CC BY
11
где (еа) = (Еа,дп+ъ,дп). Расписывая это равенство для разных значений индексов, получаем, в частности 3(Ю(еа,еъ,ес) = —О(Яеадп+е,£с) —
- П(ЕПь+едп+е,е->а) — П(ЯаЛ+е,Еъ) = 1 (Ща9ес + ^9еа + Я1с9еЪ) ВД6 щ+а = Яашхп+'. Теорема доказана.
Контактная структура называется К-контактной, если Ь^9 = 0.
Теорема 2. Если контактная структура (М, р, ^ п, 9, О) является К-контактнои структурой, то связность Леви-Чивита метрики О совместима со структурой О.
Будем искать инфинитезимальные преобразования структуры О, являющиеся полными лифтами векторных полей на базе. Пусть Е — доМ
полю Е его полный лифт Ес = ЕаЕа + хп+Ъ£ъЕадп+а.
Теорема 3. Для того чтобы полный лифт Ес векторного поля Е был инфинитезимальным автоморфизмом формы О, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле Е было инфинитезимальным движением
9
Доказательство. Распишем уравнения О = 0, используя адаптированные координаты и структурные уравнения (4)-(6). В результате получается система уравнений, эквивалентная системе ЬV9 = 0, что и доказывает теорему.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.
2. Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые М-про-долженной связностью // Мат. заметки СВФУ. 2015. Вып. 1. С. 25-34.
УДК 517.518.8
И. Ю. Выгодчикова, Ю. А. Завражнов
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ДИАПАЗОНАМИ
Целью статьи является демонстрация применения критерия равномерного приближения для аппроксимации многозначного динамического ряда алгебраическим полиномом, создание эффективного с точки зрения доступности аппаратно-программной реализации в реальном режиме времени алгоритма.
1. Предварительные сведения. Пусть на сетке T = {to < ... < tN}
заданы границы диапазонов значений многозначного ряда, к примеру, цена открытия и цена закрытия торгов, причём соотношения между ними могут быть произвольными: y2,k ,yi,k, k = 0, N (случай y2,k ^ yi,k рассмотрен в [1]). Пусть n ^ 0 - целое число, pn(A, t) = a0+ait+... +antn, A = (a0,a1, ...,an) G Rn+1. Рассмотрим задачу
p(A) = maxmax {y2,k - Pn(A,tk); Pn(A,tk) - yi,k} ^ min . (1)
keü,N AeRn+1
Базисом назовём множество а = {tj0 < ... < £jn+1} С T. Амплитудными назовём функции, определяемые формулами:
¿У2Л + (1 - i)yi,jfc, k - чётно,
(^1—г(а,к) = ^ у2,л ' у1,л' ' к = 0,п + 1, г = 0,1.
+ (1 — , к — нечёт но,
Применяя для амплитудных функций чебышевскую интерполяцию 2, с. 14], получаем числа ^0(а) и (а) и векторы А0(а), А^а) Е Яп+1, определяемые из соотношений (г = 0,1):
у2,^ — Рп(А0(а), ), если(к + г) — чётн о,
hi(a) H y2Jk X/' —у' » -—> k = 0,n + 1.
-yi,jfc + pn(Ai(a),tjk ), есл и(к + i) — нечёт но,
Положим
m = 0.5 max(y2,k — Vi,k).
k=0,N
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие решения).
Для того чтобы вектор А* Е Яп+1 являлся решением задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий: (а) р(А*) = ш; (б) для некоторого базиса а С Т для г = 0 или, г = 0 выполняются соотношения р(А*) = ^(а) прп А* = Аг(а).
Теорема 2 (критерий единственности решения). Для того чтобы задача (1) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (б) теоремы 1 или условие (а) с требованием существования во множестве
М = [гк Е Т : У2,к — У1,к = 2ш}
не менее чем (п+1) элементов. Обозначим
д = 0.5 ш]п(у2,к — У1,к).
к=0,Ж
Преобразуем целевую функцию задачи (1), вычитая величину д:
р(А) — д = шахтах {(у2,к — д) — Рп(А,Ьк); ке оя
Рп(А, гк) — (ш,к + д) ^ шш
АеЕп+1
Обозначим у2,к = У2,к — д, У\,к = у\,к + д. Имеем у2,к ^ У1,к, к = 0, N. Тогда утверждения теорем 1 и 2 несложно получить после применения утверждений из [1] к диапазонам [у2,к; УУ1,к]• При неединственности решения задачи разработан метод отыскания крайних точек множества решений [3]. Далее предполагаем, что выполняется условие (б) теоремы 1, тогда имеет место эквивалентность решения задачи (3) и задачи П. Л. Чебышёва для определённого базиса и амплитудной функции.
2. Алгоритм. Алгоритм решения задачи (1) состоит в последовательной смене базиса и осуществлению решения задач П. Л. Чебышёва для амплитудных функций до тех пор, пока не будет достигнуто решение, удовлетворяющее условию (б) теоремы 1. В ситуации невозможности перехода производится анализ решения с использованием условия (б) теоремы 2, в противном случае делается вывод о неединственности решения и производится поиск крайней точки (см. [3]). Рассмотрим подробнее алгоритм решения задачи для линейного полинома. Имеем А = (аъ,а{).
Предполагаем, что решение единственно и совпадает с решением задачи Чебышёва для некоторой амплитудной функции.
Берём произвольно базис а = {3 < } С Т и получаем коэф-
фициенты полиномов Чебышёва (см. [2, с. 14]): У2,3°,У\з1 ,У2^2 ~ а?,а°, У1з°, У2,з\ ,У132 ~ ао,а}. Вычисляем значения:
а? = УУ2 — ,а? = 2(У2л'о + У3 — а°(1]0 + 3)), Но = Уз — а? — а?3,
32 13° 2
а1 = У1,п — Шм , а1 = !(У13° + У23 — а1(гз° + гз1)), Н1 = а? + а1 гз° — У1з°.
Пусть шах{Н0, Н1} = Нр, где в = 0 или в = 1 Если для всех к = 0,..., N выполняются неравенства ар + ар гк — У1;к ^ Нр7 У2,к — ар — ар гк ^ Нр7 то алгоритм завершается, в противном случае повторяем процедуру для нового базиса. На выходе получаем единственное решение (ар,ар).
3. Вычислительные эксперименты
1) Проведём сопоставление решения задачи (1) с решением применения задачи Чебышёва и метода наименьших квадратов (МНК) для ряда из середин диапазонов. Результаты указывают на высокое качество аппроксимации по модели (1), (рис. 1).
А цена, у + ♦
* ♦ *
/ V - /
/ а с
/ / — х ......2........ 0 О
Е А- / ..-¿г- * Л/ 0 о
Л
О о периоды торговли, 1 -^
а
10 11 12 13 14
О у1
--п- Реальный ряд
♦ у2 ■ Середина диапазона
—О—Аппроксимация диапазонов (по задаче)---Аппроксимацияу (по МНК)
Аппроксимация у (по Чебышёву)
Рис, 1. Анализ качества аппроксимации различными методами, п=2
2) Приведём анализ решения задачи с учётом различных ситуаций, когда У'2,к < У\,к (чёрная свеча в третьем периоде торгов), (рис. 2). Получена коррекция тенденции в сторону снижения, что вполне логично.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 16-06-00582).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Выгодчикова И. Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2006, Т. 6, № 1-2, С, 11-19,
2, Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс, М, : Наука, 1972,
3, Выгодчикова И. Ю. О крайних точках множества решений задачи о наилучшем приближении многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2003, Вып. 5, С, 15-18,
УДК 514.76
С. В. Галаев
О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ К-КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР
Вводится понятие геодезического преобразования почти контактной метрической структуры. Доказывается, что если К-контактные метрические структуры связаны геодезическим преобразованием, то соответствующие им внутренние связности находятся в проективном соответствии.
1. Значительный вклад в развитие теории геодезических отображений псевдоримановых многообразий, наделенных дополнительными структурами, внесен В. Ф. Кириченко и его учениками (см., например, [1, 2]). В работе [1] введено понятие контактно-геодезического преобразования почти контактной метрической структуры как геодезического преобразования, сохраняющего почти контактную структуру. А именно почти контактная метрическая структура (М, д, О) называется получен-
ной контактно-геодезическим преобразованием из почти контактной метрической структуры (М,^,п,р, д, О), если псевдориманова структура (М, д) находится в проективном соответствии с псевдоримановой структурой (М,д). В настоящей работе контактно-геодезическому преобразованию сопостовляется более общее преобразование, названное нами геодезическим преобразованием почти контактной метрической структуры.
Понятие проективного изменения связности неголономного многообразия введено В. В. Вагнером в [3]. Полученные результаты В. В. Вагнер использовал при исследовании механической системы с неинтегрируемой
