CC BY
4
- ожидание контакта с претендентами после выхода издания. Либо вывешивания объявления о вакантных местах.
Указанные выше способы непосредственно связаны с внешними факторами, к внутренним же относят:
- внутренний перевод персонала из одного подразделения в другое,
- расширение должностных обязанностей в рамках одной должности, при наличии дополнительного профобразования,
- должностной и карьерный рост, при наличии дополнительного образования.
Для успешного перемещения персонала должны быть предварительно проанализированы следующие факторы: прогрессивный вектор развития предприятия, условия организации труда и результативное использование рабочего времени персонала.
Таким образом, кадровый маркетинг, выступая и объектом управления и субъектом исследований, является отправной точкой для отбора высококвалифицированных кадров на промышленных предприятиях.
Использованные источники:
1. Дятлов, В.А., Кибанов, А.Я., Одегов, Ю.Г. Управление персоналом. - М.: Академия, 2009. - 262 с.
2. Ремизов Н.Д. Менеджмент персонала предприятия/ М.: Дело, 2010. - 431 с.
3. Шекшня С. В. Управление персоналом современной организации. - М.: Издательство Речь, 2012. - 334 с.
Василюк В. В. студент
Трынин А. Ю., доктор физико-математических наук
доцент, профессор СНИГУ им. Н.Г. Чернышевского
Россия
ОБ АППРОКСИМАТИВНЫХ СВОЙСТВАХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЧЕБЫШЁВА (БКЛп(х)}1^=0
Аннотация
Работа посвящена изучению аппроксимативных свойств синк-приближений, используемых в теореме отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона. Подчёркивается важность исследования аппроксимационных конструкций.
Ключевые слова
Аппроксимация, интерполяция, кодирование, сигналы, синк-аппроксимации.
Введение
Работа посвящена изучению аппроксимативных свойств синк-приближений, используемых в теореме отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона (см. [1], [2], [3], [4]). Когда появилась необходимость кодирования
сигналов, Э. Борель и Е.Т. Уиттекер ввели понятие кардинальной функции, сужение с оси на отрезок [0, п], имеющей вид:
п п
Zsm(nx — кп) /кп\ \ 1 sm(nx ) /кп\
пх — кп Пп) /^пх — кп^\п/'(1>) к=0 fc=0
До нынешнего времени уже довольно-таки полно исследованы
свойства синк-аппроксимаций аналитической функции на действительной оси, экспоненциально убывающей на бесконечности. В достаточной степени полный обзор результатов, полученных по данному направлению до 1993 года и избыточное количество основополагающих приложений синк-аппроксимаций найдёте в публикации [3]. Подробный обзор истории разного рода исследований в данной области содержится в [5].
Исследования в области синк-приближений
нашли широкое применение при построении различных численных методов математической физики и приближения функций как одной, так и нескольких переменных [6], [7], [8] в теории квадратурных формул [3] и теории вейвлет-преобразований или всплесков [1], [2], [4]. В [9], [10] исследуются модификации синк приближений (1|), с помощью которых можно приближать произвольные равномерно непрерывные функции, ограниченные на оси.
Результаты, описанные в [11], [12] позволяют сделать заключение о том, что при использовании классических синк-аппроксимаций (1|) вблизи концов отрезка [0, п] возникает явление Уилбрейама-Гиббса. До того как были проведены исследования и отражены в работах [13], [14], [15], [16], [17], [12], насколько мне известно, приближение такими операторами на отрезке, а также на ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций [3], [18] сведением к случаю оси с помощью конформного отображения. В работе [17] получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0, п], функций линейными комбинациями синков.
На основе результатов исследований в [19] можно сделать вывод, что при попытке приближения негладких непрерывных функций значениями операторов (1|) возможно появление "'резонанса"', приводящего к неогранченному росту погрешности аппроксимации на всём интервале (0, п). В этой же работе [19] установлено отсутствие равносходимости значений операторов (1|) и рядов или интегралов Фурье на классе непрерывных функций.
В [20], [21] и [22] показаны различные модификации синк приближений (1|), позволяющие приближать произвольные непрерывные функции на отрезке [0, п]. Исследование полноты системы синков (1|) в [21] в пространствах С[0, п] и С0[0, п] = {/:/ £ С[0, п], /(0) = /(п) = 0} позволяет сделать вывод о тщетности попыток построить оператор в виде линейных комбинаций синков, допускающий возможность равномерной
аппроксимации произвольной непрерывной функции на отрезке. В работах [21], [22], кроме того, установлены новые необходимые и достаточные условия равномерной сходимости синк-приближений (1|) и некоторых их модификаций на всём отрезке [0, и].
В работе [23] описаны исследования аппроксимативных свойств операторов интерполирования, построенных по решениям задач Коши с дифференциальными выражениями второго порядка. Операторы, предложенные в [23], являются обобщением классических синк-приближений (1|). В [24] приводится ряд приложений к результатам работы [23] к исследованию аппроксимативных свойств классических алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов интерполирования, каждая строка которой состоит из нулей многочленов Якоби р£п,Впс параметрами, зависящими от п.
Начиная с известной работы Крамера [25] изучаются также аналоги теорем отсчётов для операторов интерполяции Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля, например, [26].
В тесной связи с синк-приближениями находятся интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Г.И. Натансон в [27] получил признак Дини-Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0, п), т.е. равномерной на любом компакте, содержащемся в (0, п), процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля.
Исследования, проведённые в [28], [29], [30] показывают, что при сколь угодно малом изменении параметров задачи Штурма-Лиувилля (потенциала д, или констант к, Н) аппроксимативные свойства процессов (4) могут сильно измениться. В работе [31] устанавливается существование непрерывной на [0, и] функции, интерполяционный процесс Лагранжа-Штурма-Лиувилля которой неограниченно расходится почти всюду на [0, *].
2 Основные результаты
Пусть (уп}п=1 — некоторая система комплексно или действительнозначных функций, определённых на множестве Б с М или С, каждая из которых при любом натуральном п обращается в нуль во всех точках множества (хкпУ^=0 с Б, и имеет конечную, отличную от нуля, производную в этих точках. Тогда значения операторов Ьп, ставящих в соответствие любой, принимающей конечные значения на множестве(х^п}£=0 с Б, функции /, другую, доопределённую по непрерывности в точках множества (хкп}к=0, функцию вида:
п
Zn
уАС^Х^У^ = 1, (2)
fc=0
к=0
Интерполируют f в узлах {xkin}% = о, то есть ln(f, хк>п) = f(xk>n), 0 < к <п, к ЕЖ, п Е N. В рассматриваемом случае, когда функция уп в каждом слагаемом не зависит от номера узла к, оператор (2|) может быть достаточно экономично численно реализован на электронно-вычислительной технике.
Важность таких аппроксимационных конструкций, с точки зрения фундаментальных исследований, подчёркивается следующим фактом. Если, кроме перечисленных условий, от функций системы [уп}п Е N потребовать непрерывность на множестве D и отличие от нуля вне множества ixk,n}k=o, п Е N, то есть
(3) уп Е C[D], уп(х) ф 0, при х Е D\{xkn}k=0, для всех п Е N, то множества функций [1к,п}к=0 образуют систему Чебышева или Т-систему Действительно, во-первых, функции 1кп после устранения особенностей в точках xki п на множестве D непрерывны. Во-вторых, любой нетривиальный полином, составленный из п + 1 функции этой системы,
п п ^ ^
£ ОщьКлЮ = £ ап,к Л( *(Х_ ) =
к=0 к=0
здесь
п п
к=0 к=0
п
(х) = П(х -Хк,п), Рп(х)=£' у>7хпк) П (х -Хк,п)
¿=0,1Фк V (х)
на множестве Б имеет не более п нулей. Функция \ ч на ножестве Б
шп(х)
нулей не имеет, а Рп - многочлен степени не выше п. Следовательно, в силу основной теоремы алгебры, система функций 1к п является системой Чебышева, и для произвольной функции f, определённой в хк п, 0 < к <п, п Е М, однозначно разрешима интерполяционная задача:
п
^ Оп,к1п,к(х) = /(хк,п), 0 < к <п,пеМ к=0
Заметим, что в силу биортогональности [хк>п}к=0 к [1к>п}к=0, коэффициентами интерполяционного полинома по системе Чебышева {1к,п}к=0 являются значения приближаемой функции в узлах интерполяции
&п,к = /(хк,п)-
К операторам вида (2|) следует отнести, например, классические алгебраические интерполяционные многочлены Лагранжа, усечённые кардинальные функции Уиттекера или синк-аппроксимации, интерполяционные процессы (2|), в которых в качестве уп берутся
специальные функции математической физики.
Пусть ря > 0, ря = о (Я) при Я ^ + го, к(Я) £ М, и при каждом неотрицательном Я функция ^я(х) есть произвольный элемент из шара КрЯ[0, я] радиуса ря в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле, то есть
^Ы < Ря, 9я(0) = 0, ря = о (Я). (4) Тогда для любого потенциала дЯ £ КрЯ[0, я], при Я ^ + го, нули решения задачи Коши
у" + (Я — ^я(х))у = 0, У(0,Я) = 1, 1у'(0,Я) = к(Я),
(5)
или, при дополнительном условии к(Я) ^ 0, — задачи Коши
у" + (Я — ^я(х))у = 0, у(0, Я) = 0, 1У(0,Я) = к(Я),
(6)
попадающие в [0, я] и перенумерованные в порядке возрастания обозначим
О < Х0,я < *1,я < - < *п(Я),Я < ^ (*-1,Я < 0, ХП(Я)+1,Я > (7)
(Здесь х -1, я < 0, хП(я) + 1, я>^ обозначают нули продолжения решения задачи Коши (5|) или (6|), после до определения каким-либо образом функции qX вне отрезка [0, п] с сохранением ограниченности вариации).
Задачи Коши (5|) и (6|) в случае, когда £ Ц0, имеют единственное обобщённое решение, которое можно интерпретировать как непрерывно дифференцируемое решение интегрального уравнения.
В [23] исследуются аппроксимативные свойства операторов типа Лагранжа (2|), построенных по решениям задачи Коши вида (5|) или (6|), и ставящих в соответствие любой, определённой на отрезке [0, я] функции /, интерполирующую её в узлах (х^п}£=0 непрерывную функцию таким образом
п п
^•у (X Я) X—'
апЛ~г-^-ч/(хм) = / ^дМ/^д) (8)
к=0 У'КяД)(* — хк,я) ^=0
Подбирая соответствующим образом функции ^я (следует иметь ввиду, что условие (4|) является достаточным, но не необходимым для наличия нулей (7|)), получаем единое представление в виде оператора (8|) различных конструкций лагранжева типа таких, как классические интерполяционные многочлены (с точностью до весового множителя),
кардинальные функции Уиттекера, интерполяционные процессы Лагранжа,
построенные по специальным функциям математической физики. Так,
например, с точностью до преобразования Лиувилля многочлены Чебышева
1 1
и многочлены Якоби, в случае а = +-, Д = + -, являются решениями
дифференциальных уравнений задач (5|), (6|), с потенциалом, удовлетворяющим условию (4|).
Если взять = 0, Яп = п2, то операторы (8|) превращаются в усечённые кардинальные функции Уиттекера . Следовательно, утверждения полученных в данной главе результатов справедливы для синк-аппроксимаций на отрезке (смотрите, например, [15], [14]). В случае непрерывности фиксированной функции ограниченной вариации = ц для операторов (8|), построенных по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, с краевыми условиями третьего рода, из которых удалены условия первого рода.
В этой работе речь пойдёт об аппроксимативных свойствах опреаторов (8|), построенных по решениям задачи Коши вида (5|) или (6|) в случае, когда потенциалы не только не принадлежат шарам КрЯ[0, я] (4|), но даже не являются функциями ограниченной вариации. Более того, здесь мы рассмотрим случай, когда £ £р[0, > 1. Последовательность ^Хп}п = будем выбирать таким образом, чтобы значения операторов (8|) представляли собой классические интерполяционные многочлены Лагранжа.
Пусть Ж = п = 1 произвольная матрица узлов
интерполирования, принадлежащая отрезку [0, я], то есть
0 < х0п < х1п < — < хпп < я, (9)
В этом параграфе через
п п
¿п(Ж,/,х) = V /к,п(х)/(хк,п) = V , *-т/(%,п), (10)
^=0 ^=0 ^ (х*,п)(х - Хк,п)
п
где ^п(х) = П(х-х^п),
к=0
будем обозначать классический интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по п - ой строке матрицы узлов интерполирования M. Он является значением оператора (8|), построенного по решениям задачи Коши вида (5|) (при 0 < х0п) или (6|) (при 0 = х0п), если для произвольного п = 1, 2, 3, ... положить
Яп = п(п + 1)
= п(п+1)^п(х) + (11)
Обратите внимание на то, что в силу (9|) и основной теоремы алгебры вариация функций дЯп не является ограниченной ни для какого п = 1, 2, 3, .. Тем не менее справедливо следующее утверждение, являющееся
аналогом теоремы И. Марцинкевича [32].
Терема 2.1 Для любой непрерывной на отрезке [0, и] функции f найдутся последовательности [Лп\П= 1, {ЧпУп = 1 вида (11?) такие, что значения оператора (8?), построенного по решениям задачи Коши (5?),
п п
Zv (х Я) х—'
к=0 y\xkt,X)(x-xkJL) ¿=0
= Ln(M,f,x)
будут равномерно на отрезке [0, и] сходиться к функции f. Доказательство теоремы 2\. Пусть Рп(х) — многочлен наилучшего приближения функции f. Тогда, по теореме П.Л. Чебышёва об альтернансе [32], существует п + 2 точки альтернанса 0 < t0 < t1 < ... < tk < ... < tn+1 < n, в которых разность Рп(х) — f(x) принимает значения ( — l)kEn(f),k = 0,1, ...п + 1 (здесь En(f) - величина наилучшего приближения функции f многочленами степени не выше n). В каждом из интервалов (tk, tk+1), k = 0,1,...n найдётся узел интерполяции xkn\ Рп(хкп) = f(xkn), к = 0,1,... п. Отсюда следует, что 0 < t0 < х0п, и
Шп((Х>)) является решением задачи Коши вида (5?) (смотрите (11?)). В силу
единственности интерполяционного многочлена степени n, имеющего п + 1 - узел интерполяции, и инвариантности оператора (8?) относительно умножения у(х, Л) на отличную от нуля константу имеем тождество Рп(х) = Ln(M, f, х) = SXn(f, х) (смотрите (8?), (9?), (10?) и (11?)). Теперь утверждение предложения 2? следует из теоремы Вейерштрасса. Теорема 2? доказана.
Использованные источники:
1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды, (М., Изд-во АФЦ, 1999)
2. Новиков И.Я., С.Б. Стечкин Основы теории всплесков. Успехи математических наук. 1998,Т. 53. выпуск 6(324)., С. 53-128.
3. Stenger F. Numerical Metods Based on Sinc and Analytic Functions, (N.Y., Springer Ser. Comput. Math., 20 Springer-Verlag, 1993)
4. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам, (Ижевск, "Регулярная и хаотическая динамика", 2001)
5. Butzer P.L. A retrospective on 60 years of approximation theory and associated fields Journal of Approximation Theory 160, 3-18 (2009)
6. Schmeisser G., Stenger F. Sinc Approximation with a Gaussian Multiplier Sampl. Theory Signal Image Process., Vol. 6, No. 2, May (2007), pp. 199-221
7. Livne Oren E., Brandt Achi E. MuST: The multilevel sinc transform, SIAM J. on Scientific Computing, 33(4), 1726-1738 (2011)
8. Marwa M. Tharwat Sinc approximation of eigenvalues of Sturm—Liouville problems with a Gaussian multiplier Calcolo: a quarterly on numerical analysis and theory of computation Vol. 51 Issue 3, September (2014) Pages 465-484
9. Kivinukk A., Tamberg G. Interpolating generalized Shannon sampling operators, their norms and approximation properties, Sampl. Theory Signal Image Process. 8 (1), 77-95 (2009)
10. Schmeisser G. Interconnections Between Multiplier Methods and Window Methods in Generalized Sampling, Sampl. Theory Signal Image Process. 9(1-3), 1-24 (2010)
11. Jerri Abdul J. Lanczos-Like a-Factors for Reducing the Gibbs Phenomenon in General Orthogonal Expansions and Other Representations, Journal of Computational Analysis and Applications, 2(2), pp. 111-127 (2000)
12. Trynin A.Yu., Sklyarov V.P. Error of sinc approximation of analytic functions on an interval, Sampling Theory in Signal and Image Processing, 7 (3), 263-270 (2008)
13. Трынин А.Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по синкам, Математика. Механика., Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 7, 124-127 (2005)
14. Трынин А.Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для sinc-приближений непрерывных функций на отрезке, Сибирский математический журнал, 48(5), 1155-1166 (2007)
15. Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных функций на отрезке, Математический сборник, 198(10), 141-158 (2007)
16. Трынин А.Ю. Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на отрезке, Известия высш. уч-ых заведений. Математика., 6, 66-78 (2008)
17. Sklyarov V.P. On the best uniform sinc-approximation on a finite interval, East Journal on Approximations, 14 (2), 183-192 (2008)
18. Mohsen A., El-Gamel M. A Sinc-Collocation method for the linear Fredholm integro-differential equations. Z. angew. Matth. Phys. , 2006, 1-11, DOI 10.1007/ s00033-006-5124-5.
19. Трынин А.Ю. О расходимости синк-приближений всюду на (0, ж), Алгебра и анализ, 22 (4), 232-256 (2010)
20. Трынин А.Ю. О некоторых свойствах синк-аппроксимаций непрерывных на отрезке функций, Уфимский математический журнал, 7, № 4 116-132, (2015)
21. Трынин А.Ю. О необходимых и достаточных условиях сходимости синк-аппроксимаций, Алгебра и анализ, 27:5 (2015), 170-194
22. Трынин А.Ю. Приближение непрерывных на отрезке функций с помощью линейных комбинаций синков, Известия высш. уч-ых заведений. Математика., № 3, 72-81, (2016)
23. Трынин А.Ю. Обобщение теоремы отсчётов Уиттекера-Котелъникова-Шеннона для непрерывных функций на отрезке, Математический сборник, 200(11), 61-108 (2009)
24. Трынин А.Ю. Об операторах интерполирования по решениям задачи Коши и многочленах Лагранжа-Якоби, Известия Российской Академии Наук. Серия математическая, 75(6), 129-162 (2011)
25. Kramer H.P. A generalized sampling theorem. J. Math. Phus. 38 (1959), 6872.
26. Zayed A.I. , Hinsen G., Butzer P.L. On Lagrange interpolation and Kramertype sampling theorems associated with Sturm-Liouville problems. SIAM J. Appl. Math. 50, No. 3 (1990), 893-909.
27. Натансон Г.И. Об одном интерполяционном процессе. Учён. записки Ленинград. пед. ин-та. 1958. Т. 166. С.213-219.
28. Трынин А.Ю. Об отсутствии устойчивости интерполирования по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, Известия высш. уч-ых заведений. Математика., 9(460), 60-73 (2000)
29. Трынин А.Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, Уфимск. матем. журн., 3:4 (2011), 133-143
30. Трынин А.Ю. Об одной обратной узловой задаче для оператора Штурма-Лиувилля, Уфимск. матем. журн., 5:4 (2013), 116-129
31. Трынин А.Ю. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, Известия высш. уч-ых заведений. Математика., 11, 74-85 (2010)
32. Натансон И.П., Конструктивная теория функций, / Гос. изд-во технико-теоретической литературы. — Москва, Ленинград. — 1949
33. Привалов А.А./ Теория интерполирования функций. — Саратов. — Изд-во Саратовского ун-та. — 1990
Вейс В. В. магистр
факультет экономики и менеджмента Юго-Западный государственный университет
Россия, г. Курск ОПТИМИЗАЦИЯ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ ПРИБЫЛИ
ОРГАНИЗАЦИЙ Аннотация: данная статья посвящена проблемам совершенствования налогообложения прибыли организации. В работе рассмотрены пути совершенствования налогообложения прибыли. Предложены направления оптимизации налога на прибыль путем создания резервов по налогу. Рассмотрен порядок формирования резерва предстоящих расходов на оплату отпусков и резерва по гарантийному ремонту и гарантийному обслуживанию.
Ключевые слова: прибыль, налоговое бремя, налог на прибыль, резервы налогу на прибыль.
Annotation: The article is devoted to the problems of improving tax profit organization. The paper discusses ways to improve the taxation of profits. Directions optimization of income tax by tax provisions. Discussedthe order of the formation of allowance for the costs of upcoming holidays and the provision for warranty repair and warranty service.
Keywords: income, tax burden, income taxe, provisionsforincome tax e, tax
