О монотонном алгоритме решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Голубое Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. М: Наука, 1987.

2. Волосивец С. С. Приближение функций ограниченной /»-флуктуации полиномами по мультипликативным системам // Analysis Math. 1995. Т. 21, №1. С. 61 -77.

3. Бочкарёв С. В. Абсолютная сходимость рядов Фурье по полным ортонорми-рованным системам // УМН. 1972. Т. 27, № 2. С.53 - 76.

УДК 517.518.82

И. Ю. Выгодчикова

О МОНОТОННОМ АЛГОРИТМЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ*

1. Пусть образами дискретного многозначного отображения Ф( ) в узлах сетки Т = {¿0 <?,<...< tN} являются фиксированные отрезки = ' У 2, к ]' причём у1к V к е [О :JV], Рассмотрим задачу

р(А):= max max{y2 k-p„(A,tk);p„(A,tk)-у, к j->min (1)

А е [ 0: /V J AeRn+[

где p„(A,t)=a0+alt + ... + a„tn, А = (а0,а^...,ап)£ R"'].

При N <п задача (1) сводится к линейной системе алгебраических уравнений из [ 1 ]. Везде далее считаем N >п + 1.

В [2] приводится общая схема решения задачи (1), использующая конечный перебор подмножеств узлов сетки Т. Ниже предлагается более рациональная процедура при дополнительном ограничении на параметры задачи (1), о котором пойдёт речь ниже.

Обозначим через р* := min p(Ä), 91 := \а е Rn+i : р(А) = р },

f[A,k):=max{y2 k - pn(A,tk);p„(A,tk)-ух к\, m:= max >2'к . Ух'к ,

ke[0:N ] Z

M:=\ks[0:N\y2'k~2yi-k Z := |/fc e [О: iV]: = p j.

Базисом а назовём (n + 2)-точечную подсистему узлов сетки Т

вида

' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

Амплитудными назовём функции, заданные на базисах ст значениями

Ф/

/ I Ут-i i > к - четно, г _

Задачи П. Л. Чебышёва (см., напр., [3]) для амплитудных функций

р,(^,а):= max ! ф,(а,?- /■ )[-> min /е0:1, (2)

А е [0:н+1]1 Jk 1 AeR"

назовём амплитудными ст-подзадачами задачи (1). Обозначим через р/(ст):= min р,(Л,ст)=р,(Л,(ст),а).

По теореме 2.1 [3, с. 14] имеем ( ^ (а) - у2 - Рп (А, (ст), tj ), {к+ i)~ чётно,

1, / % \ \ /, л .. ке 0:и + 1], /6 0:1. (3)

[h; (а) = рп И, (ст), th j- д h, {к +1) - нечетно.

Причём | hj(a)| = р; (ст), i е 0:1.

2. Приведём S-преобразование базиса ст, аналогичное процедуре из [3, с. 28]. Находим ß е {0;1} из условия

h (o)=Ng)' если ^oH^i (°)> (4)

Р [/¡I (о), если hQ(a)<h] (ст). Несложно показать, что h^ (ст) > 0. Поэтому

Pß*(CT) = ^рС^-

Определим индекс к0 s[0:.<V ] из условия

/К(ст)Д0)%е[тах(а)Д4(ст)д). (5)

Возможны три варианта расположения точки tka: 1) tj <tko <tjn+i > 2) tk <t ; ,3) tk >t, .

' *o Jo' ' *0 Jn+1

1) tJa <tkü <tj | . Пусть целое число и таково, что < tko < f/u+1 ■

Полагаем :=

V / е [О : п + 1 , I Ф и, 1 Ф и + 1. Если выполняются равенства

или

Лр(°)=y2ju )и /(4(ст)'Ао)= У2,ко -)'

то осуществляем присвоение: ju := к0, _/и+, := ju+, и ß := ß .

Если ни (6), ни (7) не выполняются, то tj := , _/'и+1 := к0 и ß := ß ,

2) fA(| < iyo. Полагаем j0 := k0. Если выполняются равенства (6) или (7) при и = 0, то осуществляем присвоение: jt := jt, V / е [l: п +1] и ß := ß.

Если ни (6), ни (7) при и = 0 не выполняются, то

V / е [l: и +1] и (3 := 1 - (3. 3) tk(¡ > 11пЛ ■ Полагаем jn+] := к0. Если выполняются (6) или (7) при и = п + 1, то осуществляем присвоение: j¡ := j¡, V / е [0 : п\ и Р := Р.

Если ни (6), ни (7) при и = п +1 не выполняются, то U :=У;+1. V/e[0:«] и (3:=1-р.

Утверждение 1. Пусть выполняется неравенство /(Лр(ст), к0) > /¡р(а).

Тогда

Лр(ст)>йр(су), (8)

где а\t, <... < t ¡ - новый базис. I Jo Jn+\ >

Поскольку tk еа, можно считать к0 = js, где í е [0 : п + l]. Тогда утверждение 1 можно получить, применяя условия Чебышёва (3) для амплитудных ст- и а-подзадач и рассматривая случаи, когда выполняются или не выполняются равенства (6) или (7), учитывая чётность величины í.

3. Потребуем везде далее, чтобы выполнялось неравенство

\М\ > и + 2, (9)

где \М\ - число элементов множества М. Применяя результаты публикаций [1, 4], нетрудно доказать, что при выполнении (9) решение задачи (1) единственно.

Приведём вспомогательные утверждения, которые также вытекают из [1,4].

Утверждение 2. Пусть {к0 < k¡ < ... < кп) с М и вектор А е Rn+X является решением системы

V/e[0:»]. (10)

Если р(А) > т, то Z = 0.

Утверждение 3. Пусть Z = 0, Ар (а)? 5R . Тогда выполняется неравенство /(/4р(ст),к0)> йр(ст), где индекс к0 е [ 0:/V ] определяется в (5).

4. Приведём алгоритм решения задачи (1) с условием (9).

Шаг 1. Пусть {к0 <k¡ <... < кп) а М. Решаем относительно А систему (10) и проверяем равенство

р{А) = т. (11)

В случае выполнения равенства (11) вектор А будет решением задачи (1). При этом р = т, Z = М ,

Если (11) не выполняется, то р(л) > т. В силу утверждения 2 имеем Z = 0. Берём базис ст := {/0 <... < /п+1} с Т и переходим к шагу 2.

Шаг 2. Решаем амплитудные о -подзадачи (2). Определяем р в соответствии с (4). Если выполняется равенство

рЦ(ст))=Ар(ст), (12)

то вектор Лр(о) будет решением задачи (1).

Если (12) не выполняется, то есть р(Лр(ст))> К(<з), и при этом вектор ^р(о) не является решением задачи (1), то переходим к шагу 3.

Шаг 3. Находим индекс к0 е [0:Л? ] из условия (5). Осуществляем 5 - преобразование базиса сг, полагаем а := а и переходим к шагу 2.

Из утверждений 3 и 1 вытекает (8), откуда следует условие монотонности рр (о)> рр (а). Таким образом, обеспечивается более рациональный

перебор базисов (который в данном случае означает выбор нового базиса и выбор одной из амплитудных подзадач на новом базисе) по сравнению с общим методом в [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Выгодчикова И. Ю. Об алгоритме решения задачи о наилучшем приближении дискретного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2002. Вып. 4. С. 27-31.

2. Выгодчикова И. Ю. Процедура решения задачи приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. Сарат. зимней мат. шк. Саратов, 2004. С. 48 - 50.

3. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. 368 с.

4. Выгодчикова И. Ю. Критерий единственности решения задачи о наилучшем приближении дискретного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Тр. мат. центра км. Н.И. Лобачевского: Тезисы. Казань, 2003. С. 52 — 54.

УДК 514.13

А. С. Галаев

СЛАБО НЕПРИВОДИМЫЕ ПОДГРУППЫ В 8и(1,и +1)

Решается проблема классификации связных слабо неприводимых подгрупп в 5и(1,и + 1) с 80(2,2и + 2), которые имеют инвариантную изотропную плоскость, что является первым шагом к классификации связных групп голономии специальных псевдокэлеровых многообразий сигнатуры (2,2«+ 2).

1. Классификация связных групп голономии римановых многообразий является классическим результатом (см., напр. [1]). Классификация связных групп голономии Лоренцевых многообразий была получена совсем недавно [2, 3, 4]. Аналогичная задача для общих псевдоримановых многообразий остается открытой. Теорема Ву [1] сводит эту задачу к классификации связных слабо неприводимых групп голономии, т.е. групп, которые не сохраняют невырожденные собственные подпространства каса-