ОБ АНАЛОГЕ КВАДРАТУРЫ ГАУССА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3

ОБ АНАЛОГЕ КВАДРАТУРЫ ГАУССА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В. Н. Чубариков, М. Л. Шарапова

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, [email protected]

В работе изучаются кубатурные формулы для вычисления кратных интегралов от функций, периодических по каждой переменной. В основе постановки задачи лежит утверждение, что эти формулы должны быть точны для тригонометрических многочленов возможно более высокой степени при заданном числе узлов интегрирования. Известно, что для алгебраических многочленов такими квадратурными формулами являются квадратуры Гаусса. Подобные формулы в периодическом случае называют аналогами квадратур Гаусса.

Ключевые слова: Кратные интегралы, аналоги квадратур Гаусса.

AN ANALOG OF THE GAUSS QUADRATURE FOR PERIODIC FUNCTIONS

V. N. Chubarikov, M. L. Sharapova

Moscow State University, [email protected]

In this paper we study cubature formulas for calculating multiple integrals of functions periodic in each variable. The basis of the statement of the problem lies in the assertion that these formulas must be exact for trigonometric polynomials of possibly higher degree for a given number of nodes of integration. It is known that for algebraic polynomials Such quadrature formulas are the Gauss quadratures. Similar formulas in the periodic case are called analogues of Gauss quadratures.

Keywords: Multiple integrals, analogues of Gauss quadratures.

1. Введение

В работе ставится задача эффективного построения кубатурных формул для кратного интеграла с сохранением по возможности свойств квадратурных формул для однократного интеграла. Итак, пусть задано число узлов интегрирования N > 1 кубатурной формулы. Отметим, что тригонометрический многочлен является линейной комбинацией мономов вида e2i(k,x), где x = (xi,..., xn) € Rn, k = (ri,... ,kn) — вектор с целыми координатами. В рассматриваемых нами задачах переменные xi,..., xn являются "равноправными". Для обеспечения этого в кубатурных формулах ограничимся числом узлов N вида N = N1 ... Nn, Nu...,Nn>z N1/n, (Ns,Nt) =1 при s = t, 1 < s,t < n.

Определим наборы чисел Mi,... ,Mn и M*,. ..,Mn из соотношений

NsMs = N, MsM; = 1 (mod Ns), s = 1,... ,n.

Справедлива китайская теорема об остатках: если переменные ks, 1 < s < n пробегают независимо соотвественно полные системы вычетов по модулям Ns, то

k = M1M1+ MnM*nkn (mod N)

пробегает полную систему вычетов по модулю N.

Это обстоятельство и обеспечивает, с одной стороны, близость кубатурной формулы с узлами интегрирования

'Mk M*nkn

N1 Nn ,

0 < kx< 1,... ,0 < kn<Nn - 1

с квадратурной формулой, отвечающей узлам интегрирования к/Ы, 0 < к < Ы — 1, и, с другой стороны, «равноправие» переменных %1,... ,хп.

Отметим также отличие предлагаемой квадратуры от аналогичных формул, рассмотренных в [5-7] тем, что требуется только выбор специальных чисел N — числа узлов квадратуры. Последнее обстоятельство обеспечивает «равномерность» распределения этих узлов в многомерном пространстве.

В настоящей работе использованы идеи и методы работ [1-10].

Далее обсудим модельные ситуации. Для полноты изложения и большей наглядности рассматривается также случай однократных интегралов [4, с. 108]. 2. Одномерный случай

Пусть / (х) — периодическая функция с периодом 1, имеющая хорошее приближение тригонометрическими многочленами, и пусть N — натуральное число. Рассмотрим интеграл

1

/ (х) йх 0

и аналог квадратуры Гаусса SN (!) вида

^ а ) = N Ъ^)-

1=о 4 7

Пусть RN(1) = I(!) — SNа) обозначает точность приближения интеграла I(() квадратурой SN(!). Заметим, что эта квадратура точна для любого тригонометрического многочлена

^ 1

^(х) = + (ат соэ (2птх) + Ьт Б1п 2жтх) + Б1п (2жNx).

т=1

Действительно,

1

I^жтх) = [ <тх - I1' если т = 0<

1 0, если т = 0, т € Z,

о

SN (е2жШх) = - > ' е27"^ =

N 1=0 10, если т = 0, те Z,

Таким образом квадратура точна для тригонометрического многочлена tN(х), т. е. RN^(х)) = I^(х))- SN^(х)) = 0.

Отсюда для точности приближения интеграла I (() квадратурной формулой имеем

RN а) = I а)- SN а) = I а- tN ш- SN а- tN ш = RN а- tN х).

3. Двумерный случай

Пусть а (х1,х2) — функция, имеющая периоды по переменным х1, х2, равные единице, и пусть натуральное число N представляется в виде N = NN2, где N^N2 х л/Ы, (Ы1,N2) = 1. Рассмотрим интеграл

1 1

I а }=П1 (х,-х2) йх1

00

квадратурную формулу вида

1 ^ ^ п 1\

^ (I )=N • N

11=0 12=0 4 2 17

и пусть RN а) = I (!) — SN а) обозначает точность квадратуры SN а) для интеграла I (().

Отметим, что квадратура точна для любого тригонометрического многочлена вида

1 N2-1

У е2™тх йх = | ^

1 Г)

^е27г1тг = 1 1

1=0 I0,

1 ^ 1 I 1 п

1 9^т1 1, если т = 0,

tN(х1М) = 0.0,0 + 1х

к 1=0 к2=0 к\+к2>1

х (а(к1,к2) соэ (2тг(к1х1 + к2х2)) + Ь(к1 ,к2) эт (2тт(к1 х1 + к2х2))) +

+b{N¡ ,N2) sin (27t(N2x1 + Nix2)). Имеем для тригонометрических мономов многочлена Ín(xi,x2) следующие соотношения

1 (

j{e2,i(nixi+n2x2)) = Г e2,i(nixi+n2x2) dx = I 1 если («1,«2) = (0,0)

J I 0, если (n1,n2) = (0,0), n1 ,n2 G Z,

0 4

N\ — 1 N2 — 1

14-11,2-1 ,, ¿ ,

Sn(e2ni(nlxl+n2x2)) = _L Y^ e^W + ifJ = N ¿1=0 ¿2=0

{1, если (n1;n2) = (0,0),

0, если (n1,n2) = (0,0), n1,n2& Z.

Следовательно, квадратура точна для тригонометрического многочлена Ín(xi,x2), т. е. Rn(tN(xi,x2)) = I (ín (xi,X2)) - Sn (ín (xi,x2)) = 0.

Таким образом для любой периодической с периодом 1 по переменным xi, x2 функции f (xi ,x2) точность приближения интеграла I (f) квадратурной формулой имеет вид

Rn(f) = I(f) - Sn(f) = I(f- Ín(xi,x2)b Sn(f - Ín(xi,x2)) = Rn(f - Ín(xi,x2)).

4. Общий случай

Пусть X = (xi,. .. ,xn) € Rn, f (X) — функция, имеющая периоды по всем переменным xi,.. ., xn, равные единице, и пусть натуральное число N представляется в виде N = Ni ... Nn, где Ni,... ,Nn х N1/n, (Ns,Nt) = i при s = t, i < s,t < n. Рассмотрим интеграл

ii

I (f) = J ... j f (xi, ...,xn) dxi ... dxn, 00

кубатурную формулу вида

где MS определяется из сравнения MsM£ = 1 (mod Ns), 1 < s < n, (см. китайскую теорему об остатках) и пусть Rn (f) = I (f) — Sn (f) обозначает точность кубатурной формулы Sn (f) для интеграла

I (f).

Как и раньше, покажем, что кубатурная формула точна для любого тригонометрического многочлена вида

Ni-1 Nn-1 ín (xi,... ,xn) = «0 + ^ • • • 1x

^=0 kn=0

k1 +—bk„> 1

x (a(k) cos {2ж(й,X)) + b(k) sin (2n(k, X))) + b(O) sin (2n(Ñ,X)). Имеем для тригонометрических мономов многочлена Ín (X) следующие соотношения

i с _ _

Ie^kX)) = Г е2*ФX) dx = J 1, если k = 0

J 0, если k = 0, kb...,knG Z,

0

1 N^1 N^1 2ttJ MtMi+...+MNnln)

Sn (e-^ ^ )) = ee"'(

¿1=0 ¿n=0

{

1, если k = О,

0, если k = О ,k1,..., kn € Z.

Следовательно, кубатурная формула точна для тригонометрического многочлена N (х), т. е.

Км Ум (х)) = I Ум (X)) — Зм Ум (X)) = 0.

Таким образом для любой периодической с периодом 1 по переменным Х\,.. ., хп функции / (X) точность (погрешность) приближения интеграла I (() кубатурной формулой имеет вид

Км а) = I а)- Зм а) = I а (х)- м т- а (х)- м т = а (х)- м т

5. Свойства построенных кубатурных формул

Для найденных кубатурных формул справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции / (х) сходится абсолютно. Тогда величина Км У) стремится к нулю при м .

Доказательство. Возьмем в качестве тригонометрического многочлена 1м (х) многочлен Фурье. Положим м = шт{Ы\,.. . ,мп}. Имеем Ыо х м\'п . Далее находим

Км у )| = Км у (х)- 1м (х ))|<

У (х\,. . . Хп)- ¿м (х\,. . . ,Хп)) йх\ ... йХп

0 0

+

+

м\ \ мп-\ ,

I. — П ! — П V V 1

Ы*п1п

1\=0 1п=0

м^" ' мп

\ (Щ 1\

М*п1п

м \ '•••' мп

<

2 тах I/(х)- 1м (х)\ < 2 ^(к \ -

и и

к I кп

тах{к\ ,...,кп\>м0

. Яп)\,

где с(к\,. .. ,кп) — коэффициенты Фурье функции а (х\,... ,хп). Теорема доказана.

Пусть а > \ . Говорят, что периодическая по каждой переменной с периодом единица функция а (х\,... ,хп) принадлежит классу , если для ее коэффициентов Фурье справедливы оценки

с (к \,... ,кп) < (к \... к п)~а, к = тах{ \, к),

причем постоянная в знаке абсолютная.

Теорема 2. Пусть ^ € Е% ,а>\. Тогда для погрешности кубатурной формулы имеем оценку

км у )< —г м(\ ~о)/п+м-°/п.

а — 1

Доказательство. В теореме 1 доказано неравенство

Км (П\<2 Е'-'Е I с (к \ ,...,кп)\.

к \ кп

тах{кк\ ,...,кп}>м0

Отсюда, используя, что а € Е^, получим

Км У )|« к ... к~п)-°< к~а<м~о/п + м(\ -°^/п.

к кп к м /п

тах{кк\ ,...,кп}>м0

где м0 = тт{м\,... ,мп}. Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 16-01-00-071.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд., М. : Наука, 1980. 144 с.

2. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. М. : Гостехиздат, 1950. Гл. III.

3. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М. : Наука, 1986. 744 с.

4. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы : учеб. пособие. М. : Наука, 1987. 600 с.

5. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М. : МЦНМО, 2004. 288 с.

6. Hua L.-K. Selected Papers. New York Inc. : Springer Verlag, 1983. pp. 888.

7. Воронин С. М. Избранные труды. М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 480 с.

8. Архипов Г. И. Избранные труды. Орел : Изд-во Орловского гос. ун-та, 2013. 464 с.

9. Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39. Berlin, New York, 2004. 554 p.

10. Chubarikov V. N. Linear arithmetic sums and Gaussian multiplication theorem // Mathematical Analysis, Differential Equations and their Applications Abstracts. Azerbaijan - Turkey - Ukrainian Int. Conf. Baku, Azerbaijan. sept. 08-13, 2015. P. 38.