Численный анализ метода поточечной невязки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6:519.852] :621.3.011.71 ББК В192.1: З211.04

А.Ю. ИВАНИЦКИЙ, А.М. УРУСОВ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДА ПОТОЧЕЧНОЙ НЕВЯЗКИ

Ключевые слова: неустойчивые задачи, система линейных алгебраических уравнений и неравенств с приближенными данными, интегральные уравнения Фредгольма Iрода, неустойчивые электротехнические задачи.

В статье рассматривается метод поточечной невязки для численного решения неустойчивых систем линейных алгебраических уравнений и неравенств с приближенными данными, заданными в поточечной форме, интегральных уравнений Фредгольма Iрода на классе неотрицательных искомых решений. Предлагаются эффективный алгоритм и программный продукт для численного решения некоторых неустойчивых электротехнических задач, которые могут быть сведены к указанным выше задачам.

1. Во многих прикладных задачах, в том числе в электротехнических, естественное стремление исследователя наиболее полно отобразить в математической модели существенные моменты изучаемого процесса часто приводят к математическим задачам, в которых искомое решение должно удовлетворять априорно заданным условиям. Базой для задания таких условий служат некоторые общие представления о поведении изучаемого физического процесса, что в конечном итоге в математической постановке задачи приводит к описанию допустимого множества решений путём выделения характерных точек (экстремальных, перемен знака, кривизны и т.п.) и областей (знакоопределён-ных и т.п.). Так, например, при решении задач линейного программирования обычно в качестве множества допустимых решений рассматривают множество О = Я1" = {и = [иьы2,..,и„]т : Uj > 0,] = 1,п}или при нахождении монотонно возрастающих решений дискретных аппроксимаций интегрального уравнения Фредгольма I рода возникает необходимость получения решений систем линейных алгебраический уравнений, принадлежащих априорно заданному множеству О = {и £ Я" : и1 < и2 <... < ип}. Задание априорных условий можно характеризовать как неявное формирование модели «каркаса» этого решения, а сам метод - как математическую реконструкцию этого каркаса. Наиболее полный учёт априорной информации приводит к качественному воспроизведению искомого точного решения, а в некоторых случаях может облегчить и ускорить получение конечного решения.

Обозначим через О замкнутое множество, учитывающее априорную информацию об искомом решении. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений и неравенств

Аи = /, Ви < £, (1)

где и = [и1,и2,..,ип ]т £ О с Я" - искомый вектор,

A = К} =

a„

«21

«12

«22

a1n a2n

_am\ am2

e Я™, Bs: = [bS]} =

bn b21

¿12

b22

b_1n

b2n

\_bp1 b

f = [ff ,..,fm]T e Ят, g = [g1,g2,..,gp]T e Я

m2 T ^ Dp

b

pn

e Rpxn

a

mn

К"" и К?х" - линейные пространства вещественных матриц порядка т*п и рхп, соответственно; К, К", К - вещественные линейные пространства векторов размерности п, т ир, соответственно.

Предположим, что система (1) разрешима, но, возможно, неоднозначно. Обозначим через иБ множество её решений.

Пусть вместо точных данных А ,В,/, £ известны их приближения

А, В,/,

А = (~у} =

аи

~21

а12

~22

а1п а2п

ат1 ат2

е К"*", В. = Ъ } =

¿21

Ь~12

Ъ22

~1п

¿2п

Ьр1 Ьп

е крх"

/ = [/1/2,./т]Т е К",~ = [~ь~2,.,~р]т е К

такие, что выполнены соотношения

\bsj- - ЪЛ < ЛУ

|< А у ,| / - / < 5 г, 1 = 1,т, Л = 1,п;

- ёЛ < X5, 5 = 1,р, ] = 1,п,

(2)

где Д у, 5г-, Л у, X 5 - заданные поточечные уровни погрешностей входных данных {А,В,/,Легко убедиться на простейших примерах, что система

и е Б: Аи = /, Ви < ~ (3)

может оказаться неразрешимой, а в случае её разрешимости решения могут не обладать свойством устойчивости (см. примеры модельных задач в п. 3). Поэтому для решения таких задач необходимо использовать методы регуляризации [1-10]. Одним из таких методов является метод поточечной невязки, представленный ниже.

2. А.Н. Тихонов в работе [8] предложил рассматривать приближенные системы, задаваемые с помощью индивидуальной приближенной системы (3) и класса систем, эквивалентных ей по точности. В этих работах точность задания входных данных оценивается в среднеквадратической форме. Такой подход приводит к методу регуляризации, при использовании которого необходимо многократно решать нелинейную оптимизационную задачу. Рассмотренные в работе [3] методы приводят к более простым методам регуляризации, в которых надо лишь однократно решать задачу оптимизации и в некоторых случаях при соответствующем выборе множества Б - линейную оптимизационную задачу.

Определим классы матриц:

А = {А е К"" : \а1} -а1}\< А1}, 1 = 1,т, Л = 1,п}, В = {В е Ярх" : Ъ - Ъл \ < Л у , х = 1Р, ] = \п}, Г = {/ е Я" :|/ -/| < 51,1 = 1^},

О = {£ е : -< X,, х = ЦР}.

(4)

В дальнейшем считаем, что А е А, В еВ, / е Г, £ еО. Вместо индивидуальной приближенной системы (3) рассмотрим совокупность систем:

и е Б: Аи = /, Ви < А е А, В е В, / е Г, £ е О. (5)

рп

Аналогично [8] допустимым решением класса систем (5) назовём любой вектор и такой, что

и е Б: А и = /, Ви < §, ЗА е А, ЗВ е В, 3>? е Е, 3§ е С. Множество допустимых значений обозначим через иБ . Очевидно, что иБ £ иБ . Аналогично [1] можно доказать теорему:

Теорема 1. Множество иБ эквивалентно множеству

иБ = {и е Б:

Ё 1 - л

1=1

п I I — р ~ р —

<Ё Ау|и;|+8i, / = 1, т, ЁЬ*и}- - & <Ё Л^К!+^, 5 = 1, р}.

1=1 5=1 5=1

Множество иБ имеет более конструктивный вид, чем множество иБ, с точки зрения численных расчётов. Вообще говоря, множество иБ (или иБ ) имеет диаметр, стремящийся к бесконечности. Тем не менее оно может быть положено в основу метода определения устойчивых решений системы (1). Этот метод основан на решении следующей задачи минимизации [3, 4]:

\\Ьи\\ ^ т£, и еиБ, (6)

где Ь е Я9*" - заданная матрица порядка дхп, ||-|| 1 - какая-либо норма в пространстве Я9. При надлежащем выборе матрицы Ь любое решение задачи (6) можно взять в качестве приближенных решений задачи (1), причем множество и. решений задачи (6) будет сходиться в определенном смысле к непустому множеству и * решений задачи

\\Ьи\\ 1 ^ ш£, и еиБ. (7)

Способ (6) отбора приближенных решений задачи (1) при поточечном задании погрешностей (2) назовём методом поточечной невязки.

Пусть выполнено условие дополнительности: существуют константы

у > 0,ai > 0,/ = 1,3,а! +а2 +а3 > 0 такие, что

у||и|| < Ьи\\ 1 + а21|Аи\д + аз (Ви)+ У и е Б, (8)

где ЦУЦ1,111ц ,||| 111 - произвольные векторные нормы в пространствах Я", Я9, Я" и К, соответственно; г += (2+,2+,..,2+ )т, ъ += тах{0;}, I = 1,р - срезка вектора г = [21,22,..,гп]т . В [3] показано, что условие дополнительности (8) эквивалентно условию

кегА п кегЬ п {и: Ви < 0} п КБ = {0}, (9)

где кегА = {и: А и = 0}, кегЬ = {и : Ьи = 0} - ядра матриц А и Ь, соответственно; КБ = {V : V = ¿и, и е Б, * е Я+ } - замкнутый выпуклый конус с вершиной в нуле, натянутый на множество Б. Из условия (9) (или (8)) следует, что если кег Ь = 0 , то условие дополнительности выполнено всегда для произвольных матриц А, В и любого замкнутого множества Б £ Я". Например, при нахождении нормальных решений системы (1) имеем

Ь = Е =

1 0 ... 0 0 1 ... 0

0 0 ... 1

и, следовательно, кегЬ = кегЕ = {0} , и матрицы А и В могут быть вырожденными. В этом случае функция ||Ьи||я является стабилизатором как и в классических методах регуляризации [9]. Однако при выполнении условия (8) в поточечном методе невязки необязательно требование, чтобы \Lu\j был стабилизатором. Приведем пример.

Пример. Пусть Б = {и = [иьи2,и3]т еК3 :и3 = 0}, Аи = [иь0,0]т Ьи = [0,и2,0]УиеК3. Тогда условие (8) (или (9)) выполнено при любой матрице В е Крх3. В этом случае множество Лебега Ьу = {и е И3 : ||Ьи|| 1 = |и21 < у} неограниченно и, следовательно, ||Ьи|| 2 не является стабилизатором.

Условие дополнительности (8) (или (9)) связывает матрицы А,В,Ь и множество Б и заключает в себе идею компенсации «плохих» сторон некоторых из этих объектов «хорошими» свойствами других. Это позволяет рассматривать широкий класс задач и методов их регуляризации с более ослабленными требованиям к матрицам А,В,Ь и множеству Б, чем в традиционных случаях, когда априорно подразумевается, что ||Ьи|} - стабилизатор.

При численной реализации метода поточечной невязки (6) достаточно определить вектор и = и(в, с) из условия

иеиБ :\\Ьи\\ 1 <~* +в,в>0, (10)

где = т£||Ьи|| о = {Ду,Лу, 8;, X5} - набор погрешностей входных данных

иеПв

из (2). Пусть и,У - непустые множества и р(и, V) = 8ирт^ |и - у| |.

иеи уеУ

Сходимость метода поточечной невязки устанавливает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполнены условие дополнительности и иБ Ф 0. Тогда множество и. (в, с) векторов, удовлетворяющих условию (10), непусто и

р(и. (в, с), и. ) — 0

при с —> 0, в —> 0, где и* - множество решений задачи (7).

Эта теорема позволяет рассматривать в качестве приближённых решений задачи (7) векторы, полученные из условия (10). В следующем пункте мы рассмотрим численные реализации метода поточечной невязки (6) на модельных задачах.

3. Рассмотрим примеры неустойчивых задач, в которых стандартные методы приводят к численно неустойчивым решениям. В качестве первой модельной задачи возьмем простую задачу определения нормального решения системы двух линейных алгебраических уравнений. На этом примере легко понять суть проблемы неустойчивости и то, как «преодолевает» её метод поточечной невязки.

(11)

Модельная задача 1. Найти вектор и = [ubu2]T е Rl из условий

[u1 13u2 = 6,

\4lu1 + Vl8u2 =412.

Эта система вырожденная, так как второе уравнение получается из первого умножением на число V2. Множество её решений непусто: U = {и е Rl2: u1 + 3u2 = 6} Ф 0 .

Рассмотрим нормальное решение этой системы

|U|| ^ inf, и е U.(12)

Нетрудно проверить, если взять евклидову норму ||u|| = ||u||2 =у/uf + u|, то

нормальным решением будет вектор u* =[0.6,1.8]T, ||u,2|| = л/3.6 ; если окта-

эдрическую норму ||u|| = \u\|j = |w11 + \u2 \, то u1 = [0,2]T , ||u^| = 2 ; если чебышёв-

скую, то ||u|| = ||u|L = max{uj|,|u2|} и uT = [1.5,1.5]T, ||uT|| = 1.5.

Пусть k - число удерживаемых цифр после десятичной точки в л/2 = 1.41421356..,VIS = 4.24264068..,л/72 = 8.48528137!.. При этом ошибка округления не превышает величины А = 0.5 • 10 k . Попытаемся решить задачу (12)

Таблица 1

Численное решение методом Гаусса при различных к

u Точное к

решение 0 1 2 3 4 5

ui 0.6 0 - - 3.000 - 0.00000

u2 1.8 2 - - 1.000 - 2.00000

с помощью стандартного математического обеспечения «GaussianEli-mination» в среде Maple2015 при различных k, например, взяв

||u||2 u2 + u2. Результаты вычислений приведены в табл. 1.

Как видно из табл. 1, при k = 1, 2, 4 задача (1) не имеет решения, а при k = 0, 3, 5 решения носят неустойчивый характер и не являются хорошим приближением к u2 =[0.6,1.8] . Округление иррациональных чисел V2,VÏ8,V72 можно интерпретировать как внесение возмущений. При этом очень мало отличающиеся друг от друга возмущения приводят к системам, решения которых существенно отличаются, или к несовместным системам. Это типичная некорректно поставленная задача. Причина такого поведения решений задачи (12) при различных k легко объясняется. Говоря геометрическим языком, каждое уравнение системы (11) представляет прямую линию на плоскости, причем эти линии совпадают.

Если же во втором уравнении (11) заменить числа и л/72

на их приближенные значения, то эти прямые могут пересекаться в одной точке, как, например, на рис. 2 при k = 0, тогда нормальным решение будет вектор и} =[ 0,2]Т , или Рис. 1. Прямые совпадают.

Нормальное решение u * = [0.6,1.8]

0.5 0

2 3 4 5 6 7 К

Рис. 2. Прямые пересекаются в одной точке и,2 = [0,2]Т

не пересекаться, как, например, на рис. 3 при к = 1, тогда задача (12) не имеет решения.

Множество решений системы (11) слишком «тонкое» (прямые линии совпадают) и при замене чисел и 772 на их приближения, т.е. при внесении ошибок округления, каким бы малым оно ни было, эта «тонкость» нарушается, и прямые пересекаются в одной точке или вовсе не пересекаются при различных к.

Теперь решим задачу (12), используя метод поточечной невязки (6) или (10), при различных к в среде Мар1е2015. Пусть в задаче (12) Б = Щ+ тогда задача (6) сводится

и м = м

= V и2 + м2

Рис. 3. Прямые не пересекаются

П2 - , ^2 5

к задаче квадратичного программирования. и? + м| ^ т£, и е иБ, (13)

где иБ - множество векторов из и = [и1;и2]Т е Б, удовлетворяющих неравенствам:

(14)

(а„ - Д„ )и1 + (¿~12 -Д12 )и2 < / +-61,

(- ~11 -Д11 )И1 +(- ~12 -Д12 )и2 <- / +51,

(~21 - Д 21 )И1 + (¿?22 - Д 22 )И2 < /2+5 2,

Х- ~21 -Д 21 )И1 +(- ~12 -Д12 )м 2 <- /2 +5 2. В табл. 2 приводится численное решение задачи (13) при различных к в среде Мар1е2015.

Таблица 2

Численное решение задачи методом поточечной невязки

при Б = Щ

- »2 |Ы| _ I

2

к Относительная ошибка округления элементов м*1 м*2 N12 ||м* -м*||2 |Н|2 - ||м*||2|

матрицы А вектора(

0 22% 8% 1 2 4 0 0

1 1.8% 0.7% 0.6 1.8 3.5 0.01 0.1

2 0.18% 0.07% 0.61 1.79 3.59 0.001 0.01

3 0.018% 0.007% 0.599 1.799 3.598 0.0001 0.002

4 0.0018% 0.0007% 0.6 1.7999 3.5999 0.00001 0.0001

5 0.00018% 0.0007% 0.6 1.79999 3.59999 0.000001 0.00001

6 0.000018% 0.00007% 0.6 1.799999 3.599999 0.0000001 0.000001

Пусть в задаче (13) Б = Щ+ и ||м|| = Цм^ = \щ\ + \и2\, тогда задача (6) сводится к задаче линейного программирования

м12 + м| ^ т£, и е и0, (15)

где иБ определяется системой неравенств (14). В табл. 3 приводится численное решение задачи (15) симплекс-методом в среде Мар1е2015 при различных к.

Численное решение задачи методом поточечной невязки при D = Ä+,| lull = I

Таблица 3

Относительная ошибка

к округления элементов u*1 u*2 IH^ ||u* — u* Ц1 IIM1 — ||u* Ц11

матрицы A вектора f

0 16% 8% 0 2 2 0 0

1 1.4% 0.7% 0 1.9 1.9 0.1 0.1

2 0.13% 0.07% 0 1.99 1.99 0.01 0.01

3 0.013% 0.007% 0 1.999 1.999 0.001 0.001

4 0.0014% 0.0007% 0 1.9999 1.9999 0.0001 0.0001

5 0.00014% 0.00007% 0 1.99999 1.99999 0.00001 0.00001

6 0.000015% 0.000007% 0 1.999999 1.999999 0.000001 0.000001

Из табл. 2 и 3 видно, что ~ являются хорошими приближениями к точному решению ш при увеличении числа к удерживаемых цифр после десятичной точки. При этом \\ш — и*|| = 0(10 к), т.е. метод поточечной невязки позволяет получать приближённые решения с точностью до порядка задания погрешностей входных данных системы (11): Ац = 0, Д12 = 0,5] = 0 (так как первое уравнение в системе задано точно) и А21 < 0.5 -10—к, А22 < 0.5 -10—к, 52 < 0.5 -10—к .

Заметим, что в задачах (13) и (15) допустимое множество ив (или ив ) не такое «тонкое», как в исходной задаче (12) (см. рис. 1). Так, например, при к = 0 и к = 1 множества ив изображены на рис. 4. и 5, соответственно.

Рис. 4. Допустимое множество при к =0

Рис. 5. Допустимое множество при к = 1

В методе поточечной невязки допустимое множество содержит решение

задачи (12) и2 =[0.6,1.8]т (при ||и|| = ||и||2) или Ш =[0,2]т (при ||и|| =||м|| 1), при

любом к как, например, на рис. 4 и 5, а при использовании стандартной подпрограммы «Оаш81апБНтта1;юп» множество допустимых решений может и не содержать решение задачи (12), как, например, на рис. 2 и 3.

В методе поточечной невязки устойчивость достигается за счёт поэлементного (поточечного) согласования компонент вектора невязки Ли — / с поэлементными погрешностями входных данных.

Таким образом, на этом простом примере показана проблема неустойчивости и то, как достигается устойчивость в методе поточечной невязки.

Модельная задача 2. Решить интегральное уравнение Фредгольма I рода

| K (х, s)u(s)ds = f (x), c < x < d,

(16)

где

К(х,5) = [1 + (х-5)2], [с;с[\ = [—2;2], [а;Ь] = [-1;1],

/ (х) = (2 — х2) • [агс§(1 — х) + агс^(1 + х)] — 2 — х • 1п

1 + (1 — х)2 1 + (1 + х)2

Точное решение уравнения (16) - функция и (5) = 1 — 52. Подобного рода задачи относятся к «сильно» неустойчивым задачам, так как число обусловленности матрицы системы уравнений, аппроксимирующей интегральное уравнение (16), очень большое (порядка несколько тысяч) [5]. Аппроксимируем уравнение (16) на равномерных сетках х,+1 = хг + к,

хх =—2, г = 1,41, к = 0.1 и Sj+l = + кj, 5 =—1, j = 1,41, к = 0.05, используя

для интеграла формулу Симпсона. В итоге мы получим систему линейных алгебраических уравнений

~ Аи = ~ (17)

где А = К • N, К = [ку } = К(xi, ) е Я41x41, N е Я41x41 - диагональная матрица квадратурной формулы с элементами Ц на диагонали или, подробнее,

А = } е Я4

1 + (хг — )2 '

(18)

/ = /[/( х ), / ( х2),.., /( х4,)]Т где Ц - квадратурные коэффициенты формулы Симпсона.

Если решать систему (17) методом Гаусса в среде Мар1е2015, то мы получим её приближенное решение, которое очень сильно отличается от точного решения. Результаты вычислений представлены на рис. 6. и табл. 4.

[ 01

Рис. 6. Решение системы (17) методом Гаусса Решение системы (17) методом Гаусса

Таблица 4

Норма Погрешность решения Невязка

||и—4 2 1746.703847 2.28357990278258

||« — 41 6911.6993266410008 12.9239639973000

На рис. 6. непрерывная линия на отрезке [-1, 1] - точное решение и (5) = 1 — 52 и пилообразная кривая, полученная методом Гаусса. Пилообраз-ность приближенного решения настолько велика, что точное решение в данном масштабе выглядит как вертикальный отрезок О1О2. Из табл. 4 видно, что погрешность аппроксимации точного решения приближённым очень велика - порядка 0(103).

Далее приведём численное решение уравнения (16), точнее его дискретного аналога (17), методом поточечной невязки (6) для двух случаев:

1) на классе неотрицательных функций и(5) > 0;

Си

2) на классе неотрицательных (и (5) > 0), монотонных (— > 0,5 е [—1;0] и

сСи й2 и

— < 0,5 е [0;1]) и выпуклых (-< 0,5 е [—1;1]) функций.

йи йъ2

Поскольку в методе поточечной невязки матрицу Ь мы выбираем сами, в задаче (6) возьмем Ь = Е (Е - единичная матрица). Как отмечалось ранее, тогда условие дополнительности (8) выполнено. В первом случае метод приводит к оптимизационной задаче:

||и||. ^ М, и еи+, (19)

где и+ = {и е Б = Я41 :

Ё ауи] — /г

у=1

< Ё Ауиу + 5г,г = 1, 41}( ау и £ вычисляют-

1=1

ся по формулам (18)). Во втором случае получим следующую задачу:

||и|| ^ т£, и еиБ, (20)

где иБ = и+ о Б, и+ такое же множество, что и в задаче (19), а Б определяется дискретными аналогами монотонности

и}-+! — и у > 0, у = 1, 20,

иу+! — иу < 0, у = 21, 40

и выпуклости

иу + ] — иу и у — и у — ]

< 0, у = 2, 40.

к к—1

Погрешности А у и 8г определим следующим образом:

Лгу = %у\ "10—к , 5г = |Пг | "10—к ,

где и цг, г = 1,41, у = 1,41 - равномерно распределенные случайные числа на отрезке [-1; 1], полученные с помощью стандартной программы «Яап-ёотТоо^ишйэгт)» в среде Мар1е2015, к = 1,6.

Численные расчеты приведены для различных норм Ци|| 1. В задачах (19) и (20) ограничения в множестве иБ являются линейными алгебраическими неравенствами. Следовательно, при норме ||и|| 1 = ||и|| 1 = + |и2| +.. + |и41|, и е Я+1 мы вместо (19) имеем задачу линейного программирования

их + и2 +.. + и41 ^ т^ и е и+, (21)

а вместо (20) -

u1 + u 2 +.. + u 41 ^ inf, u е UD. (22)

Если lUHj =||u||2 = д/u\ + u2 +.. + , то будем иметь задачу квадратичного программирования.

Ниже приведена программа для численного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода в среде Maple2015.

Программа

Формируется матрица A и вектор f

A = K • N

K = K (x„sJ)

N - матрица коэффициентов квадратурной формулы. f = f ()

MatrixK ■= Matrix{A\, 41) : for i from 1 to 41 do forj from 1 to 41 do

MatrixK[i,j] ■■= evalf(K(x[г ], y[j])) end do end do: MatrixN ■= Matri:c(41,41) : VectorF ■= Vector[A\) :

for i from 1 to 41 do VectorF[ i] := evalf{f(x[ г])) end do:

MatrixA ■= Matrix{ 41,41) : MatrixA ■= multiply{MatrixK, MatrixN) :

Формируется множество U* MnewPL ■■= evalm(multiply(MatrK, MatrN) — Д) : MnewPR ■= evalm(VectF + 8) : MnewML := evalm( - multiply (MatrK, MatrN) — A) : MnewMR ■= evalm (- VectF + 5) : newPlusLeft ■= evalm{multiply(MnewPL, VectorU) ) : newMinusLeft ■= evalm(multiply(MnewML, VectorU) ) :

Неотрицательность (как опция пакета «Optimization»), монотонность и выпуклость множества U* MatrB := Matrix{m, 41) :

for г from 1 to 40 do for j from 1 to 41 do

if i=j < 19 then MatrB[i,j] ■= 1 elif г Ф j then MatrB[i,j] ■= 0 end if end do end do; for i from 1 to 40 do for j from 1 to 41 do

iff + 1 =j < 20 then MatrB[i,j] := -1 end if end do end do; for i from 1 to 40 do for j from 1 to 41 do

iff + 1 =j > 20 then MatrB[i,j] ■■= 1 end if end do end do; for i from 1 to 40 do for j from 1 to 40 do

if г = / > 19 then MatrB\i, /1 :=-1 end if end do end do;

MatrA3 ■= Matrix(4l -2+ (41 — 1), 41) :

for г from 1 to 2-41 + (41 - 1) do forj from 1 to 41 do

if; < 41 tbenMatrA3[i,j] ■= MnewPL[i,j] elif2-41 > i > 41 thenMatrA3[i,j] ■= MnewML[i-A\,j] elif i > 2-41 then MatrA3[i,j] ~ MatrB[i - 2-41, j] end if end do end do;

Vect3 := Vector{2-41 + (41 - 1)) : for г from 1 to 2 -41 do

if г < 41 then Vect3[ i] ■= MnewPR[ i] elif i > 41 then Vect3[ j] := MnewMR[ i - 41 ] end if end do;

MatrBdop ■= Matrix(Ъ9, 41) :

for г from 1 to 39 do for j from 1 to 41 do

if i =j then MatrBdop [ i, j] ■■= 1 elif / j then MatrBdop [ i, j] ■■= 0 end if end do end do; for 2 from 1 to 39 do for j from 1 to 41 do

if г + 1 =j then MatrBdop [i,j] -=-2 end if end do end do; for г from 1 to 39 do for j from 1 to 41 do

if г + 2 =j then MatrBdop [ i,j] •■= 1 end if end do end do;

MatrA4 ~Matrix(41-2 + (41 - 1) + (41 -2), 41) :

for г from 1 to 2-41 + (41 - 1) + (41 -2) do for j from 1 to 41 do

if / < 41 then MatrA4[i,j] := MnewPL[i,j] elif 2-41 > г > 41 then MatrA4[i,j] := MnewML[i - 41, j] elif41 -2 + (41 - 1) > г > 2-41 thenMatrA4[i, j] := MatrB[i - 2-41, j] eUf г > 41 -2 + (41 - 1) then MatrA4[i,j] ■= MatrBdop[i - (41-2 + (41 - 1))J] end if end do end do;

Vect4 ■= Vector{2-41 + (41 - 1) + (41 - 2)) : for г from 1 to 2 -41 do

if 2 < 41 then Vect4[ г] := MnewPR[ 2] elif г > 41 then Vect4[ 2] := MnewMR[ 2 - 41 ] end if end do;

Формируется целевая функция

Решение оптимизационной задачи симплекс-методом: c:=Vector( 41, 1) : Ъ ■= Vect2 : А ■= MatrA2;

LPSolve{c, [A, b], assume — nonnegative)

Решение оптимизационной задачи методом квадратичной интерполяции: H-=Matrix{ 41,41) : for 2 from 1 to 41 do for j from 1 to 41 do

if2=ythen#[2,y'] := 2 elif г =tj then H[ г, j] ■= 0 end if end do end do;

Resh21Evkl •= QPSolve(H, [A, b], assume = nonnegative) QPSolve{H, [A, b], assume = nonnegative)

Решение оптимизационной задачи методом сопряженных градиент: evalf{Sum('u[t]3', t= 1 ..41 )) : р ■= proc (u) add{'u[tf\ t= 1 ..4l) endproc: Ic ■= [A, 6]; NLPSolve(A\,p, [A, 6], assume - nonnegative);

Из табл. 5 и 6 видно, что метод поточечной невязки с априорными условиями неотрицательности, монотонности и выпуклости для норм

( п V'к

||и11/ =[£к/|к 1 при к =1, 2, 3, 6 (23)

даёт достаточно хорошо приближения, лучше получаются результаты, если в (23) взять к > 3. Если же использовать только условие неотрицательности искомого решения, то сходимость метода поточечной невязки медленнее, а для случая Щ/ =||| 1 и использования симплекс-метода для решения задачи

(21) процесс сходимости нестабилен. Хотя во всех случаях и для всех указанных норм невязки одного порядка.

Таблица 5

Метод поточечной невязки для решения интегрального уравнения Фредгольма I рода на классе неотрицательных функций

Погрешность, невязка к

1 2 3 4 5 6

||и - Щ 1 28.3 28.28 30.730 29.8527 28.43555 31.487009

||и - Щ |2 2.9 1.72 1.517 1.4663 1.46029 1.460577

||и - Щ |3 1.7 0.99 0.544 0.4784 0.47227 0.470788

||и - Щ |6 1.0 0.69 0.294 0.2313 0.38314 0.125339

\\А ~ - Д 15.3 2.57 0.358 0.0362 0.00382 0.000366

А - А 2.7 0.30 0.056 0.0058 0.00061 0.000063

И ~ - А|3 1.6 0.19 0.033 0.0031 0.00029 0.000037

0.9 0.13 0.021 0.0019 0.00020 0.000021

Таблица 6 Метод поточечной невязки для решения интегрального уравнения Фредгольма I рода на классе неотрицательных, монотонных и выпуклых функций

Погрешность, невязка к

1 2 3 4 5 6

||и - Щ 1 14.8 3.87 1.200 1.1085 1.07635 0.533931

||~ - Щ|2 2.8 1.12 0.527 0.1851 0.04483 0.015261

||и - Щ |3 1.7 0.88 0.291 0.0411 0.02543 0.016688

||и - Щ |6 1.0 0.68 0.205 0.08909 0.03801 0.029991

11-5« - / II J 1 16.3 2.97 0.411 0.0424 0.00316 0.0004005

A - 4 2.7 0.33 0.063 0.0064 0.00068 0.000070

A -/|3 1.6 0.20 0.035 0.0034 0.00035 0.000036

- /| L 0.9 0.14 0.021 0.0021 0.00022 0.000021

Далее на рис. 7-10 представлены графики точного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода и приближенного решения с условием только неотрицательность искомого решения (задача (19)) и с условиями неотрицательности, монотонности и выпуклости (задача (20)) искомого решения при различных нормах.

С условием неотрицательности, С условием неотрицательности монотонности и выпуклости

II/ II111

\\ЛИ - /|[ = 15.3 ||и - иI = 28.4

/1 Ли - 711 = 16.3

||и - и||, =14.8

Л -/|2 = 2.7

||и - 2 = 2.8

Рис. 7. Решение задачи (19) и (20) при ^ = Е, А у =|У-10-1,8, =|л -10-1.

\\ЛИ " ■711:

II112

= 0.056

Ли -

2

= 0.062

и - и2 = 1.517

и - и„ = 0.527

Рис. 9. Решение задачи (19) и (20) при Ь = Е, Ау =У-10-3,8 у =|л -10-

2

||Ли -/12 = 0.000063 ||Ли - /12 = 0.00007

||и - й\\2 = 1.460577 ||и - й\\2 = 0.015261

Рис. 10. Решение задачи (19) и (20) при Ь = Е, А у =% у\-10 -6,8 у =|Л у|-10 -6.

Таким образом, анализ результатов расчётов показывает, что учёт дополнительной информации позволяет получать вполне удовлетворительные приближённые решения.

/

2

/

2

Литература

1. Алексеев Б.В., Иваницкий А.Ю. О реализующей системе // Численный анализ: методы, алгоритмы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. С. 135-143.

2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 415 с.

3. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю., Морозов В.А. Метод поточечной невязки для некоторых задач линейной алгебры и линейного программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 7. С. 1140-1152.

4. Иваницкий А.Ю. Устойчивые методы решения систем линейных уравнений и неравенств с интервальными коэффициентами: дис. ... канд. физ.-матем. наук. М., 1988. 133 с.

5. ЛеоновА.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. М.: URSS, 2009. 326 c.

6. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. Алгоритмический аспект. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992.

7. Морозов В.А.. Медведев Н.В.. Иваницкий А.Ю. Регуляризация задач алгебры и анализа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 80 с.

8. Тихонов А.Н. О приближенных системах линейных алгебраических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980, Т. 20, № 6, С. 1373-1383.

9. ТихоновА.Н.. АрсенинВ.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 284 с.

10. Vasilyev F.P., Ivanitskiy A.Yu. In-Depth Analyses of Linear Programming. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2001, 312 p.

ИВАНИЦКИЙ АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, профессор, декан факультета прикладной математики, физики и информационных технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

УРУСОВ АНДРЕЙ МИХАИЛОВИЧ - бакалавр кафедры прикладной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

A. IVANITSKIY, A. URUSOV

THE NUMERICAL ANALYSES OF THE POINTWISE RESIDUAL METHOD

Key words: ill-posed problem, system of linear algebraic equations and inequalities with approximate data, type 1 Fredholm integral equations, ill-posed electrotechnical problems.

In the article the pointwise residual method for numerical solving ill-posed systems of linear algebraic equations and inequalities with approximate data given in interval form, type 1 Fredholm integral equations for class of non-negative unknown functions is considered. The effective algorithm and software product for numerical solving some ill-posed electrotech-nical problems that can be reduced to above mentioned problems are proposed.

References

1. Alekse'ev B.V., Ivanitskiy A.Yu. O realizu'ushchey sisteme [About a realizing system]. In: Chislennyi analiz: metody, algoritmy i prilozheniya [Numerical analyses: methods, algorithms and applications]. Moscow, Moscow University Publ., 1985, pp. 135-143.

2. Vasil'ev F.P. Metody optimizatsii [Methods for Optimizations]. Moscow, Faktorial Press Publ., 2002, 415 p.

3. Vasil'ev F.P., Ivanitskiy A.Yu., Morozov V.A. Metodpotochechnoi nevyazki dlya nekotorykh za-dach lineinoi algebry i lineinogo programmirovaniya [Pointwise Residual Method for Solving Some Problems of Linear Algebra and Linear Programming]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1998, vol. 38, no. 7, pp. 1140-1152.

4. Ivanitskiy A.Yu. Ustoichivye metody resheniya system lineynykh uravneniy i neravenstv s in-terval'nymi koeffitsi'entami: dis. ... kand. fiz.-matem. nauk [Stable methods for solving systems of linear equations and inequalities with interval coefficients. Doct. Diss.]. Moscow, Moscow University Publ., 1988, 133 p.

5. Leonov A.S. Resheniye nekorrectno postavlennykh obratnykh zadach [Solving of Ill-Posed Inverse Problems]. Moscow, URSS Publ., 2009, 326 p.

6. Morozov V.A., Grebennikov A.I. Metody resheniya nekorrektno postavlennych zadach. Al-goritmicheskiy aspect [Methods for solving ill-posed problems. Algorithmic aspect]. Moscow, Moscow University Publ., 1992.

7. Morozov V.A., Medvedev N.V., Ivanitskiy A.Yu. Regulyarizatsiya zadach algebry i analiza [Regularization of Algebra and Analysis Problems]. Moscow, Moscow University Publ., 1987, 80 p.

8. Tikhonov A.N. Oproblizhennych sistemakh lineynykh algebraicheskikh uravneniy [About approximate systems of linear algebraic equations]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1980, vol. 20, no. 6, pp. 1373-1383.

9. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods for Solving Ill-Posed Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 284 p.

10. Vasilyev F.P., Ivanitskiy A.Yu. In-Depth Analyses of Linear Programming. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2001, 312 p.

IVANITSKIY ALEXANDER - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Dean of the Faculty of Applied Mathematics, Physics and Information Technology, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

URUSOV ANDREY - Bachelor Student of Department of Applied Mathematics and Informatics, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

Ссылка на статью: Иваницкий А.Ю., Урусов А.М. Численный анализ метода поточечной невязки // Вестник Чувашского университета. - 2016. - № 1. - С. 127-144.