А4 в2 ¿2 + (в2 — 27А2 )вА2 £ — 57А4 + (в2 — 47вг — 87В)А2 + в3г + в2В, Мо = (в2 — 27А2 )вВ* + 27А2вг — в3 г, N1 = 7А2(2в2 А2£2 — 2вА2 £ — 5А2 — 4вг — 8В), N2 = 7А2 (2А2в2^2 + (2А2 + вг)4в^ + 12А2 + 6вг + 15В), N0 = 27вА2 (—В* + г). Мы видим, что
^оо 71 ' ; («1 - 1)227А2Б + (27 + 1 7
Из результатов работы [10] следует, что в случае линейной процентной ставки Нт^оо г) = . Последнее выражение получается в результате предельного перехода в (23) при 7 и ^ 0.
Отметим, что в случае нелинейной процентной ставки в предельном выражении более полно представлены коэффициенты модели, чем в линейном случае.
Стратегия вложения Н7(Ь, г) для случаев линейной (кривая 1) и нелинейной (кривая 2) процентной ставки в различные моменты времени
Сравнение стратегий вложения для случаев линейной и нелинейной процентных ставок.
Пусть процентная ставка г = 0, 05; начальный капитал портфеля /о = 0, 08; коэффициент риска 7 = 0,1; параметры В = 0, 05, в = -1, А = 0, 04, А1 = 0,15, а1 = -1, 71 = 0, 2 (мы используем значения параметров из работы [7]).
На рисунке приведены соответствующие стратегии вложения для случаев линейной (кривая 1) и нелинейной (кривая 2) процентных ставок при их равномерном первоначальном распределении. Мы видим, что эти стратегии существенно различны. Для того чтобы в случае СШ стратегия приблизилась к соответствующей стратегии в линейном случае, следует выбрать рискочувствительный параметр 7 намного большим.
Отметим, что и в том и в другом случае стратегии вложения предполагают использование свойств процентной ставки на маленьких временах, а на больших временах, как показывает рассмотрение различных сочетаний параметров, в линейном случае следует делать вложения в тот актив, который зависит от процентной ставки как можно меньше. В случае СШ и на больших временах учитываются свойства макроэкономического фактора.
Замечания. 1. Способ распределения средств по активам, предложенный Белецким и Плиской, является "стратегическим" (в терминологии [16]), т.е. наибольшая выгода от вложения достигается на некотором горизонте времени, в данном случае бесконечном. Наш способ инвестирования относится к "тактическому" [17], он дает возможность быстро реагировать на тенденции рынка и может быть полезен при управлении хедж-фондами с коротким временем инвестирования.
2. Если бы мы дополнительно предположили, что дисперсия доходности актива, изменяющейся согласно (8), пропорциональна процентной ставке, то мы бы оказались в ситуации модели Хестона [18] — одной из самых популярных моделей стохастической волатильности. В [5] анализировалась величина средней дисперсии при фиксированной доходности актива в рамках этой модели, для чего также оказалась полезна формула (6).
3. В случае, когда волатильность процентной ставки постоянна, наши рассмотрения легко переносятся на случай коррелированных броуновских процессов и Ш2, тогда как в случае процентной ставки, подчиняющейся закону СШ, предположение о коррелированности, по-видимому, препятствует получению аналитических результатов.
4. Статьи [19] и [20], являющиеся продолжением работы [8], посвящены задаче долгосрочного оптимального инвестирования в рамках модели СШ. Подчеркнем, что, в отличие от анализируемых там стратегий, построенная нами оптимальная стратегия справедлива для любого фиксированного момента времени.
5. Можно рассмотреть закон распределения начального значения фактора, отличного от равномерного. Если процентная ставка моделируется СДУ с постоянной волатильностью, то в случае произвольного гауссовского начального распределения задача усложняется, но все еще возможно получить аналитические формулы для оптимальной стратегии вложения. В случае же процентной ставки СШ аналитические формулы получаются лишь в предположении о начальном равномерном распределении процентной ставки. Как следует из [3], поведение стратегии инвестирования должно зависеть от скорости убывания на бесконечности начальной плотности распределения процентной ставки.
6. Уравнения (8), (9) относятся к так называемой "аффинной" модели [21], поэтому соответствующее уравнение ФПК удалось проинтегрировать.
Статья написана в рамках Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы", проект 2.1.1/1399.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003.
2. Albeverio S., Rozanova O. The non-viscous Burgers equation associated with random positions in coordinate space: a threshold for blow up behavior // Math. Models and Methods in Appl. Sci. 2009. 19, N 5. 1-19.
3. Albeverio S., Rozanova O. Suppression of unbounded gradients in a SDE associated with the Burgers equation // Proc. Amer. Math. Soc. 2010. 138, N 1. 241-251.
4. Korshunova A., Rozanova O. On effects of stochastic regularization for the pressureless gas dynamics // Proc. 13th Int. Conf. "Hyperbolic Problems: Theory, Numerics and Applications"/ Ed. by S. Jiang and T. Li. Ser. Contemp. Appl. Math. World Sci. Publ. 2012. 18. 486-493.
5. Martynov M.A., Rozanova O.S. On dependence of the implied volatility on returns for stochastic volatility models // Stochastics: Int. J. Probab. and Stochast. Proc. 2012. 83. 541-552.
6. Bielecki T., Pliska S. Risk sensitive dynamic asset management //J. Appl. Math. and Optim. 1999. 37. 337-360.
7. Bielecki T., Pliska S., Sherris M. Risk sensitive asset allocation //J. Economic Dynamics and Control. 2000. 24. 1145-1177.
8. Bielecki T., Pliska S., Sheu S.-J. Risk sensitive portfolio management with Cox-Ingersoll-Ross interest rates: the HJB equation // SIAM J. Control and Optim. 2005. 44. 1811-1843.
9. Камбарбаева Г.С. О некоторых явных формулах для вычисления условных математических ожиданий случайных величин и их применениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 5. 10-15.
10. Камбарбаева Г.С. Задача составления эффективного портфеля в модели рынка согласно Белецкому и Плиске // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 5. 14-20.
11. Risken H. The Fokker-Planck equation. Methods of solution and applications. 2nd ed. N.Y.: Springer, 1989.
12. Ширяев А.Н. Вероятность-1. 3-е изд., перераб. и доп. М.: МЦНМО, 2004.
13. Cox J.C., Ingersoll J.E., Ross S.A. A theory of term structure of interest rates // Econometrica. 1985. 53. 385-407.
14. Feller W. Two singular diffusion problems // Ann. Math. 1951. 54. 173-182.
15. Vasicek O. On equilibrium characterization of the term structure //J. Finan. Economics. 1977. 5. 177-188.
16. Brennan M.J., Schwartz E.S., Lagnado R. Strategic asset allocation // J. Economic Dynamics and Control. 1997. 21. 1377-1403.
17. Rey D. Current research topics — stock market predictability: is it there? // Finan. Markets and Portfolio Management. 2003. 17. 379-387.
18. Heston S.L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options // Rev. Finan. Stud. 1993. 6. 327-343.
19. Hata Н., Sekine J. Solving long term optimal investment problems with Cox-Ingersoll-Ross interest rates // Adv. Math. Economics. 2006. 8, N 1. 231-255.
20. Hata Н. "Down-Side Risk" probability minimization problem with Cox-Ingersoll-Ross's interest rates // Asia-Pacific Financial Markets. 2011. DOI: 10.1007/s10690-010-9121-5.
21. Duffie D., Filipovic D., Schachermayer W. Affine processes and applications in finance // Ann. Apl. Probab. 2003. 13. 984-1053.
Поступила в редакцию 18.05.2011
УДК 512.552.4+512.57+519.1
ОЦЕНКИ СТРУКТУРЫ КУСОЧНОЙ ПЕРИОДИЧНОСТИ В ТЕОРЕМЕ ШИРШОВА О ВЫСОТЕ
М. И. Харитонов1
Размерность Гельфанда-Кириллова l-порожденных общих матриц равна (1 — 1)n2 +1. По теореме Амицура-Левицкого наименьшая степень тождества в этой алгебре равна 2n. По этой причине существенная высота алгебры A — 1-порожденной PI-алгебры с тождеством степени n — над любым множеством слов больше (1 — 1)n2/4 +1. В данной работе представлено доказательство того, что при конечной размерности Гельфанда-Кириллова алгебры A количество попарно лексикографически сравнимых подслов с периодом (n — 1) в каждом мономе A не больше (1 — 2)(n — 1). Случай слов с периодом длины 2 обобщается до доказательства экспоненциальной оценки в теореме Ширшова.
Ключевые слова: существенная высота, теорема Ширшова о высоте, комбинаторика слов, n-разбиваемость, теорема Дилуорса.
The Gelfand-Kirillov dimension of 1-generated general matrixes is (1—1)n2+1. The minimal degree of the identity of this algebra is 2n as a corollary of Amitzur-Levitsky theorem. That
1 Харитонов Михаил Игоревич — студ. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: krab8nog@yandex.ru.
