Об эффектах вязкого взаимодействия при гиперзвуковом обтекании тонких затупленных тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том IV 1 9 7 3 М 2

УДК 532.526

ОБ ЭФФЕКТАХ ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ ГИПЕРЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ ТОНКИХ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ

В. В. Михайлов, В. П. Провоторов

Рассматривается обтекание гиперзвуковым потоком вязкого совершенного газа тонких плоских и осесимметричных затупленных тел, относительные поперечные размеры которых могут быть оценены одним малым параметром 0. Для указанных течений приводятся оценки порядка величины тех или иных эффектов вязкого взаимодействия, которые могут быть полезны при построении расчетных схем течения. На основании приведенных оценок выбирается схема и проводится расчет обтекания затупленного цилиндра на режиме слабого вязкого взаимодействия.

Известно, что при обтекании затупленных тел вязким гиперзвуковым потоком газа учет „эффектов второго порядка11 (взаимодействия через давление, завихренности внешнего невязкого течения и т. д.) полностью исчерпывается вторым приближением Ван-Дайка [1], если единственным малым параметром задачи является величина, зависящая только от некоторого характерного числа Рейнольдса.

Однако при появлении дополнительных малых параметров постановка задачи может существенно измениться. Часть „эффектов второго порядка11 может стать несущественной, а некоторые из них (например, поперечная кривизна) могут оказывать влияние на решение в главном члене.

В случае обтекания тонкого заостренного тела таким дополнительным малым параметром может служить относительная толщина тела. Гиперзвуковое обтекание указанных тел изучено в ряде работ. Менее полно исследована задача при появлении третьего малого параметра — затупления носка тела. Влияние эффектов второго порядка на обтекание таких тел изучалось, как правило, путем сравнения результатов численных расчетов, проведенных для того или иного вида исходных уравнений и граничных условий. Так, например, в работе [2] оценивалось влияние изменения скорости на внешней границе пограничного слоя, связанное с втеканием газа в слой, и влияние завихренности внешнего потока, однако взаимодействие через давление и влияние поперечной кривизны не рас-

сматривались. В работе [3] изучалось лишь влияние указанного выше втекания, в [4]—только взаимодействие через давление, а в [5] — эффекты взаимодействия и поперечной кривизны. Исключением является работа [6], в которой рассматривается обратная задача — течение за параболическим осесимметричным скачком уплотнения. В этой работе оценена степень влияния всех „эффектов второго порядка" (а также влияния вязкости на течение в энтропийном слое) при значительном удалении от вершины скачка на режимах слабого и умеренного вязкого взаимодействия. Однако подобные оценки применимы лишь для тел типа степенных осесимметричных.

В данной статье рассматривается класс тонких плоских и осесимметричных затупленных тел, относительный поперечный размер которых может быть оценен одним малым параметром 0.

Выберем прямоугольную или цилиндрическую систему координат хг (ось л: совпадает с направлением невозмущенной скорости) и введем следующие обозначения: и^, М.т, ра> — соответственно скорость, число М и плотность невозмущенного потока; uuco — составляющая скорости вдоль оси х\ ht^Jl — энтальпия; А0и^/2 — энтальпия адиабатически заторможенного набегающего потока; Но — коэффициент вязкости при h = h0\ — коэффициент вязкости

<0 ■= const); х — показатель адиабаты; 6 — характерная относительная толщина тела; (I — характерный поперечный размер затупления, к которому отнесены все линейные размеры; Isd — длина свободного пробега молекул в пограничном слое; bd, bed, btd — соответственно толщина пограничного, энтропийного и „переходного" [см. соотношение (1.4)] слоев; фрооИоо^'1 — функция тока (v = 1 и 2 соответственно в плоском и осесимметричном случаях); са — коэффициент сопротивления затупления, подсчитанный по площади rfv; Red = p<xUood/p0; Rei = роойоэ/-/^)-

Индексами 8, t, е будем обозначать параметры соответственно в пограничном, „переходном" и энтропийном слоях, а индексами was — на поверхности тела и на головном скачке уплотнения.

1. Разобьем все поле возмущенного течения на три области: пограничный слой 8, энтропийный слой 8е и слабо завихренное

прилегающее к скачку уплотнения (фиг 1).

Определим энтропийный слой как слой газа в невязкой части течения, все струйки тока которого прошли через скачок уплотнения с углами наклона порядка единицы к направлению «оо.

Ограничимся случаем, когда на рассматриваемом участке тела влияние вязкого взаимодействия через давление слабое или умеренное, пограничный слой развивается внутри энтропий-толщина пограничного слоя 8/г0)<0(1) и

давление на теле может быть оценено по

невязкое течение,

Фиг.

относительная

ного,

Мсо£>0(1). Тогда

порядку величины из решения, соответствующего обтеканию тела невязким газом. При этом вблизи носка тела существует область, в которой влияние затупления на распределение давления существенно, а ниже по течению — область, в которой давление может быть оценено из решения для заостренного тела. Используем для

оценки давления и формы головного скачка уплотнения в рассматриваемых областях соответственно решения для сильного взрыва и для заостренных клина или конуса. Тогда

v+l

'Л;

Р‘

rs — x2+v при л-< О (6V_4); rs — хб при a:>0(6v_4)-

(1)

Из данного выше определения энтропийного слоя следует, что внутри этого слоя энтропийная функция р/рх'~1 и расход фе—1. Используя эти условия, а также оценки (1) вместе с уравнением Бернулли и уравнением сохранения расхода, получим в случае я<;0(б''~4) ■

'К

1, he — 1 — и,

е

(у+1) (х-1) ■ Зх

»

_ Х3х при V = 1;

_L ~2*

Ъе — л2х при v = 2, если 8е> О (rw) (О(л)<621-');

-2*

+ лб)-1 при v = 2, если 8г<0(га1) (0(л)> 02*-1);

в случае x>-O(0v_4)

2(*-1)

1 - И.

■(в*)1-”!

(2)

I

Оценим параметры потока в пограничном слое. Учитывая,что отношение Ь/х обратно пропорционально корню из числа Рейнольдса Res, подсчитанному по местным характерным параметрам слоя, получим

в случае a:<;0(6v_4)

v+1 4+v 1

ho ‘ «<5 ^ 1 j

Рь '

Re

2—v

Ь'

— П + (v — 1) Ьх] х 6 Red

в случае л:>О(0',_4)

hi' - и§ • ' 1, ps ■— <1>5

• 02.

■ хт 0_1 Re„ 2

а

X

Re'

(3)

Известно, что в предельном случае ке 0 (Ме оо) расходом газа через пограничный слой можно пренебречь. Тогда из всех эффектов второго порядка остается лишь взаимодействие через давление, скачок температуры и скольжение на стенке, а в осесимметричном случае еще и эффект поперечной кривизны. Для определения порядка величины остальных эффектов при Неф О отметим, что согласно работе [7] на верхней границе гиперзв*уко-вого пограничного слоя [/ге < 0(1)] имеется область течения с относительно малыми поперечными размерами, в которой происходит переход от „вязкого” к „невязкому“ течению. Порядки величин всех параметров течения в этом переходном слое соответствуют

порядкам внешнего невязкого потока, но влияние вязкости существенно из-за большой кривизны профилей скорости и температуры в поперечном направлении. Используя указанные свойства переходного слоя и приравнивая по порядку величины члены, характеризующие вязкие и инерционные силы, получим

8,~АТ\ ф,~Г-18,рв~А^-ф8. (4)

Приведенные порядки величин о, и ф, соответствуют результатам работы [7], полученным при ке <0(1), но справедливы и для

Не = 0(1).

Из оценок (4) следует, что, во-первых, при со<1 основной

расход газа в гиперзвуковом пограничном слое приходится на

узкую „переходную" область 8„ и, во-вторых, полагая на внешней

границе пограничного слоя А = 0, мы вносим в решение погрешность 60+ 1

порядка Не2 .

Таким образом, изменение условий для А и и на верхней

границе пограничного слоя за счет завихренности, поглощения

энтропийного слоя пограничным слоем и т. п. должно оказывать

<*> —}— 1

на основную часть пограничного слоя влияние, в Ае2 раз меньшее по сравнению с влиянием на переходную область.

2. Используем оценки (1)—(4) для выяснения относительной роли эффектов вязкого взаимодействия при рассматриваемом режиме обтекания.

A. Влияние взаимодействия через давление (вытесняющее действие пограничного слоя) пропорционально площади поперечного сечения пограничного слоя, отнесенной к площади возмущенной части течения 8г^7С-

Б. Эффект поперечной кривизны пограничного слоя (который отсутствует при V = 1} оцениваем как (V — 1 )о/га).

B. Влияние скольжения и скачка температуры на стенке при А^/Аз = 0(1) имеет порядок

1

--------Ие

2

т<°(4)>есди

Г. Перепад давления поперек пограничного слоя оцениваем, учитывая, что кривизна линий тока в этом слое имеет порядок 0/х:

е ъ

р х р « х '

Оценку проводим для перепада в переходном слое, поскольку в основной части пограничного слоя 8ра и\ -< 8, ре и\.

Три последующих эффекта связаны с изменением граничных условий для Л и и на внешней границе „переходного" слоя. Поэтому их влияние на основную часть слоя по сравнению с влия-

ш+ 1

нием на переходную область будет, как указывалось в п. 1, в Ае2 раз меньше.

Д. Влияние завихренности внешнего невязкого потока на основную часть пограничного слоя оцениваем величиной порядка

Множитель введен в оценку потому, что в случае пло-

ского течения с отошедшей от носка тела ударной волной завихренность равна нулю на поверхности тела (в невязком потоке) и может быть оценена как линейная функция ф.

Е. Влияние изменения граничных условий вследствие погЛо-

/ <0+1\ ;

щения энтропийного слоя пограничным равно 0№_,Ае3 J. :

Помимо рассмотренных выше эффектов вязкого взаимодействия, оценим также влияние вязкости на течение в энтропийном слое. Можно предполагать, что это влияние при определенных режимах течения будет сравнимо с влиянием некоторых из перечисленных выше эффектов. ;

Ж. Влияние вязкости энтропийного слоя оцениваем соотноше-

<0 + 1 • . . 1

нием [*«? he 8-2 о3 he - . j

Окончательные результаты определения порядка величин перечисленных эффектов, полученные с учетом соотношений (1) —(4), представлены в таблице.

3. Рассмотрим параметры подобия для течений около тонких аффинно-подобных тел [8]*:

К,= Мооб, /С, = саЬ-2—‘ dvL-v, К3 = 6~2 Re~ 2”, K^hjfi,. (5)

Здесь L — размерная длина. ;

Параметры Ки К-г, К* имеют ясный физический смысл. Значение КY2 может служить мерой максимально возможного влияния противодавления, АГ2 определяет относительную величину сопротивления затупления, К.\ — степень охлаждения стенки. Однако параметр Ks, в отличие от случая заостренного тела, уже не может служить мерой степени взаимодействия на длинах, при которых /<2>-0(1). Действительно, полученные соотношения (см. таблицу) показывают, что эффект взаимодействия, так же как влияние поперечного радиуса кривизны, растет при увеличении х до значений x = 0(6v-4) и падает далее вниз по потоку, причем максимальная величина этих эффектов достигается при л: = 0(6'|~4) и равна

о(б 2 Red 2 ) . Таким образом, для рассматриваемого режима течения более удобным критерием, определяющим максимально возможную величину эффекта взаимодействия через давление, является следующая комбинация К2 и К3:

K* = c;^e~^Re;K

Из сказанного выше следует, что при /<* <0(1) на всем затупленном теле взаимодействие слабое, при /С* = 0(1) существует область умеренного, а при К* > О (1) — сильного взаимодействия через давление (если тело достаточно длинное).

* Предполагаем, что возмущениями, идущими от задней кромки (см. [9]), можно пренебречь.

Эффект м= 1 ч = 2

(ч+1) (1-І) ЛГ с О (в4-4), ке=х Зх 2(х-1) ж>0(в',-4),Ав = в х (4 + 1) (X—1) лг<О(0,_4), кё=х Зх 2 (х—1) ^>0 (в4—4), Ае=в х

А 1 1 X6 2 і і дг 2 0~2 Ией 2 1 (І+лгб)!^ 2 _ 1 _ 1_ дг 2 0-« 2

Б — — 1 X (1-1-Л0)-1 Рей 2 _ 1 _ 1_ X 2 0-21^ 2

В 1 1 * 6 2 _ і 1 л: 2 8-і Яеа 2 Не7Г 1 1 х 2 0~1Ие^ 2

Г ®-і_ , і ке 2 дх 6 Ие^ 2 «_1_ ^ ^ ке 2 х 2 Ъца 2 10 — 1 1 ке 2 0 Кесг 2 Ю~1 і і ке2 х 2 Кеа 2

Д 3 со— 1 1 ке 2 х* 3 ш—1 Ле 2 лгв^е^1 11 2х Л”л*Чїе, 2, 0(*)<в 2х-' 1 2» Л“<1+дсв) Нел 2 , О(*)>0 &“1 3 1 Л“ лг2 02 Кеа 2

Е Зад—1 1 Л,2 х»-8е71 3(0—1 Ие 2 *02 Ре^1 1 л” (і+х0) ке<г 2 3 _1 Л“ л:2 02 Иегі 2

Ж Зш—1 | ке 2 л3 ИЄ71 Зш—1 ке 2 .хвзЯе^'1 Зорі ! 2і ке2 хх іад-1, о(*)<0 2х-> Зш—1 2х Л/” (1+дсв)* Иєй1 , 0 (х)^д~ 2х~ї Зш— I Ле 2 л:3 0‘ Яе^-1

4. Сделаем некоторые выводы, следующие из полученных результатов.

Обсудим постановку задачи об обтекании тонкого затупленного тела гиперзвуковым потоком вязкого газа, когда пограничный слой развивается внутри энтропийного [ф, <0(1)], вязкостью последнего пренебрегают и эффекты вязкого взаимодействия на

_ 1_

затуплении не учитывают (т. е. величинами порядка Ией 2 можно пренебречь).

Рассмотрим плоское течение при отошедшем от носка тела скачке уплотнения. В этом случае из приведенных выше оценок характеристик течения (см. таблицу) следует, что из всех эффектов второго порядка при расчете необходимо учитывать лишь взаимодействие через давление (эффект А), поскольку вязкостью газа в энтропийном слое (эффект Ж) пренебрегаем. Справедливость оценок в изучаемой области течения следует из того, что при Ф,< О (1) влияние взаимодействия через давление всегда слабое или умеренное.

Рассмотрим осесимметричное течение. В этом случае из всех эффектов второго порядка можно заведомо пренебречь лишь влиянием скольжения и перепадом давления поперек пограничного слоя (эффекты В и Г). При этом влияние поперечной кривизны на всей длине тела слабое или умеренное, если /С* <0(1).

Интересно отметить, что для К*!>0(1) при значениях

д:<о(не^) с погрешностью, не превышающей Ие^ 2 , можно учитывать лишь влияние поперечной кривизны и завихренность (эффекты Б и Д). Влияние завихренности при этом больше по порядку _ 1_

величины Ие^ 2 , если х<(1 4-2ш)/2и).

5. Рассмотрим пример расчета, проведенного для случая продольного обтекания затупленного по полусфере цилиндра О (1)]

в диапазоне длин -кИе^2 <0(1). При расчете принято, что на затуплении эффектами второго порядка можно пренебречь с относительной погрешностью Ие^ 2 и что на боковой поверхности (согласно выводам п. 4) существенно лишь влияние поперечного радиуса кривизны и завихренности внешнего невязкого потока (эффекты Б, Д).

Для расчета выбран метод интегральных соотношений в том варианте, в котором он впервые был применен для уравнений пограничного слоя в работе [10]. Особенностью данного метода является то, что, в отличие от других вариантов метода интегральных соотношений, в нем можно не использовать асимптотические зависимости для формы профилей потока на внешней границе пограничного слоя (при указанной постановке задачи, когда необходимо сращивать градиенты скоростей на внешней границе пограничного слоя, условия не являются асимптотическими).

Расчеты проведены для числа М=10, х=1,4, ш = 0,67, Л„,/Л0 = = 0,05, Ие^ = 330, 470, 1000, где в качестве й выбран радиус полусферического затупления.

Распределение давления вдоль поверхности тела и кривизна ударной волны в окрестности критической точки, которая используется для определения градиента энтропии по нормали к поверх-

2—Ученые записки ЦАГИ № 2

17

ности тела при ф = 0, взяты из работы [11]. Распределение давления вдоль боковой поверхности тела аппроксимировано на двух интервалах полиномами пятой степени с ошибкой, не превышающей 0,2%.

Проверка точности метода проводилась в работе [10] путем сравнения с решением конечноразностным методом и с решениями при различных числах полос разбиения для случая безвихревого обтекания пластины с учетом вдува однородного газа. В данной

работе точность интегрального метода проверялась сравнением с результатами, полученными конечноразностным методом работы [12] для случая безвихревого обтекания затупленного цилиндра. Указанный анализ точности показывает, что рассматриваемые характеристики на поверхности тела, полученные интегральным методом при числе полос разбиения, равном шести, совпадают с погрешностью, не превышающей 0,5%, с результатами расчета конечноразностным методом.

На фиг. 2 представлено отношение дт1д0 при Ке^—ЗЗО в зависимости от длины цилиндра, отнесенной к радиусу й (х отсчитывается от критической точки, дт и дй— тепловые потоки соответственно на боковой поверхности и в критической точке). Кривая / соответствует классическому распределению тепловых потоков,

полученному без учета эффектов второго порядка, кривая //—распределению, найденному с учетом завихренности внешнего потока, & кривая ///—распределению, вычисленному с учетом поперечной кривизны и завихренности. Согласно результатам расчета, влияние щоперечной кривизны значительно превосходит влияние завихрен-црсти, что находится в полном соответствии с приведенными оценками.

На фиг. З^приведено распределение дш!д0 по поверхности цилиндра, рассчитанное с учетом поперечной кривизны и завихренности при различных числах Ие^. Пунктиром на этой фигуре нанесены значения д^д0, полученные без учета завихренности и поперечной кривизны. Как и следовало ожидать, с ростом Ие^ влияние поперечной кривизны и завихренности убывает.

На фиг. 4 и 5 представлены коэффициент суммарной теплопередачи си —------------, где <3—суммарный тепловой поток, и коэф-

Роэ иоо к<*2

2 X

фициент сопротивления сх =---------5-----> гДе ^ — суммарная сила

. Роо И00

волнового сопротивления и трения, при числе Ией = 330. Обозначения кривых соответствуют тем же случаям, что и на фиг. 2.

6. Подводя итог полученным результатам, отметим, что в отличие от случая гиперзвукового обтекания достаточно толстого тела, при обтекании тонких затупленных тел эффекты второго порядка могут иметь существенно различный порядок величины. При этом для рассмотренных выше плоских течений имеет смысл учитывать лишь эффект взаимодействия через давление, если вязкостью газа в энтропийном слое пренебрегается.

В случае осесимметричных течений даже в области существенного влияния затупленйя на распределение давления эффект поперечной кривизны может оказаться главным. Отметим также, что эффект завихренности в этой же области течения может превосходить по порядку величины эффект взаимодействия через давление.

Таким образом, при постановке задач обтекания тонких затупленных тел гиперзвуковым потоком вязкого газа необходим тщательный анализ степени влияния тех или иных эффектов второго порядка.

ЛИТЕРАТУРА

1. В а н-Д а й к. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении с применением к обтеканию затупленных тел гиперзвуковым потоком. В сб. .Исследование гиперзвуковых течений". М., „Мир”, 1964.

2. Ферри А. Влияние кривизны ударной волны на поведение гиперзвукового пограничного слоя. Сб. „Механика”, 1960 (63), № 5.

М., Изд. иностр. лит.

3. Мурзинов И. Н. Ламинарный пограничный слой на затупленных телах с учетом завихренности внешнего потока. „Изв.

АН СССР —МЖГ”, 1966, № 6.

4. Cheng Н., Hall Т., G о 1 i а п Т., Н е г t г b е г g A. Boundary-layer displacement and leading-edge bluntness effects in high-temperature hupersonic flow. JAS, 1961, No 5.

5. Провоторов В. П. Обтекание затупленного конуса гиперзвуковым потоком вязкого газа. Труды ЦАГИ, вып. 1208, 1970.

6. Н и к о л а е в В. С. Вязкое гиперзвуковое течение за параболическим осесимметричным скачком. „Изв. АН СССР — Механика и машиностроение”, 1964, № 4.

7. Чжен X. К. Гиперзвуковая газодинамика тонких тел. В сб. „Современные проблемы газовой динамики”. М., „Мир”, 1971.

8. Лунев В. В. Закон подобия для гиперзвуковых обтеканий тонких притупленных тел вязким газом. ПММ, т. XXV, вып. 6, 1961.

9. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О влиянии возмущений пограничного слоя на гиперзвуковые течения с вязким взаимодействием. „Изв. АН СССР —МЖГ”, 1971, № 4.

10. Р а 11 о n е A. Nonsimilar solutions of the compressible-laminar boundary-layer equations with applications to the upstream-transpiration cooling problem. JASS, vol. 28, No 6, 1961.

11. Чу ui кин П. И., ШулишнинаН. П. Таблицы сверхзвукового течения около затупленных конусов. М., ВЦ АН СССР, 1961.

12. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. В сб. „Численные методы решения дифференциальных уравнений и квадратурные формулы”. М., „Наука”, 1964.

Рукопись поступила 24/IV 1972 г.