АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЧЕБЫШЁВА ИЗ СИНК-ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Трынин А.Ю., доктор физико-математических наук

доцент Тулынина А.А. студент

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Россия, г. Саратов АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЧЕБЫШЁВА ИЗ СИНК-ФУНКЦИЙ

Аннотация

Предметом рассмотрения в настоящей статье являются аппроксимативные свойства синк-приближений, используемые в теореме отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона. Дается общее представление об истории изучения проблемы синк-аппроксимаций в исследовательской литературе. Подробно рассматриваются аппроксимативные свойств полиноминальных систем Чёбышева из синк-функций.

Предметом исследования в настоящей работе являются аппроксимативные свойства синк-приближений, используемые в теореме отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона. Необходимости развития теории кодирования сигналов обусловила формлировку Э.Борелем и Е.Т.Уитткером понятия кардинальной функции, сужение с оси на отрезок [0, п] описывается следующим уравнением:

г f i: \ \-i-n sin (nx-kn) г fkn\ (-1)k sinnx _ (kn\ ,, 7,

Ln(f,x) = ln=0 nx-kn = Zn=0 nx-kn f Ы"

Значимость изучения синк-приближений определяется широтой их практического применения, которое осуществляется при построении различных численных методов математической физики и приближения функций как одной так и нескольких переменных [6], [7], [8] в теории квадратурных формул [3], теории вейвлет-преобразований или всплесков

[1], [2], [4].

Предваряя обзор результатов проведенного исследования, необходимо обратиться к истории изучения проблемы синк-аппроксимаций, которой посвящен значительный корпус научных текстов.

Ряд исследований посвящен проблеме модификации синк-приближений (1.1), которые позволяют осуществлять приближение произвольные равномерных непрерывных функций, ограниченных на оси.

На сегодняшний день с достаточной полнотой исследованы свойства синк-аппроксимаций аналитической на действительной оси функции, экспоненциально убывающей на бесконечности. История изучения этого вопроса отражена преимущественно в зарубежной исследовательской литературе. В частности, работа [3] содержит обзор результатов научных исследований по этому направлению, полученных до 1993 года, а также рассматривает значимые приложения синк-аппроксимаций. Исторический

обзор научного изучения этой проблемы содержит также [5].

Результаты исследований [11], [12] убедительно доказывают возникновение явления Уилбрейама-Гиббса при использовании классических синк-аппроксимаций (1.1) вблизи концов отрезка [0, п].

До публикации исследований [13], [14], [15], [16], [17], [12] приближение данными операторами на отрезке или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций [3], (18] путем сведения к случаю оси с помощью конформного отображения. Результатом работы [17] является оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0, п], функций линейными комбинациями синков.

Результаты исследований [19] показывают, что при попытке приближения негладких непрерывных функций значениями операторов (1.1) возможно появление „резонанса", приводящего к неограниченному росту погрешности аппроксимации на всём интервале (0, п), а также выявляется отсутствие равносходимости значений операторов (1.1) и рядов или интегралов Фурье на классе непрерывных функций.

В работах [20], [21] и [22] рассматриваются различные варианты модификации синк-приближений (1.1), которые дают возможность приближать произвольные непрерывные функции на отрезке [0, п]. Исследование [21], посвященное проблеме полноты системы синков (1.1) в пространствах С[0,п] и С0[0, и] = {/:/£ С[0,п],/(0) = /(п) = 0} приводит к выводу о тщетности попыток построения оператора в виде линейных комбинаций синков, допускающий возможность равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции на отрезке. Также в названных исследованиях [21], [22] обосновываются новые необходимые и достаточные условия равномерной сходимости синк-приближений (1.1) и некоторых их модификаций на всём отрезке [0, п].

Работа [23] рассматривает аппроксимативные свойства операторов интерполирования, построенных по решениям задач Коши с дифференциальными выражениями второго порядка. Предлагаемые в данной работе операторы, предложенные представляют собой обобщение классических синк-приближений (1.1). Исследование [24] содержит ряд приложений результатов работы [23] к исследованию аппроксимативных свойств классических алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов интерполирования, каждая строка которой

состоит из нулей многочленов Якоби с параметрами, зависящими от

п.

Работа Крамера [25] положила начало изучению аналогов теорем отсчётов для операторов интерполяции Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля, например, [26].

В тесной связи с синк-приближениями находятся интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по собственным функциям задачи

Штурма-Лиувилля. В работе Г.И. Натансона [27] был получен признак Дини-Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0, п) -равномерной на любом компакте, содержащемся в (0, п), процессов Лагранжа- Штурма-Лиувилля.

Исследования [28], [29], [30] выявили возможность сильного изменения аппроксимативных свойств процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля при сколь угодно малом изменении параметров задачи Штурма-Лиувилля (потенциала q, или констант ^ Н). В работе [31] доказывается существование непрерывной на [0, п] функции, интерполяционный процесс Лагранжа-Штурма-Лиувилля которой неограниченно расходится почти всюду на [0, п].

Настоящее исследование посвящено проблеме аппроксимативных свойств полиноминальных систем Чебышева из синк-функций, на наш взгляд, недостаточно разработанной в современной литературе.

Пусть / £ С [0, п] и последовательности положительных чисел уп и £ удовлетворяют соотношениям

п

Уп = 0(1), lim

Уп

(/•а

=

1

£п = — ехр {

п

Уп

(/•а

-1

(2.1)

(В случае / = const считаем уп = 0, £п = — ). Например, в качестве

ея

f \

уп можно взять I ш

(/•э

тогда £„ = — ехр

п/' ' ея

(лЭ

Для любого натурального п и х £ [0, п] обозначим через р, т1, т2

такие целые числа, что 1*2

=

2

+ 1, Ш2 =

*2

. 2

< х < я(Р + 1)

п

п

(2.2)

где числа -1)

d и k2 определяются из неравенств:

< X — £п <

я/с-

< X + £п <

+ 1)

п п п

следующим образом

^ = тах(0, £2), = тт(п — 1, £2).

п

(2.3)

Если не оговорено иное, будем пользоваться обозначением х^п = п, п £ N.

Теорема 2.1. Если функция f непрерывна на отрезке [0, п], то для всех х £[0, п], имеют место следующие сношения

— • fc = 0,1,

п

п-1

jim (^(х)—L^x) — 2 X (^(Xfc+i,^)) Wx)) = о,

(2.4)

fc=0

>

1

1

<

lim ( f(x) - Ln(f,x) - ^ (f(xk-i,n)) lk,n(x) ) = 0, (2.5)

k=1

n

n-1

Hm ( f(x) - Ln(f,x) - ^^(fi xk+1,n ) - 2 f(xKn) + f(xk —1,n J ) Lk,n (x)

k=1

= 0, (2.6)

где

(-l)k sinnx

lkn(x) = nx-kn . Сходимость в (2.4), (2.5), (2.6) поточечная на отрезке [0, п] и

равномерная внутри интервала(0, п), то есть равномерная на каждом

компакте, содержащемся в этом интервале.

Доказательство. Справедливость равенства (2.4) установлена в ([14,

Теорема 2] и [15, Теорема 6]). Для доказательства соотношения (2.5),

рассмотрим функцию

g(z)=f(n-z). (2.7)

В силу (2.4)

lim

n^<x>

n n-1

1v/ (j + Vn

9(z^-T9 l>,n(z) Г+Г1)l'n(z)

j=o j=o Vх 7 /

= 0.

>

Сделаем замену переменной z= п - х

lim

n^<x>

n

9(n-x)- ^ 9 (-1) lj,n(n - x)

-2!

j=0 n-1

9

'а + i)n

n

j=0

- 9(^)1 jn(n - x)

= 0.

В силу чётности функции

sin n x

n x

получаем

lim

n^<x>

n

f(x) -lf(nJi) ln-j.x(x)

J=o

n— 1

Цт1-)ln~j,"(x)

J=o

> = 0.

Отсюда следует (2.5), так как

<

>

<

lim

П^ет

/ уW)—-X (/ (—¿—J—/ У) ^ «

&=0 & = 1 Здесь сходимость такая же как и в (2.4), то есть поточечная на отрезке

[о, п] и равномерная внутри интервала (о, п). Сложим (2.4) и (2.5) и разделим

пополам.

/

lim

п^ет

1 V"1 / (xfe+i,n — 2/(xfc,n) + /(xfc-i,n))

/(*) — Ln(/,x) — - X ----~WX)

fc—1

V

1 ((/(x1,n) /(x0,n)) ^0,П(х) + (/(xn-1,n) — /(xn,n)) ^n,n(x))) =

Так как

|(/(x1,n) — /(x0,n)) ¿0,n(x)| + |(/(xn,n)) ¿n,n(x)| < 2W

то равномерно внутри (о, п) справедливо (2.6). Теорема 2.1 доказана.

Справедлив также «локальный» вариант теоремы 2.1: Теорема 2.2 Пусть функция f непрерывна [о, п], и последовательности положительных чисел уп и £п удовлетворяют соотношениям (2.1). Для всех х £ [0, я] справедливы соотношения

/ *2

jim (^(х)—Ln(^,х)—1X (^(Xfc+1,n)—/(х^,п)) Wx) у fc=fc1

= 0, (2.8)

/ *2

/(Х) — Ln(/, Х) — 1 X (/(Xfc-1,n) — /(xfc,n)) ¿fc,n(x)

k — Zi 1

= 0, (2.9)

/ *2

jim ( /(x) — Ln(/,x) —1 X {^(xfe-1,n) + /(xfe- (x)

\ k — /с 1

= 0, (2.10)

где номера ki и k2 определяются с помощью неравенств (2.3). Если < то суммы в (2.8), (2.9), (2.10)отсутствуют. Сходимость в (2.8), (2.9), (2.10) поточечная на отрезке [о, п] и равномерная на интервале (о, п), то есть равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале.

lim

п^ет

V

Доказательство. Поточечная сходимость в (2.8) на отрезке [о, п]и равномерная внутри интервала (о, п) установлена в [15]. Учитывая (2.5), (2.6) после замены z= п - x, аналогично устанавливаем справедливость (2.9) и (2.i0).

Теорема 2.2 доказана.

Для функций из пространства С0[о,п] результаты теорем 2.1 и 2.2 могут быть усилены.

Теорема 2.3 Пусть функция f Е С0 [о, п], то есть непрерывна на отрезке [о, п], и f(o) = f(n) = 0. Положим, f(x) = о для любого х ЕЙ\[о,п], числа ki и k2 будем определять с помощью соотношений (2.3). Тогда сходимость в формулах (2.4), (2.5), (2.6), (2.8), (2.9), (2.10) равномерны по х Е [о,п].

Доказательство. Сделаем замену независимой переменной t = , x = 2t — п. И рассмотрим новую функцию

0 приге[о^).

Из непрерывности функции f и того, что f(o) = f(n) = 0, следует признать принадлежность f пространствуС0[о, п] и t Е

п

2

n , n ,

Z, Л (—1)Л sin nx „ ÍXk п+п\ (—l)k sin n(2t — n)

f(XKn) n(x — xt ) =Lf [-^—j^r.-ккПГ

k=0 n(x Xkn) k=0 n(2t — n — —)

п

Z~í( k + n)n\ (—l)k+nsin2nt

f[ 2n ) ( _ (n + k)n k=o V 7 n[2t — ±-

[21 — (n +nk)n)

2 п 2 п

/■mn\(—l)m sin2nt ST* ~ f ,(—l)msin2nt л

f(m) 2n(t—mn) = Lf (tm2n)2n(t — tm2n) =Ln(f't]'

m=n 2¡l(l 2n) m=o v m,2nJ

воспользуемся утверждением теоремы 2.1

n-i

lim max

f(t)—L2n(f,t)— l^(f( xk+i,n ) — f(Xk,n)) Lk,n

( x)

k=o

lim

n^<x>

max

tE

Щ] = 0.

2n-1

f(P) L2n(f,t) 1 ^ ' (f(pm+i,2n) f (-m,2n]) ^m,2n

(t)

m=o

Аналогично, или с помощью замены z = п — х, устанавливается справедливость соотношения

lim max

П^ет х6 L2

LH

п-1

/(Х) — Ln(/, — 1X — /(Xfe,n)) ¿fc,n (x)

fc — 0

= 0.

Таким образом, равномерность x £ [0, я] в (2.4) установлена. Вновь, сделав замену переменных (2.7) как в доказательстве теоремы 2.1, убеждаемся в равномерности сходимости (2.5) и (2.6).

Теорема 2.3 доказана.

Использованные источники:

1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды, (М., Изд-во АФЦ, 1999)

2. Новиков И.Я., С.Б. Стечкин Основы теории всплесков. Успехи математических наук. 1998,Т. 53. выпуск 6(324)., С. 53-128.

3. Stenger F. Numerical Metods Based on Sine and Analytic Functions, (N.Y., Springer Ser. Comput. Math., 20 Springer-Verlag, 1993)

4. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам, (Ижевск, "Регулярная и хаотическая динамика 2001)

5. Butzer P.L. A retrospective on 60 years of approximation theory and associated fields Journal of Approximation Theory 160, 3-18 (2009)

6. Schmeisser G., Stenger F. Sine Approximation with a Gaussian Multiplier Sampl. Theory Signal Image Process., Vol. 6, No. 2, May (2007), pp. 199-221

7. Livne Oren E., Brandt Achi E. MuST: The multilevel sine transform, SIAM J. on Scientific Computing, 33(4), 1726-1738 (2011)

8. Marwa M. Tharwat Sine approximation of eigenvalues of SturmALiouville problems with a Gaussian multiplier Calcolo: a quarterly on numerical analysis and theory of computation Vol. 51 Issue 3, September (2014) Pages 465-484

9. Kivinukk A., Tamberg G. Interpolating generalized Shannon sampling operators, their norms and approximation properties, Sampl. Theory Signal Image Process. 8 (1), 77-95 (2009)

10. Schmeisser G. Interconnections Between Multiplier Methods and Window Methods in Generalized Sampling, Sampl. Theory Signal Image Process. 9(1-3), 124 (20i0)

11. Jerri Abdul J. Lanczos-Like a-Factors for Reducing the Gibbs Phenomenon in General Orthogonal Expansions and Other Representations, Journal of Computational Analysis and Applications, 2(2), pp. iii-i27 (2000)

12. Trynin A.Yu.. Sklyarov V.P. Error of sine approximation of analytic functions on an interval, Sampling Theory in Signal and Image Processing, 7 (3), 263-270 (2008)

13. Трынин А.Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по синкам, Математика. Механика., Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 7, i24-i27 (2005)

14. Трынин А.Ю. Оценки функций Лебега и формула Левом для sinc-приближений непрерывных функций на отрезке, Сибирский математический журнал, 48(5), ii55-ii66 (2007)

15. Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных функций на отрезке, Математический сборник, i98(i0), i4i-i58 (2007)

16. Трынин А.Ю. Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на отрезке, Известия высш. уч-ых заведений. Математика., 6, 66-78 (2008)

17. Sklyarov V.P. On the best uniform sine-approximation on a finite interval, East Journal on Approximations, i4 (2), i83-i92 (2008)

18. Mohsen A., El-Gamel M. A Sine-Collocation method for the linear Fredholm integro-differential equations. Z. angew. Matth. Phys. , 2006, 1-11, DOI 10.1007/ s00033-006-5i24-5.

19. Трынин А.Ю. О расходимости синк-приближений всюду на (0, п), Алгебра и анализ, 22 (4), 232-256 (20i0)

20. Трынин А.Ю. О некоторых свойствах синк-аппроксимаций непрерывных на отрезке функций, Уфимский математический журнал, 7, № 4 116-132, (20i5)

21. Трынин А.Ю. О необходимых и достаточных условиях сходимости синк-аппроксимаций, Алгебра и анализ, 27:5 (2015), 170-194

22. Трынин А.Ю. Приближение непрерывных на отрезке функций с помощью линейных комбинаций синков, Известия высш. уч-ых заведений. Математика., № 3, 72-81, (2016)

23. Трынин А.Ю. Обобщение теоремы отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона для непрерывных функций на отрезке, Математический сборник, 200(ii), 6i-i08 (2009)

24. Трынин А.Ю. Об операторах интерполирования по решениям задачи Коши и многочленах Лагранжа-Якоби, Известия Российской Академии Наук. Серия математическая, 75(6), 129-162 (2011)

25. Kramer Н.Р. A generalized sampling theorem. J. Math. Phus. 38 (1959), 68-72.

26. Zayed A.I. , Hinsen G., Butzer P.L. On Lagrange interpolation and Kramertype sampling theorems associated with Sturm-Liouville problems. SIAM J. Appl. Math. 50, No. 3 (1990), 893-909.

27. Натансон Г.И. Об одном интерполяционном процессе. Учён, записки Ленинград, пед. ин-та. 1958. Т. 166. С.213-219.

28. Трынин А.Ю. Об отсутствии устойчивости интерполирования по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, Известия высш. уч-ых заведений. Математика., 9(460), 60-73 (2000)

29. Трынин А.Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, Уфимск. матем. жури., 3:4 (2011), 133-143

30. Трынин А.Ю. Об одной обратной узловой задаче для оператора Штурма-Лиувилля, Уфимск. матем. жури., 5:4 (2013), 116-129

31. Трынин А.Ю. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по

собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, Известия высш. уч-ых заведений. Математика., 11, 74-85 (2010)

32. Натансон И.И., Конструктивная теория функций, / Гос. изд-во технико-теоретической литературы. - Москва, Ленинград. - 1949

33. Привалов А.А./ Теория интерполирования функций. - Саратов. - Изд-во Саратовского ун-та. - 1990

Тюлюш Б. Н.

Лопсан Д. Я.

4 курс

факультет «Экономический» Маркова Г. И. старший преподаватель Тувинский государственный университет Россия, Республика Тыва, г. Кызыл МАРКЕТИНГОВЫЙ АНАЛИЗ КУЛЬТУРЫ И КАЧЕСТВА ТУРИСТСКОЙ УСЛУГИ В РЕСПУБЛИКЕ ТУВА

Аннотация: В статье раскрывается понятие маркетингового анализа, как деятельность по изучению рынка товаров и услуг, спроса и предложения, поведения потребителей, рыночной конъюнктуры, динамики цен с целью лучшего продвижения своих товаров.

Ключевые слова: маркетинговая деятельность, качество, туристские услуги, удовлетворённость качеством услуг.

Abstract: The article deals with the concept of marketing analysis, as the activity of market research products and services, supply and demand, consumer behavior, market research, price dynamics in order to better promote their products.

Keywords: marketing activities, quality of tourist services, satisfaction with the quality of services.

Туризм становится одной из важнейших отраслей Тувы по мере совершенствования и рыночного преобразования его экономической структуры. В настоящее время вопросы сервисного обслуживания с каждым днем становятся все актуальнее и актуальнее. Современное общество вышло на такой этап развития, когда клиенту (потребителю услуг) становится важным не только сам факт предоставления услуги, но и то, как ее предоставили.

В соответствии с основной задачей Государственной программы развития туризма в Республике Тыва на 2010-2012 годах в районах Тувы планировалось создание туристских комплексов. На сегодняшний день был спроектирован объекты как «Туристский комплекс в Чаа-Хольском районе» в местечке Шанчы-Аксы, «Этнокультурный комплекс «Алдын-Булак», который будет возведен на территории Кызылского района. Также специалистам районных администраций оказывается методическая и