CC BY
23
Теория вероятностей и математическая
статистика
УДК 519.24
Об оценке скорости сходимости математического ожидания статистики Ь^ к линейному функционалу от спектральной плотности Ь (/) стационарной гауссовской последовательности
А. Ю. Шомахов
Кафедра Высшей математики Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова Стремянной пер. д. 36, 117997, Москва, Россия
Пусть X (£), £ =0, ±1, ±2,... — вещественнозначная стационарная гауссовская центрированная последовательность, обладающая спектральной плотностью / (Л). Рассматривается проблема оценивания скорости сходимости математического ожидания статистики Ьы = ^ф (А) 1м (А) <1А, А 6 [—■л-; где 1ы (А) — периодограмма последовательности X (£), £ = 0, ±1, ±2 ... к линейному функционалу от спектральной плотности Ь (/) = ^ (А) / (А) <1А стационарной гауссовской последовательности на основе выборки {X (1), X (2),..., X (Ж)} объема N.
Ключевые слова: стационарный процесс, периодограмма процесса, спектральная плотность, спектральное среднее, асимптотическая несмещённость, классы Никольского, ядро Фейера.
Пусть X (¿), £ = 0, ±1, ±2 ... — гауссовская стационарная последовательность со средним ноль (Ех (¿) = 0) и спектральной плотностью (с.п.) / (Л), Л е [—ж; ж], с f (—А) = f (А), где Е — оператор математического ожидания. Отметим также, что
-к
ех (г) x у) = соу (x (г), X )) = к (г, £) = к (г — £) = у еа(4-')/ (А) ёА, (1)
—^
где = 0, ±1, ±2 ..., а К ) = к (£ — ) — ковариационная функция по-
следовательности X (¿) , £ = 0, ±1, ±2 .... Стационарную случайную последовательность X (¿), £ = 0, ±1, ±2 ... предполагаем вещественнозначной (действительной). Рассматривается стационарная гауссовская случайная последовательность X (¿) = 0, ±1, ±2..., то есть случай дискретного времени, поэтому областью изменения переменной А (частоты) является отрезок (сегмент) [—ж;
Рассмотрим так называемое спектральное среднее стационарной случайной последовательности X (¿) = 0, ±1, ±2 ..., то есть линейный функционал Ь (/) вида [1-3]
-к
Ь (/) = / Р (А)/(А)ёА, (2)
—-к
где ^ (А) — суммируемая функция, называемая спектрально-усредняющей (с.у.) функцией. В дальнейшем будем предполагать, что спектрально-усредняющая функция ^ (А) вещественная и четная.
Заметим, что если (А) — индикатор отрезка (сегмента) [—п; то
Ь (/) = / / (а^а = ^ (р),
— 'К
где И — спектральная функция стационарной случайной последовательности Х(£) = 0, ±1, ±2 .... Если р (А) = ¿х(г—'), то
е.. .и-
ь (/) = |егХ(1—1')/(Л)ёЛ = к (г — £),
— 'К
где к (£ — £') — ковариационная функция процесса X (£) ,1 = 0, ±1, ±2 .... В качестве оценки Ь (/) будем рассматривать статистику Ь^ вида [2,4,5]
'К
Ьм = / <р (Х)1м (А)ёА, (3)
— -К
где I^ (А) — так называемая периодограмма процесса X (¿) , £ = 0, ±1, ±2 ..., которая имеет следующий вид
1м (А) 1
2-кИ
N
Е х(1)е—г1Х
4=1
(4)
Напомним, что оценка Ь^ функционала Ь (/) называется асимптотически несмещенной, если
Иш [Е (Ьм) — Ь (/)] = 0, (5)
N
где N — объем выборки.
В работах [6,7] проведена оценка скорости сходимости в (5), когда f (Л) и (р (А) принадлежат функциональным классам Никольского Нр (7) для процессов с непрерывным временем.
Эти функциональные классы определяются следующим образом [5]:
Нр (7) = {Ф (А) е ьр, \\ф(г) (А + К) — ф(г) (Л)^ < С |К|а}
(6)
где 0 < а < 1, г е N, N = {1, 2, 3,...}, 7 = г + а, р > 1, С — константа, не зависящая от К, а
Ьр = Ьр (£) = |/; ||/||р = П |/ (А)|р ёл) < сх>| , 1 < р<
— пространства суммируемых функций. Неравенство (6) выполняется при Л е [—ж; ж].
В работах [6,7] оценена скорость сходимости в (5), когда спектральная плотность / (Л) е Нр (71), спектральная усредняющая функция (А) е Нч (72), 1 +1 =
1, р ^ 1, ^ 1. Все вышеизложенное касалось процессов с непрерывным временем.
2
Цель настоящей работы — рассмотреть эту же задачу для процессов с дискретным временем. Рассматриваемая в данной работе проблема является частью общей проблемы непараметрического статистического оценивания L (f) на основе выборки {X (1), X (2),..., X (N)} объема N гауссовского стационарного центрированного (ЕX (t) = 0) случайного процесса X (t) ,t = 0, ±1, ±2 ....
Замечание. Здесь и всюду ниже через С будем обозначать различные положительные постоянные. Все рассматриваемые функции, в том числе и спектральную плотность, будем считать периодичными с периодом 2^.
Для доказательства приведенной ниже теоремы нам понадобятся некоторые предварительные результаты.
Функция fn(и), называемая ядром Фейера, определяется следующим образом
1 / sin Ел \2
fn (и) = {snf) , и е . (7)
Лемма 1. Определенное по (7) ядро fn (и) является четным, неотрицательным и обладает следующими свойствами:
к
1) У fn (u)du = 1 (8)
— к
2) J ^ (и)<и < СМ-1 (9)
1
1 ( СИ-а, при а < 1
3) У ^(и)иа<и < < СМ-11п М, при а = 1 (10)
0 [ СМ-1, при а > 1.
Доказательство приведено, например, в [8].
Лемма 2. Справедливо следующее соотношение
к к
Е(^) = / ¡р*(х - у)1 (х)^(у)<у<х, (11)
-к -к
где /(ж) — спектральная плотность; (р(у) — спектрально-усредняющая функция; (х — у) — ядро Фейера; Е — оператор математического ожидания.
Доказательство приведено в [6].
Лемма 3. Пусть ф(Х + и) е Нр(-у) с 7 = г + а, где г е М, N = {1, 2, 3, ...}, 0 < а < 1. Тогда справедливы следующие утверждения:
а)
< С < то, 3 = Т~г (12)
р
б) функция ф(Х + и) разлагается в ряд Тейлора
ф(Х + и) = ип + К(Х + и,Х) , (13)
п=0
к
36 Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2012. С. 33-42
где К(\ + и, X) — это остаточный член, удовлетворяющий неравенству
с
||Д(А + щ\\\р < ^ |«Г+а • (14)
Доказательство приведено, например, в [8].
Перейдем теперь к формулировке и доказательству результата данной работы.
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) спектральная плотность /(А) е Нр(^{) , 0 <71 < 1 , р > 1; спектрально-
усредняющая функция 'р(Х) е Нч (72), 0 <72 < 1, q > 1 при - + - = 1 ;
2) спектральная плотность /(А) е Нр(71), 71 > 1, р > 1; спектрально-усредня-ющая функция ^(А) е Нд(72), 0 < 72 < 1, д > 1 при - + - = 1 ;
3) спектральная плотность /(А) е Нр(гу1) , 0 < 71 < 1 , р > 1; спектрально-усредняющая функция ^(А) е Нч (72), 72 > 1, q > 1 при - + - = 1 ;
4) спектральная плотность /(А) е Нр(гу1), 71 > 1, р > 1; спектрально-усредня-ющая функция ^(А) е Нд(72), 72 > 1, д > 1 при - + - = 1 .
Тогда
СМ-Ь+Т2) , при 71 + 72 < 1 | ^ -11п N , при 71 + 72 = 1 -1 , при 71 + 72 > 1, где Кн = Е(Ьн) - £(/).
Доказательство. Согласно (11) имеем
^ 'К 'К 'К
1
Е(ЬН) = у (и)/(А + «МА)ёАёи = ^ (и)/(А + и)р(А)ёАёи+
— 'К— 'К — 'К— 'К
'К "К
+ 111 ^ («)/(А + иМА)ёАёи.
Функция ^^(и) является чётной, то есть Е^(-и) = ^^(и), поэтому выражение (и)/(А + и)^(А) во втором двойном интеграле запишем следующим образом
^ (и)/(А + и)^(Л) = ^ (и)/(А)^(А + и).
Тогда
'К 'К 'К 'К
Е(ЬН) = ±¡1 Рм («)/(А + иМА)ёАёи + 111 ^ (и)/(А)^(А + и)ёАёи. (15)
— 'К— 'К — 'К— 'К
'К "К
Учитывая (2), (8) и равенство ^ /(Л)^(Л)ёЛ = ^/(Л + и)^(А + и)ёЛ, получим
'К 'К "К "К
ь(/) = / / (АМА) | ^ (и)ёиёА = / ^ (и) / / (А)^(А)ёАёи =
— ^ —^ —'К —'К
к к к к
1 Г Г ^ , N ,, , 1
У ! Рн(и)/(\)р(\)ё\ёи + 2 У У Рм (и)/(А + и)<р(\ + и)ё\ёи =
- к- к - к- к
к к
= 2 У ^(«) У (/(ЛМЛ) + /(л + «Мл + «))ёАёи,
-к -к
т.е. линейный функционал Ь(/) можно представить в следующем виде
к к
ь (/) = 1 У («^ (/(Л)^(Л) + / (Л + «МЛ + и))ёЛёи. (16)
-к -к
Учитывая (15) и (16), получим
к к
Е(ЬМ) — Ь(/) = 2 У У ^(и)/(Л + «МА)ёАё«+
к к к к
+ 2УУ ^ («)/(Л)^(Л + и)ёЛёи — 1/У ^ (и)/(Л)^(Л)ёЛёи—
к к к к
У у^(и)/(Л + «МЛ + и)ёЛёи = 2 У У^(«)(/(Л)^(Л + и) —
- к- к - к- к
— / (А)р(А) — / (Л + и)^(Л + и) + / (Л + и)р(А))ёАёи.
Далее,
) — Щ) =
к к
= 1 Ц(")(/(Д) + и) — ^(Д)] — /(Л + и) + и) — ^(Ш^ =
—к—к
к к
=и !Рн (и)(/(д)—1 (л+и))(^(д+и)—^м^.
— к— к
Итак,
к к
Км = ) — Ь(/) = ИIРм(и)(/(А) — /(Л + и))(<р(\ + и) — ^(Л))ёЛёи. (17)
—к—к
Воспользовавшись неравенством Гельдера, из (17) находим, что
1Км | =
к к
1
2
к к
У У ^(«)(/(А) — /(Л + «))(^(Л + и) — ^(Л))ёЛёи
Г
к к
У ^(«^(/(А) — /(Л + и))(<р(\ + и) — ^(Л))ёЛ
к
< 1 ^ 2
ёи =
ёи <
= 1 / («)| /(/(А) - /(А + «))(^(Л + и) - ^(А))ёА
— 'К
'К "К
< ЦРм(«) / |(/(А) - /(Л + «))(^(Л + и) - р(А))| ёАёи = — ^ —^
^ 'К
= 1/¿V(«) /|/(А) - /(Л + «)| |р(А + и) - р(А)| ёАёи <
— 'К —'К
1 1
'К / "К \р / ^
< 1/( / |/(Л + и) - /(Д)|Р ёА I И |р(А + и) - ^(Л)|9 ёл) ёи =
— ■к \— ■к } /
= ЦРм(и) ||/(А + и) - /(Л)||р ||р(А + и) - ёи.
— 'К
Итак,
| < Ц^(и) ||/(Л + и) - /(Л)||р ||^(А + и) - ёи. (18)
Далее, воспользовавшись неравенством Минковского (неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой _р-й степенью), будем иметь
1 1
/ -к \р/ ^ \р
||/(Л + «) - /(А)||р = П |/(Л + «) - /(А)|рёЛ ) < |/(Л + «)Г ёл) +
-к
+ и |-/(А)|Р ёл) = 1/(Л + и)!* ёл) + 1/(А)|р ёЛ
= ||/(А + «)||р + ||/(А)||р . (19)
Аналогично ||р(А + и) - ^(А)^ < ||р(А + и)||9 + ИА)||,.
Далее, так как функции /(Л) являются периодичными с периодом 2^, то
1 1 V / л" \ р
Р.
||/(Л + «)|рёЛ | = (| |/(А)|рёЛ | ,
т.е.
||/(А + «)||р = ||/(А)|р , (20)
где - к < и < Аналогично ||^(А + и)Цд = ||^(А)||д, где - к < и < Тогда, учитывая (18), (19) и (20), получим
1
| < 1 /^(«) ||/(А + и) - /(А)||р ||р(А + и) - ^(Л)|9ё«+ —1
'К
п
V
'К
р
V
1
+ 2 / рм(п) ИДА + и) — ДА)||р ИА + и) —
—к
к
+ 1 /Рм(и) И/(А + и) — /(А)Ир |ИА + и) — ^(А)И,«и <
1
1
< 1 /(«) И/(А + и) — /(А)Ир |ИА + и) — ^(А)И,
1
1
+ 2 2^(и) Ц/(А)Ир2 ИА)Цдёи + 1/2^(и) Ц/(А)Ир2 Ц^(А)И,ёи =
1
^ /(и) И/(А + и) — /(А)Ир Цр(А + и) — ^(А)И,
1
1
+ 2 И/(А)Ир Ц^(А)И, / ^(«)<« + 2 И/(А)Ир ИА)Ц / ^(и)ёи.
В силу чётности функции Р^ (и) выходит, что
1
1Км| < Ц^(и) И/(А + и) — /(А)Ир Цр(А + и) — ^(А)И, —1
к
+ 4 И/(А)Ир ИА)Ц9/^(«)<«. (21)
1
Далее, учитывая оценку (9), окончательно получаем, что 1
I < 2 /рм(и) И?(Х + и) — /(Д)Ир И^(А + «) — ^(А)И,«и + —1. (22) —1
Согласно лемме 3 И/(А + и) — / (А) Ир =
Г1 /(«) (А)
Е ^ЧМ иП + Д1(Л + и,х)
п=1
<
Е
п=1
/(п) ( А)
+
+ ЦД1(А + «,А)Ир < Е
п=1
/(п) ( А)
п=1
+ ЦД1(А + «,А)Ир ип/(п)(А)
+
+ ЦД1(А + и, А)Ир =Е К| /(п)(Л) + И^1(А + «,А)Ир <
|и
п=1
Г1 С
< с Е К1 + ¡Су |и|
п=1
Г1!
с Е К| + с мГ1+а1
п=1
к
к
р
р
п
га!
р
р
Итак,
гг
II/(А + «) - /(А)||Р < С £ К| + С |«Г1+аг . (23)
П=1
Аналогично,
||р(А + U) - ^(A)||q < С £ |«3 | + С |«Г+а2. (24)
3 = 1
— Случай, когда 0 <71 < 1, 0 <72 < 1- Оценка (22) примет следующий вид
1
IKN| < 2 /Fn(и) С |«|71+72 du + -1 (25)
-1
Учитывая четность функции Fn(и) | и |71+72 , получим
1
|#N| < с Jfn(И) | и |71+72du + CW-1. (26)
0
Учитывая (10), приходим к завершению рассмотрения случая 1.
— Случай, когда 71 ^ 1, 72 < 1- Учитывая (22), (23) и тот факт, что ^ G Hq (72) означает, что |МГ2)(А + и) — ^(г2)(А)|| < С |и|а2, где 72 = г2 + а2, 0 < а2 < 1 (у нас здесь г2 = 0, так как 72 < 1), имеем следующую оценку
1
|kn| < 2/Fn(«И ^ Е К| + с МГ1+аг ) с ^ du +
2
1
(с £К | + С |U|^
Г1+а1 \ ^ I ла.2 , . г, Т\Т— 1
1 П 1
= 2 /FN(и)С |«Г2 £ К| du + 2 /^n(и)с |«Г |«f1+a1 du + -1 -1 п= -1
Окончательно получаем следующую оценку 1 1
Т1
^N | < с ип+а2 fn(«)du + u«1+^1+«2 fN(«)du + CN-1.
0
Учитывая (10), получим, что | ^ С^-1. Рассмотрение случая 2 закончено. — Случай, когда 71 < 1, 72 ^ 1. Учитывая (22), (24) и тот факт, что / € ^(71) означает, что ||/(п)(А + и) — /(г1)(А)||р < С |и|а1, где 71 = г1 + а1, 0 < а1 < 1 (у нас здесь г1 = 0, так как 71 < 1), имеем следующую оценку
1КМ| < 2 /(и)^ М"1 ¿|и> | + С |«|Г2+а^ ёи + -1 =
1 г2 1
= 2IСРН(и) |и|а1 1 и> 1 ёи + 2/№(и) |и|а1+Г2+а2 ёи + -1. -1 з=1 -1
Окончательно получаем следующую оценку 1 1
1км | < С и^1 (и)ёи + С ! иа1+Г2+а2Гм(и)ёи + С^-1
з=1 о о
1
Учитывая (10), получим, что | ^ СМ-Рассмотрение случая 3 закончено. — Случай, когда 71 ^ 1, 72 ^ 1. Оценка (22), учитывая (23) и (24), примет следующий вид
1
I < ЦFN(и)
1
Г1
^Е 1иП1 + с мГ1+а1
п=1
Г2
с Е1 ^ | + с |«Г
=1
ёи+СМ-1 =
1 1 Г1 Г2 1 1 п
= 2С ^(и) К|Е | ^ | ¿и + 1С FN(и) К|М Г2+°2
_1 п=1 ^ = 1 _1 п=1
1 г2 1
+ \cfFN(и) Мп+а1 ^ и> 1 ёи + \cfFN(и) Мп+а1 |«|Г2+°2 ¿и + СМ-1 = 2 -1 =1 2 -1
П Г2 1 Г1 1
= С Е Е / ^(«К+ёи + С ^ FN(и)ип+Г2+а2ёи+
п=13 = 10 п=1 0
г2 1 1
+ С Е/^(иК1+а1+ёи + С У ^(и)иГ1+а1+Г2+а2ёи + -1.
^=1 о о
Окончательно получаем
Г1 Г2 1 Г1 1
| < с Е Е / ^(и)ип+3ёи + С Е / ^^(и)ип+Г2+а2ёи+
п=1^ = 10 п=1 о
г2 1 1
+ С Е/ ^ (иК1+а1+ёи + ^ (иК1+а1+Г2+а2 ёи + -1.
=1 о
Учитывая (10), получим, что |XN| ^ -1. Рассмотрение случая 4 закончено.
Теорема доказана. □
Литература
1. Бенткус Р., Рудзкис Р., Статулявичус В. Экспоненциальные неравенства для оценок спектра стационарной гауссовской последовательности // Литовский математический сборник. — 1975. — Т. 15. — С. 25-39. \Bentkus К., КийхЫз К., Statulyavichus V. ЕЬквропепааЦшЬе пегауепв1уа ё1уа осепок врек^а 81асюпагпоу| gaussoуskoyj ро81еёоуа1еЦпо8М // Ь^оувИу] ша1еша11сЬе8Иу| вЬогшк. — 1975. — Т. 15. — Б. 25-39. ]
2. Гиновян М. С. Асимптотически эффективное непараметрическое оценивание функционалов от спектральной плотности, имеющей нули // Теория вероятностей и её применение. — 1988. — Т. 33, вып. 2. — С. 315-322.
[Ginovyan M. S. Asimptoticheski ehffektivnoe neparametricheskoe ocenivanie funkcionalov ot spektraljnoyj plotnosti, imeyutheyj nuli // Teoriya veroyatnosteyj i eyo primenenie. — 1988. — T. 33, вып. 2. — S. 315-322. ]
3. Ибрагимов И. А. Об оценке спектральной функции стационарного гауссовско-го процесса // Теория вероятностей и её применение. — 1963. — Т. 8, вып. 4. — С. 391-430. [Ibragimov I. A. Ob ocenke spektraljnoyj funkcii stacionarnogo gaussovskogo processa // Teoriya veroyatnosteyj i eyo primenenie. — 1963. — T. 8, вып. 4. — S. 391-430. ]
4. Гиновян М. С. Об оценке значения линейного функционала от спектральной плотности стационарного гауссовского процесса // Теория вероятностей и её применение. — 1988. — Т. 33, вып. 4. — С. 777-781. [Ginovyan M. S. Ob ocenke znacheniya lineyjnogo funkcionala ot spektraljnoyj plotnosti stacionarnogo gaussovskogo processa // Teoriya veroyatnosteyj i eyo primenenie. — 1988. — T. 33, вып. 4. — S. 777-781. ]
5. Ибрагимов И. А., Хасьминский Р. З. Об оценке значения линейного функционала от плотности распределения // Записки научного семинара ЛОМИ. — 1986. — Т. 153. — С. 45-53. [Ibragimov I. A., Khasjminskiyj R. Z. Ob ocenke znacheniya lineyjnogo funkcionala ot plotnosti raspredeleniya // Zapiski nauchnogo seminara LOMI. — 1986. — T. 153. — S. 45-53. ]
6. Ginovian M. S. Asymptotic Properties of Spectrum Estimate of Stationary Gaussian Processes // Izvestiya Natsionalnoi Akademii Nauk Armenii. Matematika. — 1995. — Vol. 30, No 1. — Pp. 1-16.
7. Шомахов А. Ю. Об оценке скорости сходимости математического ожидания статистики Lt к линейному функционалу от спектральной плотности L(/) стационарного гауссовского процесса // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». — 2010. — № 1(36). — С. 89-99. [Shomakhov A. Yu. Ob ocenke skorosti skhodimosti matematicheskogo ozhidaniya statistiki lt k lineyjnomu funkcionalu ot spektraljnoyj plotnosti L(/) stacionarnogo gaussovskogo processa // Vestnik MGTU im. N.Eh. Baumana. Ser. «Estestvennihe nauki». — 2010. — No 1(36). — S. 89-99. ]
8. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969. — 480 с. [Nikoljskiyj S. M. Priblizhenie funkciyj mnogikh peremennihkh i teoremih vlozheniya. — M.: Nauka, 1969. — 480 s. ]
UDC 519.24
On Estimation of Convergence Rate of Statistics Expectancy L^ to Linear Functional of Spectral Density L(f) of Stationary
Gaussian Process A. Yu. Shomakhov
Plekhanov Russian University of Economics Stremyanny per. 36, 117997, Moscow, Russian
For the real-valued stationary Gaussian centered process X (t) ,t = 0, ±1, ±2 ..., with a spectral density f (A), a problem is considered of estimating the convergence rate of expectancy of statistics Ln = J<f (A) In (A) dA, A e [—ж; ж], where In (A) is a periodogram of a process X(i) ,t = 0, ±1, ±2..., to a linear functional of the spectral density L (f) = Jip (A)/ (A) dA of the stationary Gaussian process based on the sample {X (1), X (2),..., X (N)}.
Key words and phrases: stationary process, periodogram of a process, spectral density, spectral mean, asymptotic unbiasedness, Nikolsky classes, Fejer kernel.
