CC BY
4
Коробчук А.В. бакалавр, студент Трынин А.Ю., доктор физико-математических наук доцент Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского
Россия, г. Саратов НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПОТОЧЕЧНОЙ И РАНОМЕРНОЙ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА (0;тс) АППРОКСИМАЦИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ СИНКАМИ
Аннотация: Получены необходимые и достаточные условия поточечной и раномерной внутри интервала (0;я) аппроксимации непрерывных функций усечёнными кардинальными функциями Уиттекера.
Введение
Данная работа посвящена изучению аппроксимативных свойств синк-приближений, используемых в теореме отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона (см.[1],[2],[3],[4]). В связи с необходимостью развития теории кодирования сигналов, Э.Борель и E.T.Уиттекер ввели понятие кардинальной функции, сужение с оси на отрезок [0,я] которой выглядит так:
j „г \ _ yin sin(nx-kn) „ (kn\ _ y,n (-l)fc sinnx „ íkn\ ^^
Ln/(X) = Lk=° nx-kn ! ITJ = Lk=° nx-kn ! ITJ ■ (1)
Уже сейчас достаточно подробно изучены свойства синк-аппроксимаций аналитической на действительной оси функции, экспоненциально убывающей на бесконечности. Наиболее полный обзор результатов, полученных по этой тематике до 1993 года, как и большое количество важных приложений синк-аппроксимаций можно найти в [3]. Интересный исторический обзор исследований в этой области содержится также в [5].
При построении различных численных методов математической физики и приближения функций как одной так и нескольких переменных [6],[7],[8] в теории квадратурных формул [3] и теории вейвлет-преобразований или всплесков [1], [2], [4] синк-приближения нашли широкое применение.
В [9], [10] изучаются модификации синк приближений (1), с помощью которых можно приближать произвольные раномерно непрерывные функции, ограниченные на оси.
Из результатов работ [11], [12] мы заключаем, что при использовании классических синк-аппроксимаций (1) вблизи концов отрезка [0,я] возникает явление Уилбрейама-Гиббса.
Насколько нам известно, до появления работ [12], [13], [14], [15], [16], [17], приближение такими операторами на отрезке, или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических
функций [3], [18] сведением к случаю оси с помощью конформного отображения. В [17] получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0,я], функций линейными комбинациями синков.
Из плодов исследований в [19] видно, что при попытке приближения негладких непрерывных функций значениями операторов (1) возможно появление "резонанса"', приводящего к неогранченному росту погрешности аппроксимации на всём интервале (0,я). В этой же работе [19] установлено отсутствие равносходимости значений операторов (1) и рядов или интегралов Фурье на классе непрерывных функций.
В [20], [21] и [22] предложены различные модификации синк приближений (1), позволяющие приближать произвольные непрерывные функции на отрезке [0,я]. Анализ полноты системы синков (1) в [21] в пространствах С[0,п] С0[0, и] = {/:/ Е С[0,п], /(0) = /(п) = 0} позволяет сделать вывод о том, что построить оператор в виде линейных комбинаций синков, позволяющий равномерно приближать произвольную непрерывную функцию на отрезке, невозможно.
В работах [21], [22] кроме того, установлены новые необходимые и достаточные условия равномерной сходимости синк-приближений (1) и некоторых их модификаций на всём отрезке [0,п].
Работа [23] посвящена исследованию аппроксимативных свойств операторов интерполирования, построенных по решениям задач Коши с дифференциальными выражениями второго порядка. Операторы, предложенные в [23], являются обобщением классических синк-приближений (1). В [24] приводится ряд приложений результатов работы [23] к исследованию аппроксимативных свойств классических алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов интерполирования, каждая строка которой состоит из нулей многочленов
Якоби р£п,Рп с параметрами, зависящими от п.
Начиная с известной работы Крамера [25] изучаются вдобавок тоже аналоги теорем отсчётов для операторов интерполяции Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля, например, [26].
В тесной связи с синк-приближениями находятся интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Г.И.Натансон в [27] получил признак Дини-Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0, и), т.е. равномерной на любом компакте, содержащемся в (0, л), процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля.
Исследования, проведённые [28], [29], [30] показывают, что при сколь угодно малом изменении параметров задачи Штурма-Лиувилля (потенциала ц, или констант к,Н ) аппроксимативные свойства этих процессов могут сильно измениться. В работе [31] устанавливается существование непрерывной на [0, и] функции, интерполяционный процесс Лагранжа-
Штурма-Лиувилля которой неограниченно расходится почти всюду на [0, п]
Основные результаты
Эта работа посвящёна необходимым и достаточным условиям возможности аппроксимации значениями операторов (1) функций из пространства С[0, и].
Используя методы и приёмы доказательств, разработанные в [32]-[38] установлена справедливость следующих утверждений.
Пусть f Е С[0,п] и последовательности положительных чисел уп и £п удовлетворяют соотношениям
Уп = о(Х),
Уп
lim-
\j >nJ
= w.
1
£n=- exp n
Уп
-1
(2)
(В случае f = const считаем yn = 0 , £n = — ). Например, в
en
качестве уп можно взять I &(/,-) , тогда £п= —ехр — <
еп
ш
(/•Э
Для любого натурального п и хЕ [0, п] обозначим через р = р(п,х),
т1, т2 такие целые числа, что
[к2
т1 =
ь.
. 2
+ 1,т2 =
2
п п '
где номера к1, к2 определяются с помощью неравенств п(к1 — 1) пк1 п(к2 — 1) пк2
< X + £п <
П
(3)
(4)
п п п
Ъ кл
Здесь узлы интерполяции хкп = — рассматриваются на всей
числовой оси Ш:к ЕЖ, п Е N. Таким образом, т1, ш2зависят только от / Е С [0, и] и выбора последовательностей (2).
Теорема 1. Если функция f непрерывна на отрезке [0,п], то для всех хЕ[0, п] имеет место поточечная на отрезке [0, п] и равномерная внутри интервала (0, п), то есть равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале, сходимость
\\т(Г(х) — 1п(Г,х)) = 0, (5)
тогда и только тогда, когда выполняется, соответственно, поточечно на отрезке [0, п] или равномерно внутри интервала (0, п) одно из эквивалентных условий
Иш ( ^ (/(хк+11П) — хХкп)1Кп(х) ) = 0, (6)
>
1
>
Im ( X (f(Xk-!'n) - f(Xxk,n)lk,n(X) ) = 0, (7)
. „ ^ _____ ^ ..„ Lk,n
------
, k—k1 kz
( Z (f(Xk+1'n) - 2f(x*J + f(xxk-1,n)lk,n(x) ) = 0 (8)
, k —
где
(-1)к sin nx
пх-кп
Теорема 2. Если функция f непрерывна на отрезке [0, п], то для всех х Е [0, и] имеют место следующие соотношения
1 к2
Мт\ f(x) - L„(f,x)-- У (f{xь+^n) - f{xVl _^lkn(x)\ = 0,
f(x) - Ln(f, x)-\X (f(xk+i,n) - f(xXkin)lKn(x) ) = 0, (9)
n^<x \ 2
k—k1
1 ^ \ Mm I f(x) - Ln(f, x)-2Z (f(Xk-^) - f(.xxk,Jlk.n(x) ) = 0, (10)
2/ V./ \ Л 1,1 L I J \ Л* Is n
' ■ 4 ' 4
к—к
1
i™ ( f(x) - Ln(f, (fiXk+1,n) - 2f(xxk,n) + f(xxk-in)lk,n(x)
k—k
= 0, (11)
где
(-1)к sin nx
nx-kn
Сходимость в (9), (10), (11) поточечная на отрезке [0, п] и равномерная внутри интервала (0, п), то есть равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале.
Использованные источники:
1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды, (М., Изд-во АФЦ, 1999)
2. Новиков И.Я., С.Б. Стечкин Основы теории всплесков. Успехи математических наук. 1998,Т. 53. выпуск 6(324)., С. 53-128.
3. Stenger F. Numerical Metods Based on Sinc and Analytic Functions, (N.Y., Springer Ser. Comput. Math., 20 Springer-Verlag, 1993)
4. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам, (Ижевск, "Регулярная и хаотическая динамика 2001)
5. Butzer P.L. A retrospective on 60 years of approximation theory and associated fields Journal of Approximation Theory 160, 3-18 (2009)
6. Schmeisser G., Stenger F. Sinc Approximation with a Gaussian Multiplier Sampl. Theory Signal Image Process., Vol. 6, No. 2, May (2007), pp. 199-221
7. Livne Oren E., Brandt Achi E. MuST: The multilevel sinc transform, SIAM J. on Scientific Computing, 33(4), 1726-1738 (2011)
8. Marwa M. Tharwat Sine approximation of eigenvalues of Sturm-Liouville problems with a Gaussian multiplier Calcolo: a quarterly on numerical analysis and theory of computation Vol. 51 Issue 3, September (2014)Pages 465-484
9. Kivinukk A., Tamberg G. Interpolating generalized Shannon sampling operators, their norms and approximation properties, Sampl. Theory Signal Image Process. 8 (1), 77-95 (2009)
10. Schmeisser G. Interconnections Between Multiplier Methods and Window Methods in Generalized Sampling, Sampl. Theory Signal Image Process. 9(1-3), 1-24 (2010)
11. Jerri Abdul J. Lanezos-Like a-Faetors for Reducing the Gibbs Phenomenon in General Orthogonal Expansions and Other Representations, Journal of Computational Analysis and Applications, 2(2), pp. 111-127 (2000)
12. Trynin A.Yu., Sklyarov V.P. Error of sine approximation of analytic functions on an interval, Sampling Theory in Signal and Image Processing, 7 (3), 263-270 (2008)
13. Трынин А.Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по синкам, Математика. Механика., Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 7, 124-127 (2005)
14. Трынин А.Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для sinc-приближений непрерывных функций на отрезке, Сибирский математический журнал, 48(5), 1155-1166 (2007)
15. Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных функций на отрезке, Математиче- ский сборник, 198(10), 141-158 (2007)
16. Трынин А.Ю. Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на отрезке, Известия высш. уч-ых заведений. Математика., 6, 66-78 (2008)
17. Sklyarov V.P. On the best uniform sinc-approximation on a finite interval, East Journal on Approximations, 14 (2), 183-192 (2008)
18. Mohsen A., El-Gamel M. A Sinc-Collocation method for the linear Fredholm integro-differential equations. Z. angew. Matth. Phys. , 2006, 1-11, DOI 10.1007/ s00033-006-5124-5.
19. Трынин А.Ю. О расходимости синк-приближений всюду на (0, п), Алгебра и анализ, 22 (4), 232-256 (2010)
20. Трынин А.Ю. О некоторых свойствах синк-аппроксимаций непрерывных на отрезке функций, Уфимский математический журнал, 7, № 4 116132, (2015)
21. Трынин А.Ю. О необходимых и достаточных условиях сходимости синк-аппроксимаций, Алгебра и анализ, 27:5 (2015), 170-194
22. Трынин А.Ю. Приближение непрерывных на отрезке функций с помощью линейных комбинаций синков, Известия высш. уч-ых заведе- ний. Математика., № 3, 72-81, (2016)
23. Трынин А.Ю. Обобщение теоремы отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона для непрерывных функций на отрезке, Математический сборник, 200(11), 61-108 (2009)
24. Трынин А.Ю. Об операторах интерполирования по решениям задачи Коши и многочленах Лагранжа-Якоби, Известия Российской Акаде- мии Наук. Серия математическая, 75(6), 129-162 (2011)
25. Kramer H.P. A generalized sampling theorem. J. Math. Phus. 38 (1959), 6872.
26. Zayed A.I. , Hinsen G., Butzer P.L. On Lagrange interpolation and Kramertype sampling theorems associated with Sturm-Liouville problems. SIAM J. Appl. Math. 50, No. 3 (1990), 893-909.
27. Натансон Г.И. Об одном интерполяционном процессе. Учён. записки Ленинград. пед. ин-та. 1958. Т. 166. С.213-219.
28. Трынин А.Ю. Об отсутствии устойчивости интерполирования по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, Известия высш. уч-ых заведений. Математика., 9(460), 60-73 (2000)
29. Трынин А.Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, Уфимск. матем. журн., 3:4 (2011), 133-143
30. Трынин А.Ю. Об одной обратной узловой задаче для оператора Штурма-Лиувилля, Уфимск. матем. журн., 5:4 (2013), 116-129
31. Трынин А.Ю. О расходимости интерполяционных процессов Лагран- жа по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, Известия высш. уч-ых заведений. Математика., 11, 74-85 (2010)
32. Трынин А.Ю. Принцип локализации для процессов Лагранжа- Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - Са- ратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2006 . - Т. 8 . - С. 137-140.
33. Трынин А.Ю. Об одном интегральном признаке сходимости процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Математика. Меха- ника. -Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2007 . - Т. 9 . - С. 94-97.
34. Трынин А.Ю. Существование систем Чебышёва с ограниченными константами Лебега интерполяционных процессов / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008 . - Т. 10.- С. 7981.
35. Трынин А.Ю. Пример системы Чебышёва с почти всюду сходящейся к нулю последовательностью функций Лебега интерполяционных про- цессов / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009 . - Т. 11 . - С. 74-76.
36. Трынин А.Ю. Об одном признаке типа Дини-Липшица сходимости обобщённых интерполяционных процессов Уиттекера-Котельникова-Шеннона / А.Ю. Трынин, И.С. Панфилова // Математика. Механика.-Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010 . - Т. 12 . - С. 83-87.
37. Трынин А.Ю. О расходимости интерполяционных процессов Лагран- жа по узлам Якоби на множестве полной меры / А.Ю. Трынин, И.С. Панфилова // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Са- рат. ун-та, 2010 . - Т. 12 . -С. 87-91.
38. Трынин А.Ю. О необходимых и достаточных условиях равномерной и поточечной сходимости интерполяционных процессов по "взвешен- ным"
многочленам Якоби / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2011 . - Т. 13 . - С. 96-100.
Крюков Д.Б., к. техн. н.
доцент
кафедра «Сварочное, литейное производство и материаловедение»
Кривенков А.О., к. техн.н.
доцент
кафедра «Сварочное, литейное производство и материаловедение»
Чугунов С.Н., к.техн.н.
доцент
кафедра «Сварочное, литейное производство и материаловедение»
Гуськов М.С., к. техн. н.
доцент
кафедра «Сварочное, литейное производство и материаловедение»
Савинкина А.Л. студент 3 курса факультет «Машиностроения и транспорта» ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет»
Россия, г. Пенза
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ АРМИРОВАНИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ИНТЕРМЕТАЛЛИЧЕСКИМИ УПРОЧНЯЮЩИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Аннотация: В статье рассмотрен новый принцип изготовления изотропных по механическим свойствам металлических композиционных материалов на основе титана и алюминия сваркой взрывом на основе синтеза интерметаллического слоя заданного состава и толщины на границах прочного соединения матрицы и упрочняющего элемента за счёт теплового воздействия на конечной операции изготовления детали или конструкции.
Ключевые слова: композиционный армированный материал, сварка взрывом, интерметаллид, термическая обработка, прочность.
Abstract: the article describes a new principle of manufacture of isotropic mechanical properties of metallic composite materials based on titanium and aluminum by explosion welding, based on the synthesis of the intermetallic layer of a given composition and thickness on the borders of the strong connection of the matrix and the reinforcing element due to the thermal effects on the final operation of manufacture of a component or construction.
Keywords: fiber-reinforced composite material, explosion welding, intermetallic compound, heat treatment, strength.
В настоящее время в широком спектре отраслей производств используются композиционные материалы с металлической матрицей, армированные металлическими и неметаллическими волокнами, основным недостатком которых является низкая технологичность при формировании изделий и анизотропность механических свойств.
