CC BY
79СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Klyachko A.A. Equations over groups, quasivarieties, and a residual property of a free group // J. G. T. 1999. 2. 319-327.
2. Едынак В.В. Отделимость относительно порядка // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 3. 53-56.
3. Романовский Н.С. О финитной аппроксимируемости свободных произведений относительно вхождения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1969. 33. 1324-1329.
4. Stebe P. Conjugacy separability of certain free products with amalgamation // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. 156. 119-129.
5. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977.
6. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
Поступила в редакцию 26.04.2010
УДК 51-77
ЗАДАЧА СОСТАВЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОГО ПОРТФЕЛЯ В МОДЕЛИ РЫНКА СОГЛАСНО БЕЛЕЦКОМУ И ПЛИСКЕ
Г. С. Камбарбаева1
В работе рассматривается предложенная Т. Белецким и С. Плиской модель оптимального управления портфелем ценных бумаг с непрерывным временем, в которой ожидаемый средний доход отдельных ценных бумаг или категорий активов явно зависит от экономических факторов. При фиксированных значениях факторов вводится функционал Qy , описывающий ожидаемую доходность портфеля с учетом компоненты ошибки, пропорциональной диперсии с коэффициентом y . Коэффициент y играет роль параметра неприятия риска. Оптимальная стратегия находится как решение задачи максимизации Qy в любой момент времени. Более подробно разбирается однофакторный случай. Приводится простой пример портфеля из двух активов — реальной процентной ставки (модель Васичека) и биржевого индекса, зависящего от нее. Затем полученные результаты сравниваются с теорией Белецкого и Плиски, в которой используются методы рискочувствитель-ной теории оптимального управления, и при этом исследуется задача на бесконечности, описывающая ожидаемый темп роста капитала в долгосрочной перспективе, асимптотическую дисперсию и параметр неприятия риска, аналогичный y.
Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, модель рынка Белецкого и Плиски, ожидаемый темп роста капитала портфеля, коэффициент риска, оптимальное управление портфелем ценных бумаг, стратегия инвестирования.
We study a continuous time portfolio optimization model due to Bielecki and Pliska where the mean returns of individual securities or asset categories are explicitly affected by underlying economic factors. We introduce a functional QY that features the expected earnings yield of portfolio minus a penalty term proportional with a coefficient y to the variance when we keep the value of the factor levels fixed. The coefficient y plays the role of a risk-aversion parameter. We find the optimal trading positions that can be obtained as the solution to a maximization problem for QY at any moment of time. Single-factor case is analyzed in more details. We give a simple asset allocation example featuring a Vasicek-type interest rate which affects a stock index and also serves as a second investment opportunity. Then we compare our results with the theory of Bielecki and Pliska where the authors employ the methods of risk-sensitive control theory thereby using an infinite horizon objective that features the long run expected growth rate, the asymptotic variance, and a risk-aversion parameter similar to y-
Key words: stochastic differential equations, Bielecki and Pliska market model, portfolio's expected growth rate, risk sensitivity parameter, optimal portfolio management, investment strategy.
1 Камбарбаева Гаухар Сабикановна — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kambarg@mail.ru.
1. Модель Белецкого и Плиски. Белецкий и Плиска в связи с задачей оптимального управления портфелем ценных бумаг исследовали следующую модель рынка, состоящего из т ^ 2 активов и п ^ 1 факторов (см., например, [1-3]).
Пусть (О, {ТгЬ^о, Г, Р) — вероятностное пространство. Обозначим через Бг, г = 1,...,т, стоимости активов, подчиняющихся стохастическим дифференциальным уравнениям (СДУ) с трендами, зависящими от совокупности макроэкономических факторов X3, 3 = 1,...,п, каждый из которых также подчинен линейному СДУ
(Б-(Ь) { п \ т+п
+ Бг(0) =зг>0, г = 1,..., ш, (1)
р=1 к=1
(п ч т+п
Б3 + ^ взрХР(т (Ь ^кдШк(г), хз (0) = х3, 3 = 1,...,п, (2)
р=1 ' к=1
где Ш(Ь) — (т + п)-мерное броуновское движение с независимыми компонентами Шк(Ь); X(Ь) — п-мерный фактор-процесс с компонентами Х3(Ь); , агр,взр, агк, \3к — некоторые константы; агк,\3к — неотри-
цательные константы, одновременно не обращающиеся в нуль.
Пусть := а ((Б (в),Х(в)), 0 ^ в ^ Ь), где Б(Ь) = (Б1(Ь),...,Бт(Ь)) является процессом стоимостей активов. Обозначим через Н(Ь) = (Ь\(Ь),...,Нт(Ь)) т-мерный инвестиционный процесс, или стратегию инвестирования, где Нг(Ь) — доля капитала, инвестированная в г-й актив в момент времени Ь. Аналогично [1] будем называть стратегию Н(Ь) допустимой, если она удовлетворяет следующим условиям:
(г) £=1 Нг(1) = 1; (гг) Н(Ь) измерим по
(ггг) Р[ /0 Н'(в)Н(в)(в < то] = 1 для всех конечных Ь ^ 0. (3)
Класс допустимых стратегий инвестирования будем обозначать через Н. Тогда процесс капитала V(Ь) удовлетворяет СДУ
(IV(Ь) = ^2 Нг(Ь^(Ь)
г=1
п \ т+п
Аг + ^ агрХр(Ь)\ М + ^ агк (Шк (Ь) р=1 ' к=1
V(0) = V > 0. (4)
В работе [2] для модели (1), (2) решается одна из возможных задач оптимального инвестирования капитала V(Ь) для портфеля, составленного из активов Б1,..., Бт, а именно вводится функционал
,]в = мшмМ, Где в>-2,в^о.
г^ж Ь в \ /
Согласно разложению в ряд Тейлора в окрестности точки в = 0 (см. [3]), имеем
_2 / \ в
Яв^) = — 1п£(е("2/б)1пУ(4)) = Е\пУ(г) - ^Уат(\пУ(1))+0(в2),
поэтому функционал ,1$ может быть интерпретирован как ожидаемый темп роста капитала портфеля с учетом компоненты ошибки с точностью до в2. Компонента ошибки пропорциональна в, поэтому параметр в был принят за параметр риска, а именно в > 0 соответствует нерискующему инвестору, в < 0 — рискующему инвестору и в = 0 — безрисковый случай. Таким образом, соответствует темпу роста капитала на бесконечности с учетом параметра риска.
Для решения проблемы оптимального инвестирования в [1] предложено максимизировать функционал над классом стратегий инвестирования Н, заданных в (3), при в > 0. Эта задача была интерпретирована авторами как предупреждение о больших отклонениях между реальной и ожидаемой ставками для инвестора, заинтересованного в максимизации дохода от капитала в долгосрочной перспективе.
В [1] предложен алгоритм отыскания оптимальной стратегии инвестирования И$(Ь) и соответствующего максимального значения функционала , обозначаемого р$(Ив). Алгоритм довольно громоздкий, его подробное описание можно найти в работах [1-3].
Отметим, что Белецкий и Плиска предлагают инвестору оптимальную стратегию для получения максимального дохода от портфеля инвестирования на бесконечности (при Ь ^ со). В настоящей работе
предлагается иная стратегия, применяя которую инвестор может управлять портфелем инвестирования и максимизировать доход от портфеля в каждый выбранный момент времени.
2. Постановка задачи отыскания оптимальной стратегии инвестирования в фиксированный момент времени. Введем следующие обозначения. Пусть Г(Ь) и X(Ь) — случайные величины со значениями в М. Обозначим через Е(Г(Ь)\Х(Ь) = х) условное математическое ожидание величины Г при фиксированном значении X (согласно, например, [4, 5]). Если известна совместная плотность распределения Р(Ь, /,х) случайных величин Г и X, то Е(Г(Ь)\Х(Ь) = х) находится по формуле
Е(Г (Ь)\Х (Ь) = х) =
/ /Р(г,/,х)й/
(5)
/Р(Ь,/,х)/ '
интегралы берутся по М. Дисперсия Уаг (Г(Ь)\Х(Ь) = х) при фиксированном значении X определяется как
Уаг (ГСО^(Ь) = х) = Е^2^(Ь) = х) - (Е(Г(Ь^(Ь) = х))2. (6)
Напомним, что в формулах (5) и (6) X(Ь) — п-мерный вектор. Для краткости будем использовать следующие обозначения:
Представление Qg (Ь) при разложении в ряд Тейлора в модели Белецкого и Плиски наводит на мысль о рассмотрении иной стратегии оптимального инвестирования.
Рассмотрим рынок активов (1), (2) и портфель инвестирования (4). Обозначим 1пV = Г. Тогда, согласно формуле Ито, из (4) получаем
йГ (Ь) =
г=1
1
т+п
ЪгАг - -к2 ^ <4 + Е Ы ^ агрХр(г)
к=1
г=1
Р=1
т+п
йЬ + ^ Ьг^ акйЩк (Ь).
(7)
г=1
Зададим функционал аналогично первым двум членам разложения в ряд по в функционала
а именно
ЯМ,х) = /(¿,ж) -г/У^х),
где 7 = | > 0 — коэффициент риска, подобный параметру в. Мы решаем следующую задачу: при фиксированном £ найти тах<57(£,х) над классом стратегий инвестирования заданных в (3), при фиксиро-
Цг)
ванном значении фактора X (Ь) = х в заданный момент времени Ь.
Отыскав максимум этого выражения относительно класса указанных стратегий, мы найдем стратегию, позволяющую получить максимальный доход портфеля с учетом потерь, возникающих из-за случайности, описываемой дисперсией. Меняя параметр 7, мы можем преувеличивать или преуменьшать роль случайности, либо вовсе ее не учитывать, устремляя 7 к нулю.
Далее в работе будут приведены алгоритм решения задачи экстремума и явные формулы для одного частного случая.
Предложенную модель можно интерпретировать следующим образом. Допустим, инвестор намерен вложить начальный капитал в активы Бг, г = 1,...,т, стоимости которых зависят от совокупности макроэкономических факторов Xj, ] = 1,...,п. Стоимости активов и значения факторов изменяются во времени и подчинены СДУ (1), (2). Задача инвестора — составить оптимальный портфель, т.е. выбрать доли капитала, вкладываемые в различные активы, так, чтобы максимально увеличить свой ожидаемый доход. Предположим, что инвестору становятся известны явные значения факторов в фиксированный момент времени. Теперь задача инвестора заключается в составлении оптимального портфеля инвестирования с учетом информации о факторах, что и описывает задача экстремума тахС,) (1,х). Отметим, что
инвестор в любой момент может изменить стратегию инвестирования, например если ему станут известны новые значения факторов. Таким образом, предложенная модель более гибкая и может применяться, а при необходимости и актуализироваться на протяжении всего времени инвестирования.
3. Решение задачи нахождения оптимальной стратегии инвестирования в фиксированный момент времени. Рассмотрим систему СДУ (2),(7). При этом естественно считать, что при всех возможных значениях фактора начальное значение капитала портфеля одно и то же. Обозначим /о =
In V(0) = Е(0). Отметим, что если положить Р(0, /, х) = ö(f — /о), то /(0, х) = /о- Далее в этой статье мы будем рассматривать однофакторную (n = 1) модель.
Задача нахождения величины f(t,x) для однофакторной модели была решена в [6], что оказалось возможным благодаря тому, что была найдена явная формула для отыскания плотности вероятности при начальных данных P(0,f,x) = ö(f — fo). Для этого потребовалось решить соответствующее уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова.
Непосредственные вычисления, сделанные по формулам (5), (6), показывают, что
Шх) = Шх) = № + *)о(1-е-») _ (Ва_Ш + Л_ {8)
v(t, х) = vh(t, х) = -¿3(S2a2e-2/3i+4(S3a/3-S2a2)e-/3i+a(3aS2-4/3S3)+2/3(a2S2-2a/3S3+/32Si)i), (9) 2р
где
m / i m+1 \ m
А = Y \hiAi ~ Y ai4' a = Yhiai> i=1 \ k=1 i=1
m m+1 m+1 m m+1
£1 = Y h2 Y ^ £2 = Y ^ > £3 = Y h^Y aik i=1 k=1 k=1 i=1 k=1
Заметим, что если не фиксировать X, то условное математическое ожидание f(t,X(t)) будет слу-
B
чайной величиной, зависящей от X. Однако из уравнения (2) следует, что lim E(X(t)) =--. Таким
tß
образом,
Иш E(\nV(t)\X(t) = E(X(t))) =A_Ba
t-> oo t ß
Мы можем записать функцию х) в явном виде, это квадратичная функция по h. Для отыскания
m
условного экстремума функции Q^(t,x) относительно ограничения ^^ hi — 1 = 0 можно применить метод
i=1
Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид
(m \ m m
Y- 0 = Y x)h*h3 + Y x, оы + m, x, o, i=1 i,j=1 i=1
где Kij,K2i, Кз — функции от t,x,£ и коэффициентов A, а, B, ß, £1, £2, £3, причем Кц < 0. Ввиду громоздкости мы не будем их явно выписывать.
Составим систему из m + 1 уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа L(h,C) по hi,£:
dL(h>° -±Cijhj + Со,= о, = f>-l = 0,
cMi = ij j — i=1
где
m+1
m+1
Сг3 = ага3 Y [e~2ßt ~ Ae~ßt ~ 2ßf + 3J + «i Y [e~ßt + l3t~1\~Y + 27), k=1 ß k=1 ß k=1
m+1
Coi — OLi—: ß2
(ßx + B )(e-ßt — 1) + Bßt1 — 2Ait, i = 1,...,m.
Это неоднородная система линейных уравнений относительно переменных h1,..., hm, Отсюда однозначно находятся hi,...,hm,£ при условии, что определитель системы отличен от нуля. Так как lim Qj(t, х) = —оо и Qj(t, х) является непрерывной по h функцией, то указанная точка является точкой
максимума.
Далее мы рассмотрим предложенную модель на одном классическом примере и приведем явное решение задачи экстремума. Затем проведем сравнение результатов нашей стратегии с результатами стратегии Белецкого и Плиски.
4. Случай двух активов. Пусть рисковый актив, скажем биржевой индекс, описывается СДУ
= + а1Г(*))£Й + (ТКШ^), ЗД) = 8 > 0,
Б1 (ь)
где спотовая процентная ставка г(Ь) в свою очередь тоже описывается СДУ
(г(Ь) = (Б + вт(г))(г + \dW-22(Ь), г(0) = г> 0.
Здесь А1,а1,Б,@,а1,\ — заданные константы, причем Б > 0,в < 0, а Ш1,Ш2 — два независимых броуновских движения.
Будем считать, что инвестор может занять длинную или короткую позицию по отношению к биржевому индексу, а также занимать или одалживать деньги с непрерывным процентным начислением по действующей ставке. Последнее представим в виде процесса, описывающего банковский счет:
Здесь Б2(Ь) — баланс сберегательного счета в момент времени Ь при условии, что Б2(0) = 1 (одна денежная единица была размещена на счете в нулевой момент времени).
Запишем уравнение для капитала инвестора в момент времени Ь:
= [к1{г)А1 + (М^ + Ы^МШг + М^К^ъ у(о) = V > о.
V(Ь)
Поскольку мы рассматриваем портфель из двух активов, то стратегию инвестирования удобно описывать следующим образом: Н^Ь) = Н(Ь) — доля капитала, инвестированная в биржевой индекс, и соответственно Н2 (Ь) = 1 — Н(Ь) — доля капитала, размещенная на банковском счете. Формулы (8), (9) в данном частном случае имеют вид
7Л(*, г) = М2к2{Ь) + МфЦ) + Мо, г) = Ь2Ь?{Ь) + Ьфф + Ьо, (10)
где
Ма = Мг = («1 " 1Ш + В){ 1 - е(Б(«1 - 1) - /ЗА^
2 ' 1 в2 в Мо = {13г + ~ е~т) ~ у + /о, ь2 = -^(«1 - 1Ш) + аЬ, Ьг = -^{а, - 1 )ф®,
X2
и = - 2^3 <№) = (е"2/34 - - 2/3* + 3).
Поскольку ¿2(0) = 0, = 2\2(<У1 — 1)2(ехр(— (И) — 1 )2/(32 + а2 > 0, то старший коэффициент квадра-
тичной по к функции (Ь,г) отрицателен и ее максимум достигается в единственной точке экстремума
Таким образом, в любой выбранный момент времени инвестор, зная дополнительную информацию о факторе (а именно значение фактора в заданный момент времени), может максимизировать доход от инвестиций, применив оптимальную стратегию инвестирования: вложить долю капитала, равную И7(Ь, г), в рисковый актив — и разместив остаток капитала 1 — И7(Ь,г) на банковском счете.
Из (10) следует, что при £ —оо условное математическое ожидание г) растет, как е~а условная дисперсия гТ/г(£, г) — как е~2^ь (напомним, что [3 < 0). Вводя коэффициент риска, мы уменьшаем влияние компоненты ошибки на ожидаемый средний доход портфеля в долгосрочной перспективе.
5. Сравнение двух моделей. Для того чтобы провести сравнение результатов нашей модели с моделью Белецкого и Плиски, нам необходимо рассмотреть полученные результаты при t ^ В силу построения функции Qj(t,r) есть смысл проводить сравнение при 7 = 9/4 и малых 9. При любом
1 Ai
фиксированном х при t —00 получим lim H-y(t,r) =--в случае а 1 / 1 и lim H-y(t,r) = —, в
t^m ai — 1 t^m 02
случае ai = 1. Таким образом, предельное значение HY/(t,r) разрывно как функция по ai. Далее введем
следующие обозначения:
Вычисляя, получим
. - . А2 Б
МЩ) = - «1 = 1-
Величина (И7) соответствует темпу роста капитала на бесконечности, т.е. аналогична величине рд(Ид) в модели Белецкого и Плиски.
Согласно результатам [2], имеем
А\ + (а1 -1 )т д^+ЯЛТ л2^22 , А\
Нв= (1 + 1 к ' рв(Нв) = ХК1 + Ш2-—^ + ¥Т2Я>
где
1 Х29 2 /д2 | 6Х2(а1-Т)т •
(0+2 )сг
Отметим, что на бесконечности предложенная нами оптимальная стратегия не зависит от фактора (коэффициентов фактора), тогда как в модели Белецкого и Плиски такая зависимость есть. Однако, принимая во внимание, что (/>(£) = —|/З3£3 + о(£3), £ —0, из (11) получим
- Ai + (ai — 1)r (i + 2)0-1
т.е. Нд/^ ~ Ид при малых Ь. Далее подсчет показывает, что 4(Ь,г) = -2г2 + -1г + —о + о(Ь), Ь — 0, где
(«1 - I)2 2А1(а1-1) А2
Л2 — 9 . . , Л1 — I Н--9 , -Ко —
^2(0 + 2)' 1 о2(9 + 2) ' 0 а2(9 +2)
Зависимость от X появляется при учете членов большей малости разложении Кщ (Ь,г) по Ь в нуле.
Из принципа построения стратегии Нд/4 следует, что при любых Ь и г должно быть выполнено неравенство Кнв(Ь,г) < Кщ 4(Ь,г). На рис. 1 показано, насколько велика разница между этими величинами
при тех же значениях параметров, что использованы в [2], т.е. А1 = 0,15; а.1 = —1; 01 = 0,2; Б = 0,05; в = —1; X = 0,02. Зададим г = 0,01; 9 = 0,1; время меняется от 0 до 8 лет.
При малых 9 есть смысл сравнивать величины (Н7) и рд(Ид= 9/4. На рис. 2 эти величины изображены при тех же значениях параметров, что и раньше, 9 меняется от 0 до 10. Если выполнить предельный переход при 9 — 0, то, согласно [2], будем иметь
Б 1 (, Б. л,\2 X2 (а.1 — 1)2
Если непосредственно положить 7 = 0 в К^(Ь,г), а затем перейти к пределу при Ь — ж, получим величину, равную в точности выражению в (12) без последнего члена, содержащего X.
На рис. 3 представлено среднее значение fh.it, г) в случае нашей стратегии Н7 и в случае стратегии Белецкого и Плиски Нд при тех же значениях параметров, что и на рис. 1, время меняется от 0 до 9 лет.
На рис. 4 при тех же значениях параметров, что и раньше, изображен эффективный фронт, т.е. зависимость /д от уд в моменты времени t = 1, 2 и 3 гг.
Рис. 1. Разность величин R¡jS/4 (t) и Rne (t) в каждый момент времени
Рис. 2. Сравнение нашей модели и модели Белецкого и Плиски на бесконечности ^ ^ ж)
Рис. 3. Среднее значение fh.it, г) в случае нашей стратегии Н7 и стратегии Белецкого и Плиски Нд
Рис. 4. Эффективный фронт f¡¡1ÍvH1) в м0~ менты времени 1, 2 и 3
Данная статья написана в рамках аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы", проект № 2.1.1/1399.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bielecki T., Pliska S. Risk sensitive dynamic asset management //J. Appl. Math. and Optimiz. 1999. 37. 337-360.
2. Bielecki T., Pliska S., Sherris M. Risk sensitive asset allocation //J. Econ. Dynamics and Contr. 2000. 24. 1145-1177.
3. Bielecki T., Pliska S. A risk sensitive intertemporal CAMP, with application to fixed income management // IEEE Trans. Automat. Contr. 2004. 49. 420-432.
4. Ширяев А.Н. Вероятность-1. 3-е изд., перераб. и доп. М.: МЦНМО, 2004.
5. Chorin A.J., Hald O.H. Stochastic Tools in Mathematics and Science. N.Y.: Springer, 2006.
6. Камбарбаева Г. С. О некоторых явных формулах для вычисления условных математических ожиданий случайных величин и их применениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 5. 10-15.
Поступила в редакцию 12.05.2010
