CC BY
4
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 16-06-00582).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Выгодчикова И. Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2006, Т. 6, № 1-2, С, 11-19,
2, Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс, М, : Наука, 1972,
3, Выгодчикова И. Ю. О крайних точках множества решений задачи о наилучшем приближении многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2003, Вып. 5, С, 15-18,
УДК 514.76
С. В. Галаев
О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ К-КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР
Вводится понятие геодезического преобразования почти контактной метрической структуры. Доказывается, что если К-контактные метрические структуры связаны геодезическим преобразованием, то соответствующие им внутренние связности находятся в проективном соответствии.
1. Значительный вклад в развитие теории геодезических отображений псевдоримановых многообразий, наделенных дополнительными структурами, внесен В. Ф. Кириченко и его учениками (см., например, [1, 2]). В работе [1] введено понятие контактно-геодезического преобразования почти контактной метрической структуры как геодезического преобразования, сохраняющего почти контактную структуру. А именно почти контактная метрическая структура (М, п, р, д, называется полученной контактно-геодезическим преобразованием из почти контактной метрической структуры (М, п, р, д, если псевдориманова структура (М, д) находится в проективном соответствии с псевдоримановой струк-(М, д)
ванию сопостовляется более общее преобразование, названное нами геодезическим преобразованием почти контактной метрической структуры.
Понятие проективного изменения связности неголономного многообразия введено В. В. Вагнером в [3]. Полученные результаты В. В. Вагнер использовал при исследовании механической системы с неинтегрируемой
линейной связью [4]. Введенное в работе понятие геодезического преобразования почти контактного метрического многообразия тесно связано с понятием геодезического преобразования внутренней связности почти контактной метрической структуры. Вопросы, связанные с исследованием внутренних связпостей и их продолжений, рассматривались в работах
[5-7].
Пусть М — гладкое многообразие нечетной размерности п = 2т + 1, т > 1. Будем говорить, что заданные на многообразииМ почти контактные метрические структуры (М, У п, ф, д, О), (М, У, п, ф, Г, О) находятся в проективном соответствии (связаны геодезическим преобразованием), если они имеют общие геодезические. Пусть Г^ (а, в, 7 =
= 1,..., п; а,Ь,с = п — 1) — коэффициенты связности Леви-Чивита мет-
дГ д
(см. [1]). Хорошо известно, что для коэффициентов, находящихся в проективном соответствии связностей, выполняются следующие соотношения:
Г?7 = Г?7 + + , (1)
где рс — некоторый ковектор.
Внутренней линейной связностью V (см. [5]) на многообразии с почти контактной структурой называется отображение
V : Г(О) х Г(О) ^ Г(О),
удовлетворяющее следующим условиям:
1) Vf1x+M = ¡^Х + ¡2 Vy,
2) Vxxfy = (Х/)у + /Vxy,
3) Vx(У + У) = Vxy + Vxz,
где Г(О) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению О). Со всякой почти контактной метрической структурой ассоциируется внутренняя связность, коэффициенты которой в адаптированной системе координат имеют следующий вид [3;5]: Гс = 1 да<(еъдс< + есдъ< — е<дъс)- При этом допустимые геодезические определяются уравнениями
л2 ха ЛХ^ Лха
IX >_Ау IX .д. IX .д. IX .д. .....ГХ .д.
_ I га__= 0 _=_гп_
лг2 + Ъс лг лг , лг а лг'
Известно (см. [3]), что почти контактные структуры (М,у,п,ф, д, О), (М,У,п,ф,Г, О) имеют общие допустимые геодезические тогда и только тогда, когда выполняются равенства:
Г ас = гас++басяъ, (2)
где qc — допустимый ковектор.
2. Пусть V — связность Леви-Чивита, ассоциированная с контактной метрической структурой (M, n, (, g, D). Тогда имеет место следующая теорема:
Теорема 1. (см. [5]) Коэффициенты связности Леей Чивита почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид: Г^. = 2gad(eb9cd + ec9bd — ed9bc), Г'Пь = uba — Cab, Г = rb = cb — irb Гп = Га =0
an na a r a> па nn
Для К-контактных метрических многообразий [5] выражения для коэффициентов связности Леви-Чивита имеют более простой вид: rac =
= 1 gad(ebgcd + ecgbd — edgbc), rnb = ^ba, rban = ГПъ = -<рЪ rna = Г^п =
Теорема 2. Если К-контактные метрические структуры (M, £,n,(, g, D), (Ы,£,ц, ф,д, D) находятся в проективном, соответствии, то они имеют общие допустимые геодезические.
Доказательство. Полагая в равенстве (1) a = a в = b Y = П получим (pa = —( + $ъРп- Сворачивая последнее равенство по индексам a b получаем 0 = 2mpn, откуда заключаем, что pn = 0. Таким образом, p — допустимый ковектор и, тем самым, выполняется равенство (2).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кириченко В. Ф., Дондукова Н. Н. Контактно геодезические преобразования почти контактных метрических структур // Мат. заметки. 2006. Т. 80, 2. С. 209-219.
2. Кириченко В. Ф., Полькина Е. А. Геодезическая жесткость некоторых классов почти контактных метрических многообразий // Изв. вузов. Сер. Математика. 2007. № 9. С. 42-49.
3. Вагнер В. В. Геометрия (п — 1)-мерного неголономного многообразия в п-мер-ном пространстве // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. М. : Изд-во Моск. ун-та. 1941. № 5. С. 173-255.
4. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 301-327.
5. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.
6 Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые М-про-долженной связностью // Мат. заметки СВФУ. 2015. Вып. 1. С. 25-34.
7. Вукушева А. В. О геометрии контактных метрических пространств с р-связ-ноетыо // Науч. ведомости Белгород, гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. 2015. № 17(214), вып. 40. С. 20-24.
