Об одном методе регуляризации прямой и двойственной задачи линейного программирования с приближенными данными Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6:519.852] :621.3.011.71 ББК В192.1: З211.04

А.Ю. ИВАНИЦКИЙ, Ж.К. КАРАСЕВА

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРЯМОЙ И ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ДАННЫМИ

Ключевые слова: прямая и двойственная задача линейного программирования, неустойчивые задачи, сходимость, оценка погрешности, неустойчивые электротехнические задачи.

В статье предлагается один из вариантов метода поточечной невязки для решения прямых и двойственных задач линейного программирования с приближенными данными, чувствительных к малым возмущениям. Метод приводит к вспомогательной задаче, которая является также задачей линейного программирования. Доказаны теоремы существования и сходимости приближенных решений, получены оптимальные по порядку оценки аппроксимации решений исходной задачи приближенными решениями. Предложенный метод может применяться для решения неустойчивых электротехнических задач, которые могут быть сведены к системам линейных алгебраических уравнений и задачам линейного программирования.

A. IVANITSKIY, J. KARASEVA METHOD FOR REGULARIZATION OF DIRECT AND DUAL LINEAR PROGRAMMING PROBLEMS WITH APPROXIMATE DATA

Key words: direct and dual linear programming problem, ill-posed problems, convergence, error estimate, ill-posed electrotechnical problems.

The paper proposes a variant of the pointwise residual method for solving direct and dual linear programming problems, sensitive to small perturbations, with approximate data. The method results in an auxiliary problem, which is also a linear programming problem. There were proved the theorems of existence and convergence of approximate solutions, and obtained optimal estimates of approximation of initial problem solution by approximate solutions. The method can be used to solve ill-posed electrotechnical problems that can be reduced to linear algebraic equations systems and linear programming problems.

1. Рассмотрим основную задачу линейного программирования

9(u) = (c,u) ^ inf,u е U = {u e^i : Bu < d}, (1)

функция,

где

(c, u) = 2 c,u

j=1

J"-J

целевая

с = [сьc2,...,cn] ,

= {u = [ubu2,...,un]T : uj > 0, j = 1,n} - множество векторов с неотрицательными компонентами;

B

bubl2...bln

b21b22 ...b2n bpibp 2 ...b

pn J

e^ pxn, d =

dj d2

d

p

и - пространство матриц порядка pxn и пространство векторов раз-

мерности p c вещественными элементами, соответственно. Считаем, что

U ^ 0, ф, = inf 9(u) > -да.

ueU

Тогда, согласно [7], множество решений задачи (1) непусто, т.е.

и , = ^ е и : ф^) = ф,} ф 0.

Наряду с задачей (1) рассмотрим двойственную к ней задачу

y(v) = -(d,v)^sup,veV = {ve^+ :c + BTv>0}, (3)

где B e - транспонированная к B матрица. При выполнении условий (2) множество решений задачи (3)

V * = {v eV: y(v ) = у*} *0, где у* = sup у(v) < +<х> [7]. Из теории двойственности задач линейного про-

veV

граммирования следует, что u» еU»,v'eF* тогда и только тогда, когда

е W = {w еЖ++р : Bu - d < 0,-Br v - c < 0,( c, u) + (d, v) < 0}.

w =

u*

*

Рассмотрим задачу нахождения нормального решения системы неравенств, определяющих множество Ж:

^ ) = | М ^ W = и

eW,

(4)

где ¡МИх = \и-\ + \щ\+...+|ип| + +|у2|+... + \ур\ - октаэдрическая норма вектора м. В нашем случае и е , V е , следовательно, |М|1 =и\ + и2 +...+ ип + VI + у2 +...+ур. Как уже отмечалось, при выполнении условия (2) множество и* решения

задачи (1) непусто. Тогда, согласно теореме 2.2.1 [7], множество V * решений двойственной задачи (3) непусто. Следовательно, множество Ж ^0 . Так как /(м) = |М|> 0 - ограниченная снизу функция и множество Ж ^ 0 , то, согласно [2, 7], справедлива следующая теорема. Теорема 1. Множество решений задачи (4)

Ж* = {м е Ж: /(м) = /*, /* = ш£ /(м)} * 0,

weW

и любая минимизирующая последовательность {w }: w е W (k = 1, 2, ...,

lim f (w k ) = f), сходится к точке w ,eW,.

k

2. Пусть вместо данных {B, d, c} в задаче (1) известны их приближения

{B, d, с}, где

е Ж"

такие, что выполняются соотношения

- Ъ^ < Ду, ^ - <5^, - с;| <£, ], (5)

где Ду > 0,55 > 0, £у > 0,5 = 1, р, у = 1, п - уровни погрешностей в задании входных данных {В, d, с} .

В общем случае задача (4) с приближенными данными

/ (м ) = | М ^ ^ М, м е Ж,

~lÄ2. .bl" d1 "di"

B = b21b22. .b2n еЖ pxn, d = d 2 еЖ p, с = d2

bplbp 2 ..bp" _dp _ _d" _

где Т~ = {w = К v]г е ^++p : Bu - 5 < 0,^ v - с < 0,(5^) + (5,^ < 0}, может оказаться неразрешимой, а в случае разрешимости - неустойчивой [2-5, 7]. Поэтому для ее решения необходимо использовать методы регуляризации [2-5, 7]. Одним из таких методов является метод поточечной невязки, представленный ниже.

Пусть

"A11A12. .Am " "51 "

А = A21A22. ..A 2n , 8 = 52 , S =

_A p1A p 2 ...A pn 5 p ^n

с = (А, 8, S} - набор погрешностей входных данных из (5). Рассмотрим множество

W(с) = (w = [u, vf е ^n+p : Bu - d < Au + 8,-BT v - с < < AT v + S, (c, u) + (d, v) < (S, u) + (8, v)}.

В неравенствах, определяющих множество W(c), заложена идея согласования векторов-невязок с погрешностями входных данных А, 8, S. Заметим, что множество W(с) * 0 и является специальным расширением множества W, так как W с W(c) и W * 0. Рассмотрим задачу

f (w) = |wi|j i inf,w eW(c). (6)

Аналогично теореме 1 справедлива следующая теорема. Теорема 2. Множество решений задачи (6)

W*(с) = (wеW(с):f(w) = f.(c),f.(c)= inf f(w)}*0,

weW (с)

и любая минимизирующая последовательность

(wk} е W(с), k = 1,2,..., lim f (wk) = f.(с)

ki+ад

сходится к точке w.(с) е W.(с).

При численном решении задачи (6) нет необходимости решать ее точно, достаточно определить вектор w(^ в) из условия

wfc, в): f (w) < f. (с) + в, в> 0. (7)

Множество векторов, удовлетворяющих условию (7), обозначим Ж(с,в). Покажем, что в качестве приближенных решений задачи (4) можно взять элементы множества W. (с, в). Пусть

As = max AsJ-, A j = max Asj, А = max Asj, 5 = max 5 s, = max j.

1< j<n 1<s< p s, j s j

Теорема 3. Пусть выполнены условия (2) и (5). Тогда

P(W.(с, е), W.) = sup inf ||w. (с) - w|| i 0

w (с)еЖ, (с,в)weW*

при с = {А,8,S} i 0, где W. - множество решений задачи (4).

Доказательство. Возьмем произвольные последовательности {ak }= {Ak,5k,fkk 0, вk ^ 0, k ^ +да. По определению верхней грани найдется последовательность {wk }eW, (ak, вк) такая, что

inf llwk - wll ^ P(W. (а, в), W,) -1, k = 1,2,... (8)

weW* 11 k

Так как W с W,(а), то f,(а) < f,, тогда V{wk}eW,(ak,ek)с W(а) из (7) получим

f (wk ) = I|w k I^ < f, (а) + вk < f, + в k. (9)

Таким образом, последовательность {wk} ограничена и из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Не ограничивая общности, считаем, что сама последовательность сходится {wk } ^ w, = [u,, v, ]T при

k ^ +да .

Для Vwk = [uk, vk]T e W(а) с учетом, что uk е , имеем

(Buk - d) < 2[(Auk) + 5s ] < 2[As (uk + uk +... + ukn ) + 5k ]+5, < < 2(As\|uk11 + 5k)< 2(As||wk11 + 5k),s = 1,p.

Тогда отсюда и из (9) получим

max(Buk - d)s < 2[Ak( f + ek)+5k ]. (10)

1<s<p L J

Аналогично для Vwk = [uk, vk ]T e W(а) с учетом, что uk e ЭТ+, vk e , имеем

max(- BT vk - c), < 2[Ak (f, + Bk )+|k 1 (11)

1<j<n j

(c,uk) + (d, vk) < 2(|||uk! +51 vk|I1 )< 2M(5,|)(|uk| +||vk||1 )< < 2M (5, |)|| w|| 1 < 2M (5, |)(f+Bk ),

где M (5,1) = max{5, .

Переходя к пределу в (10), (11) и (12) при k ^ да, или, что то же самое, при {с^ }={Ak,5k,lk } 0, Bk ^ 0, имеем

Bu, - d < 0,-BTv, - c < 0, (c, u,) + (d, v,) < 0, т.е. w, = [u,, v,]T e W .

Из (9) получим ||w ,||< f,. Следовательно, w, = [u,, v, ]T - решение задачи (4). Переходя в (8) к пределу при k ^ да, имеем P(W,(c,b),W,) ^ 0. Теорема доказана.

3. Оценим порядок аппроксимации векторов w, e W, векторами u^^e W,(C,B) .

Теорема 4. Пусть U ф 0, ф, > -да и выполнены условия (5). Тогда справедлива оценка

sup p(w, W,) = 0(A + 5 + | + b).

weW^^B)

Доказательство. Множество решений задачи (4) Ж можно представить в виде многогранника

Ж. = {н = [и,у]г > 0: ||н|^ < /.,Ви < а,-ВгV < с,(с,и) + (а,у) < 0}. Тогда, согласно [7], существует постоянная М > 0, зависящая лишь от элементов матриц В,а,с, такая, что для Vw = [и,у]г е^И+р справедливо неравенство

р(н,Ж.)<Мтах{шах(|Н|1 -/.)+,||(Ви - а)+||„ ,||(-ВТу - с)+||„,((с,и) + {Л,у»+}. (13) В частности, это соотношение справедливо для н(в,а)еЖ(а,в)с^++р . Неравенство (13) оценим при

н = н(в,а) = [и(в,а), у(в,а)]т . Так как Ж с Ж, то ||н(в,а)^ < /.(а) + в< /* + в , отсюда ||н(в, а) - /. < в . Имеем

Ви(в,а)-а < 2(Ди(в,а) + 5) и, следовательно, как и в теореме 3, получим

||Ви(в, а) - 6\\ ш = штах!Ви(в, а) - , < 2(Д(/ + в) +1|5||ш ). Аналогично получим

||- Вт у(в, а)- с|| ш< 2(Д^^/,+в) + | \Щ в)

и

(с, и(в, а) + (а, у(в, а) < 2М(5, £)(/. + е).

Тогда

р(н,Ж.) < М {2(Д(/ +в) + ||5|| ш + Д(/. +в)+Щ\>М (5, £)(/.+ е )}< < М {(Д + 2М (5, |))(/»+в) + 2(|5|| ш+| |§|| ш)}, ^^ еЖ(а, в). Теорема доказана.

Как следует из последней оценки, можно определить решение задачи (4) с приближенными данными с той же точностью, с которой заданы исходные данные. при этом вспомогательная задача (6), определяющая метод поточечной невязки, является задачей линейного программирования, что и исходная задача (4), для решения которой существуют достаточно эффективные методы [2].

4. Рассмотрим основную задачу линейного программирования: найти вектор и = [и1, и2 ]Т из условий

щ + и2 ^ и1 + 2и2 < 6,

< -л/180, (14)

щ > 0,и2 > 0,

в которой второе неравенство после сокращения на - 45 примет вид щ + 2и2 > 6. Таким образом, она эквивалентна задаче: найти вектор и = [иьи2]г из условий

щ + и2 ^ т£ Ги1 + 2и2 = 6, [и1 > 0,и2 > 0,

решением которой будет вектор и* = [0;3]т, ф* = 3. Использование радикалов л/5, 720,7180 в (14) позволяет имитировать соотношения (5).

Пусть к - число удерживаемых цифр после десятичной точки в 45 = 2.23606797...,л/20 = 4.47213595..., 7180 = 13.41640786 .

В табл. 1 приведены приближенные решения (14) симплекс-методом в среде Ма1ЬаЬ Я2014Ь при различных к.

Таблица 1

Решение задачи симплекс-методом

и Точное решение к

0 1 2 3 4 5

и1 0 - 0.0 2.00 0.000 2.0000 0.00000

ы2 3 - 3.0 2.00 3.000 2.0000 3.00000

Как видно из табл. 1, при к = 0 задача (14) не имеет решения, а при к = 1, 2, 3, 4, 5 решения носят неустойчивый характер.

Двойственная задача к (14) имеет вид: найти вектор у = [у1,у2\т из условий

- 6^ + 7180у2 ^ эир VI -75у2 > -1,

2^ -л/20У2 >-1, V] > 0,v2 > 0,

(15)

Множество решений задачи (15) неограниченно и состоит из векторов

1

у* = [- 0.5 + Т5а,а]т , где ае

720 '

;+<х>

, у* = 3. Согласно теореме 5.2.3 [1\,

исходная задача (14) не является устойчиво разрешимой, так как множество решений двойственной задачи V* = {у: у = [-0.5 + Т5а,а] т , а е [1/720;+<х>]} неограниченно. Что и подтверждает табл. 1.

Заметим, что нормальное решение задачи (15)

1МII = VI + v2 ^ inf, у е V* = {у: ||у|^ = у*}

имеет вид у =

0;

1

720

= [0;0.2236066797...].

Вместо прямой задачи (14) и двойственной к ней (15) рассмотрим аналог задачи (4): найти вектор w = ] из условий

/(w) = I1 = w1 + w2 + + w4 ^ inf

w1 + 2w2 < 6,

-75^ - 72^2 < -7180,

- w3 +yÍ5w4 < 1,

- 2w3 + < 1,

w1 + w2 + 6w3 -718^4 < 0, w1 > 0,7 = 1,4.

(16)

т

Решение этой задачи w2 =

0;3;0;

1

, /.= 3 +

1

л/20 '

' 'л/20_

Решим эту задачу методом поточечной невязки (6) при различных к в среде МаЙаЬ Я2014Ь. Результаты вычислений приведены в табл. 2.

Таблица 2

Решение задачи методом поточечной невязки

T

к As, 5,- w1 W2 W3 w4

0 0 0.000000 3.000000 0.000000 0.230771

1 0.05 0.000000 2.934077 0.000000 0.207243

2 0.005 0.000000 2.997777 0.000000 0.222182

3 0.0005 0.000000 2.999555 0.000000 0.223432

4 0.00005 0.000000 2.999988 0.000000 0.223599

5 0.000005 0.000000 2.999999 0.000000 0.223611

Порядок погрешности аппроксимации точных решений прямой задачи

(14) и» = [0;3]г и двойственной к ней задачи (15) у* = ными решениями приведен в табл. 3.

Погрешность решений

0;

1

'л/20

приближен-

Таблица 3

T

w к

0 1 2 3 4 5

|u 21 - w^ 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

|u»2 - w2\ 0.000000 0.065923 0.002223 0.000445 0.000012 0.000001

|v* - w3\ 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

|v| - w4| 0.007164 0.016364 0.001425 0.000175 0.000008 0.000004

Из табл. 2 и 3 видно, что w ^u*bw2 ^u»2,w3 ^ vj",w4 ^v2 при увеличении числа k удерживаемых цифр после десятичной точки.

Таким образом, метод поточечной невязки (7) позволяет получать приближенные решения с точностью порядка задания входных данных и может быть использован для решения любых задач с приближенными данными, которые могут быть сведены к основной задаче линейного программирования.

Литература

1. БеклемишевД.Н. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983. 337 с.

2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 415 с.

3. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю., Морозов В.А. Метод поточечной невязки для некоторых задач линейной алгебры и линейного программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 7. С. 1140-1152.

4. Морозов В.А.. Медведев Н.В.. Иваницкий А.Ю. Регуляризация задач алгебры и анализа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 80 с.

5. ТихоновА.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 284 с.

6. ФедоровВ.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. 278 с.

7. Vasilyev F.P., Ivanitskyy A.Yu. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Boston; L., 2001, 312 p.

References

1. Beklemishev D.N. Dopolnitel'nye glavy lineinoi algebry [Additional Chapters of Linear Algebra]. Moscow, Nauka Publ., 1983, 337 p.

2. Vasil'ev F.P. Metody optimizatsii [Methods for Optimizations]. Moscow, Faktorial Press Publ., 2002, 415 p.

3. Vasil'ev F.P., Ivanitskiy A.Yu., Morozov V.A. Metodpotochechnoi nevyazki dlya nekotorykh zadach lineinoi algebry i lineinogo programmirovaniya [Pointwise Residual Method for Solving Some Problems of Linear Algebra and Linear Programming]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoifiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1998, vol. 38, no. 7, pp. 1140-1152.

4. Morozov V.A., Medvedev N.V.. Ivanitskiy A.Yu. Regulyarizatsiya zadach algebry i analiza [Regularization of Algebra and Analysis Problems]. Moscow, Moscow University Publ., 1987, 80 p.

5. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods for Solving Ill-Posed Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 284 p.

6. Fedorov V.V. Chislennye metody maksimina [Numerical Maximin Methods]. Moscow, Nauka Publ., 1979, 278 p.

7. Vasilyev F.P., Ivanitskiy A.Yu. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Boston, L., 2001, 312 p.

ИВАНИЦКИЙ АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, профессор, декан факультета прикладной математики, физики и информационных технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

IVANITSKIY ALEXANDER - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Dean of the Faculty of Applied Mathematics, Physics and Information Technologies, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.

КАРАСЕВА ЖАННА КОНСТАНТИНОВНА - магистрант кафедры прикладной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

KARASEVA ZHANNA - Master's Program Student, Applied Mathematics and Informatics Department, Chuvash State University, Cheboksary, Russia.