О некоторых явных формулах для вычисления условных математических ожиданий случайных величин и их применениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-77

О НЕКОТОРЫХ ЯВНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ УСЛОВНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯХ

Г. С. Камбарбаева1

Для пары линейных стохастических дифференциальных уравнений, описывающих поведение двух случайных величин, решается задача нахождения среднего одной из них при фиксированном значении второй. Приводятся примеры задач из области финансовой математики, в которых используются полученные формулы.

Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, среднее значение, уравнение Фоккера-Планка, точное решение, применения в финансовой математике.

For a couple of linear stochastic differential equations describing the behavior of two random values we solve a problem of finding the mean of one of them when the second one is fixed. We present examples from the financial mathematics where the formulas obtained here are used.

Key words: stochastic differential equations, average value, Fokker-Planck equation, exact solution, applications to financial mathematics.

Во многих задачах физики и финансовой математики возникает задача нахождения среднего некоторой случайной величины F, являющейся функцией времени, и некоторой другой случайной величины X (фактора) при фиксированном значении последней. Мы рассмотрим эту задачу в ее общей линейной постановке, не останавливаясь сперва на смысле случайных величин, а потом приведем конкретные примеры.

Постановка задачи. Рассмотрим систему стохастических дифференциальных уравнений (СДУ)

dF (t) = (A(t) + ai X (t) + a2F (t))dt + <ii(t)dWi (t) + <12 (t)dW2 (t),

dX (t) = (B(t) + в1 X (t) + в2 F (t))dt + 021 (t)dWi (t) + a22(t)dW2 (t), (1)

F(0) = f,X(0) = x,t ^ 0,f e ,x G ttx,

где W(t) = (Wi(t),W2(t)) — двумерное броуновское движение; A(t),B(t) — заданные функции времени; коэффициенты ai,^i,<ij = const, i, j = 1, 2.

Совместная плотность распределения P (t, f, x) случайных величин F и X описывается уравнением Фоккера-Планка (см. [1])

дí д/ \ д/ / дх

_А (р(г,/1Х) + ¿ГЫЗ) ++ + + (Ч

К 2 2 лд2Р(¿,/,х) + 2^21 +"22)—

с начальными данными

Р (0,/,х)= Ро (/,х), (3)

определенными начальным распределением ^ и X.

Если функция Р(¿, /, х) известна, то можно найти /(¿, х) — условное математическое ожидание величины ^ при фиксированном значении X в момент времени ¿, определенное формулой [2]

1 Камба/рбаева Гаухар Сабикановна — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

/ fP(t,f,x) df

^--ттшш- (4)

Заметим, что если мы выберем Po(f, x) = 5(f — fo(x))g(x), где fo(x) и g(x) — произвольные гладкие функции, то f(0,x) = fo(x). Отметим, что на g(x) накладывается условие fQ g(x)dx = 1. Некоторые свойства величины (4) изучены в [3, 4].

Для отыскания фундаментального решения уравнения (2) существуют громоздкие алгоритмы c точностью до решения систем ОДУ для матричных уравнений Риккати [5, 6]. Однако для некоторого простого, но важного для приложений выбора начальных данных задача (2), (3) имеет явное решение в элементарных функциях.

Сведение задачи к решению системы ОДУ. В некоторых случаях удается найти решение задачи (2), (3) для произвольных fo(x) и g(x) в виде интегральных представлений [4], но для получения явных формул мы ограничимся линейной функцией fo(x) = kx + m. Отметим, что для большинства возникающих в экономике задач такого рода достаточно рассмотреть постоянные начальные значения (k = 0). В дальнейшем будем считать, что случайная величина X распределена равномерно на отрезке [—L,L],

т.е. д(х) = — = const.

2L

Итак, положим /о(ж) = кх + т, где к,т = const. Тогда Po(f, х) = и дд^ ^ _ ^ ^

Выполним преобразование Фурье функции P(t,f,x) по переменной f. Тогда уравнения (2) и (3) с учетом заданных начальных значений примут следующий вид:

dP(t,Ж) = + aix)fxP^^x)i _а(^х) _ и,х)\ _ + dP(t,Ж)

dt \ д/ ) dx

п . d2P(t,/, x) 1, 2 2 ч 2„/ ч / ч дР(t,/,x) -j3iP(t, /х, х) - j32—дщ^-г - ~(оп + о12)ц P{t, /х, х) + {оцо21 + 012022)11-т^-г+

1/ 2 2 xd2P(t,/,x) ,r,

+^21+^22)-(5)

p-i^(kx+m)

P(0,fi,x) =-(6)

Решение задачи (5), (6) будем искать в форме

eYl (t)+Y 2 (t)M+73 (t)x+Y4 (i)^2 +76 (i)x/U+Y6 (t)x2 P(i, fi, x) =-=-. (7)

Подставим выражение (7) в уравнения (5), (6), затем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях у и х, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для 73(t),j = 1,---, 6, с начальными условиями

71(0) =0,72 (0) = -гш,7э (0) = 0,74 (0) = 0,75(0) = -гк,7б (0) = 0- (8)

Система довольно громоздкая (мы не будем выписывать ее сейчас, но сделаем это позже в некоторых частных случаях), однако компоненты 73(¿) и 7б(£) при указанных начальных условиях тождественно равны нулю. С учетом этого упрощения система примет вид

= -Ш1 - Ф2Ъ^)2 + а27б(£) " /?175(*), = «2 -А,

= -В(1)Ъ(1) - гА{1) - Ц32Ъ(1)Ъ(1) + «272(4), (9)

= ~\о\2 - ^<7?! - 2г/3275(£)74№ + 2а274(^) + <ТП<Т21ЪШ+ +0-120-2275 + ^0-227б(^)2 + ^о^^)2.

6 ВМУ, математика, механика, №5

Если задачу (9), (8) удастся явно решить, то подставим в (7) полученные выражения 7з-(£),, = 1, 2, 4, 5, и найдем Р(¿, х). Далее выполним обратное преобразование Фурье и найдем функцию Р(¿, /, х). Подставим полученное значение в (4), проинтегрируем выражение и таким образом получим искомое значение /(¿, х) при заданных начальных значениях.

Далее приведем частные случаи системы (1), возникающие в экономических приложениях, когда функцию / (¿, х) удается получить в явном виде.

Связь истинной доходности актива и экспертных оценок этой доходности. Рассмотрим систему

(*) = + ап + ^12

<Х (*) = (В + + а21^1^) + а22<ад), (10)

^ (0) = /, Х(0) = х,

где коэффициенты А, В, в, а^- =0 — заданные постоянные, г,, = 1, 2.

Систему (10) можно интерпретировать следующим образом: первое уравнение задает сложившуюся на рынке доходность актива, а второе — экспертное мнение об этом активе. Естественно тренд второй случайной величины считать зависящим от доходности положительным образом (в > 0). Величина /(¿,х) может быть интерпретирована как истинная доходность актива, которая не обязана совпадать с рыночной. Такая задача возникает при поиске потенциально недооцененных активов.

Положим /о(х) = кх + т, где к ^ 0,т > 0, и выполним алгоритм вычисления / (¿,х), описанный выше. Случай к > 0 соответствует предположению о том, что первоначально истинная доходность актива линейным образом зависит от мнения об активе.

Выпишем систему ОДУ для 7з(£),, = 1,..., 6, с начальными условиями для данного случая (напомним, что мы ее не выписывали в общем виде):

= -/Зг7з(*)72(*) " /«*) - ¿?7з(*) + ^ + (7б(*) + ¿7з2(*) = - ВЪ{1) - 2/Зг7з(£)74(£) - /Зг75(*)72(*)+ +(аца21 + а12а22 )г7з(£) + (а^ + а^Ьз^Ьб^), ^^ = -2/Зг7б(*)72(*) " 2£Ы*) - РЫШЪ + 2(а221 + а222)7з(*Ьб(*), (11)

= -2/Зг75^)74^) - |(о-?2 + С11) + + <х222)752(£) + (ап^! + ^гг)^*), ^^ = -4/Зг7б(£)74(£) - /3^752 + 2(0-110-21 + ^гг)^) + 2(<х221 + а222)Ъ{1)^{1),

<<( )

Решив задачу (11), (8), получим 7з(£),, = 1,..., 6, в явном виде:

т „п ч -г(кДШ2 + 2(А - Вк)г + 2т) 71(4) = - Нт + 1), 72(4) = 1 ^ 2(^ + 1) - ' =

= -к2[32(а212 + а2п)13 + 3/3((^12^22 + <щ^21)^ - (<г?2 + <Гп)*0*2-741; 6(к2/ЗН2 + 2к(3г + 1)

-3((а21 + а^2)к2 - 2(аиа21 + а12а22)к + (а21 + а^))*

6(к2 в2^2 + 2кв^ + 1)

Щ+Т>

Громоздкие, но стандартные вычисления показывают, что в данном случае

кДШ2 + 2(А - Вк)£ + 2кх + 2т

/ (*,х) =

2(кв£ + 1)

Отметим, что при выполнении вычислений накладываются дополнительные ограничения для сходимости интегралов, но для этого достаточно потребовать, чтобы в > 0, а^ = 0, г,, = 1, 2.

В частном случае /о(х) = т получим следующий результат: / (г,х) = Аг + т. Здесь для сходимости интегралов необходимо, чтобы ст2^ + ^л = 0.

Мы видим, что (при больших временах) для постоянных А и В тренды истинной доходности и рыночной совпадают.

Если в системе стохастических дифференциальных уравнений (10) считать А и В произвольными непрерывными функциями г, т.е. А = А(г),В = В(г), то в результате для функции /(¿,х) будем иметь

ь

кх + т + /(—В(,г)к + А(г)(1 + кв-г))(г

Л'-1» =-° + 1-

в случае /о(х) = кх + т и

ь

/(г,х) = J А(,г)(г + т

в случае /0(х) = т.

Проанализируем полученный результат. Интересно отметить, что если в нулевой момент времени истинная доходность не зависит от экспертного мнения, то такая ситуация сохранится и во все последующие моменты времени вне зависимости от тренда самого актива и коэффициентов, связывающих мнение экспертов с величиной актива, и / (г, х) совпадет с математическим ожиданием ¥(г). Если же истинная доходность актива зависит от мнения (что естественно) линейным образом с положительным коэффици-

ь

ентом и А(г),В(г),в и к таковы, что [(А(^) + к(в^А(г) — В(¿)))(г растет медленнее линейной функции

о

по г, то актив становится недооцененным.

Модель рынка согласно Белецкому и Плиске. В цикле работ в связи с задачей оптимального управления портфелем ценных бумаг (см., например, [7, 8]) рассматривается рынок активов, стоимости которых подчиняются СДУ с трендами, зависящими от совокупности макроэкономических факторов X, причем каждый из них также подчинен линейному СДУ. В простейшем случае этот фактор один. Если составить уравнение для доходности ¥ портфеля, составленного из описанных выше активов, то получим систему

(¥ (г) = (А + аХ (г))(г + (г) +

(X (г) = (В + вх(г))(г + р^^г) + р2 (^г(г),

которая относится к типу (1). Здесь А, В, а, в — некоторые константы, причем в < 0; Ui,pi (г = 1, 2) — неотрицательные константы, одновременно не обращающиеся в нуль. Коэффициенты А, а, Ст1, Ст2 зависят от стратегии инвестирования, но мы не будем сейчас на этом останавливаться.

Положим /о(х) = т. Выпишем систему ОДУ для 7з-(£),.?' = !,•••, 6, в данном случае (напомним, что мы не выписывали ее для общего случая):

ГЫЬ) = - 1?7з(*) + (Р? + Р1)Ъ® + + Рг)7з(^)>

чг1 г^ 2

'-(г)

= -Лг - Б75(£) + (<Т1Р1 + а2р2)гъ^) + (р? + РгЪзС^ЪбСО,

^ = -/57з(«) " 257б(*) + 2(р? + р%Ьз(*Ьб(*),

(( )

= + + 1(р21 + Р^ЬК*) + (0-1Р1 + <У2р2)гЪ{1),

((( 2У 1 2/ 2 ^ = ~аг - /375(*) + 2(<71Р1 + а2р2)гЪ{1) + 2(р2 + р2)

(( )

(

С учетом начальных условий 71(0) = 0, 72(0) = — гт, 73(0) = 0, 74(0) = 0, 75(0) = 0, 7в(0) = 0 получим

7 ВМУ, математика, механика, № 5

о

Yj(t),j = 16, в явном виде:

71 <0 = -*, + 7s(t)=„,

= (Pi + P22)a2e~2ßt + / -(Pi + Pj)«2 + (o-iPi + <?2р2)а\ -0t |

4te3 V в3 в2 >

,Мр! + р1)«2 . ag + ^V , 3(pf + p^)a2

"4 2/32 13 2 / 4/53

Далее, повторив алгоритм вычисления f (t, x), найдем искомое значение в явном виде:

- + (Ва — Af3)t {¡Зх + В)а

Ж х) р - + ^ +т- (12)

Отметим, что при выполнении вычислений при t > 0 накладываются дополнительные ограничения для сходимости интегралов, а именно

¿3 (a2(Pi + pl)e~m) - 4(р?«2 + Р2«2 - a/Mpi " apa2p2)e~l3t-

-2в3(af + af)t - a2(pf + pf)(2et - 3) - 4ав(ст1 pi + afpf)(1 - et) > 0,

((2в3 (af + af) - 4ав2 (aipi + a2pf) + 2a2в(pf + pf)) t + (4aafpf + 4aaipi)в--3a2(p? + p2))e2et + (-4ав(aipi + afpf) + 4a2(p? + pf))eet - a2(pf + pf) ^ 0.

(14)

Можно показать, что неравенство (13) имеет место при всех соотношениях параметров, а для выполнения неравенства (14) требование в < 0 существенно. Именно рассмотрим левую часть неравенства (13) как функцию ф(£). Легко вычислить, что ф(0) = 0, ф'(0) > 0. Далее, представим ф'(£) как квадратичную функцию относительно г = е-в*. Коэффициент при г2 положителен, а дискриминант О = —4(р1а2 — Р2а1)2а2в2 ^ 0. Таким образом, ф'(£) ^ 0, £ > 0 и (13) выполнено.

Далее, рассмотрим левую часть неравенства (14) как функцию Здесь ^(0) = 0, ^'(0) > 0 при в < 0, при больших £ функция положительна. Однако следует показать, что в возможных точках локального минимума функция неотрицательна. Рассмотрим производную как функцию от

г = ев и обозначим через го(£) точку, где производная обращается в нуль. Уравнение ев = го(£) может не иметь корней при положительных что означает отсутствие точек экстремума у Если же это уравнение имеет положительные корни, подставим в выражение для вместо ев функцию го(£). Получим дробь, знаменатель которой неотрицателен, а числитель — квадратичная функция по £ с положительным коэффициентом при £2 и дискриминантом О = — (р1а2 — Р2а1)2((р2 + р2)а — (р1а1 — Р2а2)в)2 ^ 0. Таким образом, условие (14) выполнено.

Теперь рассмотрим пример применения формулы (12). Величина / (£,х) является средним значением доходности портфеля. В рассматриваемой модели доходность портфеля ^ зависит от фактора X. Рассмотрим ситуацию, когда инвестор намерен вложить начальный капитал в некоторые активы, стоимость которых в течение одного дня работы рынка подвержена случайным изменениям. В начале каждого дня инвестору сообщается значение фактора X = х. Формула (12) позволяет инвестору рассчитать ожидаемое среднее значение доходности портфеля в конце дня с учетом информации о факторе.

Полученный результат можно использовать для задачи составления оптимального портфеля, т.е. выбора долей капитала, вкладываемых в разные активы (портфеля инвестирования), чтобы к концу дня максимально увеличить свой средний доход. Также модель можно расширить на случай п факторов, где п > 1.

Данная статья написана в рамках аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы", проект 2.1.1/1399.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Risken H. The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications. 2ed. N.Y.: Springer, 1989.

2. Chorin A.J., Haid O.H. Stochastic Tools in Mathematics and Science. N.Y.: Springer, 2006.

3. Albeverio S., Rozanova O. The non-viscous Burgers equation associated with random positions in coordinate space: a threshold for blow up behavior // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2009. 19, N 5. 1-19.

4. Albeverio S., Rozanova O. Suppression of unbounded gradients in a SDE associated with the Burgers equation // Proc. Amer. Math. Soc. 2010. 138, N 1. 241-251.

5. Yau S. Computation of Fokker-Planck equation // Quart. Appl. Math. 2004. 62, N 4. 643-650.

6. Cordero-Soto R., Lopez R.M., Suazo E., Suslov S.K. Propagator of a charged particle with a spin in uniform magnetic and perpendicular electric fields // Lett. Math. Phys. 2008. 84, N 2-3. 159-178.

7. Bielecki T., Pliska S. Risk sensitive dynamic asset management //J. Appl. Math. and Optimization. 1999. 37. 337-360.

8. Bielecki T., Pliska S., Sherris M. Risk sensitive asset allocation //J. Economic Dynamics and Control. 2000. 24. 1145-1177.

Поступила в редакцию 15.06.2009

УДК 511.667.7

ГРУППОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕКОТОРЫХ ПОЛУПРОСТЫХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР ХОПФА

Е. Г. Пунинский1

В. А. Артамоновым и И. А. Чубаровым доказан критерий принадлежности множеству групповых элементов некоторой полупростой конечномерной алгебры Хопфа, имеющей единственное неодномерное неприводимое представление. Пусть n — размерность этого представления. В работе показано для нечетного простого n, что множество групповых элементов этих серий алгебр Хопфа — циклическая группа порядка 2n.

Ключевые слова: конечномерная полупростая алгебра Хопфа, групповые элементы.

V. A. Artamonov and I. A. Chubarov proved a criterion under which an element of some semisimple finite-dimensional Hopf algebra is group-like. The studied Hopf algebra has only one non-one-dimensional irreducible representation. Let n be a dimension of this representation. It is shown in this paper that for odd prime n the set of group-like elements of these algebras is a cyclic group of order 2n.

Key words: semisimple finite-dimensional Hopf algebra, group-like elements.

Введение. Пусть H — конечномерная алгебра Хопфа над алгебраически замкнутым полем k, причем размерность H и характеристика поля k взаимно просты. В работах [1-3] изучалось строение H при условии, что H как алгебра имеет только одно неприводимое представление размерности n, а число неэквивалентных одномерных представлений равно n2.

Одномерные представления H находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы G групповых элементов дуальной алгебры Хопфа H* [4], таким образом, H как алгебра имеет полупростое разложение

H = ф keg ф Mat(n, k)E, gee

где {eg , g G G, E} — система центральных ортогональных идемпотентов в H.

В [2] показано, что группа G(H) групповых элементов H имеет порядок не выше 3n, а если группа G абелева, то порядок G(H) не превышает 2n.

В настоящей работе доказывается, что G(H) — циклическая группа порядка 2n, если n — нечетное простое число. Отметим, что если n нечетное простое, то группа G абелева, причем из работы [5] следует, что группа G разлагается в прямое произведение двух циклических групп порядка n:

G = < a >n х < b >n .

Как показано в [1], существуют такие обратимые матрицы Ag и U, что для любых g G G, X G Mat(n,k)

1 Пунинский Евгений Геннадьевич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

8 ВМУ, математика, механика, № 5