CC BY
19
УДК 519.24
Об асимптотике второго момента спектральной оценки
однородного поля
А. Ю. Шомахов
Кафедра высшей математики Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова Стремянной пер. д. 36, 117997, Москва, Россия
Дано однородное (стационарное в широком смысле) случайное поле со средним нуль и вещественными компонентами. Рассматривается случай дискретного времени. Дана матрица периодограмм второго порядка, построенных по выборке. В работе изучается асимптотическое поведение второго момента спектральной оценки второго порядка однородного поля.
Ключевые слова: однородное поле, периодограмма, спектральная плотность, второй момент, ядро Фейера.
Пусть {X (1), £ € Т} — г-мерное однородное (стационарное в широком смысле) поле со средним нуль и вещественными компонентами, то есть
X (t) = [Xa(t)}a=1- =
(X i(t)\
x*(t)
\xr (t)J
EX(t) = 0, Xa(t) e RT, a = 1,r
и для любых l^a, b < г и t, t' e T, EXa(t)Xb(t') = Kab(t, t') = COV(Xa(t),Xb(t')) kab(t — t') = f el(t-t'x} fab (A) dA, где E — оператор математического ожи-
Qv
дания; f ab (A) — компонента матрицы спектральных плотностей (с.п.) f (A) =
{fab ( A)}b_T— поля [X(t), t e T}; Kab (t, t') = kab (t — t') — компонента матрицы
' а=1,г
ковариационных функций К(1,1') = к (1 — = {КаЬ (1,1') = каъ (Ъ — ^)}Ъа_поля {X(1), £ € Т}; — 1', А) — скалярное произведение элементов (1 — 1') €Т, А € Qp, где Яр = {(А(1), А(2), ..., А(р)) : — к < < к,.] =Т,р} .
Рассмотрим случай дискретного времени. Множество Т имеет следующий вид: Т = {{Ь(1), ..., №) : № = ..., — 1, 0, 1,..., 3 = 1,3}. Также в силу того, что мы рассматриваем случай дискретного времени, интегрирование в общем случае будет вестись по множеству
Qnp ^(aT1>,AT2>,...,AT-);A21),A22) ... ; ^, ^,..., А^) :
(i) -
—к < АУ) < ■к, к = 1,п ; j = 1,р
Через
(11,12,..., 1п) = ЕХа1 (1 у)Ха2 (12) ...X ап у^п ) (1)
обозначим момент п-го порядка от поля {X (1), Ь €Т}, а через Са1а2.,ап (1 ¿2,..., tп) семиинвариант (кумулянт) п-го порядка от поля {X(1), 1 € Т}.
В частности, справедливо следующее соотношение, связывающее момент четвертого порядка та1ъ1а2ъ2 (в 1, в2, зэ, в4) е семиинвариантом (кумулянтом) четвертого порядка Са1ь1а2Ь2 (в 1, в2, зэ, в4), учитывая, что ЕХ(1) = 0, а именно
Статья поступила в редакцию 2 декабря 2012 г.
maibla2b2 (si,S2,s3,Si) = Caibla2b2 (S1, S2, S3, S4) + maia2 (81,83) mblb2 (S2,S4) +
+ maib2 (si, S4) mbia2 (S2, «з) + maibi (si,s2) ma2b2 («з, S4), (2)
где 81,82, S3, S4 G T.
Через F (X) = {Fab (А)} обозначим спектральную функцию (с.ф.) поля
{X(t), t G T} . Компоненты Fab (X), fab (X) мы также будем называть соответственно спектральной функцией (с.ф.) и спектральной плотностью (с.п.). Известно, что если с.п. faa и fbb существуют, то с.п. fab также существует, причем справедлива следующая оценка, а именно Цаь (А)|2 < faa(X) fbb(X).
Условие, что для фиксированного набора (а1,а2,..., ап), 1 ^ a>k ^ г, k = 1, п, существует спектральная плотность (с.п.) faia2...an, всюду далее будет означать следующее:
1) Е IXak(t)ln < то для всех 1 < ак ^ г, к = 1,n,t G Т;
2) для любых tk, t G Т
(ti + t,t2 + t,...,tn + t) = С ai 0,2...an
^1^2,... ,tn);
3) существует комплекснозначная функция faia2...an такая, что для любых tk G Т имеет место равенство
&aia2 ...ап (p1,^2, . . . , ^п) ^aia2...an tni ¿2 ^п, . . . , ^п— 1 0)
= J ...J faia,2...an (А1, А2 , . . . , Хп— 1) exp j i ^ {tk - tn, Afc)> dA1 ... dA„— 1. (3)
Qp Qp ^ k=1 '
В частности, для фиксированного набора (a1,b1,a2,b2), 1 ^ a1,b1,a2,b2 ^ г
Caibia,2b2 (S1 ,S2,S3,S4) = J J Jfaibia2b2 (УиУ2 ,У3)ехР {i {S1 - 84^1) +
Qp Qp Qp
+i{s2 - S4, У2) + г {S3 - S4, У3)} dy1dy2dy3, (4) где Sk G T, yk G Qp, к = 1,3; s4 G T. Отметим также, что Cab (s - t, 0) = Cab (s, t) = mab (s - t, 0) = mab (s, t) =
= J fab (У) ехР {i {S - t,y)} dy (5)
Qp
для фиксированного набора (a,b), 1 < a,b < r.
В данной работе изучается асимптотическое поведение (устанавливается предел) при неограниченно возрастающем объеме выборки fmin ndвторого мо-
мента Е U^l (^1) (^2)) спектральной от,етки / ip (Х) ) (A)dA, где слу-v у Qp
чайная величина (р1) представлена в виде
Ы = VN1N2 ... Np
j <P1 (X1) I^i (Х1) d\1 - Е П <p1 (Х1) IW (Х1) d\1 \Qp \Qp
случайная величина ^^^ ('2) = ('2) является комплексно-сопряженной к случайной величине
('2) = уЩж^
| '2 (А2) (А2) <!А2 —Е П '2 (А2) (А2) ёА2
2Р /
Я
'1 ^), '2 (А2) — некоторые комплекснозначные функции;
(А) = {^ (АН _— матрица периодограмм второго порядка, построенных
по выборке {X (г), 0 < г< Щ, 3 = 1~р} объема N = (Щ,Х2,..., Мр), т.е.
Т{*) (А) = 1 х
1 а ь (А) ^тг^МЩ Х
N1 N2 Np N1 N2
* £ £ ... £ А,8>^(*) £ £ ... £ ^(6)
8(1) = 18(2) = 1 в(р)=1 <а) = 1 <(2) = 1 <(р) = 1
{А, в) и {А, 1) — скалярные произведения элементов А и в, А и ¿, А € Qp; 8,1 €Т,
т.е. {А, 5) = А + А 2)з^2) + ... + А^З(р);
{А, 1) = А 1¥1) + А2)^2) + ... + А^Ч(р), А = (А^, А2),..., А^) ;
5= (V ) ; г= (VV, .
N
Замечание. Обозначение ^ будет означать, что
3=1
N N1 N2 Np
£ = £ £ ■■■ £ ■ (7)
3=1 з(1) = 1 з(2) = 1 з(р) = 1
Буквой С обозначается константа, не всегда одна и та же, точный вид которой несущественен.
В нашем случае (рассматривается дискретное время) все рассматриваемые функции, в том числе и спектральные плотности (с.п.), считаются периодичными с периодом 2к по каждому аргументу.
Условие, что функция / (А) интегрируема, будет обозначать, что
(А)| ё А < (8)
Я?
Вспомогательные результаты. Для доказательства приведенной ниже теоремы нам понадобятся некоторые предварительные результаты.
Функция FN (и1, и2,..., ип), называемая рядом Фейера, определяется следующим образом:
р
FN (и1,и2,...,ип) = П FNJ (и1Л, и2] ,...,иЩ)) , (9)
3 = 1
где
(з)\ =
1 sin 3 21 sin 3 2 2
(2л)п n- ! й3, ! uя "' ■ us3) ^з s'in u^ sin sin
sin 3 2"
sin ■
sin
sin - 2
N3 (u[3)+ui3)+...+ulk3)) 2
sin
u1
u13) +u23) +...+U
, (1) (2) Uk = «fc ,Ч),
,(P)
G QP, k = 1,n, n,p — произвольные натуральные числа;
N е {(т,М2,...,Мр): N. = 1, 2,...,з = 1,р}.
Справедливо следующее соотношение, используемое нами в дальнейшем при доказательстве приведенной ниже теоремы [1]:
Fn (Щ,П2, . . . ,Un) =
(2л)пр n1n2 ...np
N1 N2 Np
y1... y1 exp{i(si,ui)+
S1 = 1 S2 = 1 s„ + 1 = 1
+i (S2,U2) + ... + i (Sn, Un) - i (Sn+1,Ul + U2 + ... + Un)} , (10)
где *k = (si1),s^2),..., stf) G T; uk = (и£\и<£\..., u^) G Qp, k =
Лемма 1. Ядро (9) обладает следующими свойствами:
1)
2)
sup
n
J j ... J IFn (ui,u2,... ,Un)l duidu2 ... dUn < ж;
QnP
QnP
тождественно по N; 3) для каждого 6 > 0
У J ... j lFN (U1,U2, ..., Un )| duidu2 ... dUn = 1
j J ... J |Fn (ui,u2,... ,Un)l duidu2 ... dun = 0.
lim
min N3
l^j^P Qp/ {M^}
Доказательство леммы 1 приведено в работах [1—3].
Примечание. Обозначение {|и| ^ 0} говорит о том, что
(11)
(12)
(13)
{М < 5} = { (и^^^
( P) (1) (2) ; и2 ,U2 ,
,U2 ; . . . ; U{n 1 , Vi ^ , ... , UnpP
, (з)
< 6, k = 1,n, j = 1,p
Заметим, что ядро (9) является периодичной функцией с периодом 2л по каждому аргументу.
В приведенных ниже леммах 2, 3 все рассматриваемые функции также считаются периодичными с периодом 2л по каждому аргументу.
х
2
2
х
п
2
k
1
k
Лемма 2. Пусть модули функций fug интегрируемы с квадратом на множестве Qp, а функция р ограничена, lip (a)l < С < ж. Тогда
lim j
min Nj J
KKp QP 'qp Qp Qt
p (a + {d\,u)) f (a + {d2, u)) g (a + {d3, u)) x
x Fn (u\,u2,u3) <iui<iu2dus — p (a) f (a) g (a)
d a = 0, (14)
где {di,u) = {dil,u1) + {di2,u2) + {di3,u3) ,dik £ Rp, i = 1, 3.
Лемм а 3. Пусть для функции f (u\,u2,u3) выполнены условия: 1) / If (ui,u2,u3)l duidu2du3 < ж;
2) sup If (a, h — a,/)l dad/3 < ж; h€QP J J
QP QP
33) lim i ¡If (a, h —a,/3) — f(a,a,/3 )| dad/3 = 0. lhH°J J
■И0
Qp Qp
Тогда
lim / / / / f(a + ui, —a + щ,3 + u3) x
inNi ^ttj J J J J
mi
KKp QPQP 'QPQPQP
x Fn (u\, u2, u3) duidu2du3 — f (a, —a, /)
d ad/3 = 0, (15)
где a,/,uk £ Qp, k = 1,3.
Леммы 2, 3 доказаны в работах [1,2].
Перейдем теперь к формулировке и доказательству соответствующей теоремы.
Теорема. Пусть поле {X(1 ),1 е Т} таково, что для фиксированного набора (а\, Ь\,а2, Ь2), 1 < аь Ьх,а2, Ь2 < г,
выполнены условия:
1) спектральные плотности /а1а2, Л^, 1а1ь^, Л1а2 существуют и их модули интегрируемы с квадратом;
2) спектральная плотность /а1ь1а2ь2 существует,
sup I fa1b1a2b2 (a, h — a, —/3)l dad/ < ж, (16)
h€QpJ J
Qp Qp
lim I faibia2b2 (a, h — a, —/) — faibia2b2 (a, —a, —/)l dad/ = 0. (17) lhl^0 J J
Qp Qp
Тогда для любых ограниченных функций р\,р2, р (A)l < С < ж, IP2 (A)l < С < , имеем
. ¡т ^ ) ^ (Ъ ))= Е (¿Ъ (ъ) ¿Ц Ш) =
шшИ3- ^те \ 1 1 22 / штИ3- ^те \ 1 1 22 /
1<3<Р 1<3<Р
= (2ж)р I 1^1 (а) (Р)/а1ь1а2Ь2 (а, -а, -р) ёаёр + (2ж)р ^ (а) (а)х
Яр Яр Яр
х /а1а,2 (а~) ¡ЬгЬ2 (-а~) ¿а + (2п)Р i V1 (а) ^2 (-о)!а1Ь2 (о) /Ьга.2 (-а) (18)
Яр
где р>'2 — функция, комплексно-сопряженная к функции <р2. Доказательство.
е (¿ИЫ ы О (<р*)) = Е {<& ы С т
^УЩЖТТЖр И <р1 (а) (а) ¿а - Е П <р1 (а) IЩ (а) ёа
\ар \ар
х ,ущж::Жр П (Р)ёР - е П Мё)с2 (Р) ёр
(N^2 ...Кр) Е
I п (а) ¡ац (а) ё^ <р2 (Р)^ (¡3) ¿¡3 -Зр Яр
- I <Р1 («) ¡¡¡Ьг (®) ( / Ы^С (?) ¿Р ) -
Яр ЧЗр /
- Е ( | <Р1 (а) (а) ёа ) | Ы^УЬЦ (Р) ¿Р+ \Яр / яр
+ Е ( I п (а) (а) ёа I Е ( | (Р) ¿Р
(N^2 ...Ир) х
Е (о) (а) ёа | ^ (Р^ЬЦ (Р) ¿Р ) - Е ( / ^ («) Ш («) ёа
Яр / vр
хЕ ( | (Р)ёР 1 -Е ( / <Р1 (а) 1(аЦ («) ёа ) Е ( | Ы^АЦ (Р) ёР ) +
+ Е (! <Р1 (а) I¡V (а) ё«1 Е ( | ЫР)11Ц (Р) ёР
Тогда получим, что
е (п) (ъ)) = е (п) ш)
х
= (N±N2 ...Хр)
Е П'р! (а) ^ (а) ёа I Р2 (Р) С2 (Р) ¿Р I -. Яр /
-Е I I рх (а) ^ (а) ¿а I Е I / р2 (Р)П^ (Р) ¿Р
(м)
(19)
а)
Представим соотношение (19) в виде Е (СЬ! Ы ('Р2)) = Е (р{) ш) = (N±N2 ...N^1 (а)
х Р2(Р) [е (1а2 (а) (Р)) - Е 1а& (а) ЕI™ (Р)} ¿аёР. (20)
Тогда, учитывая (6), получим, что
Е (СЫ Ы = Е (¿2 Р) С) ш) = (N±N2 ! 1<Р! (а)
/
х Р2 (Р)
Е
1
N N2
N N2
V
(2л)р N±N2 ...^
£ £ ... £ ^ (81) £ £ ...
„(1)_18(2)_1 „(р)_1
8(1)=18(2)=1
£ ег<а'^Хь1 (82)
1
М N2
4Р)_1
N1 N2
£ £ ... £ е^"53^ (зз) х
«(1)-1 «(2)-
\
£ £ ^ £ ^ 13'84)ХЬ2 (84)
5[1) = 1З[2) = 1 =
N1,
(
Е
)
1
N1 N2 £ £
V
N1 N2
р (1)_1 „(2) _ 1 _1 „1 _
\
£ 6 — Ха1 (81) £ £ ... £ е^"52^ (5 2)
„(р)_1
X
/
Е
1
N1 N2
N1 N2
\
(2тг)р NN ...^
£ £ ... £ е*< *„3>Ха2 (83) £ £ ...
р 41)_142)_1 4Р)_1
„(1)_1«(2)_1
... £ е-1<^ХЬ2 (84)
л
ёаёР. (21)
Учитывая (7), представим соотношение (21) в виде
е (СЫ (Р1) Сы) = е (еы (Р1) И =
1
(2тг)2рЩЩ ...^
х
х[[р1 (а) Р2 (Р) £ £ £ £ [Е (Ха1 (81 )ХЬ1 (82) Ха2 (8 з) Х^ (в 4)) -
Е (Ха1 (в 1) ХЬ1 (в2)) Е (Ха2 (вз) ХЬ2 (в4))] exp {-г {а, 81) + г {а, 82) +
+ъ {Р, 8 3) -г{Р, в 4)} ЛаЛР. (22)
Используя соотношение (1), получим, что
1
Е (СЫ (Р1) № (Р2)) = Е (Р1) ш)
Ь1 (Р1) ^а2Ь2 (Р2)) = Е у^Ы (Р1) ?Ь2а2 (Р2)) = 2р ^^-N Х
N NN N
Х Р1 (а) Р2 (Р)^ £ £ £ [ТО-а1Ь1а2Ь2 (в 1, 82, 83, 84) - та^1 (в 1, 82) Х
(р (р _1 5з_1 „4_1
хт,а2Ь2 (в3, 84)] exp {-г {а, «1) + г {а, 82) +г {Р, в3) - г {Р, 84)} dаdp. (23) Учитывая (2), получим, что
Е ((Р1) (Р2)) = Е (ЙК (Р1) ш) = (2^)2р N х
N NN N
Р1 (а)Р2 (Р) £ £ £ ^2[Са1Ь1а2Ь2(8 Ъ S2, 83, 84') + та1а2 (8 Ъ 83) х ^ ^ -1 ^__1 ^__1 ^ . - 1
х Р 1 ( а
(р (р „1 _1 в2 _1 в3_1 в4_1
хтЬ1Ь2 (в2, 84) + та1Ь2 (в 1, 84) тЬ1^ (в2, 83)] ехр {-г {а, 81) + г {а, 82) +
+ъ {Р, 83) - г {Р, в4)} ёаёР. (24)
Используя соотношения (4), (5), получим, что
1
Е (СЫ (Р1) с* (Р2)) = Е (е) (Р1) №); =
N N N N
/ / 1а1Ь1а2Ь2 (У 1, У2 , У3) х
Яр Яр Яр
х ехр {г{ 81 - 84, У1) + г{82 - 84, У2) + г {83 - 84, У3)} ё у ^у2ёу3+
ч Р1 (а)ршЕЕЕЕ
(р (р 51_1 32 _1 5з_1 „4_1
+ / /а1^ (у 1)ехр {г {в 1 - в3, У1)} ¿у 1 /Ь1Ь2 (У2)ехр {г {82 - 84, У2)} ёУ2 +
Ь1
Яр яр
+ ! /а1Ь2 (У1)ехР {г {81 - 84, У1)} ¿у 1 i ¡Ыа2 (У2~) ехР {Ъ {82 - 83, У2)} ёУ2 Яр яр
х ехр {-г{а , 81) +1 {а, 82) + г {Р, 83) - г {Р, 84)} dаdp. (25)
Так как
{- в4, У1) + {82 - 84, У2) + {в3 - в4, У3) - {а, 81) + {а, в2) +
+ {Р, 8 - {p, 8 4) = {8 и У1) - {8 4, у{) + {в 2, У2) - {S4, У2) +
+ {в3, У3) - {в4, у 3) - {а, ) + {а, в2) + {Р, 83) - {Р, 84) =
X
= (81 - 83, У!) + {82 - 84, У2) - {а, в!) + {а, 82) + {/3, 83) -- {Р,84) = {81 ,У1) - {83,У1) + {82,У2) - {84,У2) - ^ 81) + ^ 82) + {¡3, вз) - {¡з, в4) = {в1,у1 - а) + {в2,У2 + а) + {вз,Р - У1) - {в4,У2 + ¡3); (26)
{81 - 84, У1) + {82 - 83, у2) - {а, 81) + {а, 82) + {/3, 8з) - {/3, в4) =
= {81, у1) - {84,У1) + {в2,У2) - {вз,У2) - {а, 81) + {а, 82) + + {/3, 8з) - {/3, в 4) = {81, У1 - а) + {82,У2 + а) + {8з,Р - У2) - {84,У1 + Р) ; (27)
то представим (25) в виде
1
е (СЫ ы ¿£2 ы) = Е ы ^ ш)
Ьг (Р1) \t2jJ = * ^а1Ь1 ^2а2 (^2)) = 2р -^
N МММ
^агЬ
Яр Яр Яр
-а) + г {82,У2 + а) + г {8з,уз + /3) - г {84,У1 + У2 + Уз + /3)} <У1<У2 х
ч <Р1 («)ыяЕЕЕЕ
Я? Я? 81 = 182 = 183 = 184 = 1
! I ! 1а1Ь1а2Ь2 (У1,У2,Уз) еХР {1{81,У1-
х &Уз + I 1ага2 (У1) ! Ь:Ь2 (У2) еХР {1{81,У1- О) + г {в2,У2 + О/) + i{Sз, Р - У1)-Яр Яр
-г {?4,У2 + /3)} &У1&У2 + I /а^2 Ы) ! ¡Ьга2 (У2~) еХР {1{81,У1- Ы) +
а: 2
Яр Яр
+г {82, У2 + а) + г {8з, ¡3 - У2) - г ^4 ,У1 + /3)} <У1<У2] ёаё^. (28) Введем обозначения вида
У1 - а = щ; У2 + а = и2; уз + (3 = из; (3 - у1 = из; (3 - у2 = из. Тогда соотношение (28) примет следующий вид
1
я (а (п) ¿N1 (<Р2)) = Е (п) с т) = ^2р
(2п)2р N1X2 ...Мр
М М М М
< (а) ЕЕЕЕ
ЯР Я? 81 = 1 82 = 1 83 = 1 84 = 1
У У J/агЬ1а2Ь2 (и1 + а,и2 - а, из - /3) +
Яр Яр Яр
+ I ! /ага2 Ы + а) ¡Ь^ Ы - а) вХр [1{81,и1 ) + % {82, и 2) + % {вз ,Пз)-Яр Яр
-г ^ и1 + и2 + из)} Ли2 + Л Ы + а) ^ - а) х
2
Яр Яр
х ехр {г{в1, и1) + г {з2, и2) + г {зз, из) - г {з4, и1 + и2 + из)} ёи1ёи2] ёаё^. (29) Используя представление (10), получим, что
Е (п) £N2 (<Р2)) = Е (п) £¡N¡2 ш) = (2«)р <Р1 (а) '-Р2 (Р)х
Яр Яр
X
х//J /а1Ь1а2Ь2 (щ + а,щ - а,и3 -Р )FN (щ,и2,и3) ¿и^щ duзdаdp+
( (р (р
+(2п)р ! Р1 (а) I ! J Р2 (а + щ + щ)/а^ Ы + а) ¡ь^ (и2 - а) FN (и1,и2,щ) х
х d иldи2dиз¿а + (2п)р J р1 (а) J J J Р2 (-а + и2 + и3)/а1ь2 (и1 + а) х
х /ь1а2 (и2 - а) FN (и1,и2,и3) ¿и^и^и^а. (30)
В силу лемм 2 и 3 (соотношения (14), (15)) при шш^ ^ < ^ < р соотношение (30) примет вид
.И^ Е{& (К ) ^2 (К ))= Е(^i ^ ^ №) =
minNj V 1 1 22 / min Nj V 1 1 22 /
i<j<p i<j<P
= (2i)P j j pi (a) p2 (f)faibta2b2 (a, -a,-f) dadf+(2i)P j pi (a) p2 (a)faia2 (a) x
Qp QP QP
X fbib2 (-a) da + (2i)P J pi (a) p2 (-a)fa^ (a) fb^ (-a) da.
QP
Теорема доказана. □
Аналог теоремы для стационарных процессов, то есть в случае р =1, при более ограничительных условиях, накладываемых на процесс {Х(Ь),1 £ Т} и на функцию р, был доказан в работе Д.Р. Бриллинджера [4]. В случае р = 1 теорема доказана в работе Р. Бенткуса [2]. Аналог доказанной теоремы рассмотрен в работе Р. Бенткуса, В. Руткаускаса [1].
Литература
1. Бенткус Р., Руткаускас В. Об асимптотике первых двух моментов спектральных оценок второго порядка // Литовский математический сборник. — 1973. — Т. 13, вып. 1. — С. 29-45. [Bentkus R., Rutkauskas V. On Asymptotic Behaviour of the First and Second Moments of Spectral Estimates of Second Order // Lithuanian Mathematical Proceedings. — 1973. — Vol. 13, No. 1. — P. 29-45. ]
2. Бенткус Р. Об ошибке оценки спектральной функции стационарного процесса // Литовский математический сборник. — 1972. — Т. 12, вып. 1. — С. 55-71. [Bentkus R. On the Error of the Estimate of the Spectral Function of a Stationary Process // Lithuanian Mathematical Proceedings. — 1972. — Vol. 12, No. 1. — P. 55-71. ]
3. Бенткус Р. Об асимптотической нормальности оценки спектральной функции // Литовский математический сборник. — 1972. — Т. 12, вып. 3. — С. 518. [Bentkus R. On the Asymptotic Normality of the Estimate of the Spectral Function // Lithuanian Mathematical Proceedings. — 1972. — Vol. 12, No. 3. — P. 5-18. ]
4. Brillinger D. R. Asymptotic Properties of Spectral Estimates of Second Order // Biometrika. — 1969. — Vol. 56, No 2. — Pp. 375-390.
UDC 519.24
On Asymptotic Behaviour of the Second Moment for the Spectral Estimate of a Homogeneous Field
A. Yu. Shomakhov
Plekhanov Russian University of Economics Stremyanny per. 36, Moscow, 117997, Russian
A homogeneous (stationary in wide sense) random field with zero mean and real-valued components is given. The case of discrete parameter is considered. The matrix of second order periodograms, constructed by the sample is given. The asymptotic behaviour of the second moment of the second order spectral estimate of the homogeneous field is considered in the paper.
Key words and phrases: homogeneous field, periodogram, spectral density, second moment, Feuer kernel.
