Инфинитезимальные автоморфизмы распределений контактных метрических многообразий с допустимой симплектической структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

8, Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013, Т. 13, JV2 1, ч, 1, С, 93-98,

9, Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений е диофантовыми операциями // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2. С. 28-34.

10, Bredikhin D. A. On Varieties of Groupoids of Relations with Operation of Binary Cylindrifieation // Algebra Univers. 2015. Vol. 73. P. 73-89.

УДК 514.76

А. В. Букушева

ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ С ДОПУСТИМОЙ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

На распределении контактного метрического многообразия определяется допустимая спмплектпческая структура Q. Находятся условия, при которых полный лифт vc допустимого векторного поля У является инфинитезимальным автоморфизмом формы Q.

Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n = 2m + 1, m > 1, с заданной на нем контактной метрической структурой (f, У, n, g), где f — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, у ж П вектор и ковектор, называемые соответственно структурным вектором и контактной формой. При этом выполняются равенства

f2 = -I + П ® £п(б = 1, (1)

g(fx,fy) = g(x,y) - n(x)n(У), (2)

dn(x, y) = ф(x, y), (3)

где Ф(Х, y) = g(x, fy) — фундаментальная форма структуры, x, y G G Г(ТМ), Г(ТМ) — модуль векторных полей на многообразпп M.

Многообразие, наделенное контактной метрической структурой, называется контактным метрическим многообразием. Гладкое распределение D = ker n называется распределением контактной метрической структуры.

Из равенств (1)-(3) следует, что f (У) = 0 n ◦ f = 0 n(X) = g(x, У),

g(fx,y) = g(x, fy)•

Внутренней линейной связностью V [1] на многообразии с контактной структурой называется отображение V : r(D) x r(D) ^ r(D), удовлетворяющее следующим условиям:

И

1) = /1Ух + /2 У у,

2) Ух/У = /УхУ + (X/)у,

3) Ух(У + У) = УхУ + УхУ,

где Г(О) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению О).

В адаптированных координатах коэффициенты Г^ внутренней связности У определяются равенством Уеаеъ = Г^е,. Из равенства еа =

= Аа'еа', где А^ = слеДУет формула преобразования для коэффициентов связности: Гаъ = Аа Аъ Асс,Г^ъ + Асс'ваАсъ.

Пусть Р : ТМ ^ О — проектор, определяемый разложением ТМ = О 0 Тензорное поле Я(х, у) У = УхУ-У — УуУхУ — УР[х,у]У — —Р[Ц[хх, у], У], где Ц = 1 — Р, называется тензором кривизны Схоутена [1]. Будем называть распределение О распределением нулевой кривизны, если тензор Схоутена обращается в нуль.

На распределении О контактного метрического многообразия М формы [1,2] (<ха, Оп = (хп + Г'п<ха, ©п+а = (хп+а + Гасхп+с<Лхъ) определяют поле кобазисов, сопряженное к полю базисов (Уа = да — ГПдп — —Гъасхп+сдп+ъ,и = дп, дп+а). Имеет место разложение ТО = НО 0 УО, где НО = НО 0 Зрап(и), НО = 8рап(Уа).

Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[еа, Уъ] = 2иъадп + хп+аЩа3дп+С1 (4)

[Уа,дп] = х^дп^дп+с, (5)

^ дп+ъ] = гаъдп+с. (б)

Определим па распределении допустимую структуру П, полагая П = = даъ©п+аА(хъ. Продолженная почти контактная метрическая структура (см. [2]) представляет собой систему (0, 3,и = дп,Х = п ◦ п*, С, О), где С(хк,ук) = С(х ,уи) = д(х,у), С(хк,уи) = С(х" ,у^) = С(хк,и) = = С(хи ,и) = О, х, у е Г(О).

Имеет место

Теорема 1. Если распределение О контактной метрической структуры является распределением, нулевой кривизны, то П — симплекти-ческая форма.

Доказательство. Воспользуемся формулой

3(П(Ул, Ув ,Ус) = УлП(Ув ,Ус) + Ув П(Ус, Ул) + Ус П(Ул, Ув ) —

—П([Ул,Ув ], Ус) — П([Ув ,Ус],Ул) — П([Ус ,Ул],Ув),

где (¿А) = (¿а,дп+ь,дп). Расписывая это равенство для разных значений индексов, получаем, в частности 3(Ю(еа,еь,£с) = —О(Яеадп+е,£с) —

- ^(ЯПГдп+еЛ) — П(ЯаЛ+е,?ь) = 1 (Ща9ес + ^9еа + Я^), ВД6 щ+а = Яашхп+'. Теорема доказана.

Контактная структура называется К-контактной, если Ь^д = 0.

Теорема 2. Если контактная структура (М, р, п, д, О) является К-контактнои структурой, то связность Леей Чивита метрики О совместима со структурой О.

Будем искать инфинитезимальпые преобразования структуры О, являющиеся полными лифтами векторных полей па базе. Пусть V — доМ

полю V его полный лифт Vе = Уа£а + хп+Ь£ьУадп+а.

Теорема 3. Для того чтобы полный лифт Vе векторного поля V был инфинитезимальным автоморфизмом формы О, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле V было инфинитезимальным движением д

Доказательство. Распишем уравнения О = 0, используя адаптированные координаты и структурные уравнения (4)-(6). В результате получается система уравнений, эквивалентная системе ЬVд = 0, что и доказывает теорему.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.

2. Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые М-про-долженной связностью // Мат. заметки СВФУ. 2015. Вып. 1. С. 25-34.

УДК 517.518.8

И. Ю. Выгодчикова, Ю. А. Завражнов

ОБ АППРОКСИМАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ДИАПАЗОНАМИ

Целью статьи является демонстрация применения критерия равномерного приближения для аппроксимации многозначного динамического ряда алгебраическим полиномом, создание эффективного с точки зрения доступности аппаратно-программной реализации в реальном режиме времени алгоритма.