Аппроксимация функции, заданной дискретными и интегральными условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Величко Е.В., Малкина В.М., 2014

®

УДК 514.88 ББК 22.19

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ,

ЗАДАННОЙ ДИСКРЕТНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Величко Елена Вадимовна

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

Таврического государственного агротехнологического университета [email protected]

просп. Б. Хмельницкого, 18, 72310 г. Мелитополь, Запорожская область, Украина

Малкина Вера Михайловна

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных технологий Таврического государственного агротехнологического университета [email protected]

просп. Б. Хмельницкого, 18, 72310 г. Мелитополь, Запорожская область, Украина

Аннотация. В статье рассмотрена задача аппроксимации функции, относительно которой известны значения в некоторых точках (дискретные условия) и значения интегралов по некоторым интервалам (интегральные условия). Ставится задача о нахождении многочлена заданной степени, наилучшим образом приближающая заданные условия. Вводится безразмерный весовой коэффициент, позволяющий учитывать вклад интегральных условий в общую невязку. Идея решения основана на применении квадратур Гаусса. Получены общие формулы для нахождения коэффициентов аппроксимирующего многочлена.

На численных примерах показано влияние весового коэффициента на результат.

Ключевые слова: аппроксимация, квадратуры Гаусса, дискретные условия, интегральные условия, весовой коэффициент, МНК (метод наименьших квадратов).

Введение

При решении задач моделирования явлений и процессов возникают проблемы построения функций, удовлетворяющих заданным условиям. Если ограничения представляют собой значения функции в системе точек, то решение данной задачи дается интерполяционным многочленом Лагранжа. Если же нам известно среднее значение величины на некотором интервале изменения аргумента, то это условие реализуется в виде интегрального ограничения. Например, такие задачи возникают в компьютерной графике при моделировании освещения объектов [2]. Вопросам интерполяции функций, заданных дискретными и интегральными условиями, посвящены работы [1; 4].

В случае если количество точек, определяющих функцию, велико, то строят аппроксимации (чаще всего, линейные или квадратичные), для чего используют метод наименьших квадратов (МНК). Работы, посвященные построению аппроксимаций функций, заданных интегральными ограничениями, авторам данной статьи не известны.

1. Постановка задачи

(а], bj )] = 1, м

Пусть задана система точек с{, / = 1, N и система интервалов ' ] ] ^ ’ . Нам из-

вестны значения функции

Г = / {С),г' =1N (1)

в заданных точках и значения интегралов

Ъ] _____________

к] = I ? {х^х, ] = 1, м

а] (2)

по заданной системе интервалов.

Отметим, что величины гI и Я] имеют разные размерности, поскольку [Я] = [г][х], где квадратные скобки обозначают размерность.

Ставится задача о нахождении многочлена заданной степени п, который наилучшим образом удовлетворяет сформулированным ограничениям (1) и (2).

2. Метод решения

Качество приближения будем определять функцией невязки:

(Ъ} ^2

I / {х)йх - Я]

а ) . (3)

Множитель А] вводится для того, чтобы, как отмечалось выше, слагаемые имели одинаковые размерности. Поскольку [А] = [1/х], и этот коэффициент должен каким-то образом учиты-

вать длину интервала интегрирования. Возьмем его в следующем виде:

2 Р

Ъ] - аЛ, (4)

где р - некоторая абсолютна безразмерная константа, позволяющая по-различному учитывать дискретные и интегральные условия. Множитель 2 вводится для удобства.

Для вычисления интегралов мы воспользуемся квадратурной формулой Гаусса с V узлами:

1 V

| g{^ * X Лkg(^)

-1 Ь=1 , (5)

где Ль и ^ - веса и узлы Гаусса. Формула (5) является точной для многочленов не выше ^ - 1)-й степени [3].

С помощью замены переменных 2х = (Ъ;- - а) + (Ъ;- + а]) интегралы, фигурирующие в (3), сводятся к формуле (5):

N „ М „

F= Н Г {с)-г )2 + !А}

1=1 1=1

ь,

І / (х )& =

2

где

7

к=1

1 к=1

2

2 к = 1, V і = 1, М

С учетом вышесказанного, выражение (3) перепишется в виде:

N - 0м (7 V , л

р = Х(/(с)-г)2 + р2 •Х 11а*/(*д)|-Д,

i=1 iДи=1 )

где

(6)

я, =----------л,

7 Ьі- а,

(7)

3. Случай линейной аппроксимации

Перейдем к рассмотрению частного случая, когда п = 1. Речь идет о приближении линейной функцией /х) = а +вх. Для интегрирования которой достаточно формулы Гаусса с одним узлом. Вес Гаусса в этом случае А1 = 2, узел Гаусса ^ = 0 и функция невязки (6) запишется в виде:

о о / ~ \9

Р = Х(а + р -гі) + р ¿(:2а + 2р/ -я,)2 і=1 і=1

где

2

Приравняв к нулю частные производные по а и в, получим систему уравнений:

а(ії + 4Мр 2 )+ р

N

М

Xсі +4р X£^

і=1

і=1

N

М

= ХГі + 2р2 Xл,

і=1

і=1

а

N

Xсі+4р Х£

і=1

і =1

]

+ Р

і=1

’7

і=1 У

N .М ~

= х гісі+2 р X і,

і=1

=1

из которой можем найти коэффициенты а и р.

(8)

4. Случай квадратичной аппроксимации

Перейдем к рассмотрению частного случая п = 2 квадратичной аппроксимации /х) = а +вх +ТХ2. В этом случае достаточно использовать квадратуру Гаусса с двумя узлами, для которой веса Гаусса А1 = А2 = 1 и функция невязки (6) запишется в виде:

р = X + Рс1+ ус1 - г ^ + р 2 X(2а + Р^р]+^ ])+ у(£/+ )- ] )2

1=1 ]=1 ,

где £ = Хь ^ = х]2.

Приравняв к нулю частные производные по а, в и у, получим систему:

( N

М

( N

і=1

і =1

М

М

«(+4рм)+р Xс+?р2Xfc+^) 1+у Xс?+?р2X(^2+^2) ^г+?р2Xя,

і=1

і=1

і=1

і=1

2

(

а

( N М -

£ с+2р2 £(і,+/ )|+р £с/ +р2 £ (£,+/) |+

=і у=і У V і=і у=і у

N М \ N М

£ ■с/ + р2 £ + /2) (^у + ■/) | = £ ГС + р2 £ ^ (|. + /),

V 1

у=1

(9)

а

А ¿V м

2 , „2^/г 2

+ Г

V м / \ \ { V М / \ / V.

£с2 + р2 £ (^2 + т/; )| + р1 £с3 + р2 £ + / Х^2 +/ )і +

і=1 у V і=1 .=1

/" V М / ч. \ V м / ч.

£с4 + р2£(^2 +/2) | = £^2 + р2£~(^2 +ц)),

V і=1

і=1

V м

2 + р1 УІ- +, і.

і=1 і=1

из которой можем найти коэффициенты а, в и у.

5. Общий случай

;[ (х)= £ааХЧ

В общем случае для нахождения коэффициентов многочлена ^ 0

п -1

V >-

степени п

нужно использовать квадратуры Гаусса с количеством узлов 2 . Невязку запишем следующим образом:

где

N

Ґ

*=£ £

п

\

Л

М

ҐҐ

а9С - г

і=1 V Ч=0 у

N ґ п Л2

Л

+р2 •£ £Ак£аА

\

2

я

=£ £

і=1

а,.сЧ - г

V ч=о

у=1 к=1 Ч=0 у

М (( п ґ V ^

у

+р2 •£ £а £А

у=1 VV ч=о

к ук

Я

V к=1 Уу у

N

=£ £

і=1

2

а„ с - Г

М

у=1

+р2 •£ £аА,

2

- я.

уу

Lіq = £

Lu^kлjk k=1

частные производные которой имеют вид:

1 = £ 2 да _£

ґ

\

= £

q=0

t і=1 V q=0

Ґ V \

аq £ сГ

V і=1

£аqci - Гі

М

п

£аqL

V q=0

q jq

+р2 £ q=0

М

аq £ LjqLjt І=1

у У

-£ гіс/- р 2 £ яjLjt. і=1 І=1

(10)

Для нахождения неизвестных получаем систему:

2

0

с

I дF --------------

{----= 0, t = q, п +1

{дщ ,

которую запишем в матричном виде:

(Л + p2B)X = S + p2D, (11)

где X = (а0, аь...,ап) - искомый вектор-столбец коэффициентов уравнения.

Элементы матриц, входящих в уравнение (9), вычисляются по формулам:

М N М

Л = с ВУ £ ^тг^т]' Si £ гтст Di £ ^т^тг

и = г+] т=1 т=0 т=1

N ,

ск = £ 4

(12)

г, ] е 0, п т=л к е 0 2п па д,г

где ’ , , . Для удобства элементы матриц нумеруются с нуля. Мат-

рицы Л и В симметрические.

Заметим, что при р = 0 формулы (7) и (6) переходят в классический метод наименьших квадратов для линейной и квадратичной аппроксимации. Из формулы (10) при этом получается общий случай аппроксимации многочленом функции по ее значениям в точках.

При увеличении параметра р увеличивается вклад в общую невязку интегральных невязок, и, соответственно, уменьшается вклад дискретных. Для случая, когда нет дискретных условий, нужно в указанных формулах игнорировать слагаемые, не содержащие множителя р2 (что соответствует устремлениюр к бесконечности).

6. Численный пример

Рассмотрим функцию g(x) = х3. Она удовлетворяет соотношениям

2 3

|5(х)]х = 3.75 |5{х)Лх = 16.25

5(1) = 1, 5(3) = 27, 1 , 2 . (13)

Построим линейную, квадратичную и кубическую функции, которые аппроксимируются функцией, заданной условиями (13). В этом случае число дискретных ограничений N = 2 и число интегральных ограничений М = 2. Соответствующие константы равны:

С = 1, Т\ = 1, с2 = 3, г2 = 27, а\ = 1, Ъ\ = 2, = 3.75, а2 = 2, Ь2 = 3, Я2 = 16.75

По формуле (7) вычисляем = 7 5, ^2 = 32 5 .

Для п = 1 вычисляем = 1.5, ¿2 = 2.5. Система (8) приобретает вид:

а(2+8р2) + в(4 + 16р2) = 28 + 80р2, а(4 + 16р2) + в(10 + 34р2) = 82 + 185р2.

Общее решение этой системы:

. 20р4 + 25р2 + 4 п 25р2 + 26

“ 0=ТО"

При р = 0 получаем функцию ф(х) = 13х - 12, которая точно удовлетворяет дискретным ограничениям. Соответствующие интегралы будут равны:

2 3

11/0(ХУ^Х = 7.5 11 fo(хрх = 20.5 1 , 2 .

При р = 1 получаем функцию /1(х) = 12.75х - 14.7, для которой

2 3

11 /¡{хХ)Лх = 4.425 11 /\{х)Лх = 17.175

1/1(1) = -1.95, /¡(З) = 23.55, 1 , 2 .

При р = 10 получаем функцию /1о(х) = 12.505х - 15, для которой

2 3

\!/ю{х)Х = 3.757 11 /10{х)1х = 16.262 /1о(1) = -2.495, 1/10(3) = 22.515, 1 , 2 .

Как видим, действительно увеличение параметра р приводит к улучшению точности приближения интегральных условий.

Для поиска квадратичной аппроксимации достаточно воспользоваться формулой Гаусса с

?1,2 = + —у= ~ +°.577

V = 2 узлами ^3 . Вычисляем = 1.211, п = 1.789, = 2.211, п = 2.789. Система

(9) приобретает вид:

а(2 + 8р2) + в(4 + 16р2) + у(10 + 34.67р2) = 28 + 80р2,

а(4 + 16р2) + в(10 + 34р2) + у (28 + 77.33р2) = 82 + 185р2,

а(10 + 34.67р2) + в(28 + 77.33р2) + у(82 + 182.22р2) = 244 + 446.67р2.

При р = 0 матрица системы получается вырожденной и система имеет бесконечно много решений. Это объясняется тем, что количество коэффициентов превышает количество дискретных условий.

При р = 0.1 получаем функцию 2/01 (х) = 5.948х2 - 10.796х + 5.851, для которой

2 3

| 2/01{х)^х = 3.536 12/01{х)^х = 16.531 2/01(1) = 0.998, 2/01(3) = 26.994, 1 , 2 .

При р = 1 получаем функцию /1(х) = 5.746х2 - 10.219х + 5.571, для которой

23

1 2/\{х)^х = 3.65 | 2/\{х)0х = 16.414

2/1(1) = 1.098, 2/1(3) = 26.627, 1 , 2 .

При р = 10 получаем функцию /10(х) = 2.569х2 + 2.242х - 5.611, для которой

2 3

12 А{х^х = 3.746 I 2/10{х)1х = 16.263

/ю(1) = -0.8, /ю(3) = 24.235, 1 , 2 .

На рисунке приведены графики функций /о1(х), /1(х), /10(х), /1(х) и, для сравнения, график эталонной функции g(x) = х3.

Графики функций: а) - 2/м(х); Ь) - 2/1(х); с) - /ю(х); 4) - 1/1(х)

Для поиска кубической (и = 3) аппроксимации достаточно воспользоваться формулой Гаусса с V = 2 узлами. Однако, для более наглядной иллюстрации общего случая, мы воспользу-

, „ _ г ?13 - +Ш«+0.7746

емся формулой с v = 3 узлами Г аусса, которые имеют вид > , ?2 = 0, а веса

, _5 Л _8

4,3 - 9 А2 - 9

Гаусса 9, 9 . Разумеется, на окончательный результат это не должно повлиять.

Для промежутка (1,2) получаем, что

x11 = 1.5 + 0.5^ = 1.113, x12 = 1.5 + 0.5?2 = 1.5, x13 = 1.5 + 0.5?3 = 1.887.

Для промежутка (2,3) получаем, что

x2l = 2.5 + 0.5?! = 2.113, x22 = 2.5 + 0.5?2 = 2.5, x23 = 2.5 + 0.5?3 = 2.887.

N Ъ ск - 2 съ

По формуле т-1 находим

С0 = 2, С = 4, С2 = 10, С3 = 28, С4 = 82, С5 = 244, Сб = 730.

А =

Записываем матрицу

( 2 4 10 28 1

4 10 28 82

10 28 82 244

ч28 82 244 730)

Ь = А1ХД + А2 х)2 + А3 х]з :

Находим коэффициенты

Ью = 2, Ьц = 3, Ь\2 = 4.67, Ь\з = 7.5, Ь20 = 2, Ь2\ = 5, Ь22 = 12.67, Ь2з = 32.5.

Находим элементы матрицы В (напомним, что нумерация строк и столбцов начинается с нуля) по формуле Вц = Ь\Ьу + Ь2ІЬ2]. Получим, что

( 8 16 34.67 80 1

16 34 77.33 185

34.67 77.33 182.22 446.67

80 185 446.67 1112.5 ,

В =

Определяем элементы матрицы Я и D по формулам Получаем матрицы:

Si = пс\ +'■ ~1

Г1С1 + Г2с2 А = RlLli + R2 Ь21

( 28 1 8 О

82 185

Я = Б =

244 446.67

V730) 2.

Подставив найденные матрицы в уравнение (9), находим, что при р Ф 0, искомый вектор-столбец имеет вид:

X =

а следовательно, искомая кубическая аппроксимация ^ = Х совпадает с эталонной.

«0 ^ (01

«1 0

«2 0

«3 ) V 1)

Выводы

Получено обобщение известного способа аппроксимации функции, заданной системой значений в некоторых точках, на случай наличия интегральных условий на функцию. Приведены расчетные формулы для общего случая и явно выписаны формулы для практически важных случаев линейной и квадратичной аппроксимации. Приведенные результаты расчетов в модельной задаче позволяют судить о качестве приближения и о влиянии введенного параметра р на поведение аппроксимирующей функции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Величко, О. В. Геометрична інтерпретація умов існування мінімального многочлена с заданими характеристиками / О. В. Величко, В. М. Малкіна // Праці ТДАТУ. Вип. 4. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 55. - 2012. - С. 37-41.

2. Голованов, Н. Н. Геометрическое моделирование / Н. Н. Голованов. - М. : Физматлит, 2002. - 472 с.

3. Крьілов, В. И Справочная книга по численному интегрированию / В. И. Крьілов, Л. Т. Шульгина. -М. : Наука, 1966. - 370 с.

4. Малкіна, В. М. Геометричне моделювання дискретно представлених кривих ліній із заданими інтегральними властивостями / В. М. Малкіна, О. В. Тітова // Науковий вісник ТДАТУ. - 2011. - № 1. -С. 65-68.

REFERENCES

1. Velichko O.V., Маїкіпа V.M. Geometrichna іnterpretatsіya umov іsnuvannya mіnіmalnogo mnogochle-na s zadanimi kharakteristikami [The Geometrical Interpretation of the Conditions of Minimal Polynomial Existence with Defined Characteristics]. Pratsі TDATU. Vip. 4. Prikladna geometriya ta mzhenerna grafika [Proceedings of TSAU. Issue 4. Applied Geometry and Engineering Graphics], 2012, vol. 55, pp. 37-41.

2. Golovanov N.N. Geometricheskoe modelirovanie [Geometric Modeling]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2002. 472 p.

3. Krylov V.I., Shulgina L.T. Spravochnaya kniga po chislennomu integrirovaniyu [Reference Book on Numerical Integration]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 370 p.

4. Malkrna V.M., Ttiova O.V. Geometrichne modelyuvannya diskretno predstavlenikh krivikh ііпіу іz zadanimi mtegralnimi vlastivostyami [Geometric Modeling of Discretely Presented Curves with Defined Integral Properties]. Naukoviy v^snik TDATU, 2011, no. 1, pp. 65-68.

APPROXIMATING THE FUNCTION DEFINED BY DISCRETE AND INTEGRAL CONDITIONS Velichko Elena Vadimovna

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

Department of Higher Mathematics and Physics,

Tavria State Agrotechnological University [email protected]

Prosp. B. Khmelnitskogo, 18, 72310 Melitopol, Zaporozhskaya obl., Ukraine

Malkina Vera Mikhaylovna

Doctor of Technical Sciences, Professor,

Head of the Department of Information Technologies,

Tavria State Agrotechnological University [email protected]

Prosp. B. Khmelnitskogo, 18, 72310 Melitopol, Zaporozhskaya obl., Ukraine

Abstract. The article deals with the problem of approximating the function in relation to which the values are known at some points (discrete conditions) and the values of integrals on certain intervals (integral conditions). The article states the task of finding a polynomial of a defined degree which brings nearer the defined conditions in the best way.

The authors embed the dimensionless weight factor which allows to take into account the contribution of integral conditions into the total deficiency. The idea of this solution is based on the application of Gauss quadratures. The general formulas for finding the coefficients of approximating polynomials are obtained. The numerical examples illustrate the effect of weight factor on the result.

Key words: approximation, Gauss quadrature, discrete conditions, integral conditions, weight factor, LSM (Least Square Method).